2.6应用一元二次方程
【题型1】一元二次方程与增长率、销售问题 4
【题型2】一元二次方程与“握手”问题 6
【题型3】一元二次方程与生活中矩形边长、面积问题 9
【题型4】一元二次方程与几何中动点问题 12
【题型5】一元二次方程与数字、行程等问题 16
【知识点1】由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 1.（2025 玉溪一模）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x,则可列方程为（ ） A．64（1+x）2=144B．64（1+x%）2=144C．64（1+2x）=144D．64+64（1+x）+64（1+x）2=144
【答案】A 【分析】利用九年级的学生人均阅读量=七年级的学生人均阅读量×（1+该校七至九年级人均阅读量年均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：64（1+x）2=144．
故选：A． 2.（2025春 青秀区校级期末）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论.3月，定海二中九思图书馆为响应学校“阅读月”活动，向学生全天开放．据统计，第一周进馆128人次，进馆人次每周增加，第三周进馆392人次，若进馆人次的周平均增长率相同，设进馆人次的周平均增长率为x,则根据题意，可列方程是（ ） A．128（1+x）2=392B．128（1+2x）2=392C．128+128（1+x）=392D．128+128（1+x）+128（1+x）2=392
【答案】A 【分析】利用第三周进馆人次=第一周进馆人次×（1+进馆人次的周平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：128（1+x）2=392．
故选：A． 【知识点2】一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案． 1.（2024秋 源汇区校级月考）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ） A．11B．12C．22D．33
【答案】B 【分析】设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解． 【解答】解：设参加会议有x人，依题意得，
，
整理，得x2-x-132=0，
解得x1=12，x2=-11，（舍去），
则参加这次会议的有12人．
故选：B． 2.（2024秋 广州期末）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ） A．16B．17C．±16D．±17
【答案】C 【分析】设较小的奇数为x,则较大的奇数为（x+2），根据两个连续奇数的积为63，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入（x+2）中可求出另一个奇数，再将两数相加即可求出结论． 【解答】解：设较小的奇数为x,则较大的奇数为（x+2），
依题意得：x（x+2）=63，
整理得：x2+2x-63=0，
解得：x1=-9，x2=7．
当x=-9时，x+2=-9+2=-7，-9+（-7）=-16；
当x=7时，x+2=7+2=9，7+9=16．
∴这两个数的和为±16．
故选：C．
【题型1】一元二次方程与增长率、销售问题
【典型例题】国庆期间某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是( )
A.2(1+x)＝8.28 B.2(1+x)2＝8.28 C.2(1+x)+2(1+x)2＝8.28 D.2+2(1+x)+2(1+x)2＝8.28
【答案】D
【解析】∵第一天票房约为2亿元，且平均每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约为2(1+x)亿元，第三天票房约为2(1+x)2亿元．
根据题意得2+2(1+x)+2(1+x)2＝8.28．
故选：D．
【举一反三1】《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( )
A.4.2(1+x)2＝142 B.2(1+x)2＝4.2 C.2(1+2x)＝4.2 D.4.2(1﹣x)2＝2
【答案】B
【举一反三2】某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，市场预测定价为50元时，可销售200个，当定价每增加1元时销售量将减少10个．若商店进货全部售完后赚了2 250元，则本次小家电的销售定价是 元．
【答案】55
【解析】设本次小家电的销售定价是x元，则每个的销售利润为(x﹣40)元，可销售[200﹣10(x﹣50)]个，
根据题意得(x﹣40)[200﹣10(x﹣50)]＝2 250，
整理得x2﹣110x+3 025＝0，
解得x1＝x2＝55，
即本次小家电的销售定价是55元．
【举一反三3】2024龙年春晚主题为“龙行龘龘(dá)，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣12月份销售量为150件，2月份销售量为216件，求该款上衣销售量的月平均增长率．
【答案】解：设该款上衣销售量的月平均增长率为x，
根据题意得150(1+x)2＝216，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不符合题意，舍去)．
所以该款上衣销售量的月平均增长率为20%．
【举一反三4】2023年10月，成都某景区就开始为冬季旅游做宣传，致使游客人数逐月增加．10月份游客人数为1.6万人，12月份游客人数为2.5万人．若平均每月增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）求这两个月该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计今年1月份该景区游客人数会继续增长，已知该景区1月1日至1月4日已接待游客0.625万人，则在1月份剩余天数中，该景区至少还需接待游客多少万人才能保证月平均增长率不降低？
【答案】解：（1）设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意得1.6(1+x)2＝2.5，
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25(舍去)，
所以这两个月该景区游客人数的月平均增长率为25%．
（2）设至少还需接待游客y万人，才能保证月平均增长率不降低，
由题意得0.625+y≥2.5×(1+25%)，
解得y≥2.5，
所以至少还需接待游客2.5万人才能保证月平均增长率不降低．
【题型2】一元二次方程与“握手”问题
【典型例题】在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在A组．在本组单循环赛中(每两个队之间比赛一场)共进行了10场比赛，设A组中共有x个国家的女队参加了比赛，则根据题意可列方程为( )
A. B.x(x﹣1)＝10 C.2x(x﹣1)＝10 D.
【答案】A
【举一反三1】有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是( )
A.1轮后有(x+1)个人患了流感
B.第2轮又增加x(x+1)个人患流感
C.依题意可以列方程(x+1)2＝36
D.按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染
【答案】D
【解析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有x(1+x)人被传染，
∴1轮后有(x+1)个人患了流感，第2轮又增加x(x+1)个人患流感，
∴根据题意得可列出方程1+x+x(x+1)＝36，即(x+1)2＝36，
解得x1＝5，x2＝﹣7(不符合题意，舍去)，
∴36(1+x)＝36×(1+5)＝216(人)，
∴按照这样的传播速度，三轮后一共会有216人感染．
故选：D.
【举一反三2】某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】D
【解析】根据题意得x(x﹣1)＝36，整理得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8(不符合题意，舍去)．
故选：D.
【举一反三3】10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为( )
A. B.x(x﹣1)＝380 C.2x(x﹣1)＝380 D.x2＝380
【答案】B
【举一反三4】参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为( )
A.x(x﹣1)＝10 B.x(x﹣1)＝10 C.x(x+1)＝10 D.2x(x﹣1)＝10
【答案】A
【解析】设x人参加这次聚会，则每个人需握手：(x﹣1)次，依题意，可列方程为：＝10．
故选：A.
【举一反三5】在2023江西省县域社会足球比赛中，高安市代表队晋级12月16日至21日在瑞金举行的第三阶段总决赛．总决赛分成四个小组，每个小组球队数一样，小组内进行单循环赛(即小组内每两队之间都比赛一场)．若小组赛一共进行了12场比赛，则共有 支球队参加了总决赛．
【答案】12
【解析】设共有x支球队参加了总决赛，则每个小组有支球队，
由题意得4××(﹣1)＝12，
整理得x2﹣4x﹣96＝0，
解得x1＝12，x2＝﹣8，(不符合题意，舍去)，
即共有12支球队参加了总决赛．
【举一反三6】某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一个，全组共互赠了72个．则该兴趣小组共有__________名学生．
【答案】9
【解析】设全组有x名同学，
则每名同学所赠的标本为(x﹣1)个，
那么x名同学共赠x(x﹣1)个，
则x(x﹣1)＝72，
解得x1＝﹣8(不符合题意，舍去)，x2＝9．
故全组共有9名同学．
【举一反三7】我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式(即每两班之间都比赛一场)，若共进行了45场比赛，则有 个班级篮球队参加．
【答案】10
【解析】设共有x个班级球队参加比赛，
根据题意得＝45，
整理得x2﹣x﹣90＝0，
即(x﹣10)(x+9)＝0，
解得x＝10或x＝﹣9(舍去)，
则共有10个班级球队参加比赛．
【举一反三8】开始有2人患了流感，经过两轮传染后，共有72人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．
【答案】5
【解析】设平均每人传染了x个人，第一轮有2x人被传染，总共有2x+2人患了流感，
第二轮有x(2x+2)人被传染，总共有2x+2+x(2x+2)人患了流感，
根据题意有2x+2+x(2x+2)＝72，
整理得x2+2x+1＝36，
即(x+1)2＝36，
则x+1＝±6，
则x+1＝6或x+1＝﹣6，
∴x1＝5，x2＝﹣7(不符合题意，舍去)，
∴平均每人传染了5个人．
【题型3】一元二次方程与生活中矩形边长、面积问题
【典型例题】停车难问题已经是城市管理和发展的一个大问题．如图，某小区计划在一个长为72 m，宽为40 m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为1 792 m2，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道．若设行车通道的宽度是x m，则根据题意可列关于x的方程为( )
A.(72﹣2x)(40﹣2x)＝1792
B.(72﹣2x)(40﹣2x)＝72×40﹣1792
C.(72﹣4x)(40﹣2x)＝1792
D.(72﹣4x)(40﹣x)＝72×40﹣1792
【答案】C
【举一反三1】如图，有一张长12 cm，宽9 cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是70 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意，可列方程为( )
A.12×9﹣4×9x＝70 B.12×9﹣4x2＝70 C.(12﹣x)(9﹣x)＝70 D.(12﹣2x)(9﹣2x)＝70
【答案】D
【解析】设剪去的小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为(12﹣2x)cm，宽为(9﹣2x)cm，
∵纸盒的底面(图中阴影部分)面积是70 cm2，∴(12﹣2x)(9﹣2x)＝70.
故选：D.
【举一反三2】如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所．如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边．若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域(阴影部分)的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是 ．
【答案】4×3x(20﹣4x)＝192
【举一反三3】一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．
【答案】1
【解析】设通道宽为x米，则三个大棚可合成长为(60﹣2x)米，宽为(17﹣2x)米的矩形，
根据题意得(60﹣2x)(17﹣2x)＝870，整理得2x2﹣77x+75＝0，
解得x1＝1，x2＝(不符合题意，舍去)，∴通道宽为1米．
【举一反三4】2023年12月21日，以“共享，协同——引领劳动教育高质量发展”为主题的四川省劳动实验区(校)建设成果展示会暨主题研讨会在天府新区启幕，天府新区作为劳动教育实验区，积极推进区域劳动教育，形成公园城市生态劳动教育模式．新区某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，并用30 m长的栅栏围成四个具有相同面积的矩形蔬菜基地，每个蔬菜基地一边长为x m，另一边长为y m(如图所示)．
（1）求y关于x的函数关系式(不必写明自变量x的取值范围)；
（2）每个蔬菜基地的面积是否能达到10 m2且x＞y？若能，求出x的值，若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）根据题意得4x+5y＝30，∴y＝﹣x+6．
（2）根据题意得x(﹣x+6)＝10，
整理得2x2﹣15x+25＝0，
解得x1＝，x2＝5，
当x＝时，y＝﹣x+6＝﹣×+6＝4＞，不符合题意，舍去；
当x＝5时，y＝﹣x+6＝﹣×5+6＝2＜5，符合题意．
故每个蔬菜基地的面积能达到10 m2且x＞y，此时x的值为5．
【举一反三5】如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为48平方米？
【答案】解：设BC的长为x米，则AB的长为米，
根据题意得x ＝48，
整理得x2﹣20x+96＝0，
解得x1＝8，x2＝12，
∵墙长10米，∴x＝8，∴＝＝6(米)．
故当矩形菜地的长为8米，宽为6米时，菜地面积为48平方米．
【题型4】一元二次方程与几何中动点问题
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，BC＝6 cm，点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边CD以2 cm/s的速度向点D移动．设运动时间为t，当PQ＝10 cm时，t等于( )
A. B.或4 C.或 D.4
【答案】C
【解析】过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝BC＝6 cm，如图所示．
16÷3＝(s)．
当运动时间为t(0＜t≤)s时，AP＝3t cm，DQ＝(16﹣2t)cm，EQ＝|(16﹣2t)﹣3t|＝|16﹣5t|，
根据题意得PQ2＝PE2+EQ2，即102＝62+(16﹣5t)2，整理得(16﹣5t)2＝82，
∴16﹣5t＝8或16﹣5t＝﹣8，解得t1＝，t2＝，
∴t的值为或．
故选：C.
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12 cm2时，点P运动的时间是( )
A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s
【答案】A
【解析】8÷1＝8(s)，6÷2＝3(s)．
当运动时间为ts时，AP＝t cm，BP＝(8﹣t)cm，BQ＝2t cm，
根据题意得2t×(8﹣t)÷2＝12，
整理得8t-t2＝12，
解得t1＝2，t2＝6(不符合题意，舍去)，
∴点P的运动时间是2s．
故选：A.
【举一反三2】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4 cm，BC＝3 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为cm/s，点Q的速度为1 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为cm2，则点P运动的时间是 s．
【答案】3
【解析】设动点P，Q运动t(t≤3)s时，能使△PBQ的面积为cm2，
则BP的长为(4-t)cm，BQ的长为t cm．
可列方程为，解得t1＝3，t2＝5(舍去)，
∴动点P，Q运动3s时，能使△PBQ的面积为cm2．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点B开始沿BA以1 cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2 cm/s的速度向点C运动．问点P，Q出发几秒后可使四边形ACQP的面积为△PQB面积的？
【答案】解：当运动时间为t秒时，BP＝t cm，BQ＝2t cm，
S△ABC=×5×6=15，
根据题意得 t 2t＝15×，
整理得t2＝9，
解得t＝3(负值已舍去)，
当t＝3时，t＝3＜5，2t＝2×3＝6，符合题意．
故3秒后，△PBQ的面积为9 cm2．
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝21 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1 cm/s．
（1）那么运动几秒时，它们相距15 cm？
（2）△PCQ的面积能等于60 cm2吗？为什么？
【答案】解：（1）设运动t秒时，P，Q两点相距15 cm，
依题意，得t2+(21﹣t)2＝152，解得t1＝9，t2＝12，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15 cm.
（2）△PCQ的面积不能等于60 cm2，理由如下：
设运动x秒时，△PCQ的面积等于60 cm2，
依题意，得x(21﹣x)＝60，
整理，得x2﹣21x+120＝0，
∵Δ＝(﹣21)2﹣4×1×120＝﹣39＜0，
∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60 cm2．
【题型5】一元二次方程与数字、行程等问题
【典型例题】印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是x只，根据题意可列出的方程是( )
A.(8x)2＝x﹣12 B.(8x)2＝x+12 C.x=(x)2-12 D.x=(x)2+12
【答案】D
【解析】∵这群猴子的总数是x只，∴一队猴子数是(x)2只．
根据题意得x＝(x)2+12．
故选：D.
【举一反三1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原数和新数中较大的数为( )
A.62 B.44 C.53 D.35
【答案】C
【解析】设原来个位为x，则十位上的数字为8-x，
由题意得[10×(8-x)+x][10x+8-x]=1855，
解得x=3或x=5，
∴原数和新数中较大的两位数是53．
故选：C.
【举一反三2】两个连续偶数之积为168，则这两个连续偶数之和为( )
A.26 B.-26 C.±26 D.都不对
【答案】C
【解析】设一个偶数为x，则另一个偶数为x+2，
则有x(x+2)=168，
解得x1=12，x2=-14．
当x1=12时，x+2=14；
当x2=-14时，x+2=-12．
∴二者之和为12+14=26或-14-12=-26．
故选：C.
【举一反三3】小雷在纸上写了一个两位数，这个两位数的个位数字比十位数字大1，个位数字的平方与十位数字的平方的和为13，则这个两位数是_________．
【答案】23
【解析】设这两位数的十位数字为x，个位数字是(x+1)，由题意得x2+(x+1)2=13，
解得：x1=2，x2=-3(舍去)，则x+1=3，故这个两位数是23．
【举一反三4】定义：如果一个只含有字母a的代数式的平方与这个代数式三倍的差等于0，那么这个代数式就叫做a的平三式，字母a所表示的正数就叫做平三数．试求平三式为a+2的平三数．
【答案】解：根据定义，得(a+2)2-3(a+2)=0，
(a+2)(a+2-3)=0，
(a+2)(a-1)=0，
a=-2或a=1，
∵平三数为正数，∴a=-2舍去，∴平三数为1．
【举一反三5】根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28 000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？
【答案】解：设有x人参加这次旅游，
∵30×800＝24 000(元)，24 000＜28 000，∴x＞30．
(800﹣500)÷10+30＝60(人)．
当30＜x＜60时，x[800﹣10(x﹣30)]＝28 000，
解得x1＝40，x2＝70(不合题意，舍去)．
当x≥60时，28 000÷500＝56(人)，不合题意，舍去．
故参加这次旅游的人数为40．2.6应用一元二次方程
【题型1】一元二次方程与增长率、销售问题 3
【题型2】一元二次方程与“握手”问题 4
【题型3】一元二次方程与生活中矩形边长、面积问题 5
【题型4】一元二次方程与几何中动点问题 7
【题型5】一元二次方程与数字、行程等问题 9
【知识点1】由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 1.（2025 玉溪一模）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x,则可列方程为（ ） A．64（1+x）2=144B．64（1+x%）2=144C．64（1+2x）=144D．64+64（1+x）+64（1+x）2=144
2.（2025春 青秀区校级期末）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论.3月，定海二中九思图书馆为响应学校“阅读月”活动，向学生全天开放．据统计，第一周进馆128人次，进馆人次每周增加，第三周进馆392人次，若进馆人次的周平均增长率相同，设进馆人次的周平均增长率为x,则根据题意，可列方程是（ ） A．128（1+x）2=392B．128（1+2x）2=392C．128+128（1+x）=392D．128+128（1+x）+128（1+x）2=392
【知识点2】一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案． 1.（2024秋 源汇区校级月考）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ） A．11B．12C．22D．33
2.（2024秋 广州期末）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ） A．16B．17C．±16D．±17
【题型1】一元二次方程与增长率、销售问题
【典型例题】国庆期间某电影上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是( )
A.2(1+x)＝8.28 B.2(1+x)2＝8.28 C.2(1+x)+2(1+x)2＝8.28 D.2+2(1+x)+2(1+x)2＝8.28
【举一反三1】《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( )
A.4.2(1+x)2＝142 B.2(1+x)2＝4.2 C.2(1+2x)＝4.2 D.4.2(1﹣x)2＝2
【举一反三2】某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，市场预测定价为50元时，可销售200个，当定价每增加1元时销售量将减少10个．若商店进货全部售完后赚了2 250元，则本次小家电的销售定价是 元．
【举一反三3】2024龙年春晚主题为“龙行龘龘(dá)，欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣12月份销售量为150件，2月份销售量为216件，求该款上衣销售量的月平均增长率．
【举一反三4】2023年10月，成都某景区就开始为冬季旅游做宣传，致使游客人数逐月增加．10月份游客人数为1.6万人，12月份游客人数为2.5万人．若平均每月增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）求这两个月该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计今年1月份该景区游客人数会继续增长，已知该景区1月1日至1月4日已接待游客0.625万人，则在1月份剩余天数中，该景区至少还需接待游客多少万人才能保证月平均增长率不降低？
【题型2】一元二次方程与“握手”问题
【典型例题】在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在A组．在本组单循环赛中(每两个队之间比赛一场)共进行了10场比赛，设A组中共有x个国家的女队参加了比赛，则根据题意可列方程为( )
A. B.x(x﹣1)＝10 C.2x(x﹣1)＝10 D.
【举一反三1】有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是( )
A.1轮后有(x+1)个人患了流感
B.第2轮又增加x(x+1)个人患流感
C.依题意可以列方程(x+1)2＝36
D.按照这样的传播速度，三轮后一共会有180人感染
【举一反三2】某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三3】10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为( )
A. B.x(x﹣1)＝380 C.2x(x﹣1)＝380 D.x2＝380
【举一反三4】参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为( )
A.x(x﹣1)＝10 B.x(x﹣1)＝10 C.x(x+1)＝10 D.2x(x﹣1)＝10
【举一反三5】在2023江西省县域社会足球比赛中，高安市代表队晋级12月16日至21日在瑞金举行的第三阶段总决赛．总决赛分成四个小组，每个小组球队数一样，小组内进行单循环赛(即小组内每两队之间都比赛一场)．若小组赛一共进行了12场比赛，则共有 支球队参加了总决赛．
【举一反三6】某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一个，全组共互赠了72个．则该兴趣小组共有__________名学生．
【举一反三7】我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式(即每两班之间都比赛一场)，若共进行了45场比赛，则有 个班级篮球队参加．
【举一反三8】开始有2人患了流感，经过两轮传染后，共有72人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．
【题型3】一元二次方程与生活中矩形边长、面积问题
【典型例题】停车难问题已经是城市管理和发展的一个大问题．如图，某小区计划在一个长为72 m，宽为40 m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为1 792 m2，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道．若设行车通道的宽度是x m，则根据题意可列关于x的方程为( )
A.(72﹣2x)(40﹣2x)＝1792
B.(72﹣2x)(40﹣2x)＝72×40﹣1792
C.(72﹣4x)(40﹣2x)＝1792
D.(72﹣4x)(40﹣x)＝72×40﹣1792
【举一反三1】如图，有一张长12 cm，宽9 cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是70 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意，可列方程为( )
A.12×9﹣4×9x＝70 B.12×9﹣4x2＝70 C.(12﹣x)(9﹣x)＝70 D.(12﹣2x)(9﹣2x)＝70
【举一反三2】如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所．如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边．若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域(阴影部分)的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是 ．
【举一反三3】一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．
【举一反三4】2023年12月21日，以“共享，协同——引领劳动教育高质量发展”为主题的四川省劳动实验区(校)建设成果展示会暨主题研讨会在天府新区启幕，天府新区作为劳动教育实验区，积极推进区域劳动教育，形成公园城市生态劳动教育模式．新区某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，并用30 m长的栅栏围成四个具有相同面积的矩形蔬菜基地，每个蔬菜基地一边长为x m，另一边长为y m(如图所示)．
（1）求y关于x的函数关系式(不必写明自变量x的取值范围)；
（2）每个蔬菜基地的面积是否能达到10 m2且x＞y？若能，求出x的值，若不能，请说明理由．
【举一反三5】如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为48平方米？
【题型4】一元二次方程与几何中动点问题
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，BC＝6 cm，点P从点A出发沿AB以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边CD以2 cm/s的速度向点D移动．设运动时间为t，当PQ＝10 cm时，t等于( )
A. B.或4 C.或 D.4
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12 cm2时，点P运动的时间是( )
A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s
【举一反三2】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4 cm，BC＝3 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为cm/s，点Q的速度为1 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为cm2，则点P运动的时间是 s．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点B开始沿BA以1 cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2 cm/s的速度向点C运动．问点P，Q出发几秒后可使四边形ACQP的面积为△PQB面积的？
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝21 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1 cm/s．
（1）那么运动几秒时，它们相距15 cm？
（2）△PCQ的面积能等于60 cm2吗？为什么？
【题型5】一元二次方程与数字、行程等问题
【典型例题】印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是x只，根据题意可列出的方程是( )
A.(8x)2＝x﹣12 B.(8x)2＝x+12 C.x=(x)2-12 D.x=(x)2+12
【举一反三1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原数和新数中较大的数为( )
A.62 B.44 C.53 D.35
【举一反三2】两个连续偶数之积为168，则这两个连续偶数之和为( )
A.26 B.-26 C.±26 D.都不对
【举一反三3】小雷在纸上写了一个两位数，这个两位数的个位数字比十位数字大1，个位数字的平方与十位数字的平方的和为13，则这个两位数是_________．
【举一反三4】定义：如果一个只含有字母a的代数式的平方与这个代数式三倍的差等于0，那么这个代数式就叫做a的平三式，字母a所表示的正数就叫做平三数．试求平三式为a+2的平三数．
【举一反三5】根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28 000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？
