4.4探索三角形相似的条件
【题型1】两角分别相等两三角形相似 2
【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似 4
【题型3】三边成比例两三角形相似 6
【题型4】黄金分割 9
【知识点1】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2024秋 苍梧县期末）如图，锐角△ABC中，BE，CD是高，它们相交于O，则图中与△BOD相似的三角形有（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【解答】解：①∵∠BDO=90°，∠BEA=90°
∴∠BDO=∠BEA
∴△BOD∽△BAE
②∵∠BDO=90°，∠CDA=90°
∴∠BDO=∠CDA
∴△BOD∽△CAD
③∵∠BDO=90°，∠CEO=90
∴∠BDO=∠CEO
∴△BOD∽△COE
∴有3个
故选：B．
【题型1】两角分别相等两三角形相似
【典型例题】下列各组图形中可能不相似的是( )
A.有一个角是45°的两个等腰三角形
B.有一个角是60°的两个等腰三角形
C.有一个角是105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
【答案】A
【解析】A.不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；B．由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；C．正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似；D．正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．故选A.
【举一反三1】如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是( )
A.△BDF∽△BEC B.△BFA∽△BEC C.△BAC∽△BDA D.△BDF∽△BAE
【答案】A
【解析】∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAC∽△BDA.故C正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴△BFA∽△BEC.故B正确．∴∠BFA＝∠BEC，∴∠BFD＝∠BEA，∴△BDF∽△BAE.故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．故选A.
【举一反三2】如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：________________.
【答案】∠B＝∠C(答案不唯一)
【解析】要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：∠B＝∠C，理由如下：∵∠A＝∠A，∠B＝∠C，∴△ABE∽△ACD，
【举一反三3】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.求证：△ABM∽△EFA.
【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA.
【举一反三4】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.
【答案】证明：如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1＋∠2＝180°－∠B＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠2＋∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE.
【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似
【典型例题】如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.AC：CD＝AB：BC
B.CD：AD＝BC：AC
C.AC2＝AD·AB
D.CD2＝AD·BD
【答案】C
【解析】∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是，∴AC2＝AD·AB.故选C.
【举一反三1】如图所示，下列各式能使△ACD∽△BCA的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵∠C＝∠C，∴要使△ACD∽△BCA，则两边必须满足BC∶AC＝AC∶DC，故选B.
【举一反三2】如图，在△ABC与△ADE中，AB：BC＝AE：ED，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是__________．
【答案】∠B＝∠E
【解析】添加条件：∠B＝∠E；∵AB:BC＝AE:ED，∠B＝∠E，∴△ABC∽△AED，
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．
【答案】4.8或
【解析】CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以CP：CB＝CQ：CA，即(16-2t)：16＝t：12，解得t＝4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以CP：CA＝CQ：CB，即(16-2t)：12＝t：16，解得t＝.综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边以1 cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2 cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．
(1)几秒后△PBQ的面积等于8 cm2
(2)几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【答案】解：(1)设t秒后△PBQ的面积等于8 cm，此时，AP＝t，BP＝6－t，BQ＝2t，∵S△PBQ＝BP·BQ，即(6－t)×2t＝8，即t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4.∴2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2；
(2)设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP＝x，BP＝6－x，BQ＝2x，①若△BPQ∽△BAC，则BP：BA＝BQ：BC，即(6-x)：6＝2x：12，解得x＝3；②若△BPQ∽△BCA，则BP：BC＝BQ：BA，即(6-x)：12＝2x：6，解得x＝1.2.综上所述，1.2秒或3秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【题型3】三边成比例两三角形相似
【典型例题】若△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF相似的是( )
A.AB＝6，BC＝6，AC＝9，DE＝4，EF＝4，DF＝6
B.AB＝4，BC＝6，AC＝8，DE＝5，EF＝10，DF＝15
C.AB＝1，BC＝2，AC＝2，DE＝6，EF＝3，DF＝5
D.AB＝1，BC＝5，AC＝3，DE＝15，EF＝23，DF＝6
【答案】A
【解析】A.因为AB：DE＝BC：EF＝AC：DF＝3：2，所以△ABC与△DEF相似，正确；B.因为AB：DE≠BC：EF≠AC：DF，所以△ABC与△DEF不相似，错误；C.因为AB：DE≠BC：EF＝AC：DF，所以△ABC与△DEF不相似，错误；D.因为AB：DE≠BC：EF＝AC：DF，所以△ABC与△DEF不相似，错误；故选A.
【举一反三1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
【答案】C
【解析】①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴，，即，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C.
【举一反三2】如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有__________对．
【答案】2
【解析】设每一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长.
△ABC的各边分别为2，，；△CDF的各边分别为，，3；△EFG的各边分别为，，；△HMN的各边分别为1，，；△HPQ的各边分别为2,2，2；可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似．
【举一反三3】如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
【答案】证明：∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，即DE：AB＝EF：BC＝DF：AC，∴ABC∽△DEF.
【举一反三4】如图，在边长为1的5×5的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上．
(1)△ABC与△DEF是否相似？请说明理由；
(2)还能在网格上画出与△ABC相似的三角形吗？还能画出几种大小不同的？试着在备用图上画出来(三个顶点都在格点上)．
【答案】解：(1)由勾股定理得：DE＝，DF＝，EF＝5，AB＝，AC＝2，CB＝，∴DE：AB＝：＝：2，DF：AC＝：2，EF：CB＝5：＝：2，∴DE：AB＝DF：AC＝EF：CB＝：2，∴△ABC∽△DEF；
(2)如图所示：
【题型4】黄金分割
【典型例题】已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则AP＝a＝×2＝﹣1．
故选：B．
【举一反三1】如图，点C是线段AB的黄金分割点，即，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是( )
A.S1= B.S1＝2S2 C.S1＝S2 D.S1=
【答案】C
【解析】∵，
∴AC2＝BC AB，
∴S1＝S2，
故选：C．
【举一反三2】某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如图2）上最接近的点是( )
A.P B.Q C.M D.N
【答案】C
【解析】∵≈0.618，
∴在数轴（如图2）上最接近的点是M点．
故选：C．
【举一反三3】如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则AC＝ cm．
【答案】()
【解析】∵AB＝80 cm，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，
∴AC=，
故答案为：()．
【举一反三4】已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比）．如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB＝1，求DE的长度．
【答案】解：∵△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，
∴AC＝AB＝1，AD＝BD＝BC，DE＝CD，BC＝AC＝，CD＝，
∴CD＝BC＝（）2＝，
∴DE＝．
【举一反三5】如图，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a，b，c，d的四条线段，如果a：b＝c：d，则ad＝bc．求黄金分割数（结果保留根号）．
【答案】解：设线段AB＝1，AP的长为x，则BP＝AB﹣AP＝1﹣x，
∵BP：AP＝AP：AB，
∴（1﹣x）：x＝x：1，
∴x2＝1﹣x，
整理得：x2+x﹣1＝0,
解得：，x2＝（舍去），
∴黄金分割数＝AP：AB＝：1＝，
∴黄金分割数为．4.4探索三角形相似的条件
【题型1】两角分别相等两三角形相似 2
【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似 3
【题型3】三边成比例两三角形相似 4
【题型4】黄金分割 6
【知识点1】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2024秋 苍梧县期末）如图，锐角△ABC中，BE，CD是高，它们相交于O，则图中与△BOD相似的三角形有（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个
【题型1】两角分别相等两三角形相似
【典型例题】下列各组图形中可能不相似的是( )
A.有一个角是45°的两个等腰三角形
B.有一个角是60°的两个等腰三角形
C.有一个角是105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
【举一反三1】如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是( )
A.△BDF∽△BEC B.△BFA∽△BEC C.△BAC∽△BDA D.△BDF∽△BAE
【举一反三2】如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：________________.
【举一反三3】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.求证：△ABM∽△EFA.
【举一反三4】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.
【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似
【典型例题】如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.AC：CD＝AB：BC
B.CD：AD＝BC：AC
C.AC2＝AD·AB
D.CD2＝AD·BD
【举一反三1】如图所示，下列各式能使△ACD∽△BCA的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在△ABC与△ADE中，AB：BC＝AE：ED，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是__________．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边以1 cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2 cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．
(1)几秒后△PBQ的面积等于8 cm2
(2)几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【题型3】三边成比例两三角形相似
【典型例题】若△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF相似的是( )
A.AB＝6，BC＝6，AC＝9，DE＝4，EF＝4，DF＝6
B.AB＝4，BC＝6，AC＝8，DE＝5，EF＝10，DF＝15
C.AB＝1，BC＝2，AC＝2，DE＝6，EF＝3，DF＝5
D.AB＝1，BC＝5，AC＝3，DE＝15，EF＝23，DF＝6
【举一反三1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
【举一反三2】如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有__________对．
【举一反三3】如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
【举一反三4】如图，在边长为1的5×5的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上．
(1)△ABC与△DEF是否相似？请说明理由；
(2)还能在网格上画出与△ABC相似的三角形吗？还能画出几种大小不同的？试着在备用图上画出来(三个顶点都在格点上)．
【题型4】黄金分割
【典型例题】已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点C是线段AB的黄金分割点，即，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是( )
A.S1= B.S1＝2S2 C.S1＝S2 D.S1=
【举一反三2】某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即，在数轴（如图2）上最接近的点是( )
A.P B.Q C.M D.N
【举一反三3】如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则AC＝ cm．
【举一反三4】已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比）．如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB＝1，求DE的长度．
【举一反三5】如图，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a，b，c，d的四条线段，如果a：b＝c：d，则ad＝bc．求黄金分割数（结果保留根号）．
