6.3反比例函数的应用
【题型1】反比例函数系数k几何意义的应用 5
【题型2】反比例函数与正比例函数 9
【题型3】用反比例函数图象与一次函数图象解不等式 11
【题型4】反比例函数与一次函数 14
【题型5】反比例函数与面（或体）积问题 16
【题型6】反比例函数与速度或工作效率问题 18
【题型7】反比例函数与物理知识的综合 19
【知识点1】根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 1.（2024秋 思明区校级月考）矩形面积是40m2，设它的一边长为x（m），则矩形的另一边长y（m）与x的函数关系是（ ） A．y=20-xB．y=40xC．y=D．y=
【答案】C 【分析】根据等量关系“矩形的另一边长=矩形面积÷一边长”列出关系式即可． 【解答】解：由于矩形的另一边长=矩形面积÷一边长，
∴矩形的另一边长y（m）与x的函数关系是y=．
故选：C． 2.（2024 长沙）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】可设I=，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值． 【解答】解：设I=，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k=3×2=6，
∴I=．
故选：C． 【知识点2】反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 1.（2025 黎城县校级模拟）如果三角形的面积为15平方厘米，那么它的一边y厘米与这边上的高x厘米之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】根据三角形面积公式得，进而可得y关于x的函数关系，在根据x,y的实际意义可知x＞0，y＞0，以此即可选择． 【解答】解：由三角形的面积公式得，
∴y=（x＞0，y＞0），
∴该反比例函数函数的图象在第一象限．
故选：C． 【知识点3】反比例函数综合题 （1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 1.（2024 海宁市模拟）如图，Rt△OAB的斜边OA在x轴上，点B在第一象限，OA：OB=5：4．边AB的垂直平分线分别交AB、x轴于点C、D，线段CD交反比例函数y=的图象于点E．当BC=CE时，以DE为边的正方形的面积是（ ） A．B．1C．D．
【答案】A 【分析】连接AE并且延长交OB于F点，连接BE，作FH⊥x轴于H，设OA=5x,则OB=4x,根据勾股定理计算出AB=3x,且A点坐标为（5x,0），根据垂直平分线的性质得CB=CA，EC⊥AB，EA=EB，DC=OB=2x,而BC=CE，则EC=CA=CB=x,所以△ABE为等腰直角三角形，同样得到△FBA为等腰直角三角形，则BF=BA=3x,EF=EA，得到OF=x,易证得Rt△OFH∽Rt△OAB，运用相似比可得到FH=x,OH=x,则F点坐标为（x,x），在求出AF的中点E的坐标（x,x），把E点坐标代入代入y=求出x,则利用DE=DC-EC=2x-x=x求出DE，然后根据正方形面积公式计算即可． 【解答】解：连接AE并且延长交OB于F点，连接BE，作FH⊥x轴于H，如图，
设OA=5x,则OB=4x,所以AB==3x,A点坐标为（5x,0），
∵边AB的垂直平分线分别交AB、x轴于点C、D，
∴CB=CA，EC⊥AB，EA=EB，DC=OB=2x,
∵BC=CE，
∴EC=CA=CB=x,
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE⊥AE，∠EBA=45°，
而∠OBA=90°，
∴BE平分∠FBA，
∴△FBA为等腰直角三角形，
∴BF=BA=3x,EF=EA，
∴OF=OB-BF=x,
∵∠FOH=∠AOB，
∴Rt△OFH∽Rt△OAB，
∴==，即==，
∴FH=x,OH=x,
∴F点坐标为（x,x），
∵E点为AF的中点，
∴E点坐标为（x,x），
把E（x,x）代入y=得x x=3，解得x=，
∴DE=DC-EC=2x-x=x=，
∴以DE为边的正方形的面积=DE2=（）2=．
故选：A．
【题型1】反比例函数系数k几何意义的应用
【典型例题】如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B.点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值是( )
A.3 B.－3 C.6 D.－6
【答案】D
【解析】连接OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB＝3，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝－6.故选D.
【举一反三1】如图，双曲线y＝(k＞0)与⊙O在第一象限内交于P，Q两点，分别过P，Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1,3)，则图中阴影部分的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵双曲线y＝(k＞0)与⊙O在第一象限内交于P，Q两点，∴点P与点Q关于直线y＝x对称，∴Q点的坐标为(3,1)，∴图中阴影部分的面积＝2×(3－1)＝4.故选D.
【举一反三2】如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，反比例函数y＝经过另一条直角边AC的中点D，S△AOC＝3，则k等于( )
A.2 B.4 C.6 D.3
【答案】D
【解析】∵直角边AC的中点是D，S△AOC＝3，∴S△CDO＝S△AOC＝，∵反比例函数y＝经过另一条直角边AC的中点D，CD⊥x轴，∴k＝2S△CDO＝3，故选D.
【举一反三3】如图，点P在反比例函数y＝的图象上，且PD⊥x轴于点D.若△POD的面积为3，则k的值是____．
【答案】－6
【解析】S△POD＝|k|＝3，又∵k＜0，∴k＝－6.
【举一反三4】如图，P是反比例函数y＝(k＞0)在第一象限图象上的一点，点A的坐标为(2,0)．
(1)当点P的横坐标逐渐增大时，△POA的面积将如何变化？
(2)若△POA为等边三角形，求此反比例函数的表达式．
【答案】解：(1)设P(x，y)，则△POA的面积＝×OA×y＝y.又∵当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．故当点P的横坐标逐渐增大时，△POA的面积将逐渐减小.
(2)过点P作PC⊥OA，垂足为C，如图，∵△POA为等边三角形，OA＝2，∴OC＝1，PC＝，∴P（1,），代入y＝，得k＝，所以反比例函数的表达式为y＝.
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y＝(k＞0)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为.
(1)求k和m的值；
(2)求当x≥1时函数值y的取值范围．
【答案】解：(1)∵A(2，m)，∴OB＝2，AB＝m，∴S△AOB＝·OB·AB＝×2×m＝，∴m＝，∴点A的坐标为，把A代入y＝，得k＝1.
(2)∵当x＝1时，y＝1，又∵反比例函数y＝在x＞0时，y随x的增大而减小，∴当x≥1时，y的取值范围为0＜y≤1.
【题型2】反比例函数与正比例函数
【典型例题】如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是( )
A.(－3,4) B.(－4，－3) C.(－3，－4) D.(4,3)
【答案】C
【解析】因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为(3,4)，另一个交点的坐标为(－3，－4)．故选C.
【举一反三1】若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1,2)，则另一个交点的坐标为( )
A.(2，－1) B.(1，－2) C.(－2，－1) D.(－2,1)
【答案】B
【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是(－1,2)，∴另一个交点的坐标是(1，－2)．故选B.
【举一反三2】若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝的图象交于(1，－2)，则另一个交点坐标为( )
A.(2,1) B.(－1,2) C.(－2，－1) D.(－2,1)
【答案】B
【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是(1，－2)，∴另一个交点的坐标是(－1,2)．故选B.
【举一反三3】正比例函数y＝2x与反比例函数y＝(k≠0)的图象有一个交点为(2,4)，则另一个交点坐标为( )
A.(2，－4) B.(－2，－4) C.(－2,4) D.(－2，－2)
【答案】B
【解析】∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，∵一个交点的坐标为(2,4)，∴它的另一个交点的坐标是(－2，－4)．故选B.
【举一反三4】若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1,2)，则另一个交点的坐标为( )
A.(2，－1) B.(1，－2) C.(－2，－1) D.(－2,1)
【答案】B
【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是(－1,2)，∴另一个交点的坐标是(1，－2)．故选B.
【举一反三5】已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为(1,3)，则另一个交点坐标是______________．
【答案】(－1，－3)
【解析】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(1,3)关于原点对称，∴该点的坐标为(－1，－3)．故答案为(－1，－3)．
【举一反三6】若直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝的交点为(x1，y1)、(x2，y2)，则2x1y2－5x2y1的值为____________．
【答案】6
【解析】由题意知，直线y＝kx(k＞0)过原点和第一、三象限，且与双曲线y＝交于两点，则这两点关于原点对称，∴x1＝－x2，y1＝－y2，又∵点A点B在双曲线y＝上，∴x1y1＝2，x2y2＝2，∴原式＝－2x2y2＋5x2y2＝－2×2＋5×2＝6.故答案为6.
【举一反三7】若函数y＝4x与y＝的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是__________________．
【答案】（－，－2）
【解析】正比例函数y＝4x与反比例函数y＝的图象均关于原点对称，则其交点也关于原点对称，那么（，2）关于原点的对称点为（－，－2）．故答案为（－，－2）．
【举一反三8】正比例函数y＝2x的图象与反比例y＝的图象有一个公共点(m,2)，则m＝______，另一个公共点为__________．
【答案】1；(－1，－2)
【解析】根据题意知，点(m,2)在正比例函数y＝2x上，∴2＝2m，解得m＝1，即正比例函数y＝2x的图象与反比例y＝的图象有一个公共点(1,2)，∴由反比例函数图象中心对称的性质可知另一个交点的坐标是(－1，－2)．故答案是1；(－1，－2)．
【题型3】用反比例函数图象与一次函数图象解不等式
【典型例题】已知如图，一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，不等式ax＋b＞的解集为( )
A.x＜－3 B.x＜－3或x＞1 C.－3＜x＜0或x＞1 D.－3＜x＜1
【答案】C
【解析】不等式ax＋b＞的解集为－3＜x＜0或x＞1.故选C.
【举一反三1】如图，直线y＝－x＋b与双曲线y＝交于点A，B，则不等式组＞－x＋b≥0的解集为( )
A.x＜－1或x＞2 B.－1＜x≤1 C.－1＜x＜0 D.－1＜x＜1
【答案】C
【解析】∵＞－x＋b≥0，∴该不等式的解集可以看成是反比例函数值大于一次函数值，且在x轴上方时对应的图象，结合图象可知，对应的x的范围为－1＜x＜0，故选C.
【举一反三2】如图，一次函数y1＝－x－1与反比例函数y2＝－的图象交于点A(－2,1)，B(1，－2)，则使y1＞y2的x的取值范围是________________．
【答案】x＜－2或0＜x＜1
【解析】使y1＞y2的x的取值范围是点A左侧和点B的左侧到y轴之间部分，所以x＜－2或0＜x＜1.
【举一反三3】已知函数y1＝x－1和y2＝.
(1)在所给的坐标系中画出这两个函数的图象；
(2)求这两个函数图象的交点坐标；
(3)观察图象，当x在什么范围时，y1＞y2
【答案】解：(1)函数y1的自变量取值范围是全体实数；函数y2的自变量取值范围是x≠0.列表可得.
图象如图所示.
(2)联立y=x－1，y=,解得x1=－2，y1=－3，x2=3，y2=2.∴两函数的交点坐标分别为A(3，2)；B(－2,－3).
(3)由图象观察，可得当－2＜x＜0或x＞3时，y1＞y2.
【举一反三4】(1)在同一平面直角坐标系中作出反比例函数y1＝与一次函数y2＝2x－2的图象，并根据图象求出交点坐标；
(2)观察图象，当x取任何值时，y1＞y2？
【答案】解：(1)图象如图所示.
由图象，可得交点坐标(－1，－4)，(2,2)．
(2)由两交点坐标并结合函数图象可知：当x＜－1或0＜x＜2时，y1＞y2.
【题型4】反比例函数与一次函数
【典型例题】如图，直线y＝x＋a－5与双曲线y＝交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.5
【答案】D
【解析】直线y＝x＋a－5与双曲线y＝交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，直线AB过原点，即y＝x＋a－5过原点，∴a＝5，故选D.
【举一反三1】如图，已知直线y＝k1x＋b与x轴、y轴相交于P，Q两点，与y＝的图象相交于A(－2，m)，B(1，n)两点，连接OA，OB，给出下列结论：①k1＋k2＞0；②n＝－2m；③S△BOQ＝－b，则正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】B
【解析】由图象知，∵直线y＝k1x＋b的图象在第二、四象限，∴k1＜0；∵y＝的图象在第二、四象限，∴k2＜0，∴k1＋k2＜0，∴①错误；∵A(－2，m)，B(1，n)两点在y＝的图象上，∴k2＝xy＝－2m＝n，∴②正确；令x＝0，则y＝b，∴Q(0，b)，则S△BOQ＝×1×|b|＝－b，∴③正确．综上所述，正确的选项是②③，故选B.
【举一反三2】如图，正比例函数y＝kx(k＞0)和反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为________．
【答案】6
【解析】∵双曲线y＝与正比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC＝S△AOC，∵S△AOC＝×6＝3，∴S△ABC＝2S△AOC＝6.
【举一反三3】设函数y＝与y＝x－2的图象的交点坐标为(a，b)，则a2＋b2 的值为________．
【答案】10
【解析】∵函数y＝与y＝x－2的图象的交点坐标为(a，b)，∴ab＝3，b＝a－2，即a－b＝2，∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝22＋2×3＝10.
【举一反三4】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4,2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6，
(1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式；
(2)已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.
【答案】解：(1)把点A(4,2)代入反比例函数y＝，可得m＝8，∴反比例函数表达式为y＝，∵OB＝6，∴B(0，－6)，把点A(4,2)，B(0，－6)代入一次函数y＝kx＋b，可得2=4k+b,－6=b,解得k=2,b=-6,∴一次函数的表达式为y＝2x－6.
(2)在y＝2x－6中，令y＝0，则x＝3，即C(3,0)，∴CO＝3，设P（a,），由S△POC＝9，可得×3×＝9，解得a＝，∴P（,6）．
【举一反三5】已知反比例函数y＝的图象过点A(3,1)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的表达式．
【答案】解：(1)∵反比例函数y＝的图象过点A(3,1)，∴k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)联立得ax2＋6x－3＝0，∵一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，∴△＝36＋12a＝0，∴a＝－3，∴一次函数的表达式为y＝－3x＋6.
【题型5】反比例函数与面（或体）积问题
【典型例题】矩形面积为4，它的一边长y与邻边长x的函数关系用图象表示大致是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵xy＝4，∴y＝(x＞0，y＞0)，故选A.
【举一反三1】如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是( )
A.两条直角边成正比例
B.两条直角边成反比例
C.一条直角边与斜边成正比例
D.一条直角边与斜边成反比例
【答案】B
【解析】设该直角三角形的两直角边是a，b，面积为S.则S＝ab.∵S为定值，∴ab＝2S是定值，则a与b成反比例关系，即两条直角边成反比例．故选B.
【举一反三2】宁波市鄞州区地处浙江省东部沿海，土地总面积1 381 km2，已知人均占有的土地面积S(单位：km2/人)，随全区人口n(单位：人)的变化而变化，则S与n的函数关系式是S＝__________.
【答案】
【解析】由题意，得S与n的函数关系式是S＝.
【举一反三3】当三角形的面积为12 cm2时，它的底边a(cm)与底边上的高h(cm)之间的函数关系式为______________．
【答案】a＝
【解析】由题意，得a＝2×12÷h＝.
【举一反三4】某养鱼专业户准备挖一个面积为2 000平方米的长方形鱼塘．
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式；
(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？
【答案】解：(1)由长方形面积为2 000平方米，得到xy＝2 000，即y＝.
(2)当x＝20(米)时，y＝＝100(米)，则当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．
【题型6】反比例函数与速度或工作效率问题
【典型例题】某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是( )
A.y＝(x＞0) B.y＝(x≥0) C.y＝300x(x≥0) D.y＝(x＞0)
【答案】A
【解析】这些煤能烧的天数＝煤的总吨数÷平均每天烧煤的吨数．∵煤的总吨数为300，平均每天烧煤的吨数为x，∴这些煤能烧的天数为y＝(x＞0)，故选A.
【举一反三1】如果以12 m3/h的速度向水箱进水，5 h可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q(m3/h)，那么此时注满水箱所需要的时间t(h)与Q(m3/h)之间的函数关系为( )
A.t＝ B.t＝60Q C.t＝12－ D.t＝12＋
【答案】A
【解析】由题意，得水箱的容量为12×5＝60（m3）.∴注满水箱所需要的时间t(h)与Q(m3/h)之间的函数关系为t＝.故选A.
【举一反三2】A，B两地相距60千米，一辆汽车从A地去B地，则其平均速度x(千米/时)与行驶时间t(小时)之间的函数关系可表示为( )
A.x＝－ B.t＝－60x C.x＝ D.x＝－60t
【答案】C
【解析】∵速度＝路程÷时间，∴x＝.故选C.
【举一反三3】某种灯泡的使用寿命为1 500 h，它可使用的天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为________________．
【答案】y＝
【解析】由题意，得使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的函数关系式为y＝.
【举一反三4】A，B两地之间的高速公路长为300 km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为v km/h，到达时所用的时间是t h，那么t是v的________函数，t可以写成v的函数关系式是______________．
【答案】反比例；t＝
【解析】由时间＝路程÷速度，得t＝，符合反比例函数的一般形式．
【举一反三5】一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数表达式t＝.其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5).
(1)求k和m的值；
(2)若行驶速度不能超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？
【答案】解：(1)由题意，得函数经过点(40,1)，把(40,1)代入t＝，得k＝40，故可得表达式为t＝，再把(m,0.5)代入t＝，得m＝80.
(2)把v＝60代入t＝，得t＝，∴汽车通过该路段最少需要 h．
【题型7】反比例函数与物理知识的综合
【典型例题】已知力F所做的功是15焦，且有公式：W＝Fs.则力F与物体在力的方向上通过的距离s之间的函数关系式正确的是( )
A.F＝15s B.F＝ C.F＝ D.F＝15－s
【答案】C
【解析】将W＝15，代入公式W＝Fs，得Fs＝15，即F＝.故选C.
【举一反三1】在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是( )
A.y＝3 000x B.y＝6 000x C.y＝ D.y＝
【答案】D
【解析】由表格数据可得：此函数是反比例函数，设y＝，则xy＝k＝6 000，表示y与x之间的关系的式子是y＝，故选D.
【举一反三2】小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1 200牛和0.5米，那么动力F和动力臂之间的函数关系式是_______________．
【答案】F＝
【解析】由题意知，F阻＝1 200牛，L阻＝0.5米，由杠杆平衡条件得F动×L动＝F阻×L阻，动力F＝＝＝，故答案为F＝.
【举一反三3】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)请写出这个反比例函数的表达式；
(2)蓄电池的电压是多少？
(3)完成下表：
(4)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
【答案】解：(1)电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，∵图象经过(9,4)，∴k＝4×9＝36，∴I＝(R＞0).
(2)蓄电池的电压是4×9＝36，即蓄电池电压为36 V.
(3)填表如下.
(4)∵I≤10，I＝，∴≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．
【举一反三4】阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题．
公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂.
若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500 N和0.4 m.
(1)动力F(N)与动力臂L(m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头需要多大的力？
(2)若想使动力F(N)不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
(3)请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力．
【答案】解：(1)根据“杠杆原理”有FL＝1 500×0.4，∴函数的表达式为F＝，当L＝1.5时，F＝＝400, 因此，撬动石头需要400 N的力.
(2)由(1)知，FL＝600，∴函数表达式可以表示为L＝，当F＝400×＝200时，L＝3,3－1.5＝1.5(m)，因此若用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1.5米.
(3)因为撬棍工作原理遵循“杠杆原理”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，设其为k，则动力F与动力臂L的函数关系式为F＝，根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂L的增大而减小，所以动力臂越长越省力．6.3反比例函数的应用
【题型1】反比例函数系数k几何意义的应用 3
【题型2】反比例函数与正比例函数 5
【题型3】用反比例函数图象与一次函数图象解不等式 6
【题型4】反比例函数与一次函数 8
【题型5】反比例函数与面（或体）积问题 9
【题型6】反比例函数与速度或工作效率问题 10
【题型7】反比例函数与物理知识的综合 11
【知识点1】根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 1.（2024秋 思明区校级月考）矩形面积是40m2，设它的一边长为x（m），则矩形的另一边长y（m）与x的函数关系是（ ） A．y=20-xB．y=40xC．y=D．y=
2.（2024 长沙）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ） A．B．C．D．
【知识点2】反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 1.（2025 黎城县校级模拟）如果三角形的面积为15平方厘米，那么它的一边y厘米与这边上的高x厘米之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A．B．C．D．
【知识点3】反比例函数综合题 （1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 1.（2024 海宁市模拟）如图，Rt△OAB的斜边OA在x轴上，点B在第一象限，OA：OB=5：4．边AB的垂直平分线分别交AB、x轴于点C、D，线段CD交反比例函数y=的图象于点E．当BC=CE时，以DE为边的正方形的面积是（ ） A．B．1C．D．
【题型1】反比例函数系数k几何意义的应用
【典型例题】如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B.点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值是( )
A.3 B.－3 C.6 D.－6
【举一反三1】如图，双曲线y＝(k＞0)与⊙O在第一象限内交于P，Q两点，分别过P，Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1,3)，则图中阴影部分的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，反比例函数y＝经过另一条直角边AC的中点D，S△AOC＝3，则k等于( )
A.2 B.4 C.6 D.3
【举一反三3】如图，点P在反比例函数y＝的图象上，且PD⊥x轴于点D.若△POD的面积为3，则k的值是____．
【举一反三4】如图，P是反比例函数y＝(k＞0)在第一象限图象上的一点，点A的坐标为(2,0)．
(1)当点P的横坐标逐渐增大时，△POA的面积将如何变化？
(2)若△POA为等边三角形，求此反比例函数的表达式．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y＝(k＞0)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为.
(1)求k和m的值；
(2)求当x≥1时函数值y的取值范围．
【题型2】反比例函数与正比例函数
【典型例题】如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为(3,4)，则它们的另一个交点坐标是( )
A.(－3,4) B.(－4，－3) C.(－3，－4) D.(4,3)
【举一反三1】若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1,2)，则另一个交点的坐标为( )
A.(2，－1) B.(1，－2) C.(－2，－1) D.(－2,1)
【举一反三2】若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝的图象交于(1，－2)，则另一个交点坐标为( )
A.(2,1) B.(－1,2) C.(－2，－1) D.(－2,1)
【举一反三3】正比例函数y＝2x与反比例函数y＝(k≠0)的图象有一个交点为(2,4)，则另一个交点坐标为( )
A.(2，－4) B.(－2，－4) C.(－2,4) D.(－2，－2)
【举一反三4】若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1,2)，则另一个交点的坐标为( )
A.(2，－1) B.(1，－2) C.(－2，－1) D.(－2,1)
【举一反三5】已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为(1,3)，则另一个交点坐标是______________．
【举一反三6】若直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝的交点为(x1，y1)、(x2，y2)，则2x1y2－5x2y1的值为____________．
【举一反三7】若函数y＝4x与y＝的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是__________________．
【举一反三8】正比例函数y＝2x的图象与反比例y＝的图象有一个公共点(m,2)，则m＝______，另一个公共点为__________．
【题型3】用反比例函数图象与一次函数图象解不等式
【典型例题】已知如图，一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，不等式ax＋b＞的解集为( )
A.x＜－3 B.x＜－3或x＞1 C.－3＜x＜0或x＞1 D.－3＜x＜1
【举一反三1】如图，直线y＝－x＋b与双曲线y＝交于点A，B，则不等式组＞－x＋b≥0的解集为( )
A.x＜－1或x＞2 B.－1＜x≤1 C.－1＜x＜0 D.－1＜x＜1
【举一反三2】如图，一次函数y1＝－x－1与反比例函数y2＝－的图象交于点A(－2,1)，B(1，－2)，则使y1＞y2的x的取值范围是________________．
【举一反三3】已知函数y1＝x－1和y2＝.
(1)在所给的坐标系中画出这两个函数的图象；
(2)求这两个函数图象的交点坐标；
(3)观察图象，当x在什么范围时，y1＞y2
【举一反三4】(1)在同一平面直角坐标系中作出反比例函数y1＝与一次函数y2＝2x－2的图象，并根据图象求出交点坐标；
(2)观察图象，当x取任何值时，y1＞y2？
【题型4】反比例函数与一次函数
【典型例题】如图，直线y＝x＋a－5与双曲线y＝交于A，B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.5
【举一反三1】如图，已知直线y＝k1x＋b与x轴、y轴相交于P，Q两点，与y＝的图象相交于A(－2，m)，B(1，n)两点，连接OA，OB，给出下列结论：①k1＋k2＞0；②n＝－2m；③S△BOQ＝－b，则正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【举一反三2】如图，正比例函数y＝kx(k＞0)和反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为________．
【举一反三3】设函数y＝与y＝x－2的图象的交点坐标为(a，b)，则a2＋b2 的值为________．
【举一反三4】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4,2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6，
(1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式；
(2)已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.
【举一反三5】已知反比例函数y＝的图象过点A(3,1)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的表达式．
【题型5】反比例函数与面（或体）积问题
【典型例题】矩形面积为4，它的一边长y与邻边长x的函数关系用图象表示大致是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是( )
A.两条直角边成正比例
B.两条直角边成反比例
C.一条直角边与斜边成正比例
D.一条直角边与斜边成反比例
【举一反三2】宁波市鄞州区地处浙江省东部沿海，土地总面积1 381 km2，已知人均占有的土地面积S(单位：km2/人)，随全区人口n(单位：人)的变化而变化，则S与n的函数关系式是S＝__________.
【举一反三3】当三角形的面积为12 cm2时，它的底边a(cm)与底边上的高h(cm)之间的函数关系式为______________．
【举一反三4】某养鱼专业户准备挖一个面积为2 000平方米的长方形鱼塘．
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式；
(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？
【题型6】反比例函数与速度或工作效率问题
【典型例题】某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是( )
A.y＝(x＞0) B.y＝(x≥0) C.y＝300x(x≥0) D.y＝(x＞0)
【举一反三1】如果以12 m3/h的速度向水箱进水，5 h可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q(m3/h)，那么此时注满水箱所需要的时间t(h)与Q(m3/h)之间的函数关系为( )
A.t＝ B.t＝60Q C.t＝12－ D.t＝12＋
【举一反三2】A，B两地相距60千米，一辆汽车从A地去B地，则其平均速度x(千米/时)与行驶时间t(小时)之间的函数关系可表示为( )
A.x＝－ B.t＝－60x C.x＝ D.x＝－60t
【举一反三3】某种灯泡的使用寿命为1 500 h，它可使用的天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为________________．
【举一反三4】A，B两地之间的高速公路长为300 km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为v km/h，到达时所用的时间是t h，那么t是v的________函数，t可以写成v的函数关系式是______________．
【举一反三5】一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数表达式t＝.其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5).
(1)求k和m的值；
(2)若行驶速度不能超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？
【题型7】反比例函数与物理知识的综合
【典型例题】已知力F所做的功是15焦，且有公式：W＝Fs.则力F与物体在力的方向上通过的距离s之间的函数关系式正确的是( )
A.F＝15s B.F＝ C.F＝ D.F＝15－s
【举一反三1】在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是( )
A.y＝3 000x B.y＝6 000x C.y＝ D.y＝
【举一反三2】小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1 200牛和0.5米，那么动力F和动力臂之间的函数关系式是_______________．
【举一反三3】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)请写出这个反比例函数的表达式；
(2)蓄电池的电压是多少？
(3)完成下表：
(4)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
【举一反三4】阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题．
公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂.
若工人师傅欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500 N和0.4 m.
(1)动力F(N)与动力臂L(m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头需要多大的力？
(2)若想使动力F(N)不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
(3)请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力．
