1.1锐角三角函数
【题型1】在直角三角形中求正切值 3
【题型2】在正方形网格中求正切值 5
【题型3】在平面直角坐标系中求正切值 9
【题型4】正切函数的增减性 10
【题型5】在直角三角形中求正弦值 12
【题型6】在正方形网格中求正弦值 13
【题型7】在平面直角坐标系中求正弦值 16
【题型8】正弦函数的增减性 18
【题型9】在直角三角形求余弦值 19
【题型10】在正方形网格中求余弦值 22
【题型11】在平面直角坐标系中求余弦值 26
【题型12】余弦函数的增减性 27
【知识点1】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边除以斜边=．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA=∠A的邻边除以斜边=．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 1.（2025 文山州二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则cosB的值等于（ ） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，然后根据余弦的定义求解． 【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC==6，
∴cosB===．
故选：A． 【知识点2】锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 1.（2024 城步县模拟）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ） A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定
【答案】A 【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变． 【解答】解：∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选：A． 2.（2024秋 东平县校级月考）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围内 A．0°＜∠1＜30°B．30°＜∠1＜45°C．45°＜∠1＜60°D．60°＜∠1＜90°
【答案】B 【分析】因为cos30°=≈0.866，cos45°=≈0.707，所以可判断∠1在45°到60°之间． 【解答】解：∵cos30°=≈0.866，cos45°=≈0.707，cos∠1=0.8，
∴30°＜∠1＜45°．
故选：B．
【题型1】在直角三角形中求正切值
【典型例题】如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB＝2BC，则tan∠CBE＋tan∠DAE的值是( )
A.2 B.2＋ C.2－ D.2＋2
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴tan∠CBE＝，tan∠DAE＝，∵AD＝BC，CE＋DE＝CD＝AB＝2AD，∴tan∠CBE＋tan∠DAE＝＋＝＝＝2.故选A.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么tanA等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴tanA＝＝.故选C.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（ ）
A.缩小为原来的
B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的
D.没有变化
【答案】D
【解析】∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的，
∴锐角A的对边与邻边的比值不变，
∴锐角A的正切值不变．
故选：D．
【举一反三3】已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为____________．
【答案】或
【解析】(1)当直角三角形的斜边等于一条直角边的长度的2倍时，设直角三角形的斜边等于2，则一条直角边的长度等于1，另一条直角边的长度是＝，则这个直角三角形中较小锐角的正切值为＝.
(2)当直角三角形的一条直角边的长度等于另一条直角边的长度的2倍时，设一条直角边的长度等于1，则一条直角边的长度等于2，则这个直角三角形中较小锐角的正切值为，故答案为或.
【举一反三4】在正方形ABCD中，E是AD的中点，求tan∠ABE的值．
【答案】解：∵在正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝AB，∴tan∠ABE＝＝.
【题型2】在正方形网格中求正切值
【典型例题】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是
A.2 B.1 C.0.5 D.2.5
【答案】A
【解析】如图，连接格点，．由网格和勾股定理可求得；，，，，是直角三角形．
在RtABE中，．，，，
故选：A．
【举一反三1】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接AC，由勾股定理，得AC＝2，AB＝2，BC＝，∵AC2＋AB2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠ABC＝＝，故选D.
【举一反三2】如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：
在Rt△ABD中，BD＝6，AD＝5，
∴tanA＝＝，
故选：A．
【举一反三3】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设每个小正方形的边长为1，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tanB＝＝，故选B.
【举一反三4】已知∠BAC在正方形网格线中的位置如图所示，则tan A的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设每个小正方形边长为1，∠BAC的两边分别经过格点D、E，连接DE，则△ADE是直角三角形．DE⊥AE，故AE＝2，DE＝3，则tanA＝＝，故选D.
【举一反三5】如图，已知A、B、C三点均在格点上，则tanA的值为____________．
【答案】
【解析】连接BC，设每个小正方形边长为1，则BC＝＝，AC＝＝2，AB＝＝5，∵BC2＋AC2＝AB2，∴∠BCA＝90°，∴tanA＝＝＝，故答案为.
【举一反三6】如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为____________．
【答案】
【解析】作AD⊥BC于D，作CE⊥BA的延长线于点E，设每个小正方形边长为1，由勾股定理得AC＝，BC＝4，∵△ABC的面积为×AB×CE＝6，∴×BC×AD＝6，解得AD＝，∴CD＝＝，∴tan∠ACB＝＝.故答案为.
【举一反三7】如图，在3×3的网格中点C也在格点上，设∠CAB＝α，当△ABC面积最大时，tanα的值可以是______________．
【答案】2，1，
【解析】如图，因为△ABC面积最大时点C到AB的距离是2，所以tanα＝＝2，或tanα＝＝1，或tanα＝，综上所述，tanα可以是2,1，.故答案为2,1，.
【题型3】在平面直角坐标系中求正切值
【典型例题】如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】B
【解析】如图，tan α＝＝2，即3t＝2，解得t＝1.5.故选B.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点B(0，－4)，则tan∠OAB的值为( )
A.- B. C. D.-
【答案】C
【解析】∵点A(3,0)，点B(0，－4)，∴OB＝4，OA＝3.∴tan∠OAB＝＝.故选C.
【举一反三2】在平面直角坐标系中，已知P(4,3)，OP与x轴所夹锐角为α，则tanα＝__________.
【答案】
【解析】如图，过P作PE⊥x轴于点E，∵P(4,3)∴PE＝3，OE＝4，∴tanα＝＝.
【举一反三3】如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值．
【答案】解：过P作PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，∵P点坐标为(3,4)，∴OA＝PB＝3，OB＝AP＝4，∴tanα＝＝，tanβ＝＝.
【题型4】正切函数的增减性
【典型例题】随着锐角α的增大，tanα的值( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【答案】A
【解析】当角度在0°～90°间变化时，正切值随着角度的增大而增大，故选A.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值( )
A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.大小不变
【答案】D
【解析】把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形与原来的三角形相似，则∠B的大小不变，则∠B的正切值不变．故选D.
【举一反三2】比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )
A.tan70°＜tan50°＜tan20°
B.tan50°＜tan20°＜tan70°
C.tan20°＜tan50°＜tan70°
D.tan20°＜tan70°＜tan50°
【答案】C
【解析】由锐角的正切值随角增大而增大，得tan20°＜tan50°＜tan70°，故C符合题意，故选C.
【举一反三3】随着锐角α的增大，tanα的值( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【答案】A
【解析】当角度在0°～90°间变化时，正切值随着角度的增大而增大，故选A.
【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A.＜tanα＜ B.＜tanα＜ C.＜tanα＜ D.＜tanα＜
【答案】C
【解析】∵tan30°＝，tan60°＝，锐角的正切值随着α的增大而增大，
∴＜tan α＜.故选C.
【举一反三5】已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．
【答案】0＜tan B≤
【解析】根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°.根据题意，知：0°＜∠B≤60°.又tan60°＝，故0＜tanB≤.
【举一反三6】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________．
【答案】不变
【解析】∵锐角的正切值是该角的对边与邻边的比，∴当各边都扩大为原来的4倍时，比值不变．
【举一反三7】比较大小：tan 50°________tan48°.
【答案】＞
【解析】根据锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，
∵50°＞48°，∴tan50°＞tan 48°.
【题型5】在直角三角形中求正弦值
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝2，BC＝1，则sin∠ACD的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理，得AB＝＝＝，由余角的性质，得∠ACD＝∠B，由正弦函数的定义，得sin∠ACD＝sin∠B＝＝＝，故选B.
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin B＝＝＝.故选D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinA＝____________.
【答案】
【解析】∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∴sin A＝＝.
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，sin∠CAD＝，求sinB的值．
【答案】解：∵AD＝BC＝5，sin∠CAD=＝，∴CD＝3，在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4，在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝.
【题型6】在正方形网格中求正弦值
【典型例题】在正方形网格中，△ABC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】AB＝＝＝3，则sin∠BAC＝＝＝，故选C.
【举一反三1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由勾股定理，得AC＝＝＝5，sinA＝＝，故选B.
【举一反三2】如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA＝__________.
【答案】
【解析】过点B作BD⊥AC于D，∵AB＝＝，BC＝3，AC＝＝2，∴S△ABC＝×3×2＝×2×BD，解得BD＝，在Rt△ABD中，sinA＝＝÷＝.
【举一反三3】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC＝________.
【答案】
【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝.
【举一反三4】如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为a，求sin∠BAC的值.
【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意可得，
∵S长方形EFGC＝2a×3a＝6a2，S△AEC＝＝＝，
S△AFB＝＝＝a2，S△CBG＝＝＝a2，
∴S△ABC＝S长方形EFGC﹣S△AEC﹣S△AFB﹣S△BGC＝6a2﹣﹣a2﹣a2＝，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝，
∵S△ABC＝＝＝，
解得BD＝a，
在Rt△AFB中，
AB＝＝＝，
在Rt△ABD中，
sin∠BAC＝＝＝．
解法二：∵AC＝，AB＝BC＝，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴sin∠BAC＝．
故选：C．
【题型7】在平面直角坐标系中求正弦值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点P作PB⊥OB于点B.∵点P(5，12)，∴OB＝5，PB＝12，由勾股定理得OP＝13，∴sinα＝＝.故选C.
【举一反三1】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过P作PE⊥x轴于E，∵P(12，5)，∴PE＝5，OE＝12，∴OP＝＝13，∴sinα＝＝，故选A.
【举一反三2】如图所示，已知P点的坐标是(a，b)，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵P点的坐标是(a，b)，∴OP＝，∴sinα＝=，
故选D.
【举一反三3】如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin∠BAC＝____________.
【答案】
【解析】∵A(0，1)，B(0，－1)，∴AB＝2，OA＝1，∴AC＝2，由勾股定理，得OC＝＝，∴在Rt△AOC中，sin∠OAC＝sin∠BAC＝＝.
【举一反三4】如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4)．
(1)写出点A的坐标；
(2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△O1A1B1；
(3)求出sin∠A1OB1的值．
【答案】解： (1)从图上读出点A的坐标(3，4)；
(2)如图.
(3)根据勾股定理得O1A1＝＝5，故sin∠A1OB1＝.
【题型8】正弦函数的增减性
【典型例题】当锐角A＞45°时，sinA的值( )
A.小于 B.大于 C.小于 D.大于
【答案】B
【解析】∵sin45°＝，又锐角的正弦值随角度的增大而增大，∴当锐角A＞45°时，sinA的值大于.故选B.
【举一反三1】如图，△ABC是锐角三角形，sinC＝，则sinA的取值范围是( )
A.0＜sinA＜ B.＜sinA＜1 C.＜sinA＜ D.＜sinA＜1
【答案】D
【解析】作AH⊥BC于H，如图，在Rt△ACH中，sinC＝＝，设AH＝4x，AC＝5x，则CH＝＝3x，sin∠HAC＝＝，∵∠HAC＜∠BAC＜90°，∴＜sin ∠BAC＜1.故选D.
【举一反三2】当锐角a＜60°，sina的值( )
A.小于 B.大于 C.小于 D.大于
【答案】A
【解析】∵sin60°＝，a＜60°，∴sinα＜sin60°＝.故选A.
【举一反三3】比较下列三角函数值的大小：sin40°__________ sin50°.
【答案】＜
【解析】∵当0＜α＜90°，sin α随α的增大而增大，又∵40°＜50°，∴sin40°＜sin50°.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是随之确定，理由是：sinA＝，∠A确定，∠A对边与斜边的比值是不变的．
【题型9】在直角三角形求余弦值
【典型例题】如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα cosα＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，
∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即AC2+（7+AC）2＝132，
整理得，AC2+7AC﹣60＝0，
解得AC＝5，AC＝﹣12（舍去），
∴BC＝＝12，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，
∴sinα cosα＝×＝，
故选：B．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝4，BC＝2，则cosB等于( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴cosB＝＝＝.故选A.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】cosA＝＝＝.故选B.
【举一反三3】cosα表示的是( )
A.一个角 B.一个实数 C.一个点 D.一条射线
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可知，三角函数是线段的比值，所以三角函数是一个实数，故选B.
【举一反三4】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________.
【答案】
【解析】∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cosB＝＝＝.
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，AB＝5，则cos∠BCD的值为________．
【答案】
【解析】∵AC＝4，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝＝3，∵AB·CD＝AC·BC，∴CD＝6，CD＝，∴cos∠BCD＝＝÷3＝.
【举一反三6】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________.
【答案】
【解析】∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cosB＝＝＝.
【举一反三7】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是________．
【答案】
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝=＝4，∴cosA＝＝.
【题型10】在正方形网格中求余弦值
【典型例题】如图，在的正方形网格中，的顶点是正方形网格的格点，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，则，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：，，
．
故选：C．
【举一反三1】现有一个由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形组成的网格，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作AD⊥BC的延长线于点D，如图，∵由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形，∴∠D＝90°，AD＝3×1＝3(cm)，BD＝2×2＝4(cm)，∴在Rt△ABD中，AB＝＝5(cm)，∴cos∠ABC＝＝.故选D.
【举一反三2】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作AD⊥BC于点D，设每个小正方形边长为1，则AD＝5，BD＝5，∴AB＝＝＝5，∴cos∠B＝＝＝，故选B.
【举一反三3】如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设每个小正方形的边长为1，作AD⊥CB的延长线于点D，∵在Rt△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴cosC＝＝＝.故选B.
【举一反三4】△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作AD⊥CB的延长线于点D.在Rt△ADC中，CD＝AD，则AC＝CD.
cos∠ACB＝＝＝，故选B.
【举一反三5】如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC＝________.
【答案】
【解析】设每个小正方形边长为1，作AD⊥CB的延长线于点D，在格点三角形ADC中，AD＝2，CD＝4，∴AC＝＝＝2，∴cosC＝＝＝，故答案为.
【举一反三6】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________．
【答案】
【解析】如图，作OC⊥AB的延长线于点C，在Rt△OAC中，AC＝4，OA＝＝2，则cos∠OAB＝＝＝＝.
【举一反三7】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点A，B，C都在格点上，则cos∠ABC的值等于________．
【答案】
【解析】过A作AD⊥BC于点D，∵小正方形的边长为1，则BD＝2，AD＝4，∴AB＝＝＝2，∴cos∠ABC＝＝＝，故答案为.
【题型11】在平面直角坐标系中求余弦值
【典型例题】如图所示，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(6，8)，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点P作PB⊥x轴于点B，∵点P的坐标为(6，8)，∴PB＝8，OB＝6，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝，故选A.
【举一反三1】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，OB＝2，PB＝，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，∴在Rt△POB中，OP＝＝3，根据锐角三角函数的定义，cosα＝＝.故选A.
【举一反三2】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则cosα的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3，PQ＝4.在Rt△OPQ中，由勾股定理，可得OP＝5.∴cosα＝＝.故选A.
【举一反三3】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，OB＝2，PB＝，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，∴在Rt△POB中，OP＝＝3，根据锐角三角函数的定义，cosα＝＝.故选A.
【题型12】余弦函数的增减性
【典型例题】把△ABC三边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值( )
A.不变
B.缩小为原来的12
C.扩大为原来的2倍
D.不能确定
【答案】A
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.
【举一反三1】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值( )
A.不变
B.缩小为原来的13
C.扩大为原来的3倍
D.不能确定
【答案】A
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.
【举一反三2】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值( )
A.不变
B.缩小为原来的13
C.扩大为原来的3倍
D.不能确定
【答案】A
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.
【举一反三3】随着锐角α的增大，cosα的值( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【答案】B
【解析】随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选B.
【举一反三4】比较大小：cos36°________cos37°.
【答案】＞
【解析】因为锐角的余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．所以cos36°＞cos37°.故答案为＞.
【举一反三5】cos30°________ cos40°(填大小关系).
【答案】＞
【解析】∵锐角的余弦值随着角的增大而减小，∴cos 30°＞cos40°.
【举一反三6】若α为锐角，且cosα＝，则m的取值范围是________．
【答案】－＜m＜
【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得－＜m＜，故答案为－＜m＜.1.1锐角三角函数
【题型1】在直角三角形中求正切值 2
【题型2】在正方形网格中求正切值 3
【题型3】在平面直角坐标系中求正切值 5
【题型4】正切函数的增减性 6
【题型5】在直角三角形中求正弦值 6
【题型6】在正方形网格中求正弦值 7
【题型7】在平面直角坐标系中求正弦值 8
【题型8】正弦函数的增减性 10
【题型9】在直角三角形求余弦值 10
【题型10】在正方形网格中求余弦值 11
【题型11】在平面直角坐标系中求余弦值 13
【题型12】余弦函数的增减性 14
【知识点1】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边除以斜边=．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA=∠A的邻边除以斜边=．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 1.（2025 文山州二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则cosB的值等于（ ） A．B．C．D．
【知识点2】锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 1.（2024 城步县模拟）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（ ） A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定
2.（2024秋 东平县校级月考）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围内 A．0°＜∠1＜30°B．30°＜∠1＜45°C．45°＜∠1＜60°D．60°＜∠1＜90°
【题型1】在直角三角形中求正切值
【典型例题】如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB＝2BC，则tan∠CBE＋tan∠DAE的值是( )
A.2 B.2＋ C.2－ D.2＋2
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么tanA等于( )
A. B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（ ）
A.缩小为原来的
B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的
D.没有变化
【举一反三3】已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为____________．
【举一反三4】在正方形ABCD中，E是AD的中点，求tan∠ABE的值．
【题型2】在正方形网格中求正切值
【典型例题】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是
A.2 B.1 C.0.5 D.2.5
【举一反三1】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )
A.2 B. C. D.
【举一反三2】如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三4】已知∠BAC在正方形网格线中的位置如图所示，则tan A的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，已知A、B、C三点均在格点上，则tanA的值为____________．
【举一反三6】如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为____________．
【举一反三7】如图，在3×3的网格中点C也在格点上，设∠CAB＝α，当△ABC面积最大时，tanα的值可以是______________．
【题型3】在平面直角坐标系中求正切值
【典型例题】如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点B(0，－4)，则tan∠OAB的值为( )
A.- B. C. D.-
【举一反三2】在平面直角坐标系中，已知P(4,3)，OP与x轴所夹锐角为α，则tanα＝__________.
【举一反三3】如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值．
【题型4】正切函数的增减性
【典型例题】随着锐角α的增大，tanα的值( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值( )
A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.大小不变
【举一反三2】比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )
A.tan70°＜tan50°＜tan20°
B.tan50°＜tan20°＜tan70°
C.tan20°＜tan50°＜tan70°
D.tan20°＜tan70°＜tan50°
【举一反三3】随着锐角α的增大，tanα的值( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A.＜tanα＜ B.＜tanα＜ C.＜tanα＜ D.＜tanα＜
【举一反三5】已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．
【举一反三6】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________．
【举一反三7】比较大小：tan 50°________tan48°.
【题型5】在直角三角形中求正弦值
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝2，BC＝1，则sin∠ACD的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinA＝____________.
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，sin∠CAD＝，求sinB的值．
【题型6】在正方形网格中求正弦值
【典型例题】在正方形网格中，△ABC如图放置，点A，B，C都在格点上，则sin∠BAC的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA＝__________.
【举一反三3】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC＝________.
【举一反三4】如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为a，求sin∠BAC的值.
【题型7】在平面直角坐标系中求正弦值
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点P(5，12)在射线OA上，射线OA与x轴的正半轴的夹角为α，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图所示，已知P点的坐标是(a，b)，则sinα等于( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin∠BAC＝____________.
【举一反三4】如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4)．
(1)写出点A的坐标；
(2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△O1A1B1；
(3)求出sin∠A1OB1的值．
【题型8】正弦函数的增减性
【典型例题】当锐角A＞45°时，sinA的值( )
A.小于 B.大于 C.小于 D.大于
【举一反三1】如图，△ABC是锐角三角形，sinC＝，则sinA的取值范围是( )
A.0＜sinA＜ B.＜sinA＜1 C.＜sinA＜ D.＜sinA＜1
【举一反三2】当锐角a＜60°，sina的值( )
A.小于 B.大于 C.小于 D.大于
【举一反三3】比较下列三角函数值的大小：sin40°__________ sin50°.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由．
【题型9】在直角三角形求余弦值
【典型例题】如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα cosα＝（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝4，BC＝2，则cosB等于( )
A. B. C. D.1
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】cosα表示的是( )
A.一个角 B.一个实数 C.一个点 D.一条射线
【举一反三4】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________.
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，AB＝5，则cos∠BCD的值为________．
【举一反三6】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________.
【举一反三7】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是________．
【题型10】在正方形网格中求余弦值
【典型例题】如图，在的正方形网格中，的顶点是正方形网格的格点，则
A. B. C. D.
【举一反三1】现有一个由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形组成的网格，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值( )
A. B. C. D.
【举一反三2】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三4】△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC＝________.
【举一反三6】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________．
【举一反三7】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点A，B，C都在格点上，则cos∠ABC的值等于________．
【题型11】在平面直角坐标系中求余弦值
【典型例题】如图所示，P是∠α的边OA上的一点，且点P的坐标为(6，8)，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，OB＝2，PB＝，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则cosα的值是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P垂直于x轴，垂足为B，OB＝2，PB＝，则cosα等于( )
A. B. C. D.
【题型12】余弦函数的增减性
【典型例题】把△ABC三边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值( )
A.不变
B.缩小为原来的12
C.扩大为原来的2倍
D.不能确定
【举一反三1】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值( )
A.不变
B.缩小为原来的13
C.扩大为原来的3倍
D.不能确定
【举一反三2】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值( )
A.不变
B.缩小为原来的13
C.扩大为原来的3倍
D.不能确定
【举一反三3】随着锐角α的增大，cosα的值( )
A.增大 B.减小 C.不变 D.增大还是减小不确定
【举一反三4】比较大小：cos36°________cos37°.
【举一反三5】cos30°________ cos40°(填大小关系).
【举一反三6】若α为锐角，且cosα＝，则m的取值范围是________．
