1.4解直角三角形
【题型1】解直角三角形 2
【题型2】解直角三角形与其他知识的综合 4
【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（ ） A．2B．C．D．
【答案】B 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理可得AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠ABC==，
故选：B．
【题型1】解直角三角形
【典型例题】如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC等于( )
A.45 B.5 C.15 D.
【答案】B
【解析】∵sinA＝，∴BC＝AB·sinA＝15×＝5，故选B.
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝，则AC等于( )
A.18 B.2 C.12 D.
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∴cosA＝,∵cosA＝，AB＝6，∴AC＝AB＝2，故选B.
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长度为( )
A.2 B.8 C. D.
【答案】A
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tanA＝＝＝，∴BC＝2.故选A.
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝8 cm，则AC的长是____________cm.
【答案】2
【解析】∵∠C＝90°，∴sinA＝＝，∵AB＝8 cm，∴BC＝6 cm，∴AC＝2 cm.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.
【答案】18
【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sinA＝＝，∴AB＝3×6＝18.
【举一反三5】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．
(1)∠B＝60°，a＝4；
(2)a＝－1，b＝-3；
(3)∠A＝60°，c＝2＋.
【答案】解：(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.由tan B＝，
得b＝atan B＝4tan 60°＝4.由cos B＝，
得c＝＝＝8.
(2)由tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，∠A＝90°－∠B＝30°，
由sin A＝，得c＝＝＝2－2；
(3)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，由sinA＝，
得a＝csin A＝(2＋)×＝＋，由cos A＝，
得b＝ccosA＝(2＋)×＝1+.
【举一反三6】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，解这个直角三角形．
【答案】解：在Rt△ABC中，∵a2＋b2＝c2，a＝，b＝，
∴c＝＝2，
∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
【题型2】解直角三角形与其他知识的综合
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，连结DE交对角线AC于F．若AD：CE＝7：3，∠CFD＝2∠BAC，则tan∠ACB＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设AD＝7x，EC＝3x，设DC＝k，∠BAC＝θ，
则∠ACD＝θ，∠CFD＝2θ，∠DAC＝∠ACB＝﹣θ，∠ADE＝∠DEC＝3θ﹣，
则tan∠ACD＝tanθ＝＝，tan∠DEC＝＝，
故tanθ ＝，tan3θ＝，
解得tanθ＝，
∴tan∠ACB＝＝，
故选：D．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝5，则BC的长为（ ）
A.5sin35° B. C.5cos35° D.5tan35°
【答案】C
【解析】根据题意可得，cosB＝，
则cos35°＝，
可得：BC＝5cos35°．
故选：C．
【举一反三2】如图，小益同学构造一个Rt△ABC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB与AC交于点E，连接BE，如果BC＝4，AC＝8，设∠A＝α，则sin2α＝ ．
【答案】
【解析】∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴BE＝AE，
∴∠A＝∠ABE＝α，
∴∠CEB＝∠A+∠ABE＝2α，
设BE＝x，则CE＝8﹣x，
∵CE2+BC2＝BE2，即（8﹣x）2+42＝x2
∴x＝5，
∴；
故答案为：．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）CD＝ ；
（2）tan∠DBC＝ ．
【答案】（1）8
（2）
【解析】（1）在Rt△ADE中，
∵AE＝6，cosA＝＝，
∴AD＝10．
∴DE＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥CB，
∴DE＝CD＝8．
故答案为：8．
（2）由（1）知AE＝6，AD＝10，CD＝8，
∴AC＝AD+CD＝18．
在Rt△ABC中，
∵cosA＝＝，
∴AB＝30．
∴BC＝＝24．
在Rt△DBC中，
tan∠DBC＝＝．
故答案为：．
【举一反三4】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星“机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1 m，AB＝5 m，∠ABC＝143°，A、C两点之间的距离为3 m，OD＝2m．
（1）求出手臂机器人处于目前工作状态下时，点C到工作台的距离；
（2）求机械臂BC的长．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：（1）过点A作CD的垂线，垂足为M，连接AC，
因为CD⊥OD，AO⊥DO，
所以四边形AMDO是矩形，
所以AM＝DO＝（m），DM＝AO＝1（m）．
在Rt△ACM中，
CM＝，
所以CD＝CM+MD＝6（m）．
答：点C到工作台的距离为6 m．
（2）连接AC，过点A作BC的垂线，垂足为N，
因为∠ABC＝143°，
所以∠ABN＝37°．
在Rt△ABN中，
sin∠ABN＝，
即AN＝AB sin37°≈5×0.60＝3（m）．
在Rt△ABN中，
BN＝（m）．
在Rt△ACN中，
CN＝，
所以BC＝CN﹣BN＝6﹣4＝2（m）．
答：机械臂BC的长为2 m．1.4解直角三角形
【题型1】解直角三角形 2
【题型2】解直角三角形与其他知识的综合 3
【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（ ） A．2B．C．D．
【题型1】解直角三角形
【典型例题】如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC等于( )
A.45 B.5 C.15 D.
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝，则AC等于( )
A.18 B.2 C.12 D.
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长度为( )
A.2 B.8 C. D.
【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝8 cm，则AC的长是____________cm.
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.
【举一反三5】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．
(1)∠B＝60°，a＝4；
(2)a＝－1，b＝-3；
(3)∠A＝60°，c＝2＋.
【举一反三6】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，解这个直角三角形．
【题型2】解直角三角形与其他知识的综合
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，连结DE交对角线AC于F．若AD：CE＝7：3，∠CFD＝2∠BAC，则tan∠ACB＝（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝5，则BC的长为（ ）
A.5sin35° B. C.5cos35° D.5tan35°
【举一反三2】如图，小益同学构造一个Rt△ABC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB与AC交于点E，连接BE，如果BC＝4，AC＝8，设∠A＝α，则sin2α＝ ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）CD＝ ；
（2）tan∠DBC＝ ．
【举一反三4】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星“机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1 m，AB＝5 m，∠ABC＝143°，A、C两点之间的距离为3 m，OD＝2m．
（1）求出手臂机器人处于目前工作状态下时，点C到工作台的距离；
（2）求机械臂BC的长．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
