3.1圆
【题型1】圆及相关概念 2
【题型2】点与圆的位置关系 4
【题型3】圆与三角形相关的计算或证明 6
【知识点1】圆的认识 （1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 1.（2024春 莘县期末）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C 【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
【题型1】圆及相关概念
【典型例题】圆规两脚间距离5厘米，说法正确的是（ ）
A.圆的半径是5厘米
B.圆的直径是5厘米
C.圆的周长是5厘米
D.圆的面积是5平方厘米
【答案】A
【解析】圆规两脚间距离5厘米，即画出的圆的半径为5厘米．
【举一反三1】A、B是半径为5 cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（ ）
A.AB＞0 B.0＜AB＜5 C.0＜AB＜10 D.0＜AB≤10
【答案】D
【解析】∵圆中最长的弦为直径，∴0＜AB≤10．
故选：D．
【举一反三2】AB＝12 cm，过A、B两点画半径为6 cm的圆，能画的圆的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
【答案】B
【解析】这样的圆能画1个．如图：
作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以6 cm为半径作圆，
则⊙O为所求．
【举一反三3】下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．
【举一反三4】在平面内与点P的距离为1 cm的点的个数为（ ）
A.无数个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【解析】在平面内与点P的距离为1 cm的点的个数为：所有到定点P的距离等于1 cm的点的集合，故选：A．
【举一反三5】到定点A的距离等于3 cm的点的轨迹是 ．
【答案】以A为圆心，以3 cm为半径的圆
【解析】到定点A的距离等于3 cm的点的轨迹是：以A为圆心，以3 cm为半径的圆．
【举一反三6】如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有 条．
【答案】3
【解析】图中的弦有弦AB、弦BC、弦CE共3条．
【举一反三7】到定点A的距离等于3 cm的点的轨迹是 ．
【答案】以A为圆心，以3 cm为半径的圆
【解析】到定点A的距离等于3 cm的点的轨迹是：以A为圆心，以3 cm为半径的圆．
【题型2】点与圆的位置关系
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，若以点D为圆心，12为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（ ）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】B
【解析】连接BD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝13，
∵13＞12，
∴点B在⊙D外，
故选：B．
【举一反三1】已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P（ ）
A.在⊙O的内部
B.在⊙O的外部
C.在⊙O上
D.在⊙O上或在⊙O的内部
【答案】B
【解析】∵方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4d＜0，
∴d＞1，
∵⊙O的半径为1，
∴d＞r；
∴点P在⊙O的外部，
故选：B．
【举一反三2】已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，
∴OP的长大于3．
故选：D．
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在⊙D内，则x的取值范围是________．
【答案】3＜x≤5
【解析】连接DB，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD＝＝5，
∵点A和点B有且只有一个点在⊙D内，
∴点A在圆⊙D内，点D在圆⊙D上或圆⊙D外，
∴3＜x≤5．
故答案为3＜x≤5．
【举一反三4】在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm．
（1）若以A为圆心，6 cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 ．
【答案】解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝6 cm，AD＝8 cm，
∴AC＝10 cm，
∵⊙A的半径为6 cm长，
∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；
（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围是6 cm＜r＜10 cm．
故答案为：6 cm＜r＜10 cm．
【题型3】圆与三角形相关的计算或证明
【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A. B.8 C.6 D.5
【答案】D
【解析】连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
∴CD＝AB＝×10＝5．
【举一反三1】如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（ ）
A.42° B.29° C.21° D.20°
【答案】B
【解析】连接OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×87°＝29°．
【举一反三2】如图，⊙O的半径为4 cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为_______ cm．
【答案】4
【解析】∵OA＝OB，而∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，∴AB＝OA＝4 cm．
【举一反三3】如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
【答案】解：连接OD．
∵OC⊥AB DE⊥OC，DF⊥OA，
∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，
∴四边形DEOF是矩形，
∴EF＝OD．
∵OD＝OA
∴EF＝OA＝4．
【举一反三4】如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．
【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OFDE是矩形，
∴OD＝EF＝3，
∴AB＝6．3.1圆
【题型1】圆及相关概念 2
【题型2】点与圆的位置关系 3
【题型3】圆与三角形相关的计算或证明 4
【知识点1】圆的认识 （1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 1.（2024春 莘县期末）下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型1】圆及相关概念
【典型例题】圆规两脚间距离5厘米，说法正确的是（ ）
A.圆的半径是5厘米
B.圆的直径是5厘米
C.圆的周长是5厘米
D.圆的面积是5平方厘米
【举一反三1】A、B是半径为5 cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（ ）
A.AB＞0 B.0＜AB＜5 C.0＜AB＜10 D.0＜AB≤10
【举一反三2】AB＝12 cm，过A、B两点画半径为6 cm的圆，能画的圆的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
【举一反三3】下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】在平面内与点P的距离为1 cm的点的个数为（ ）
A.无数个 B.3个 C.2个 D.1个
【举一反三5】到定点A的距离等于3 cm的点的轨迹是 ．
【举一反三6】如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数有 条．
【举一反三7】到定点A的距离等于3 cm的点的轨迹是 ．
【题型2】点与圆的位置关系
【典型例题】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，若以点D为圆心，12为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（ ）
A.点A B.点B C.点C D.点D
【举一反三1】已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P（ ）
A.在⊙O的内部
B.在⊙O的外部
C.在⊙O上
D.在⊙O上或在⊙O的内部
【举一反三2】已知⊙O的半径为3，点P在⊙O外，则OP的长可以是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在⊙D内，则x的取值范围是________．
【举一反三4】在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm．
（1）若以A为圆心，6 cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是 ．
【题型3】圆与三角形相关的计算或证明
【典型例题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ ）
A. B.8 C.6 D.5
【举一反三1】如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（ ）
A.42° B.29° C.21° D.20°
【举一反三2】如图，⊙O的半径为4 cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为_______ cm．
【举一反三3】如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．
【举一反三4】如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．
