北师大版九年级下册 2.5 二次函数与一元二次方程 课后巩固（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册 2.5 二次函数与一元二次方程 课后巩固（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 77.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-23 18:23:22 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 2.5 二次函数与一元二次方程 课后巩固
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=x2-3x+4与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．抛物线y=x2+2x-3与x轴两个交点间的距离是（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
3．设二次函数y=x2+ax+的图象的顶点为A，与x轴的交点为B、C．当△ABC为等边三角形时，△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，它与x轴的一个交点的坐标为（3，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为（ ）
A．（-2，0） B．（-1，0） C．（2，0） D．（5，0）
5．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（1，0）（4，0）两点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解为（ ）
A．x1=-1，x2=-4 B．x1=1，x2=4
C．x1=-1，x2=4 D．x1=1，x2=-4
6．一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为（ ）
A．3＜x＜-4 B．x＜-4 C．-4＜x＜3 D．x＞3或x＜-4
7．若二次函数y=ax2+bx-1的最小值为-3，则关于x方程ax2+bx-1=-4的实数根的情况是（ ）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．有两个实根 D．没有实根
8．如图，直线y=1与抛物线y=x2-2x相交于M、N两点，则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解？（ ）
A．x2-2x+1=0 B．x2-2x-1=0 C．x2-2x-2=0 D．x2-2x+2=0
9．如图，二次函数y=x2-x-2及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．-2＜m＜-1 B． C．-3＜m＜-2 D．
10．定义：在平面直角坐标系中，图形F上一点P（m,n），点P的纵坐标n与其横坐标m的差（n-m）称为点P的“坐标逸差”，而图形F上所有点的“坐标逸差”中的最大值称为图形F的“坐标逸颠值”．如：点A（1，3）的“坐标逸差”为：3-1=2；抛物线y=-x2+3x+3的“坐标逸差”：y-x=-x2+3x+3-x=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以，当x=1时，（y-x）的值最大为4，所以抛物线y=-x2+3x+3的“坐标逸颠值”为4．若二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“坐标逸颠值”为1，点B（m,0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标逸差”相等，则b的值是（ ）
A．或 B．
C． D．或
二．填空题（共5小题）
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，m），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-4=0无实数根，则m的取值范围是 ______．
12．如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（-4，-5），B（1，-2），则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为______．
13．如图，将二次函数y=x2-9位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．
14．如图，二次函数y=ax2+bx+8的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 ______．
15．如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标．
17．如图，A（-1，0），B（2，m）是一次函数y1=-x-1与二次函数y2=ax2+bx-3的图象的两个交点．
（1）求m的值和二次函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式-x-1≤ax2+bx-3的解集．
18．如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为（3，0），顶点D的坐标为（2，-1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断△ADC的形状，并说明理由．
19．如图，抛物线过点C（0，1），与x轴交于点A、B，对称轴是x=-2，，矩形DEFG的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设E（n,0），矩形DEFG的周长为m,写出m与n的函数关系式，并求m的最大值；
（3）当矩形DEFG周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出k的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，设二次函数y=-x2+bx+c（b,c为常数）．
（1）写出一组b,c的值，使抛物线y=-x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（2）若抛物线y=-x2+bx+c经过（-1，0），（2，3）．
①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标；
②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点P（m,n）为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围．
北师大版九年级下 2.5 二次函数与一元二次方程 课后巩固
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、C 3、C 4、B 5、B 6、C 7、D 8、B 9、A 10、A
二．填空题（共5小题）
11、m＜4； 12、x1=-4，x2=1； 13、-3＜x＜0或x＞3； 14、20； 15、（3，-）；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）把B（1，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c得：，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3，
当y=0时，x2+2x-3=0，
解得x1=1，x2=-3，
∴A（-3，0）；
（2）过点D作x轴的垂线交AC于点G，连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y=kx+n,
把A（-3，0）、C（0，-3）代入得：，
解得，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
则，
∴当DG取最大值时，△ACD的面积最大，
设D（m,m2+2m-3），则G（m,-m-3），
∵点D位于第三象限，
∴-3＜m＜0，DG=-m-3-（m2+2m-3）=-m2-3m,
∴，
∴当时，△ACD的面积最大，最大值为，
此时，点D的坐标为．
17、解：（1）将点B（2，m）代入一次函数y1=-x-1得：m=-2-1=-3，
∴B（2，-3），
将点A（-1，0），B（2，-3）代入二次函数得：，
解得，
则二次函数的表达式为；
（2）不等式-x-1≤ax2+bx-3表示的是一次函数y1=-x-1的图象位于二次函数的图象的下方（含交点），
结合函数图象可知，不等式-x-1≤ax2+bx-3的解集为x≤-1或x≥2．
18、解：（1）∵顶点D的坐标为（2，-1），
∴设y=a（x-2）2-1，
将点C（3，0）代入得：a（3-2）2-1=0，
解得：a=1，
∴y=（x-2）2-1；
（2）△ADC是直角三角形，
当x=0时，y=（x-2）2-1=3，
∴A（0，3），
∵C（3，0），D（2，-1），
∴AC2=32+32=18，AD2=22+42=20，CD2=12+12=2，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ADC是直角三角形．
19、解：（1）∵由题意，∵对称轴是直线，
∴，B（-2，0）．
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x+2）2+c.
∵C（0，1），A（--2，0）在抛物线上，
∴．
∴．
∴y=-（x+2）2+3=-x2-2x+1．
∴抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+1．
（2）由题意，∵E（n,0），
∴F（-4-n,0），D（n,-n2-2n+1）．
∴DE=-n2-2n+1，EF=4+2n.
∴m=2（-n2-2n+1+4+2n）=-n2+10，即m与n的函数关系式是m=-n2+10．
∴当n=0时，m的值最大，m的最大值是10．
（3）2＜k＜3．理由如下：
当抛物线顶点在矩形内部时，抛物线与矩形只有两个交点，
又∵y=-x2-2x+1=-（x+2）2+3，
∴顶点坐标是（-2，3）．
由（2）可得D（0，1），
∴当抛物线的顶点在DG上时，抛物线与矩形恰好有3个交点，此时抛物线向下平移2个单位长度；当抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与矩形只有1个交点，此时抛物线向下平移3个单位长度．
又∵把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，
∴当2＜k＜3时，抛物线顶点在矩形内部．即抛物线与矩形只有两个交点．
20、解：（1）由题意，∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2+4c＞0．
不妨取b=3，c=2，满足题意．
（2）①由题意，∵抛物线y=-x2+bx+c经过（-1，0），（2，3），
∴．
∴．
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
又∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点为（1，4）．
②由题意，对于y=-x2+2x+3，
令x=0，
∴y=3．
∴A（0，3）．
∵点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，
∴x=2或x=-2．
∴当x=2时，y=3或当x=-2时，y=-5．
∴B（2，3）或B（-2，-5）．
a.当P（m,n）在A（0，3），B（2，3）之间时，
∵抛物线y=-x2+2x+3开口向下，
又当x=1时，y取最大值为4，
∴3＜n≤4．
b.当P（m,n）在A（0，3），B（-2，-5）之间时，
∵抛物线y=-x2+2x+3开口向下，
又对称轴是直线x=1，且-2＜0＜1，
∴此时y随x的增大而增大．
∴-5＜n＜3．
综上，-5＜n≤4，且n≠3．
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=x2-3x+4与x轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．抛物线y=x2+2x-3与x轴两个交点间的距离是（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
3．设二次函数y=x2+ax+的图象的顶点为A，与x轴的交点为B、C．当△ABC为等边三角形时，△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，它与x轴的一个交点的坐标为（3，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为（ ）
A．（-2，0） B．（-1，0） C．（2，0） D．（5，0）
5．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（1，0）（4，0）两点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解为（ ）
A．x1=-1，x2=-4 B．x1=1，x2=4
C．x1=-1，x2=4 D．x1=1，x2=-4
6．一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为（ ）
A．3＜x＜-4 B．x＜-4 C．-4＜x＜3 D．x＞3或x＜-4
7．若二次函数y=ax2+bx-1的最小值为-3，则关于x方程ax2+bx-1=-4的实数根的情况是（ ）
A．有两个相等实根 B．有两个不等实根
C．有两个实根 D．没有实根
8．如图，直线y=1与抛物线y=x2-2x相交于M、N两点，则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解？（ ）
A．x2-2x+1=0 B．x2-2x-1=0 C．x2-2x-2=0 D．x2-2x+2=0
9．如图，二次函数y=x2-x-2及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．-2＜m＜-1 B． C．-3＜m＜-2 D．
10．定义：在平面直角坐标系中，图形F上一点P（m,n），点P的纵坐标n与其横坐标m的差（n-m）称为点P的“坐标逸差”，而图形F上所有点的“坐标逸差”中的最大值称为图形F的“坐标逸颠值”．如：点A（1，3）的“坐标逸差”为：3-1=2；抛物线y=-x2+3x+3的“坐标逸差”：y-x=-x2+3x+3-x=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以，当x=1时，（y-x）的值最大为4，所以抛物线y=-x2+3x+3的“坐标逸颠值”为4．若二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“坐标逸颠值”为1，点B（m,0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标逸差”相等，则b的值是（ ）
A．或 B．
C． D．或
二．填空题（共5小题）
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，m），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-4=0无实数根，则m的取值范围是 ______．
12．如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（-4，-5），B（1，-2），则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为______．
13．如图，将二次函数y=x2-9位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．
14．如图，二次函数y=ax2+bx+8的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 ______．
15．如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标．
17．如图，A（-1，0），B（2，m）是一次函数y1=-x-1与二次函数y2=ax2+bx-3的图象的两个交点．
（1）求m的值和二次函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式-x-1≤ax2+bx-3的解集．
18．如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为（3，0），顶点D的坐标为（2，-1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断△ADC的形状，并说明理由．
19．如图，抛物线过点C（0，1），与x轴交于点A、B，对称轴是x=-2，，矩形DEFG的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设E（n,0），矩形DEFG的周长为m,写出m与n的函数关系式，并求m的最大值；
（3）当矩形DEFG周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出k的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，设二次函数y=-x2+bx+c（b,c为常数）．
（1）写出一组b,c的值，使抛物线y=-x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（2）若抛物线y=-x2+bx+c经过（-1，0），（2，3）．
①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标；
②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点P（m,n）为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围．
北师大版九年级下 2.5 二次函数与一元二次方程 课后巩固
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、C 3、C 4、B 5、B 6、C 7、D 8、B 9、A 10、A
二．填空题（共5小题）
11、m＜4； 12、x1=-4，x2=1； 13、-3＜x＜0或x＞3； 14、20； 15、（3，-）；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）把B（1，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c得：，
解得，
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3，
当y=0时，x2+2x-3=0，
解得x1=1，x2=-3，
∴A（-3，0）；
（2）过点D作x轴的垂线交AC于点G，连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y=kx+n,
把A（-3，0）、C（0，-3）代入得：，
解得，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，
则，
∴当DG取最大值时，△ACD的面积最大，
设D（m,m2+2m-3），则G（m,-m-3），
∵点D位于第三象限，
∴-3＜m＜0，DG=-m-3-（m2+2m-3）=-m2-3m,
∴，
∴当时，△ACD的面积最大，最大值为，
此时，点D的坐标为．
17、解：（1）将点B（2，m）代入一次函数y1=-x-1得：m=-2-1=-3，
∴B（2，-3），
将点A（-1，0），B（2，-3）代入二次函数得：，
解得，
则二次函数的表达式为；
（2）不等式-x-1≤ax2+bx-3表示的是一次函数y1=-x-1的图象位于二次函数的图象的下方（含交点），
结合函数图象可知，不等式-x-1≤ax2+bx-3的解集为x≤-1或x≥2．
18、解：（1）∵顶点D的坐标为（2，-1），
∴设y=a（x-2）2-1，
将点C（3，0）代入得：a（3-2）2-1=0，
解得：a=1，
∴y=（x-2）2-1；
（2）△ADC是直角三角形，
当x=0时，y=（x-2）2-1=3，
∴A（0，3），
∵C（3，0），D（2，-1），
∴AC2=32+32=18，AD2=22+42=20，CD2=12+12=2，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ADC是直角三角形．
19、解：（1）∵由题意，∵对称轴是直线，
∴，B（-2，0）．
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x+2）2+c.
∵C（0，1），A（--2，0）在抛物线上，
∴．
∴．
∴y=-（x+2）2+3=-x2-2x+1．
∴抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+1．
（2）由题意，∵E（n,0），
∴F（-4-n,0），D（n,-n2-2n+1）．
∴DE=-n2-2n+1，EF=4+2n.
∴m=2（-n2-2n+1+4+2n）=-n2+10，即m与n的函数关系式是m=-n2+10．
∴当n=0时，m的值最大，m的最大值是10．
（3）2＜k＜3．理由如下：
当抛物线顶点在矩形内部时，抛物线与矩形只有两个交点，
又∵y=-x2-2x+1=-（x+2）2+3，
∴顶点坐标是（-2，3）．
由（2）可得D（0，1），
∴当抛物线的顶点在DG上时，抛物线与矩形恰好有3个交点，此时抛物线向下平移2个单位长度；当抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与矩形只有1个交点，此时抛物线向下平移3个单位长度．
又∵把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，
∴当2＜k＜3时，抛物线顶点在矩形内部．即抛物线与矩形只有两个交点．
20、解：（1）由题意，∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2+4c＞0．
不妨取b=3，c=2，满足题意．
（2）①由题意，∵抛物线y=-x2+bx+c经过（-1，0），（2，3），
∴．
∴．
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
又∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点为（1，4）．
②由题意，对于y=-x2+2x+3，
令x=0，
∴y=3．
∴A（0，3）．
∵点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，
∴x=2或x=-2．
∴当x=2时，y=3或当x=-2时，y=-5．
∴B（2，3）或B（-2，-5）．
a.当P（m,n）在A（0，3），B（2，3）之间时，
∵抛物线y=-x2+2x+3开口向下，
又当x=1时，y取最大值为4，
∴3＜n≤4．
b.当P（m,n）在A（0，3），B（-2，-5）之间时，
∵抛物线y=-x2+2x+3开口向下，
又对称轴是直线x=1，且-2＜0＜1，
∴此时y随x的增大而增大．
∴-5＜n＜3．
综上，-5＜n≤4，且n≠3．