北京版（2024）八年级数学上册12.12 勾股定理的逆定理 教学设计+练习（无答案）

北京版（2024）八年级数学上册勾股定理的逆定理教学设计
【教学目标】
1．理解逆定理，互逆定理的概念，了解证明勾股定理逆定理的方法．
2． 经历证明勾股定理逆定理的过程，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力．
3．经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神．
4．运用勾股定理逆定理解决实际问题。
【教学重点】：
勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念、勾股定理逆定理的进一步应用
【教学难点】：
互逆定理的概念．
【教学过程】
一、自主学习
1、勾股定理的内容是什么 你能说出它的题设和结论吗？
2、若△ABC为直角三角形，∠C=90°，
⑴已知a=b=5,求c
⑵已知a=1,c=2, 求b
⑶已知c=17,b=8, 求a
3、你认为，当一个三角形满足什么条件时，它是直角三角形？
导入新课
我们知道，在三角形中，如果有一个角是90°，或两个锐角和为90°，那么这个三角形就为直角三角形，这是从角度的方面判定直角三角形，本节课，我们将学习如何从边的角度判定一个三角形是直角三角形。
三、探究新知
活动一：
1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）
A：3、4、5 ； B：5、6、7； C：3、4、6； D：6、8、10
2.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：
A：_______ B：_______ C：______ D:_______
3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状.
A：______ B：_______ C：______ D：______
找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
A：______ B：_______ C：______ D：______
5.猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
你的猜想是__________________________。
活动二；
例题1；已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且
求证：∠C=90°
（探究的关键是构建一个直角边是a、b的Rt△A，B，C，，然后和△ABC比较！于是画一个Rt△A’B’C’， 使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a）
证明 : 作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a，如上图，
　 那么A’B’2=a2+b2（勾股定理）
又∵a2+b2=c2（已知）
∴A’B’2 = c2，
即A’B’= c (A’B’＞0)
　 在△ABC和△A’B’C’中，
　 BC==B’C’
　 　 CA==C’A’
　 　 AB==A’B’
　 ∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)
∴∠C=∠C’=90°，
　 ∴△ABC是直角三角形
由此得到勾股定理逆定理：
如果三角形的三边a、b、c 长满足 a + b = c，那么这个三角形是直角三角形。
例2 判断下列以 a，b，c 为边的三角形是否为直角三角形 .
( 1 ) a = 2，b = 3，c = 13 ；
( 2 ) a = 3，b = 5，c = 7.
解：( 1 ) ∵ a= 4，b = 9，c = 13，
∵ 4 + 9 = 13，
∴ a + b= c.
根据勾股定理逆定理，这个三角形是直角三角形 .
( 2 ) ∵ a = 9，b = 25，c = 49，
∵ 9 + 25 ≠ 49，
∴ a + b ≠ c.
根据勾股定理逆定理，这个三角形不是直角三角形
四、课堂练习
以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A : 1 ,2,3 B: 2，， C: 6,8,14 D: 2，1.5，2.5
2、如果三条线段长a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
3、在△ABC中，a=24，b=25，c=7，求此三角形的面积
4、如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥BC，BC=3，AB=4，AD=12，CD=13，求四边形ABCD的面积。
总结升华
通过本节课，你收获了什么数学知识？
（1）勾股定理的逆定理。
（2）如何证明勾股定理的逆定理。
（3）利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。
六、过关测试：
一、单选题
1．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③，，（为正整数）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（ ）．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
2．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长的平方之比为1∶2∶3
C．三边长之比为3∶4∶5 D．三内角之比为3∶4∶5
3．已知．指出以a，b，c为边长的直角三角形中哪一条边所对的角是直角（ ）．
A．a B．b C．c D．无法确定
4．若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
5．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（ ）m2．
A．54 B．108
C．216 D．270
二、填空题
6．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长BD为4米，中午测得它的影长AD为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形_________．（填“能”或“不能”）
7．如图，每个小正方形的边长都相等，，，是小正方形的顶点，则的度数为______．

8．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．
9．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．
三、解答题
10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
11．已知：在中，，交AB边于点D，且．求证：是直角三角形．
12．如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13， 求四边形ABCD的面积．
13．如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，且．
求证：；
若，，求的长.
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