沪科版数学七年级上册复习之数轴动点问题（拓展提升）

沪科版数学七年级上册复习之数轴动点问题（拓展提升）
一、追及相遇的行程问题
1．（2025七上·永定期末）两点在数轴上对应的数分别为，如图，且点在点的右侧，，，．
（1）请填写结果：________，________；
（2）现有一只电子跳蚤从点出发，以每秒个单位长度的速度沿正方向跳跃，同时另一只电子跳蚤从点出发，以每秒个单位长度的速度沿正方向跳跃．
①设两只电子跳在数轴上的点处相遇，求点对应的数；
②电子跳蚤出发多长时间后，两只电子跳蚤在数轴上相距个单位长度？
2．（2024七上·揭阳期末）如图，在数轴上点表示数a，B点表示数，且a、b满足.
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，求经过几秒，点、点到点的距离相等.
3．（2024七上·南山期中）定义：在数轴上，如果两个数所对应点位于某点的两侧，且与这点的距离相等，我们称其中一个数与另一个数关于这点互为对称数，例如，如图，数在数轴上所对应点为点，则数与数关于点互为对称数；已知点是数轴上一动点，数关于点互为对称数分别为，数与数在数轴上对应的点分别为点．
（1）当点运动至原点时，　 　，　 　；
（2）若点运动至与点时，　 　，　 　；
（3）若点运动至与数所对应的点时，　 　，　 　；用含的代数式表示
（4）在中，数　 　时，点三点中恰有一点是另两点连线段的中点．
4．（2022七上·济南期中）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，
（1）MN的长为 　 　；
（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 　 　；
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由，
（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值，
5．（2024七上·广州月考）在数轴上，若点M、N对应的数为m、n，则把称为M、N点间距离，并记.如图，点C表示的数是11，点B表示最大的负整数，点A在点B的左边且满足.P是数轴上的一个动点，设点P表示的数为x.
（1）如果A、B两点表示的数分别为a，b，求a，b的值；
（2）如果点P使得，则x的值为　 　；
（3）如果点P从点B出发向点A方向移动，到达点A后立即返向移动，到达点C后停止.移动中，点P始终保持每秒移动2个单位，设点P从点B处出发的移动时间为t秒，当时，写出所有的t值.
6．（2024七上·深圳期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点．
（1）a的值为______，b的值为______，A，B两点之间距离为______；
（2）若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由．
7．（2024七上·岳阳楼期末）数轴上，两点之间的距离可以用这两点中右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数来计算，例如：数轴上M、N两点表示的数分别是和2，那么M、N两点之间的距离就是．
如图，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．
（1）求点B表示的数是 ，并在数轴上将点B表示出来；
（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向，以每秒2个单位长度的速度运动，求经过多少秒，点P与点A的距离是2个单位长度？
（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q从点A出发，沿着数轴的负方向，以每秒4个单位长度的速度运动．当点Q运动到点B的左侧，且点Q与点B的距离是6个单位长度时，求此时点P与点Q的距离．
8． 如图，数轴上O为原点，A，B两点表示的数分别为-4，-1.
（1）求线段 AB 的长度；
（2）若点 D 在数轴上，且 求点 D 表示的数；
（3）若点A，B，O同时出发沿数轴向右运动，且点A 的运动速度为7个单位长度/秒，点B 的运动速度为2个单位长度/秒，点O的运动速度为1个单位长度/秒，则几秒后， OA=3OB？
9．（2023七上·上城期末）如图①，已知A，B为数轴上的两点，点O 表示原点，点A 表示的数为-8.动点C从点A 出发做匀速运动，动点 D 从点B出发做匀速运动.
（1）若动点C 向右运动，动点 D 向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间和在数轴上的位置所表示的数记录在下表.请将表格补充完整.
时间(秒) 0 1 2
点C在数轴上的位置所表示的数 -8 -5 　 　
点 D 在数轴上的位置所表示的数 　 　 3 2
（2）若点D 先出发2秒后，点C 开始运动，它们以(1)中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数.
（3）如图②，若动点C，D以(1)中各自的速度同时向反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点 P 以恒定速度和方向从点O出发运动.在运动过程中，如果 F 为线段CP 的中点，且OD，试求点 P 的运动方向和速度.
二、含参数的动点问题
10．（2024七上·荔湾期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且满足．
（1）求点A、B两点对应的有理数是______、______；
（2）若点C到点A的距离正好是6，求点C所表示的数应该是______；
（3）若点P所表示的数为8，
①现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过多少秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍？
②现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为t秒，的值不随时间t的变化而改变，求m的值．
三、新定义问题
11．（2022七上·江宁月考）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为，，，此时点B是点A，C的“关联点”．
（1）若点A表示数，点B表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是　 　；
（2）点A表示数，点B表示数，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P表示的数．
12．点 A，B，C为数轴上三点，若点 C到点A 的距离是点C 到点 B 的距离的2倍，我们就称点 C 是【A，B】的美好点.
例如，如图1，点A 表示的数为-1，点B 表示的数为2.表示1的点 C到点A 的距离是2，到点 B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点.又如，表示O的点 D 到点A 的距离是1，到点 B 的距离是2，那么点 D 就不是【A，B】的美好点，但点 D 是【B，A】的美好点.
如图2，点M，N为数轴上两点，点M所表示的数为-7，点N 所表示的数为2.
（1）点 E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是【M，N】的美好点的是　 　；【N，M】的美好点 H 所表示的数是　 　.
（2）现有一只电子蚂蚁 P从点N 出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动.当t为何值时，点P，M和N 中恰有一个点为其余两个点的美好点
13．（2024七上·宝安期中）阅读理解：为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的倍，我们称点是的和谐点．若点到的距离是点到的距离的倍，我们称点是的和谐点．
（1）如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_________的和谐点，点________的和谐点．（请在横线上填是或不是）
（2）如图，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．则的和谐点有_____个，并求出所有的和谐点所表示的数．
（3）如图，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向右运动，另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
当时，若点是的和谐点且在之间，则所表示的数是否为定值，若为定值，请求出该值，若不为定值，请说明理由．
直接写出当是的和谐点时，的值为________．
14．（2024七上·铁西期中）根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示．
①A点表示的数是______；之间的距离是______；
②将点B向左平移______个单位长度，此时该点表示的数与点C关于原点对称；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．（数轴上1个单位长度为）；
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为19；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为4，由此可得这根木棒的长为______．
②图中点A所表示的数是______，点B所表示的数是______；
③若有一根相同的木棒水平放到数轴上，C与原点重合，D在数轴负半轴上，木棒与同时水平向右运动，的速度为，的速度为，经过______秒点C与点A重合．
（3）知识应用：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我就125岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，如图3所示，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动到点C……，根据琪琪的想法，求出奶奶现在多少岁．
15．（2024七上·南通月考）已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）数轴上点B 表示的数是 ； 当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与 点Q间的距离为8个单位长度？
③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”．求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B 是一组“幸福点”？
16．（2024七上·南山期中）我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”.已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为.
（1）若点是点关于原点的“星点”，则　 　；若点是点关于点的“3星点”，则　 　；
（2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点.是否存在某一时刻，使得点是点关于点2的“-2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理由；
（3）点M是数轴上的动点，点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”，当为整数时，请直接写出的值.
17．（2024七上·曲靖期中）已知数轴上两点，对应的数分别为，4，点为数轴上一动点，其对应的数为．
（1）若点为线段的中点，则点对应的数_______；
（2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值；
（3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值．
四、数轴上的最值问题
18．（2024七上·宁波期中） 结合数轴与绝对值的知识， 回答下列问题：
（1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是　 　；表示 -3 和 2 的两点之间的距离是　 　； 一般地，数轴上表示数 和 的两点之间的距离等于 ，数轴上表示 和 -1 的两点之间的距离是　 　；如果表示数 和 -2 的两点之间的距离是 3， 那么 　 　.
（2）若数轴上表示 的点位于 -5 和 3 之间，求 的值.
（3）当 为　 　时， 最小，最小值为　 　.
（4）若 ，请直接写出 的值.
19．（2024七上·重庆市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么 ．
（2）当时，所有可能整数a的和为多少？
（3）有最小值吗？如果有，请求出它的最小值，并指明此时a的取值．
答案解析部分
1．【答案】（1），
（2）①；②秒或秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
2．【答案】（1）解：∵|a+12|+（b﹣6）2＝0．
∴a+12＝0，b﹣6＝0，
即：a＝﹣12，b＝6；
∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；
（2）解：点C、D在线段AB上，
∵AB＝18，AC＝14，BD＝8，
∴BC＝18﹣14＝4，
CD＝BD﹣BC＝8﹣4＝4；
（3）解：设经过t秒，点P、Q到点C的距离相等，
AD＝AB﹣BD＝18﹣8＝10，AP＝3t，DQ＝2t，
①当点P、Q重合时，
AP﹣DQ＝AD，
即：3t﹣2t＝10，
解得，t＝10，
②当点C是PQ的中点时，
有CP＝CQ，即，AC﹣AP＝DQ﹣DC，
14﹣3t＝2t﹣4，
解得，t＝，
答：经过或10秒，点P、点Q到点C的距离相等．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可分别求出a、b的值，也就是点A、点B对应的数，进而求出两点间的距离，也就是线段AB的长.
（2）由题意可知： 点C、D在线段AB上 ，AB=18，AC=14，BC=AB-AC=4；由BD=8，可知CD=BD-BC=4.
（3）由题意分析可知要使点P、点Q到点C的距离相等应分两种情况分别讨论：①当点P、点Q重合时；②当点C是PQ的中点时。然后根据各种情况分别讨论列方程解出即可.
3．【答案】（1）1；4
（2）3；6
（3）2t-1；2t+4
（4）2或-2.5或-7
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（1）当点P运动至原点O时，m=1，n=4.
故答案为：1，4；
（2）若点P运动至与点A时，m=1+(1+1)=3，n=1+（1+4）=6.
故答案为：3，6；
（3）若点P运动至与数t所对应的点时，m=2t-1，n=2t+4.
故答案为：2t-1，2t+4；
（4）根据题意有：①2（2t+1）=t+2t+4，解得：t=2；
②2t=2t+1+2t+4，解得：t=-2.5；
③2（2t+4）=t+2t+1，解得：t=-7.
∴在（3）中，数t=2或-2.5或-7时，点P、M、N三点中恰有一点是另两点连线段的中点.
【分析】（1）利用“对称数”的定义分析求出m、n的值即可；
（2）利用“对称数”的定义分析求出m、n的值即可；
（3）利用“对称数”的定义分析求出m、n的值即可；
（4）分类讨论：①2（2t+1）=t+2t+4，②2t=2t+1+2t+4，③2（2t+4）=t+2t+1，再分别求出t的值即可.
4．【答案】（1）4
（2）1
（3）解：①当点P在点M的左侧时，
根据题意得：
解得：
②P在点M和点N之间时，则，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间，
③点P在点N的右侧时，
解得：，
∴x的值是或5；
（4）解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即，
点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是
①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，
所以，解得，符合题意，
②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），
故，
所以，解得，符合题意，
综上所述，t的值为或4，
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）MN的长为，
故答案为：4；
（2）根据题意得：，
解得：，
故答案为：1；
【分析】（1）MN的长度为，即可解答；
（2）根据题意列出关于x的方程，解方程即可；
（3）可分为当点P在点M的左侧时、点P在点M和点N之间时、点P在点N的右侧时 三种情况计算；
（4） 设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即，点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是，分别根据 ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧 进行解答即可。
5．【答案】（1）解：由于点B表示最大的负整数，所以点B表示的数为-1，即.
∴.
∴，即.
（2）0或-2
（3）t=0.5或2.5或4.5
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：（2）当P点在A点左侧时，；若P点在A点右侧时，，因此P点不可能在A点左侧或C点右侧.
①当P点在BC之间时，
，解得；
②当P点在AB之间时，
，解得.
故答案为：0或-2.
（3）①当P点尚未运动到A点，且在AB之间时，若，
则，解得t=0.5；
②当P点运动到A点并返回，且仍在AB之间时，若，
则，解得t=2.5；
③当P点BC之间时，若，
则，解得t-4.5.
故答案为：t=0.5或2.5或4.5.
【分析】（1）根据点B表示最大的负整数，求出b，再根据BC=4AB求出c；
（2）根据PA+PB+PC=16说明点P在A，C之间，再根据PA+PC=AC=15得出PB=1，然后根据两点间的距离=1列出方程，求出x的值；
（3） 先求出点P在点A、B之间和点P在点B、C之间时x的值，再分当点P从点B到A方向移动x=-2时，当点P从点A到C方向移动到x=-2处时，当点P从点A到C方向移动到x=3处时三种情况讨论即可.
6．【答案】（1）；12；22
（2）解：存在，
当点P在点A、点B之间，即点P在点B左侧时，则
解得：，
当点P在点B右侧时，则，
解得：，
综上，存在，t的值为秒或秒．
（3）解：存在值，当点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点P与点Q第一次相遇时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在第一次返回，还未追上点P时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在第一次返回中，追上点P时，如图，
∵，
∴，
解得：．
综上，存在值，使得，值为1秒或秒或秒或秒．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
解得：，，
∵数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，
∴A，B两点之间距离为：．
故答案为：；12；22．
【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性，得到，，求得，，结合数轴上两点距离公式，进行计算，即可求解；
（2）根据题意，分点P在点B左侧时；点P在点B右侧时，两种情况讨论，分别列出方程，即可求解；
（3）根据题意，分点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时；点P与点Q在第一次相遇时；点Q在第一次返回，还未追上点P时；点Q在第一次返回中，追上点P时，四种情况讨论，结合，列出方程，即可求解.
（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∵数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，
∴A，B两点之间距离为：．
故答案为：；12；22．
（2）解：存在，
当点P在点A、点B之间，即点P在点B左侧时，则
解得：，
当点P在点B右侧时，则，
解得：，
综上，存在，t的值为秒或秒．
（3）解：存在值，
当点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点P与点Q第一次相遇时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在第一次返回，还未追上点P时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在第一次返回中，追上点P时，如图，
∵，
∴，
解得：．
综上，存在值，使得，值为1秒或秒或秒或秒．
7．【答案】（1）解：设点表示的数为，∵在数轴上点表示的数是，点位于点的左侧，与点的距离是个单位长度，
∴，
解得：，
∴点表示的数是，在数轴上表示点如图所示．
（2）解：设经过秒，点所表示的数为，
当点在点左侧时，可得：
，
解得：；
当点在点右侧时，可得：
，
解得：；
综上所述，经过秒或秒，点与点的距离是个单位长度；
（3）解：设经过秒，点所表示的数为，点所表示的数为，当点在点左侧时，可得：
，
解得：；
此时点所表示的数为，点所表示的数为，
∴点与点的距离是：；
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）设点表示的数为，根据两点间距离列方程解题求出的值，病在数轴上表示；
（2）设经过秒，点所表示的数为，然后分点在点左侧和点在点右侧两种情况列方程解题即可；
（3）设经过秒，点所表示的数为，点所表示的数为，根据两点间距离公式列方程求出t值，然后求出两点间距离即可．
（1）解：设点表示的数为，
∵在数轴上点表示的数是，点位于点的左侧，与点的距离是个单位长度，
∴，
解得：，
∴点表示的数是，在数轴上表示点如图所示．
（2）解：设经过秒，点与点的距离是个单位长度，
∵动点从点出发，沿着数轴的正方向，以每秒个单位长度的速度运动，
∴经过秒，点所表示的数为，
当点在点左侧时，可得：
，
解得：；
当点在点右侧时，可得：
，
解得：；
综上所述，经过秒或秒，点与点的距离是个单位长度；
（3）解：设经过秒，点与点的距离是个单位长度，
∵在（2）的条件下，点出发的同时，点从点出发，沿着数轴的负方向，以每秒个单位长度的速度运动，
∴经过秒，点所表示的数为，点所表示的数为，
当点在点左侧时，可得：
，
解得：；
此时点所表示的数为，点所表示的数为，
∴点与点的距离是：；
8．【答案】（1）解：AB=-1-(-4)=-1+4=3
（2）解：①当点D在AB之间时，有：DA+DB=AB.
因为DA=3DB，
所以3DB+DB=3，
解得：DB=，
点D表示的数是：-1-=-；
②当点D是B的右侧，有：DA=AB+DB，
因为DA=3DB，
所以3DB=3+DB
解得：DB=，
点D表示的数是：+(-1)=；
综上所述：D对应的数为或 ；
（3）解：由题可得：设运动时间为x秒，
A运动后所表示的点为：-4+7x，
B运动后所表示的点为：-1+2x，
O运动后所表示的点为：0+x，
所以OA=|-4+7x-x|=|6x-4|.
OB=|-1+2x-x|=|x-1|，
因为OA=3OB，
所以|6x-4|=3|x-1|，
解得：x=或，
答：经过秒或 后OA=3OB.
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】(1)利用两点间的距离公式即可求出线段AB的长度；
(2)分D在AB之间以及在B的右侧两种情况进行讨论求出点D表示的数；
(3)设经过的时间为x秒，分别表示点A，O，B，进而表示OA，OB，列方程求出x的值即可.
9．【答案】（1）-2；4
（2）解：相遇时，点C 运动的时间为[4-1×2-(-8)]÷(3+1) (秒)，
∴两点相遇时的位置所表示的数为 ；
（3）解：设点 P 的运动速度为 v 个单位长度/秒，运动时间为t秒，
易知点C 表示的数为-8-3t，点D 表示的数为4+t，
分两种情况讨论：
①当点 P 向左运动时，点P 表示的数为-vt，
∵ F为线段CP 的中点，
∴点F 表示的数为
又∵OF=OD=4+t，
∴=-(4+t)，
解得v=-1(不合题意，舍去)；
②当点 P 向右运动时，点P 表示的数为 vt，
∵ F为线段CP 的中点，
∴点F 表示的数为
又∵OF=OD=4+t，
∴
解得v=1.，
综上所述，点P 向右运动，速度为1个单位长度/秒.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】(1)从表中得C点1秒运动 (个单位长度)，
∴2秒运动到
从表中得D点1秒运动 (个单位长度)，
∴0秒位于
故答案为：
【解答】(1)从表中得C点1秒运动3个单位长度，求出2秒运动的位置；从表中得D点1秒运动1个单位长度，求出0秒位置即可； (2)先求相遇时间为 秒，再求相遇时的位置所表示的数即可；
(3)设P运动速度为v个长度单位/秒，运动时间为t秒，当点P向左运动时，点F用两个不同的式子表示，求得 ，不合题意，舍去；当点P向右运动时，可得 ，从而得到答案.
10．【答案】（1），3
（2）或5
（3）①经过秒或，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍；②m的值为2
【知识点】整式的加减运算；数轴上两点之间的距离
11．【答案】（1）
（2）解：设P点在数轴上表示的数为p．
①∵P在点B左侧，则：
（Ⅰ）当P点在AB之间时．
，
解得：，
或，
解得：，
（Ⅱ）当P点在A点左侧时．
，
解得：，
∴当P点在B点左侧时，点P表示的数为或或．
②∵点P在B点右侧，则：
（Ⅰ）当点P为点A，B的“关联点”时．
，
解得：；
（Ⅱ）当点B为点P，A的“关联点”时．
，
解得：，
或，
解得：；
（Ⅲ）当点A为点B，P的“关联点”时．
，
解得：，
∴点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点P表示的数为或或．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段上的两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）若点A表示数，点B表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是.
故答案为：；
【分析】（1）直接根据“关联点”的概念进行判断即可；
（2）①设P点在数轴上表示的数为p，（Ⅰ）当P点在AB之间时，BP=15-p，AP=p-(-10)，结合BP=2AP或AP=2BP可得p的值；（Ⅱ）当P点在A点左侧时，AP=-10-p，BP=15-p，结合BP=2AP可得p的值；
②（Ⅰ）当点P为点A，B的“关联点”时，有AP=2BP，求解可得p的值；（Ⅱ）当点B为点P，A的“关联点”时，有BP=2AB，求解可得p的值；（Ⅲ）当点A为点B，P的“关联点”时，有AP=2BP，求解可得p的值.
12．【答案】（1）G；-4或-16
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N 中恰有一个点为其余两个点的美好点，分八种情况：
第一种情况：当 P为【M，N】的美好点，点 P在点 M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，PN=3，点 P 对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况：当 P为【N，M】的美好点，点 P在点 M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点 P 对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况：当 P为【N，M】的美好点，点 P 在点 M 左侧，如图3，
当 PN=2MN时，NP=18，点 P 对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
第四种情况：当 M为【P，N】的美好点，点 P 在点M 左侧，如图4，
当MP=2MN时，NP=27，点 P 对应的数为2-27=-25，因此t=13.5秒；
第五种情况：当 M为【N，P】的美好点，点 P 在点 M 左侧，如图5，
当MN=2MP时，NP=13.5，点 P 对应的数为2-13.5=-11.5，因此t=6.75秒；
第六种情况：当M为【N，P】的美好点，点 P在点 M，N之间，如图6，
当MN=2MP时，NP=4.5，因此t=2.25秒；
第七种情况：当 N 为【P，M】的美好点，点 P 在点 M 左侧，
当 PN=2MN时，NP=18，因此t=9秒；
第八种情况：当 N 为【M，P】的美好点，点 P在点M，N之间，
当MN=2PN时，NP=4.5，因此t=2.25秒.
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5.
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点 E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点 N 的距离是到点M 的距离2倍的点，点N 的右侧不存在满足条件的点，点M 和点N 之间靠近点M 一侧应该有满足条件的点，进而可以确定一4符合条件.点M 的左侧距离点M 的距离等于点 M 和点 N 的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16.
故答案为：G；-4 或-16.
【分析】（1）题根据美好点的定义，即某点到M的距离是某点到N的距离的2倍，即可找到对应的点；（2）题分八种情况来分析并计算即可。
13．【答案】（1）不是，是；
（2），的和谐点所表示的数为或；
（3）解：（秒），（秒），当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
设点表示的数为，
根据题意得：，
解得：，
∴当时， 若点是的和谐点且在之间，则所表示的数为定值，该值为；
根据题意得：，
即或，
解得：或，
故答案为：或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵点到点的距离是，到点的距离是，
∴点不是的和谐点， 点是的和谐点，
故答案为：不是，是；
解：（2）设的和谐点所表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或，
∴的和谐点有个，的和谐点所表示的数为或；
故答案为：；
【分析】（）由“点到点的距离是，到点的距离是”结合和谐点的定义，即可得出结论；
（）设的和谐点所表示的数为，根据和谐点的定义，列出关于的含绝对值的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案；
（）利用时间路程速度，可求出点到达点所需的时间及，两点相遇时的时间，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
设点表示的数为，根据点是的和谐点且在之间，列出关于y的一元一次方程，求得方程的解，即可得出结论；
根据是的和谐点，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案.
（1）解：∵点到点的距离是，到点的距离是，
∴点不是的和谐点， 点是的和谐点，
故答案为：不是，是；
（2）解：设的和谐点所表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或，
∴的和谐点有个，的和谐点所表示的数为或；
故答案为：；
（3）解：（秒），（秒），
当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
设点表示的数为，
根据题意得：，
解得：，
∴当时， 若点是的和谐点且在之间，则所表示的数为定值，该值为；
根据题意得：，
即或，
解得：或，
故答案为：或．
14．【答案】（1）①，4；②5
（2）①5；②9，14；③18
（3）解：根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，则点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，∴，
解得，，
∴点表示的数为：，
∴奶奶现在岁．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）①根据图示可得，点表示的数是；之间的距离是；
故答案为：，；
②点C关于原点对称的点表示的数为，
，
∴点向左平移5个单位，该点表示的数与点C关于原点对称；
故答案为：5；
解：（2）根据题意，设木棒长为，
①当木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为时，点表示的数为：；
木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为4时，点表示的数为：；
∵一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合
∴，
解得，；
故答案为：5；
②根据上述计算，点表示的数为：；点表示的数为：，
故答案为：；；
③∵C与原点重合，D在数轴负半轴上，
∴点C表示的数为0，点D表示的数为，
设经过t秒点C与点A重合，根据题意得：
，
解得：，
故答案为：18；
【分析】
（1）①根据数轴的特点，点与数轴的关系，即可求解；
②根据数轴上两点之间距离的计算方法，即可求解；
（2）①根据木棒的长度不变，设木棒长为，表示出点的数，结合木棒的长度为，利用两点之间距离的计算即可求解；
②根据两点之间距离的计算，得到点表示的数为；点表示的数为，即可求解；
③根据题意得出点C表示的数为0，点D表示的数为，设经过t秒点C与点A重合，根据题意，列出方程，解方程即可；
（3）根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，分别表示出点的数，结合年龄差的计算，以及两点之间距离的计算方法，列方程求解，即可得到答案．
（1）解：①根据图示可得，点表示的数是；之间的距离是；
故答案为：，；
②点C关于原点对称的点表示的数为，
，
∴点向左平移5个单位，该点表示的数与点C关于原点对称；
故答案为：5；
（2）解：根据题意，设木棒长为，
①当木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为时，点表示的数为：；
木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为4时，点表示的数为：；
∵一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合
∴，
解得，；
故答案为：5；
②根据上述计算，点表示的数为：；点表示的数为：，
故答案为：；；
③∵C与原点重合，D在数轴负半轴上，
∴点C表示的数为0，点D表示的数为，
设经过t秒点C与点A重合，根据题意得：
，
解得：，
故答案为：18；
（3）解：根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，则点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，
∴，
解得，，
∴点表示的数为：，
∴奶奶现在岁．
15．【答案】（1），1
（2）①2.5秒；②0.5秒或4.5秒③1.25秒或2秒或5秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
16．【答案】（1）1；1.5
（2）解：设AB运动的时间为秒，则点运动后表示的数，线段AB的中点表示的数为，
点是点关于点2的“-2星点”，
，
当，点是点关于点2的“-2星点”.
（3）解：
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：解：（1）点是点关于原点的“星点”，
.
，
；
点是点关于点的“3星点”，
.
.
故答案为：1，1.5.
（3）点是原点关于点的“星点”，
.
∴，
∴，
∴.
点表示为整数，
或.
解得：或-2或2或-4.
故答案为：.
【分析】（1）利用“k星点”的定义及“3星点”的定义列出方程求解即可；
（2）设AB运动的时间为秒，则点运动后表示的数，线段AB的中点表示的数为，结合“点是点关于点2的“-2星点””列出方程，再求解即可；
（3）利用“k星点”的定义可得，求出，再结合“点表示为整数”可得或，再求出k的值即可.
17．【答案】（1）1
（2）点对应的数是或5；
（3）或1.3或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
18．【答案】（1）3；5；；-5或1
（2）解：数轴上表示的点位于和3之间，
，
，，
；

（3）-1；7
（4）解： 或 -3
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；
表示和2的两点之间的距离是；
数轴上表示和的两点之间的距离是，
如果表示数和的两点之间的距离是3，则，
那么或，
故答案为：，，，或；（2）
（3）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
即当为时，最小，最小值为，
故答案为：，；
（4）解：当时，，
解得：；
当时，，不符合题意；
当时，，
解得：，
综上可知，的值为或．
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离计算即可；
（2）由题意得，进而得到，，再去绝对值符号计算即可；
（3）分五种情况（，，，，）讨论，分别去绝对值符号计算，求最小值比较即可；
（4）分三种情况（，，）讨论，分别去绝对值符号解方程，即可求出的值．
19．【答案】（1）3；5；或
（2）
（3）7
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
1 / 1沪科版数学七年级上册复习之数轴动点问题（拓展提升）
一、追及相遇的行程问题
1．（2025七上·永定期末）两点在数轴上对应的数分别为，如图，且点在点的右侧，，，．
（1）请填写结果：________，________；
（2）现有一只电子跳蚤从点出发，以每秒个单位长度的速度沿正方向跳跃，同时另一只电子跳蚤从点出发，以每秒个单位长度的速度沿正方向跳跃．
①设两只电子跳在数轴上的点处相遇，求点对应的数；
②电子跳蚤出发多长时间后，两只电子跳蚤在数轴上相距个单位长度？
【答案】（1），
（2）①；②秒或秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
2．（2024七上·揭阳期末）如图，在数轴上点表示数a，B点表示数，且a、b满足.
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点以2个单位长度/秒的速度从点出发沿正方向运动，求经过几秒，点、点到点的距离相等.
【答案】（1）解：∵|a+12|+（b﹣6）2＝0．
∴a+12＝0，b﹣6＝0，
即：a＝﹣12，b＝6；
∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；
（2）解：点C、D在线段AB上，
∵AB＝18，AC＝14，BD＝8，
∴BC＝18﹣14＝4，
CD＝BD﹣BC＝8﹣4＝4；
（3）解：设经过t秒，点P、Q到点C的距离相等，
AD＝AB﹣BD＝18﹣8＝10，AP＝3t，DQ＝2t，
①当点P、Q重合时，
AP﹣DQ＝AD，
即：3t﹣2t＝10，
解得，t＝10，
②当点C是PQ的中点时，
有CP＝CQ，即，AC﹣AP＝DQ﹣DC，
14﹣3t＝2t﹣4，
解得，t＝，
答：经过或10秒，点P、点Q到点C的距离相等．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可分别求出a、b的值，也就是点A、点B对应的数，进而求出两点间的距离，也就是线段AB的长.
（2）由题意可知： 点C、D在线段AB上 ，AB=18，AC=14，BC=AB-AC=4；由BD=8，可知CD=BD-BC=4.
（3）由题意分析可知要使点P、点Q到点C的距离相等应分两种情况分别讨论：①当点P、点Q重合时；②当点C是PQ的中点时。然后根据各种情况分别讨论列方程解出即可.
3．（2024七上·南山期中）定义：在数轴上，如果两个数所对应点位于某点的两侧，且与这点的距离相等，我们称其中一个数与另一个数关于这点互为对称数，例如，如图，数在数轴上所对应点为点，则数与数关于点互为对称数；已知点是数轴上一动点，数关于点互为对称数分别为，数与数在数轴上对应的点分别为点．
（1）当点运动至原点时，　 　，　 　；
（2）若点运动至与点时，　 　，　 　；
（3）若点运动至与数所对应的点时，　 　，　 　；用含的代数式表示
（4）在中，数　 　时，点三点中恰有一点是另两点连线段的中点．
【答案】（1）1；4
（2）3；6
（3）2t-1；2t+4
（4）2或-2.5或-7
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（1）当点P运动至原点O时，m=1，n=4.
故答案为：1，4；
（2）若点P运动至与点A时，m=1+(1+1)=3，n=1+（1+4）=6.
故答案为：3，6；
（3）若点P运动至与数t所对应的点时，m=2t-1，n=2t+4.
故答案为：2t-1，2t+4；
（4）根据题意有：①2（2t+1）=t+2t+4，解得：t=2；
②2t=2t+1+2t+4，解得：t=-2.5；
③2（2t+4）=t+2t+1，解得：t=-7.
∴在（3）中，数t=2或-2.5或-7时，点P、M、N三点中恰有一点是另两点连线段的中点.
【分析】（1）利用“对称数”的定义分析求出m、n的值即可；
（2）利用“对称数”的定义分析求出m、n的值即可；
（3）利用“对称数”的定义分析求出m、n的值即可；
（4）分类讨论：①2（2t+1）=t+2t+4，②2t=2t+1+2t+4，③2（2t+4）=t+2t+1，再分别求出t的值即可.
4．（2022七上·济南期中）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，
（1）MN的长为 　 　；
（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 　 　；
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由，
（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值，
【答案】（1）4
（2）1
（3）解：①当点P在点M的左侧时，
根据题意得：
解得：
②P在点M和点N之间时，则，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间，
③点P在点N的右侧时，
解得：，
∴x的值是或5；
（4）解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即，
点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是
①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，
所以，解得，符合题意，
②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），
故，
所以，解得，符合题意，
综上所述，t的值为或4，
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）MN的长为，
故答案为：4；
（2）根据题意得：，
解得：，
故答案为：1；
【分析】（1）MN的长度为，即可解答；
（2）根据题意列出关于x的方程，解方程即可；
（3）可分为当点P在点M的左侧时、点P在点M和点N之间时、点P在点N的右侧时 三种情况计算；
（4） 设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即，点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是，分别根据 ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧 进行解答即可。
5．（2024七上·广州月考）在数轴上，若点M、N对应的数为m、n，则把称为M、N点间距离，并记.如图，点C表示的数是11，点B表示最大的负整数，点A在点B的左边且满足.P是数轴上的一个动点，设点P表示的数为x.
（1）如果A、B两点表示的数分别为a，b，求a，b的值；
（2）如果点P使得，则x的值为　 　；
（3）如果点P从点B出发向点A方向移动，到达点A后立即返向移动，到达点C后停止.移动中，点P始终保持每秒移动2个单位，设点P从点B处出发的移动时间为t秒，当时，写出所有的t值.
【答案】（1）解：由于点B表示最大的负整数，所以点B表示的数为-1，即.
∴.
∴，即.
（2）0或-2
（3）t=0.5或2.5或4.5
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：（2）当P点在A点左侧时，；若P点在A点右侧时，，因此P点不可能在A点左侧或C点右侧.
①当P点在BC之间时，
，解得；
②当P点在AB之间时，
，解得.
故答案为：0或-2.
（3）①当P点尚未运动到A点，且在AB之间时，若，
则，解得t=0.5；
②当P点运动到A点并返回，且仍在AB之间时，若，
则，解得t=2.5；
③当P点BC之间时，若，
则，解得t-4.5.
故答案为：t=0.5或2.5或4.5.
【分析】（1）根据点B表示最大的负整数，求出b，再根据BC=4AB求出c；
（2）根据PA+PB+PC=16说明点P在A，C之间，再根据PA+PC=AC=15得出PB=1，然后根据两点间的距离=1列出方程，求出x的值；
（3） 先求出点P在点A、B之间和点P在点B、C之间时x的值，再分当点P从点B到A方向移动x=-2时，当点P从点A到C方向移动到x=-2处时，当点P从点A到C方向移动到x=3处时三种情况讨论即可.
6．（2024七上·深圳期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点．
（1）a的值为______，b的值为______，A，B两点之间距离为______；
（2）若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；12；22
（2）解：存在，
当点P在点A、点B之间，即点P在点B左侧时，则
解得：，
当点P在点B右侧时，则，
解得：，
综上，存在，t的值为秒或秒．
（3）解：存在值，当点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点P与点Q第一次相遇时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在第一次返回，还未追上点P时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在第一次返回中，追上点P时，如图，
∵，
∴，
解得：．
综上，存在值，使得，值为1秒或秒或秒或秒．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，，
解得：，，
∵数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，
∴A，B两点之间距离为：．
故答案为：；12；22．
【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性，得到，，求得，，结合数轴上两点距离公式，进行计算，即可求解；
（2）根据题意，分点P在点B左侧时；点P在点B右侧时，两种情况讨论，分别列出方程，即可求解；
（3）根据题意，分点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时；点P与点Q在第一次相遇时；点Q在第一次返回，还未追上点P时；点Q在第一次返回中，追上点P时，四种情况讨论，结合，列出方程，即可求解.
（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∵数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，
∴A，B两点之间距离为：．
故答案为：；12；22．
（2）解：存在，
当点P在点A、点B之间，即点P在点B左侧时，则
解得：，
当点P在点B右侧时，则，
解得：，
综上，存在，t的值为秒或秒．
（3）解：存在值，
当点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点P与点Q第一次相遇时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在第一次返回，还未追上点P时，如图，
∵，
∴，
解得：；
当点Q在第一次返回中，追上点P时，如图，
∵，
∴，
解得：．
综上，存在值，使得，值为1秒或秒或秒或秒．
7．（2024七上·岳阳楼期末）数轴上，两点之间的距离可以用这两点中右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数来计算，例如：数轴上M、N两点表示的数分别是和2，那么M、N两点之间的距离就是．
如图，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．
（1）求点B表示的数是 ，并在数轴上将点B表示出来；
（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向，以每秒2个单位长度的速度运动，求经过多少秒，点P与点A的距离是2个单位长度？
（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q从点A出发，沿着数轴的负方向，以每秒4个单位长度的速度运动．当点Q运动到点B的左侧，且点Q与点B的距离是6个单位长度时，求此时点P与点Q的距离．
【答案】（1）解：设点表示的数为，∵在数轴上点表示的数是，点位于点的左侧，与点的距离是个单位长度，
∴，
解得：，
∴点表示的数是，在数轴上表示点如图所示．
（2）解：设经过秒，点所表示的数为，
当点在点左侧时，可得：
，
解得：；
当点在点右侧时，可得：
，
解得：；
综上所述，经过秒或秒，点与点的距离是个单位长度；
（3）解：设经过秒，点所表示的数为，点所表示的数为，当点在点左侧时，可得：
，
解得：；
此时点所表示的数为，点所表示的数为，
∴点与点的距离是：；
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）设点表示的数为，根据两点间距离列方程解题求出的值，病在数轴上表示；
（2）设经过秒，点所表示的数为，然后分点在点左侧和点在点右侧两种情况列方程解题即可；
（3）设经过秒，点所表示的数为，点所表示的数为，根据两点间距离公式列方程求出t值，然后求出两点间距离即可．
（1）解：设点表示的数为，
∵在数轴上点表示的数是，点位于点的左侧，与点的距离是个单位长度，
∴，
解得：，
∴点表示的数是，在数轴上表示点如图所示．
（2）解：设经过秒，点与点的距离是个单位长度，
∵动点从点出发，沿着数轴的正方向，以每秒个单位长度的速度运动，
∴经过秒，点所表示的数为，
当点在点左侧时，可得：
，
解得：；
当点在点右侧时，可得：
，
解得：；
综上所述，经过秒或秒，点与点的距离是个单位长度；
（3）解：设经过秒，点与点的距离是个单位长度，
∵在（2）的条件下，点出发的同时，点从点出发，沿着数轴的负方向，以每秒个单位长度的速度运动，
∴经过秒，点所表示的数为，点所表示的数为，
当点在点左侧时，可得：
，
解得：；
此时点所表示的数为，点所表示的数为，
∴点与点的距离是：；
8． 如图，数轴上O为原点，A，B两点表示的数分别为-4，-1.
（1）求线段 AB 的长度；
（2）若点 D 在数轴上，且 求点 D 表示的数；
（3）若点A，B，O同时出发沿数轴向右运动，且点A 的运动速度为7个单位长度/秒，点B 的运动速度为2个单位长度/秒，点O的运动速度为1个单位长度/秒，则几秒后， OA=3OB？
【答案】（1）解：AB=-1-(-4)=-1+4=3
（2）解：①当点D在AB之间时，有：DA+DB=AB.
因为DA=3DB，
所以3DB+DB=3，
解得：DB=，
点D表示的数是：-1-=-；
②当点D是B的右侧，有：DA=AB+DB，
因为DA=3DB，
所以3DB=3+DB
解得：DB=，
点D表示的数是：+(-1)=；
综上所述：D对应的数为或 ；
（3）解：由题可得：设运动时间为x秒，
A运动后所表示的点为：-4+7x，
B运动后所表示的点为：-1+2x，
O运动后所表示的点为：0+x，
所以OA=|-4+7x-x|=|6x-4|.
OB=|-1+2x-x|=|x-1|，
因为OA=3OB，
所以|6x-4|=3|x-1|，
解得：x=或，
答：经过秒或 后OA=3OB.
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】(1)利用两点间的距离公式即可求出线段AB的长度；
(2)分D在AB之间以及在B的右侧两种情况进行讨论求出点D表示的数；
(3)设经过的时间为x秒，分别表示点A，O，B，进而表示OA，OB，列方程求出x的值即可.
9．（2023七上·上城期末）如图①，已知A，B为数轴上的两点，点O 表示原点，点A 表示的数为-8.动点C从点A 出发做匀速运动，动点 D 从点B出发做匀速运动.
（1）若动点C 向右运动，动点 D 向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间和在数轴上的位置所表示的数记录在下表.请将表格补充完整.
时间(秒) 0 1 2
点C在数轴上的位置所表示的数 -8 -5 　 　
点 D 在数轴上的位置所表示的数 　 　 3 2
（2）若点D 先出发2秒后，点C 开始运动，它们以(1)中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数.
（3）如图②，若动点C，D以(1)中各自的速度同时向反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点 P 以恒定速度和方向从点O出发运动.在运动过程中，如果 F 为线段CP 的中点，且OD，试求点 P 的运动方向和速度.
【答案】（1）-2；4
（2）解：相遇时，点C 运动的时间为[4-1×2-(-8)]÷(3+1) (秒)，
∴两点相遇时的位置所表示的数为 ；
（3）解：设点 P 的运动速度为 v 个单位长度/秒，运动时间为t秒，
易知点C 表示的数为-8-3t，点D 表示的数为4+t，
分两种情况讨论：
①当点 P 向左运动时，点P 表示的数为-vt，
∵ F为线段CP 的中点，
∴点F 表示的数为
又∵OF=OD=4+t，
∴=-(4+t)，
解得v=-1(不合题意，舍去)；
②当点 P 向右运动时，点P 表示的数为 vt，
∵ F为线段CP 的中点，
∴点F 表示的数为
又∵OF=OD=4+t，
∴
解得v=1.，
综上所述，点P 向右运动，速度为1个单位长度/秒.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】(1)从表中得C点1秒运动 (个单位长度)，
∴2秒运动到
从表中得D点1秒运动 (个单位长度)，
∴0秒位于
故答案为：
【解答】(1)从表中得C点1秒运动3个单位长度，求出2秒运动的位置；从表中得D点1秒运动1个单位长度，求出0秒位置即可； (2)先求相遇时间为 秒，再求相遇时的位置所表示的数即可；
(3)设P运动速度为v个长度单位/秒，运动时间为t秒，当点P向左运动时，点F用两个不同的式子表示，求得 ，不合题意，舍去；当点P向右运动时，可得 ，从而得到答案.
二、含参数的动点问题
10．（2024七上·荔湾期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且满足．
（1）求点A、B两点对应的有理数是______、______；
（2）若点C到点A的距离正好是6，求点C所表示的数应该是______；
（3）若点P所表示的数为8，
①现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过多少秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍？
②现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为t秒，的值不随时间t的变化而改变，求m的值．
【答案】（1），3
（2）或5
（3）①经过秒或，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍；②m的值为2
【知识点】整式的加减运算；数轴上两点之间的距离
三、新定义问题
11．（2022七上·江宁月考）数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为，，，此时点B是点A，C的“关联点”．
（1）若点A表示数，点B表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是　 　；
（2）点A表示数，点B表示数，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P表示的数．
【答案】（1）
（2）解：设P点在数轴上表示的数为p．
①∵P在点B左侧，则：
（Ⅰ）当P点在AB之间时．
，
解得：，
或，
解得：，
（Ⅱ）当P点在A点左侧时．
，
解得：，
∴当P点在B点左侧时，点P表示的数为或或．
②∵点P在B点右侧，则：
（Ⅰ）当点P为点A，B的“关联点”时．
，
解得：；
（Ⅱ）当点B为点P，A的“关联点”时．
，
解得：，
或，
解得：；
（Ⅲ）当点A为点B，P的“关联点”时．
，
解得：，
∴点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，此时点P表示的数为或或．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段上的两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）若点A表示数，点B表示数，下列各数，，，所对应的点分别是，，，，其中是点A，B的“关联点”的是.
故答案为：；
【分析】（1）直接根据“关联点”的概念进行判断即可；
（2）①设P点在数轴上表示的数为p，（Ⅰ）当P点在AB之间时，BP=15-p，AP=p-(-10)，结合BP=2AP或AP=2BP可得p的值；（Ⅱ）当P点在A点左侧时，AP=-10-p，BP=15-p，结合BP=2AP可得p的值；
②（Ⅰ）当点P为点A，B的“关联点”时，有AP=2BP，求解可得p的值；（Ⅱ）当点B为点P，A的“关联点”时，有BP=2AB，求解可得p的值；（Ⅲ）当点A为点B，P的“关联点”时，有AP=2BP，求解可得p的值.
12．点 A，B，C为数轴上三点，若点 C到点A 的距离是点C 到点 B 的距离的2倍，我们就称点 C 是【A，B】的美好点.
例如，如图1，点A 表示的数为-1，点B 表示的数为2.表示1的点 C到点A 的距离是2，到点 B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点.又如，表示O的点 D 到点A 的距离是1，到点 B 的距离是2，那么点 D 就不是【A，B】的美好点，但点 D 是【B，A】的美好点.
如图2，点M，N为数轴上两点，点M所表示的数为-7，点N 所表示的数为2.
（1）点 E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是【M，N】的美好点的是　 　；【N，M】的美好点 H 所表示的数是　 　.
（2）现有一只电子蚂蚁 P从点N 出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动.当t为何值时，点P，M和N 中恰有一个点为其余两个点的美好点
【答案】（1）G；-4或-16
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N 中恰有一个点为其余两个点的美好点，分八种情况：
第一种情况：当 P为【M，N】的美好点，点 P在点 M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，PN=3，点 P 对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况：当 P为【N，M】的美好点，点 P在点 M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点 P 对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况：当 P为【N，M】的美好点，点 P 在点 M 左侧，如图3，
当 PN=2MN时，NP=18，点 P 对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
第四种情况：当 M为【P，N】的美好点，点 P 在点M 左侧，如图4，
当MP=2MN时，NP=27，点 P 对应的数为2-27=-25，因此t=13.5秒；
第五种情况：当 M为【N，P】的美好点，点 P 在点 M 左侧，如图5，
当MN=2MP时，NP=13.5，点 P 对应的数为2-13.5=-11.5，因此t=6.75秒；
第六种情况：当M为【N，P】的美好点，点 P在点 M，N之间，如图6，
当MN=2MP时，NP=4.5，因此t=2.25秒；
第七种情况：当 N 为【P，M】的美好点，点 P 在点 M 左侧，
当 PN=2MN时，NP=18，因此t=9秒；
第八种情况：当 N 为【M，P】的美好点，点 P在点M，N之间，
当MN=2PN时，NP=4.5，因此t=2.25秒.
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5.
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点 E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点 N 的距离是到点M 的距离2倍的点，点N 的右侧不存在满足条件的点，点M 和点N 之间靠近点M 一侧应该有满足条件的点，进而可以确定一4符合条件.点M 的左侧距离点M 的距离等于点 M 和点 N 的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16.
故答案为：G；-4 或-16.
【分析】（1）题根据美好点的定义，即某点到M的距离是某点到N的距离的2倍，即可找到对应的点；（2）题分八种情况来分析并计算即可。
13．（2024七上·宝安期中）阅读理解：为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离的倍，我们称点是的和谐点．若点到的距离是点到的距离的倍，我们称点是的和谐点．
（1）如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_________的和谐点，点________的和谐点．（请在横线上填是或不是）
（2）如图，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．则的和谐点有_____个，并求出所有的和谐点所表示的数．
（3）如图，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向右运动，另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
当时，若点是的和谐点且在之间，则所表示的数是否为定值，若为定值，请求出该值，若不为定值，请说明理由．
直接写出当是的和谐点时，的值为________．
【答案】（1）不是，是；
（2），的和谐点所表示的数为或；
（3）解：（秒），（秒），当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
设点表示的数为，
根据题意得：，
解得：，
∴当时， 若点是的和谐点且在之间，则所表示的数为定值，该值为；
根据题意得：，
即或，
解得：或，
故答案为：或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵点到点的距离是，到点的距离是，
∴点不是的和谐点， 点是的和谐点，
故答案为：不是，是；
解：（2）设的和谐点所表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或，
∴的和谐点有个，的和谐点所表示的数为或；
故答案为：；
【分析】（）由“点到点的距离是，到点的距离是”结合和谐点的定义，即可得出结论；
（）设的和谐点所表示的数为，根据和谐点的定义，列出关于的含绝对值的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案；
（）利用时间路程速度，可求出点到达点所需的时间及，两点相遇时的时间，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
设点表示的数为，根据点是的和谐点且在之间，列出关于y的一元一次方程，求得方程的解，即可得出结论；
根据是的和谐点，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案.
（1）解：∵点到点的距离是，到点的距离是，
∴点不是的和谐点， 点是的和谐点，
故答案为：不是，是；
（2）解：设的和谐点所表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或，
∴的和谐点有个，的和谐点所表示的数为或；
故答案为：；
（3）解：（秒），（秒），
当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
设点表示的数为，
根据题意得：，
解得：，
∴当时， 若点是的和谐点且在之间，则所表示的数为定值，该值为；
根据题意得：，
即或，
解得：或，
故答案为：或．
14．（2024七上·铁西期中）根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示．
①A点表示的数是______；之间的距离是______；
②将点B向左平移______个单位长度，此时该点表示的数与点C关于原点对称；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．（数轴上1个单位长度为）；
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为19；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为4，由此可得这根木棒的长为______．
②图中点A所表示的数是______，点B所表示的数是______；
③若有一根相同的木棒水平放到数轴上，C与原点重合，D在数轴负半轴上，木棒与同时水平向右运动，的速度为，的速度为，经过______秒点C与点A重合．
（3）知识应用：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我就125岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，如图3所示，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动到点C……，根据琪琪的想法，求出奶奶现在多少岁．
【答案】（1）①，4；②5
（2）①5；②9，14；③18
（3）解：根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，则点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，∴，
解得，，
∴点表示的数为：，
∴奶奶现在岁．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）①根据图示可得，点表示的数是；之间的距离是；
故答案为：，；
②点C关于原点对称的点表示的数为，
，
∴点向左平移5个单位，该点表示的数与点C关于原点对称；
故答案为：5；
解：（2）根据题意，设木棒长为，
①当木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为时，点表示的数为：；
木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为4时，点表示的数为：；
∵一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合
∴，
解得，；
故答案为：5；
②根据上述计算，点表示的数为：；点表示的数为：，
故答案为：；；
③∵C与原点重合，D在数轴负半轴上，
∴点C表示的数为0，点D表示的数为，
设经过t秒点C与点A重合，根据题意得：
，
解得：，
故答案为：18；
【分析】
（1）①根据数轴的特点，点与数轴的关系，即可求解；
②根据数轴上两点之间距离的计算方法，即可求解；
（2）①根据木棒的长度不变，设木棒长为，表示出点的数，结合木棒的长度为，利用两点之间距离的计算即可求解；
②根据两点之间距离的计算，得到点表示的数为；点表示的数为，即可求解；
③根据题意得出点C表示的数为0，点D表示的数为，设经过t秒点C与点A重合，根据题意，列出方程，解方程即可；
（3）根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，分别表示出点的数，结合年龄差的计算，以及两点之间距离的计算方法，列方程求解，即可得到答案．
（1）解：①根据图示可得，点表示的数是；之间的距离是；
故答案为：，；
②点C关于原点对称的点表示的数为，
，
∴点向左平移5个单位，该点表示的数与点C关于原点对称；
故答案为：5；
（2）解：根据题意，设木棒长为，
①当木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为时，点表示的数为：；
木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为4时，点表示的数为：；
∵一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合
∴，
解得，；
故答案为：5；
②根据上述计算，点表示的数为：；点表示的数为：，
故答案为：；；
③∵C与原点重合，D在数轴负半轴上，
∴点C表示的数为0，点D表示的数为，
设经过t秒点C与点A重合，根据题意得：
，
解得：，
故答案为：18；
（3）解：根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，则点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，
∴，
解得，，
∴点表示的数为：，
∴奶奶现在岁．
15．（2024七上·南通月考）已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）数轴上点B 表示的数是 ； 当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q 同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与 点Q间的距离为8个单位长度？
③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”．求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B 是一组“幸福点”？
【答案】（1），1
（2）①2.5秒；②0.5秒或4.5秒③1.25秒或2秒或5秒
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
16．（2024七上·南山期中）我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”.已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为.
（1）若点是点关于原点的“星点”，则　 　；若点是点关于点的“3星点”，则　 　；
（2）若线段AB在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段AB的中点.是否存在某一时刻，使得点是点关于点2的“-2星点”？若存在，求出线段AB的运动时间；若不存在，请说明理由；
（3）点M是数轴上的动点，点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”，当为整数时，请直接写出的值.
【答案】（1）1；1.5
（2）解：设AB运动的时间为秒，则点运动后表示的数，线段AB的中点表示的数为，
点是点关于点2的“-2星点”，
，
当，点是点关于点2的“-2星点”.
（3）解：
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：解：（1）点是点关于原点的“星点”，
.
，
；
点是点关于点的“3星点”，
.
.
故答案为：1，1.5.
（3）点是原点关于点的“星点”，
.
∴，
∴，
∴.
点表示为整数，
或.
解得：或-2或2或-4.
故答案为：.
【分析】（1）利用“k星点”的定义及“3星点”的定义列出方程求解即可；
（2）设AB运动的时间为秒，则点运动后表示的数，线段AB的中点表示的数为，结合“点是点关于点2的“-2星点””列出方程，再求解即可；
（3）利用“k星点”的定义可得，求出，再结合“点表示为整数”可得或，再求出k的值即可.
17．（2024七上·曲靖期中）已知数轴上两点，对应的数分别为，4，点为数轴上一动点，其对应的数为．
（1）若点为线段的中点，则点对应的数_______；
（2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值；
（3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值．
【答案】（1）1
（2）点对应的数是或5；
（3）或1.3或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离
四、数轴上的最值问题
18．（2024七上·宁波期中） 结合数轴与绝对值的知识， 回答下列问题：
（1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是　 　；表示 -3 和 2 的两点之间的距离是　 　； 一般地，数轴上表示数 和 的两点之间的距离等于 ，数轴上表示 和 -1 的两点之间的距离是　 　；如果表示数 和 -2 的两点之间的距离是 3， 那么 　 　.
（2）若数轴上表示 的点位于 -5 和 3 之间，求 的值.
（3）当 为　 　时， 最小，最小值为　 　.
（4）若 ，请直接写出 的值.
【答案】（1）3；5；；-5或1
（2）解：数轴上表示的点位于和3之间，
，
，，
；

（3）-1；7
（4）解： 或 -3
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值
【解析】【解答】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；
表示和2的两点之间的距离是；
数轴上表示和的两点之间的距离是，
如果表示数和的两点之间的距离是3，则，
那么或，
故答案为：，，，或；（2）
（3）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
即当为时，最小，最小值为，
故答案为：，；
（4）解：当时，，
解得：；
当时，，不符合题意；
当时，，
解得：，
综上可知，的值为或．
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离计算即可；
（2）由题意得，进而得到，，再去绝对值符号计算即可；
（3）分五种情况（，，，，）讨论，分别去绝对值符号计算，求最小值比较即可；
（4）分三种情况（，，）讨论，分别去绝对值符号解方程，即可求出的值．
19．（2024七上·重庆市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么 ．
（2）当时，所有可能整数a的和为多少？
（3）有最小值吗？如果有，请求出它的最小值，并指明此时a的取值．
【答案】（1）3；5；或
（2）
（3）7
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
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