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分课时学案
课题 5.3二元一次方程组的应用第2课时 单元 第五单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.能运用二元一次方程组解决 “增长率”“物质配比” 类实际问题，规范完成 “审、设、列、解、验、答” 全流程； 2.熟练掌握用表格梳理多维度信息的方法，能根据情境合理设计表格栏目、准确填充数据，提升信息整合能力； 3.体会二元一次方程组在不同生活领域的应用价值，深化建模思想，培养用数学解决实际问题的应用意识； 4.通过小组合作分析复杂情境，提升逻辑表达与合作交流能力，养成解题后检验的严谨习惯。
重点 1.掌握用表格梳理 “增长率”“物质配比” 类问题的信息，准确提取等量关系； 2.能列二元一次方程组解决两类典型实际问题，规范书写解题过程。
难点 在 “增长率”“物质配比” 情境中，通过表格准确建立 “不同维度量” 的对应关系（如 “去年总收入与今年总收入的增长率关系”“原料质量与营养成分含量的配比关系”），避免因信息对应错误导致列方程失误。
教学过程
导入新课 复习导入： 1. “上节课我们用二元一次方程组解决了‘雉兔同笼’等问题，大家还记得列方程组的关键步骤吗？ 2. “生活中我们经常会遇到‘收入’‘支出’‘利润’的问题，比如商店卖商品、工厂经营都会涉及。大家先思考一个简单问题：如果一家小店 1 天的收入是 200 元，支出是 120 元，那么这一天的利润是多少？你能用一个等式表示‘收入’‘支出’‘利润’三者的关系吗？” 3. “如果这家小店第二天的收入比第一天增加了 10%，支出比第一天减少了 5%，你能分别表示出第二天的收入和支出吗？如果已知第二天利润是 100 元，你能尝试列出一个方程，或者两个方程组成方程组吗？”
新知讲解 探究活动一： 某工厂前年的总利润（总收入-总支出）为200万元。去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元。前年的总收人、总支出各是多少万元？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流。 探究活动二： 例题精讲 例2.医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？ 分析：设每餐用甲原料xg、乙原料yg，则有 成分甲原料x g乙原料y g所配制的营养品其中所含蛋白质其中所含铁质
解答： 变式训练：某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产了17吨，其中水稻超产15%，小麦超产10%.该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？ 探究活动三： 思考交流： 在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流。
课堂练习 巩固训练 1.某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元；乙种水的桶数是甲种水桶数的75%。设买甲种水x桶，乙种水y桶，则所列方程组中正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.育才学校去年有学生3 100名，今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%。问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名。设去年有寄宿学生x名，走读学生y名，则可列出方程组为 。 3.某工厂去年的利润(总收入-总支出)为500万元，今年总收入比去年增加了30%，总支出比去年增加了10%，今年的利润为950万元，求去年的总收入、总支出各是多少万元。 4.某校八(2)班50名同学为“地震灾区”捐款，共捐款432元，捐款情况如表: 捐款/元251050人数/人6●●2
表格中捐款5元和10元的人数不小心被墨水污染，看不清楚。若设捐款5元的有x名同学，捐款10元的有y名同学，根据题意，可得方程组为 ( ) A. B. C. D. 5.某商场用14 500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示: 类别成本价/(元/箱)销售价/(元/箱)甲2535乙3548
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ (2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
作业布置 基础达标： 1.为响应“科教兴国”的战略号召，学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人，已知购买1架航拍无人机和1个编程机器人需要746元，1架航拍无人机价格的比1个编程机器人价格的3倍少75元，设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 2.某生产车间共有36名工人，已知每名工人每小时可以生产螺丝帽50个，或者生产螺丝钉20个，已知一个螺丝钉要配两个螺丝帽，设安排x名工人生产螺丝帽，安排y名工人生产螺丝钉，则下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3.甲、乙两种商品原来的单价和为元.因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了.设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，可列出的方程组是( ) A. B. C. D. 4.英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需214元，购买3枚徽章和2枚书签共需150元，则徽章和书签的单价分别是( ) A.28元，37元 B.40元，15元 C.36元，17元 D.32元，27元 能力提升： 5.在一次设计环保标志的活动中，初三（1）班的同学们积极投稿，班主任王老师准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒.设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，根据题意得方程组( ) A. B. C. D. 6.某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元.设甲种票购买了x张，乙种票购买了y张，那么所列的方程组是_______. 7.甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为__________________元. 拓展迁移： 8.五一节前，某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风共需费用800元 (1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)该商店将A种品牌电风扇定价为280元/台，B种品牌电风扇定价为350元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 9.为了保护环境，深圳某公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A，B两种型号，其中每台的价格和年省油量如下表: 型号AB价格/(万元/台)ab节省的油量/(万升/年)2.42
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元。 (1)请求出a和b； (2)若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，则购买这批混合动力公交车需要多少万元？
参考答案：
例题精讲：
例2：
解:设每餐用甲原料x g、乙原料y g，
根据题意，得解这个方程组，得
所以，每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要。
巩固训练：
1.A
2.
3.解:设去年的总收入为x万元，总支出为y万元。
根据题意，得
解得
答:去年的总收入和总支出分别为2 000万元和1 500万元。
4.A
5.解:(1)设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱。根据题意，得
解得
答:购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱。
(2)(35-25)×300+(48-35)×200=5 600(元)。
答:该商场售完这500箱矿泉水，可获利5 600元。
作业设计：
1.答案：A
解析：购买1架航拍无人机和1个编程机器人需要746元，
，
又1架航拍无人机价格的比1个编程机器人价格的3倍少75元，
，
根据题意可列方程组，
故选：A.
2.答案：C
解析：设安排x名工人生产螺丝帽，安排y名工人生产螺丝钉，则
，
故选：C.
3.答案：D
解析：由题意得：甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，
甲、乙两种商品原来的单价和为元，
，
甲商品降价即为，
乙商品提价即为，
调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了即为，
，
综上，.
故选：D.
4.答案：D
解析：设徽章和书签的单价分别是x元，y元，由题意可得，
，
解得：，
故选D.
5.答案：C
解析：∵每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒，
∴，
∵每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒，
∴，
∴依题意列出方程组为，
故选C.
6.答案：
解析：设甲种票购买了x张，乙种票购买了y张，
根据题意，得：.
故答案为：.
7.答案：
解析：根据题意，设乙店的耳机进价为x元，标价为y元，
则甲店的耳机进价为：元；标价为：元；
甲乙两店的利润率分别为和，
，
解得：，
乙店每副耳机的进价为元；
故答案为：.
8.答案：(1)A品牌电风扇每台的进价是200元，B品牌电风扇每台的进价是300元
(2)应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台
解析：(1)设A品牌电风扇每台的进价是x元，B品牌电风扇每台的进价是y元，
由题意，得，
解得.
答：A品牌电风扇每台的进价是200元，B品牌电风扇每台的进价是300元；
(2)设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，
由题意，可得，
其正整数解为或或，
当，时，利润 (元)，
当，时，利润 (元)，
当，时，利润 (元)，
∵，
∴当，时，利润最大.
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台.
9.解:(1)根据题意，得
解得
(2)设购买A型车x台，则购买B型车(10-x)台。根据题意，得
2.4x+2(10-x)=22.4，解得x=6。
所以10-x=4。
所以120×6+100×4=1 120(万元)。
答:购买这批混合动力公交车需要1 120万元。
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第五章 二元一次方程组
5.3二元一次方程组的应用第2课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
能运用二元一次方程组解决 “增长率”“物质配比” 类实际问题，规范完成 “审、设、列、解、验、答” 全流程；
01
熟练掌握用表格梳理多维度信息的方法，能根据情境合理设计表格栏目、准确填充数据，提升信息整合能力；
02
体会二元一次方程组在不同生活领域的应用价值，深化建模思想，培养用数学解决实际问题的应用意识；
03
通过小组合作分析复杂情境，提升逻辑表达与合作交流能力，养成解题后检验的严谨习惯.
04
02
新知导入
复习回顾：
1. “上节课我们用二元一次方程组解决了‘雉兔同笼’等问题，大家还记得列方程组的关键步骤吗？
列二元一次方程组解决实际问题时，设定未知数和找等量关系需遵循 “贴合问题核心、对应已知条件” 的原则，具体可分两步：设未知数；找等量关系.
02
新知导入
2. “生活中我们经常会遇到‘收入’‘支出’‘利润’的问题，比如商店卖商品、工厂经营都会涉及.大家先思考一个简单问题：如果一家小店 1 天的收入是 200 元，支出是 120 元，那么这一天的利润是多少？你能用一个等式表示‘收入’‘支出’‘利润’三者的关系吗？”
生活中 “收入”“支出”“利润” 三者的核心数量关系为：利润=收入-支出，基于这个基础关系，可灵活推导不同已知条件下的计算方式.
已知收入和支出，求利润：直接代入公式计算.
例如 “小店1天收入200元、支出120元”，则利润= 200-120=80元
02
新知导入
3. “如果这家小店第二天的收入比第一天增加了 10%，支出比第一天减少了 5%，你能分别表示出第二天的收入和支出吗？如果已知第二天利润是 100 元，你能尝试列出一个方程，或者两个方程组成方程组吗？”
根据题意，设第一天收入为 x 元，支出为 y 元，
则可知第二天的收入为：(1+10%)x=1.1x；
第二天的支出为：(1-5%)y=0.95y；
根据题意可列二元一次方程组：
03
新知讲解
某工厂前年的总利润(总收入-总支出)为200万元.去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元.前年的总收人、总支出各是多少万元？
(1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
涉及的量：前年收入，前年支出，去年收入，去年支出.
等量关系：前年总收入-前年总支出=前年总利润；
去年总收入-去年总支出=去年总利润.
03
新知讲解
(2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流.
设去年的总收入为x万元，总支出为y万元， 则有
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
x
y
200
(1+20%)x
(1-10%)y
780
根据上表，可以列出方程组 .
解这个方程组，得 .
所以，前年的总收入是 ，总支出是 .
2000万元
1800万元
03
新知讲解
归纳总结：
1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为:审、设、列、解、检、答.
2.解题过程中的注意事项:审清题意，巧设未知量，正确列等量关系式.
03
新知讲解
医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要
例2
分析
设每餐用甲原料xg、乙原料yg，则有
成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
03
新知讲解
解析
解:设每餐用甲原料x g、乙原料y g，
根据题意，得
解这个方程组，得
所以，每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要.
03
新知讲解
解:设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨；利用表格分析得：
变式训练：某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产了17吨，其中水稻超产15%，小麦超产10%.该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨
水稻/吨 小麦/吨 合计/吨
去年计划 x y 15
去年实际 (1+15%)x (1+10%)y 17
03
新知讲解
解:设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨；
实际生产水稻(1+15%)x吨，小麦(1+10%)y吨.
由题意，得
解得
(1+15%)x=11.5，(1+10%)y=5.5.
答:该专业户去年实际生产水稻11.5吨，小麦5.5吨.
03
新知讲解
解决 “增长率”“物质配比” 问题，关键是用表格梳理多维度信息(如时间维度、成分维度)，确保 “量的对应关系清晰”；
列方程组需提取两个独立等量关系(如总量关系、变化后关系)，求解后必检验解的实际意义(如质量、数量不为负).
方法总结
03
新知讲解
3 个核心梳理方法
圈画标注：用符号标出未知量(如 “牛 / 羊值金”)、已知数据(如 “5 牛 2 羊 10 金”)、等量提示词(如 “共、是、增加”)，不遗漏关键；
表格整理：遇多主体 / 多时间(如 “前年 / 去年收支”)，用表格分类填 “属性”(收入、支出)和 “数据”，关系更直观；
逆向推导：从问题出发，想 “求未知量需哪些等量关系”(如 “配营养品需蛋白质、铁质两个等量”)，再找对应信息.
在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流.
03
新知讲解
四点实用心得
①前期梳理细一点，后期列方程快一点；
②抓 “不变量”(如 “患者需的蛋白质总量”)，突破复杂问题；
③不套模板，每道题重新验证等量关系；
④和同伴互查，互相提问能发现遗漏.
03
新知讲解
04
巩固训练
1.某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元；乙种水的桶数是甲种水桶数的75%.设买甲种水x桶，乙种水y桶，则所列方程组中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
A
2.育才学校去年有学生3100名，今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名.设去年有寄宿学生x名，走读学生y名，则可列出方程组为 .
04
巩固训练
解:设去年的总收入为x万元，总支出为y万元.
根据题意，得
解得
答:去年的总收入和总支出分别为2 000万元和1 500万元.
3.某工厂去年的利润(总收入-总支出)为500万元，今年总收入比去年增加了30%，总支出比去年增加了10%，今年的利润为950万元，求去年的总收入、总支出各是多少万元.
04
巩固训练
4.某校八(2)班50名同学为“地震灾区”捐款，共捐款432元，捐款情况如表:
表格中捐款5元和10元的人数不小心被墨水污染，看不清楚.若设捐款5元的有x名同学，捐款10元的有y名同学，根据题意，可得方程组为 ( )
A. B.
C. D.
A
捐款/元 2 5 10 50
人数/人 6 ● ● 2
04
巩固训练
5.某商场用14 500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示:
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱
解:(1)设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱.根据题意，得 解得
答:购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱.
类别 成本价/(元/箱) 销售价/(元/箱)
甲 25 35
乙 35 48
04
巩固训练
5.某商场用14 500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示:
(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元
(2)(35-25)×300+(48-35)×200=5 600(元).
答:该商场售完这500箱矿泉水，可获利5 600元.
类别 成本价/(元/箱) 销售价/(元/箱)
甲 25 35
乙 35 48
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
两类典型问题建模：①增长率问题：今年量 = 去年量 ×(1 + 增长率)，核心是梳理不同时间维度的量的关系；②物质配比问题：某成分总量 = 各原料该成分含量之和，关键是明确原料与成分的对应关系.
解题流程：审(分析情境)→设(设两个未知数)→列(据等量关系列方程组)→解(代入 / 加减消元法)→验(检验解的实际意义)→答(规范书写).
1.为响应“科教兴国”的战略号召，学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人，已知购买1架航拍无人机和1个编程机器人需要746元，1架航拍无人机价格的比1个编程机器人价格的3倍少75元，设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
06
作业设计
基础达标：
A
06
作业设计
基础达标：
2.某生产车间共有36名工人，已知每名工人每小时可以生产螺丝帽50个，或者生产螺丝钉20个，已知一个螺丝钉要配两个螺丝帽，设安排x名工人生产螺丝帽，安排y名工人生产螺丝钉，则下列方程组正确的是( )
A. B.C.D.
C
3.甲、乙两种商品原来的单价和为元.因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了.设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，可列出的方程组是( )
A. B.
C. D.
06
作业设计
基础达标：
4.英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需214元，购买3枚徽章和2枚书签共需150元，则徽章和书签的单价分别是( )
A.28元，37元 B.40元，15元 C.36元，17元 D.32元，27元
06
作业设计
基础达标：
解析：设徽章和书签的单价分别是x元，y元，由题意可得，
，
解得：，
故选D.
5.在一次设计环保标志的活动中，初三(1)班的同学们积极投稿，班主任王老师准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒.设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，根据题意得方程组( )
A. B. C. D.
06
作业设计
能力提升：
C
06
作业设计
能力提升：
6.某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元.
设甲种票购买了x张，乙种票购买了y张，那么所列的方程组是_____________.
7.甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为_____元.
60
06
作业设计
迁移拓展：
8.五一节前，某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风共需费用800元
(1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
(2)该商店将A种品牌电风扇定价为280元/台，B种品牌电风扇定价为350元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
06
作业设计
迁移拓展：
解：(1)设A品牌电风扇每台的进价是x元，B品牌电风扇每台的进价是y元，
由题意，得，
解得.
答：A品牌电风扇每台的进价是200元，B品牌电风扇每台的进价是300元；
06
作业设计
迁移拓展：
(2)设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，
由题意，可得，
其正整数解为或或，
当，时，利润 (元)，
当，时，利润 (元)，
当，时，利润 (元)，
∵，
∴当，时，利润最大.
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台.
06
作业设计
迁移拓展：
9.为了保护环境，深圳某公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A，B两种型号，其中每台的价格和年省油量如下表:
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元.
(1)请求出a和b；
(2)若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，则购买这批混合动力公交车需要多少万元
型号 A B
价格/(万元/台) a b
节省的油量/(万升/年) 2.4 2
06
作业设计
迁移拓展：
解:(1)根据题意，得
解得
(2)设购买A型车x台，则购买B型车(10-x)台.根据题意，得
2.4x+2(10-x)=22.4，解得x=6.
所以10-x=4.
所以120×6+100×4=1 120(万元).
答:购买这批混合动力公交车需要1 120万元.
Thanks!
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5.3二元一次方程组的应用第2课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 五单元
课题 5.3二元一次方程组的应用 课时 第2课时
课标要求 依据 2022 版数学新课标 “数与代数” 领域 “方程与不等式” 主题要求，本节需引导学生运用二元一次方程组解决含 “增长率”“物质配比” 的实际问题，熟练运用表格梳理信息，深化数学建模思想.通过分析复杂情境中的数量关系，发展运算能力与逻辑推理素养，体会数学在经济、医疗等领域的应用价值.落实 “用数学方法分析和解决实际问题” 的课程目标，培养学生严谨的解题规范与信息整合能力，为后续解决更复杂的多元应用问题奠定基础.
教材分析 本节是第五章 “二元一次方程组应用” 的深化课时，承接第 1 课时 “古算题与基础应用”，聚焦 “增长率”(工厂利润问题)和 “物质配比”(营养品配制问题)两类典型应用场景.教材以表格为核心工具，通过填充表格梳理 “去年-今年” 的收入支出关系、“原料 - 营养成分” 的配比关系，降低信息提取难度，遵循 “复杂情境→表格梳理→等量关系→列方程求解” 的思路.本节内容不仅巩固方程组解法，更强化 “用表格整合信息” 的解题策略，是培养学生信息分析与建模能力的关键，衔接后续跨学科应用问题.
学情分析 学生已掌握二元一次方程组应用的基本流程，能解决简单情境问题，但面对 “增长率”“多维度配比” 等复杂情境时，易因信息杂乱混淆数量关系；部分学生虽会用表格，但存在表格栏目设计不合理、数据填充错误的问题，导致列方程出错.此外，解题后对 “解的实际意义检验” 仍不够重视，需通过方法示范与针对性练习突破难点.
教学目标 1.能运用二元一次方程组解决 “增长率”“物质配比” 类实际问题，规范完成 “审、设、列、解、验、答” 全流程； 2.熟练掌握用表格梳理多维度信息的方法，能根据情境合理设计表格栏目、准确填充数据，提升信息整合能力； 3.体会二元一次方程组在不同生活领域的应用价值，深化建模思想，培养用数学解决实际问题的应用意识； 4.通过小组合作分析复杂情境，提升逻辑表达与合作交流能力，养成解题后检验的严谨习惯.
教学重点 1.掌握用表格梳理 “增长率”“物质配比” 类问题的信息，准确提取等量关系； 2.能列二元一次方程组解决两类典型实际问题，规范书写解题过程.
教学难点 在 “增长率”“物质配比” 情境中，通过表格准确建立 “不同维度量” 的对应关系(如 “去年总收入与今年总收入的增长率关系”“原料质量与营养成分含量的配比关系”)，避免因信息对应错误导致列方程失误.
教法与学法分析 教法采用情境教学法、示范讲解法，结合小组讨论，通过典型例题示范表格设计与信息梳理；学法以 “情境拆解 — 表格梳理 — 等量关系提取 — 方程求解” 为主线，学生通过模仿实践、纠错反思，掌握解题策略，实现 “教师引导、学生主动建构” 的教学效果.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习导入： 1. “上节课我们用二元一次方程组解决了‘雉兔同笼’等问题，大家还记得列方程组的关键步骤吗？ 列二元一次方程组解决实际问题时，设定未知数和找等量关系需遵循 “贴合问题核心、对应已知条件” 的原则，具体可分两步：设未知数：找等量关系： 2.“生活中我们经常会遇到‘收入’‘支出’‘利润’的问题，比如商店卖商品、工厂经营都会涉及.大家先思考一个简单问题：如果一家小店 1 天的收入是 200 元，支出是 120 元，那么这一天的利润是多少？你能用一个等式表示‘收入’‘支出’‘利润’三者的关系吗？” 生活中 “收入”“支出”“利润” 三者的核心数量关系为：利润=收入-支出，基于这个基础关系，可灵活推导不同已知条件下的计算方式. 已知收入和支出，求利润：直接代入公式计算.例如 “小店1天收入200元、支出120元”，则利润= 200-120=80元 3. “如果这家小店第二天的收入比第一天增加了 10%，支出比第一天减少了 5%，你能分别表示出第二天的收入和支出吗？如果已知第二天利润是 100 元，你能尝试列出一个方程，或者两个方程组成方程组吗？” 根据题意，设第一天收入为 x 元，支出为 y 元， 则可知第二天的收入为：(1+10%)x=1.1x； 第二天的支出为：(1-5%)y=0.95y； 根据题意可列二元一次方程组： 回顾列方程组解应用题的基本流程，通过 “小店收入支出” 问题，引导学生回忆 “利润 = 收入 - 支出” 关系，设问 “若收入支出有增长率，如何列方程组”，引出新课. 回忆旧知，计算基础利润，尝试表示增长率下的收入支出，思考双未知量建模思路. 激活利润关系与增长率基础认知，通过问题冲突衔接新课，为 “增长率” 类问题铺垫.
探究活动一： 某工厂前年的总利润(总收入-总支出)为200万元.去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元.前年的总收人、总支出各是多少万元？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 涉及的量：前年收入，前年支出，去年收入，去年支出. 等量关系：前年总收入-前年总支出=前年总利润； 去年总收入-去年总支出=去年总利润. (2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流. 设去年的总收入为x万元，总支出为y万元， 则有 总收入/万元总支出/万元利润/万元去年xy200今年(1+20%)x(1-10%)y780
根据上表，可以列出方程组. 解这个方程组，得 . 所以，前年的总收入是 2000万元 ，总支出是 1800万元 . 归纳总结：1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答. 2.解题过程中的注意事项：审清题意，巧设未知量，正确列等量关系式. 呈现工厂利润问题，示范用表格梳理 “前年 - 去年” 的收入、支出、利润关系，引导提取两个等量关系，列方程组求解. 小组合作填写表格，提取等量关系，独立列方程组并求解，验证解的实际意义. 以表格为工具突破 “增长率下量的关系” 难点，让学生掌握 “增长率” 类问题的建模方法.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 例题精讲 例2.医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？ 分析：设每餐用甲原料xg、乙原料yg，则有 成分甲原料x g乙原料y g所配制的营养品其中所含蛋白质0.5x0.7y35其中所含铁质 x0.4y40
解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g， 根据题意，得解这个方程组，得 所以，每餐用甲原料28 g、乙原料30 g可以恰好满足患者的需要. 变式训练：某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产了17吨，其中水稻超产15%，小麦超产10%.该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？ 解：设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨； 利用表格分析得： 水稻/吨小麦/吨合计/吨去年计划xy15去年实际(1+15%)x(1+10%)y17
实际生产水稻(1+15%)x吨，小麦(1+10%)y吨. 由题意，得解得 (1+15%)x=11.5，(1+10%)y=5.5. 答：该专业户去年实际生产水稻11.5吨，小麦5.5吨. 总结归纳： 解决 “增长率”“物质配比” 问题，关键是用表格梳理多维度信息(如时间维度、成分维度)，确保 “量的对应关系清晰”；列方程组需提取两个独立等量关系(如总量关系、变化后关系)，求解后必检验解的实际意义(如质量、数量不为负). 精讲营养品配制例题，引导用表格梳理 “甲、乙原料” 与 “蛋白质、铁质” 的配比关系，示范列方程组；通过粮食超产变式训练，强化表格应用. 析原料与营养成分的对应关系，列方程组求解，完成变式训练并小组互评. 掌握 “物质配比” 类问题的建模逻辑，通过变式训练巩固表格梳理信息的方法.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 思考交流： 在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流. 三个核心梳理方法 圈画标注：用符号标出未知量(如 “牛 / 羊值金”)、已知数据(如 “5 牛 2 羊 10 金”)、等量提示词(如 “共、是、增加”)，不遗漏关键； 表格整理：遇多主体 / 多时间(如 “前年 / 去年收支”)，用表格分类填 “属性”(收入、支出)和 “数据”，关系更直观； 逆向推导：从问题出发，想 “求未知量需哪些等量关系”(如 “配营养品需蛋白质、铁质两个等量”)，再找对应信息. 四点实用心得 ①前期梳理细一点，后期列方程快一点； ②抓 “不变量”(如 “患者需的蛋白质总量”)，突破复杂问题； ③不套模板，每道题重新验证等量关系； ④和同伴互查，互相提问能发现遗漏. 组织学生讨论 “如何高效梳理复杂问题信息”，总结圈画标注、表格整理、逆向推导三种方法，结合实例说明适用场景. 分享梳理信息的经验，结合例题验证方法，归纳实用心得(如抓不变量、互查纠错) 提炼可迁移的信息梳理策略，提升学生自主分析复杂情境的能力.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元；乙种水的桶数是甲种水桶数的75%.设买甲种水x桶，乙种水y桶，则所列方程组中正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.育才学校去年有学生3 100名，今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名.设去年有寄宿学生x名，走读学生y名，则可列出方程组为 . 3.某工厂去年的利润(总收入-总支出)为500万元，今年总收入比去年增加了30%，总支出比去年增加了10%，今年的利润为950万元，求去年的总收入、总支出各是多少万元. 4.某校八(2)班50名同学为“地震灾区”捐款，共捐款432元，捐款情况如表： 捐款/元251050人数/人6●●2
表格中捐款5元和10元的人数不小心被墨水污染，看不清楚.若设捐款5元的有x名同学，捐款10元的有y名同学，根据题意，可得方程组为 ( ) A. B. C. D. 5.某商场用14 500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示： 类别成本价/(元/箱)销售价/(元/箱)甲2535乙3548
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ (2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答. 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识：两类典型问题建模：①增长率问题：今年量 = 去年量 ×(1 + 增长率)，核心是梳理不同时间维度的量的关系；②物质配比问题：某成分总量 = 各原料该成分含量之和，关键是明确原料与成分的对应关系. 解题流程：审(分析情境)→设(设两个未知数)→列(据等量关系列方程组)→解(代入 / 加减消元法)→验(检验解的实际意义)→答(规范书写). 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架.
板书设计 5.3二元一次方程组的应用第2课时 1.利用二元一次方程组解决实际问题的步骤： 2.列表格分析数量关系： 例2 变式训练： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系.
作业设计 基础达标： 1.为响应“科教兴国”的战略号召，学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人，已知购买1架航拍无人机和1个编程机器人需要746元，1架航拍无人机价格的比1个编程机器人价格的3倍少75元，设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 2.某生产车间共有36名工人，已知每名工人每小时可以生产螺丝帽50个，或者生产螺丝钉20个，已知一个螺丝钉要配两个螺丝帽，设安排x名工人生产螺丝帽，安排y名工人生产螺丝钉，则下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3.甲、乙两种商品原来的单价和为元.因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了.设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，可列出的方程组是( ) A. B. C. D. 4.英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需214元，购买3枚徽章和2枚书签共需150元，则徽章和书签的单价分别是( ) A.28元，37元 B.40元，15元 C.36元，17元 D.32元，27元 能力提升： 5.在一次设计环保标志的活动中，初三(1)班的同学们积极投稿，班主任王老师准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒.设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，根据题意得方程组( ) A. B. C. D. 6.某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元.设甲种票购买了x张，乙种票购买了y张，那么所列的方程组是_______. 7.甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜，乙店的标价比甲店的标价高元，这样甲乙两店的利润率分别为和，则乙店每副耳机的进价为__________________元. 拓展迁移： 8.五一节前，某商店拟用2000元的总价购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风共需费用800元 (1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)该商店将A种品牌电风扇定价为280元/台，B种品牌电风扇定价为350元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 9.为了保护环境，深圳某公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A，B两种型号，其中每台的价格和年省油量如下表： 型号AB价格/(万元/台)ab节省的油量/(万升/年)2.42
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元. (1)请求出a和b； (2)若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，则购买这批混合动力公交车需要多少万元？
教学反思 本节通过表格梳理信息降低了复杂情境的难度，多数学生能解决两类典型问题，但部分学生仍存在表格栏目设计不当、增长率问题中 “今年量与去年量的关系” 混淆的情况.后续需增加表格设计的专项训练，强化 “增长率”“配比” 类问题的数量关系辨析；同时，应加强 “解的实际意义检验” 的强调，如 “原料质量不能为负”“增长率计算是否正确”.此外，可补充跨学科情境题(如物理中的密度配比)，进一步拓展学生建模视野，落实核心素养.
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