9.2.3 总体集中趋势的估计 课件(共20张PPT)-人教A版高中数学必修二

(共20张PPT)
9.2.3 总体集中趋势的估计
新知探究
通过具体实例进一步了解这些量的意义,探究它们之间的联系与区别,并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.
例4 利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平均数和中位数,并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6
解：① 根据已知100户居民用户月均用水量的数据,可得样本平均数为
即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.
新知探究
解：
②将样本数据按从小到大排序,结果如下：
1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.0
6.8 6.8
由上述数据可得,第50个数和第51个数均为6.8,由中位数的定义可得,100户居民的月均用水量的中位数是6.8t.
因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本,所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t,其中位数约为6.8t.
追问 设某个居民小区有2000户,你能估计该小区的月用水总量吗？
方法小结
【例4】100户居民月均用水量数据计算
手动计算:平均数=8.79吨,中位数=6.8吨
软件辅助:Excel(AVERAGE, MEDIAN, MODE)或Matlab/R (mean, median)
计算方法:原始数据与软件工具
信息技术演示:Excel(AVERAGE, MEDIAN, MODE)计算平均数、中位数和众数.
新知探究
思考 小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数.但在录入数据时,不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数,并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大？
77
平均数
6.8t→6.8t
8.79t→9.483t
与中位数比较,平均数反映出样本数据中的更多信息,对样本中的极端值更加敏感.
你能解释原因吗？
中位数
新知探究
在直方图中,平均数总在“长尾巴”那边.
平均数、中位数、众数刻画一组数据的集中趋势的特点
探究一 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种频率分布直方图形态中,平均数和中位数的大小存在什么关系？
(1)平均数和中位数应该大体上差不多;
(3)平均数小于中位数.（左边“拖尾”).
(2)平均数大于中位数.（右边“拖尾”).
校服规格选择案例
规格
155
16
16
170
175
155
160
165
170
175
合计
167
典例解析：用众数来描述数据的集中趋势.
例5 某学校要定制高一年级的校服,学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.根据统计,高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示:
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 39 64 167 90 26 386
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
新知探究
解：为了更直观地观察数据的特征,我们用条形图来表示表中的数据.
追问 能否用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格？推断方法合理吗？
不合理.
众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多,但并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此,众数只能传递数据中的信息的很少的一部分,对极端值也不敏感.
新知探究
统计量 优点 缺点
平均数
中位数
众数
问题2 总结平均数、中位数、众数各自的特点,我们应如何选择适合的统计量来表示数据的集中趋势？
(1)数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述,可以用？
(2)分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述,可以用？
与中位数相比,平均数反映出样本数据中更多的信息,对样本中的极端值更加敏感
任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”,对平均数的影响越大
不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响
对极端值不敏感
体现了样本数据的最大集中点
众数只能传递数据中的信息的很少一部分,对极端值不敏感
新知探究
探究2 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计,但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据．
你能以下图中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗
通常假设它们在组内均匀分布.这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计,进而估计总体的平均数、中位数和众数.
如何由频率分布直方图估计样本的平均数、中位数和众数？
新知探究
1.根据频率分布直方图计算样本平均数：
平均数的近似值为
↑小矩形面积（频率）
↓小矩形底边中点横坐标
这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大.
原理:样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和.
在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
月均用水量/t
频率/组距
0.02
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.077
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
新知探究
2.根据频率分布直方图计算样本中位数：
月均用水量/t
频率/组距
0.02
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.077
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
∴中位数落在区间[4.2,7.2)内
这个结果与根据原始数据求得的中位数6.8相差不大.
x-4.2
因此,中位数约为6.71.
(0.077+0.107)×3=0.552
原理:中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
∴
设中位数是 ,则
新知探究
月均用水量/t
频率/组距
0.02
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.077
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
3.根据频率分布直方图计算样本众数：
因此,众数约为5.7.
众数常用在描述分类型数据中,众数5.7让我们知道月均用水量在区间[4.2，7.2)的居民用户最多.这个信息具有实际意义.
原理:在频率分布直方图中,常把最高矩形的中点的横坐标作为众数的估计值.
信息技术展示
【附件】数学软件Matlab结果视频展示.
巩固训练
练习 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.
（1）求这次测试数学成绩的众数;
（2）求这次测试数学成绩的中位数.
（3）求这次测试数学成绩的平均分.
巩固训练
（2）中位数
∴中位数落在区间[70,80)内,
设中位数是x ,则
0.05
0.15
0.2
0.3
（3）平均数=
,
理解应用
问题3 以上我们讨论了平均数、中位数和众数在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点,并研究了用样本的特征量估计总体特征量的方法.那么这种方法有什么不足？
问题4 假设你到人力市场去找工作,有一个企业老板告诉你,我们企业员工的年平均收入是20万元”.你如何理解这句话？
可能这个公司的工资水平普遍较高,也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不多;
可能是绝大多数员工的年收入较低,而少数员工的年收入很高;在这种情况下,年收入的平均数就比中位数大得多.
我们要强调“用数据说话”,但同时又要防止被数据误导.这就需要掌握更多的统计知识和方法.
课堂小结
课后作业
1.巩固基础:课本P209练习1-3.练习册P62基础达标练.
2.提升素养:练习册P63能力提升练.
3.拓展能力:课本P209练习第三题,进一步探究:如何判断甲乙两位选手得分的稳定性.
谢 谢！