专题04:三角函数专题（含解析）

专题04三角函数
题型一:任意角和弧度制
一、单选题
1．已知角，则是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．四 D．三
2．下列选项中说法正确的是（ ）
A．第四象限的角一定是负角
B．第一象限的角一定是正角
C．钝角一定是第二象限的角
D．小于90度的角一定是锐角
3．已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．
C． D．是第三或第四象限角
4．与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
5．与终边相同的最小正角是（ ）
A． B． C． D．
6．已知扇形的半径为2，面积为，则该扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D． 7．终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是

A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．弧度化为角度是
10．若角是锐角，则角是第 象限的角.
11．转换为弧度是 .
三、解答题
12．（1）已知扇形的圆心角，半径，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长是，则当其半径为多少时，扇形的面积最大，并求出最大值．
题型二:任意角的三角函数
一、单选题
1．若，，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知，且，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若是第四象限角，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
5．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列所给的等式中正确的为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知角的终边经过点，则下列选项错误的是（ ）
A． B．为钝角
C． D．点在第四象限
二、填空题
10．计算：
三、解答题
11．已知角终边上有一点，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
12．已知为第二象限角，且.
(1)求与的值；
(2)求的值.
13．已知角的顶点为原点O，始边与x轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，
(1)判断角的终边所在的象限；
(2)求和的值．
题型三:同角三角函数的基本关系
一、单选题
1．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D． 2．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
3．化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且为锐角，则（ ）
A． B．或 C． D．
二、解答题
7．函数，求：
（1）函数的值域；
（2）函数取到最大值时的取值集合．
8．已知角的终边经过点，
(1)求的值；
(2)若是方程的两个根，求的值.
9．已知角终边上有一点，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
三、填空题
10．已知，都是锐角，若，，则 ．
11．若，，则 .
12．函数在区间上的最大值为 .
13．若，，则的值为 .
14．已知是方程的根，是第三象限角，则 .
四、计算题
15．已知，求的值．
16．化简：.
17．化简：
(1).
(2).
18．已知，且为第二象限角．
(1)求：的值；
(2)求：的值．
19．化简.
20．已知，计算下列各式的值.
(1)；
(2).
题型四:诱导公式
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
4．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的非奇非偶函数 D．最小正周期为的偶函数
5．已知，若是第二象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．7
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知，，则 .
9．已知，则 .
10．若，则 .
11．已知，则的值为 ．
二、计算题
12．已知，求：
(1)；
(2).
13．已知角的终边经过点．
(1)求，的值；
(2)求的值．
14．化简：
(1)；
(2).
三、解答题
15．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若，且，求的值．
题型五:三角函数图像与性质
一、单选题
1．函数的最小正周期是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1， B．， C．1， D．1，
5．下列函数最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数
二、填空题
7．函数的值域为 ．
8．函数的最小正周期为 .
9．函数的最小正周期为 ．
三、解答题
10．已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，求的值域.
11．已知函数．
(1)求的最小正周期和对称轴；
(2)求在上的最大值和最小值．
12．已知函数部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
专题04三角函数
题型一:任意角和弧度制
一、单选题
1．已知角，则是第（ ）象限角
A．一 B．二 C．四 D．三
【答案】D
【分析】根据各象限角的范围进行判断即可求解.
【详解】因为角，
所以，
所以角是第三象限角.
故选：D.
2．下列选项中说法正确的是（ ）
A．第四象限的角一定是负角
B．第一象限的角一定是正角
C．钝角一定是第二象限的角
D．小于90度的角一定是锐角
【答案】C
【分析】根据任意角的相关概念，即可判断求解．
【详解】因为第四象限的角不一定是负角，比如，故选项A错误；
因为第一象限的角不一定是正角，比如，故选项B错误；
因为钝角一定是第二象限的角，故选项C正确；
因为小于90度的角不一定是锐角，比如负角，故选项D错误；
故选：C．
3．已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．
C． D．是第三或第四象限角
【答案】D
【分析】由已知可求，，可得是第一象限或第三象限角，由已知可求，，可得是第三象限或第四象限角，逐项分析即可得解．
【详解】解：对于A，∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第一象限或第三象限角，故错误；
对于B，由可知是第一象限或第三象限角，故错误；
对于C，∵是第二象限角，
∴，，
∴是第三象限或第四象限角，，故错误；
对于D，∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限或第四象限角，故正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了角在第几象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意象限角定义的合理运用．
4．与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的集合即可判断求解．
【详解】与角终边相同的角的集合为，
当时，，
选项ACD均不符合，
故选：B．
5．与终边相同的最小正角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据终边相同的角的定义即可求出.
【详解】因为，
所以与终边相同的最小正角是．
故选：A.
6．已知扇形的半径为2，面积为，则该扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】代入扇形面积公式即可得解.
【详解】由题意，设扇形的圆心角大小为，
则扇形的面积为.
解得.
故选：C.
7．终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分别写出终边落在直线上且在第一象限和终边落在直线上且在第三象限的角的集合，取并集得答案．
【详解】解：当角的终边落在直线上且在第一象限时，角的集合为，；
当角的终边落在直线上且在第三象限时，角的集合为，．
取并集可得，终边落在直线上的角的集合为．
故选：．
【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的集合的表示，是基础题．
8．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在间阴影部分区域表示的角的范围是，然后再写出终边落在阴影部分的区域内的角的集合.
【详解】解：在间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为，.
所以阴影部分的区域在间的范围是.
所以终边在阴影部分区域的角的集合为：.
故选：C.
【点睛】本题考查了象限角，终边相同的角的集合表示法，某一范围内角的集合的表示法，属于基础.题.
二、填空题
9．弧度化为角度是
【答案】
【分析】根据弧度转换为角度的公式计算.
【详解】弧度化为角度为，
故答案为：
10．若角是锐角，则角是第 象限的角.
【答案】四
【分析】根据角是锐角确定角的取值范围，得到角的取值范围判断象限即可求解.
【详解】因为角是锐角，
所以，
所以，
即，
所以角是第四象限的角.
故答案为：四.
11．转换为弧度是 .
【答案】/
【分析】根据角度与弧度的转化可知：，进而将转换为弧度即可.
【详解】因为弧度，所以弧度.
故答案为：.
三、解答题
12．（1）已知扇形的圆心角，半径，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长是，则当其半径为多少时，扇形的面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）；（2），最大值为
【分析】（1）根据弧长公式求值即可.
（2）设扇形半径为，弧长为，再根据扇形面积列函数关系，再由二次函数的顶点式确定最值即可.
【详解】（1）已知扇形的圆心角，半径，
所以.
（2）设扇形半径为，弧长为，扇形的周长是，
则，，
所以，，
所以当时，取得最大值，最大值为．
题型二:任意角的三角函数
一、单选题
1．若，，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据诱导公式进行化简，再根据任意角的正弦值和正切值的正负即可确定所在象限.
【详解】由题，，，
所以角的终边在第二象限.
故选：B.
2．已知，且，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据正弦及正切函数值在各象限的正负情况判断即可.
【详解】由可知，角的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴，
由可知，角的终边在第一象限或第三象限，
综上，角的终边第三象限.
故选：.
3．若是第四象限角，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据的符号确定正确答案.
【详解】由于是第四象限角，所以，
所以在第二象限.
故选：B
4．若，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】根据题意，由任意角的三角函数的符号规律可求解.
【详解】由，可知可能是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴，
由，可知可能是第二、四象限角，
综上所述，是第二象限角.
故选：B
5．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
故选：B
6．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系结合任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】.
因为点在角的终边上，
所以.
则.
故选：D
7．下列所给的等式中正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据弧度制与角度值的换算公式易得A项错误；根据三角诱导公式可判断D项错误，B项显然错误.
【详解】对于选项A，因，故A项错误；
对于选项B，因，故B项错误；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，因，故D项错误.
故选：C.
8．已知，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数基本关系式列出方程组即可得解.
【详解】因为，所以，，
则，解得，
所以，
故选：.
9．已知角的终边经过点，则下列选项错误的是（ ）
A． B．为钝角
C． D．点在第四象限
【答案】B
【分析】由已知条件可知角为第三象限角，由三角函数的定义求得的值，逐一分析选项即可.
【详解】选项：角的终边经过点，则，故正确；
选项：为第三象限角，不一定为钝角，故错误；
选项：，故正确；
选项：因为，所以点在第四象限，故正确．
故选：.
二、填空题
10．计算：
【答案】/
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值可求解.
【详解】.
故答案为：
三、解答题
11．已知角终边上有一点，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义即可求值.
（2）根据同角三角函数的基本关系式化简，再将代入求值即可.
【详解】（1）已知角终边上有一点，
所以.
（2）由（1）可知，
（2）由（1）可知，
所以，则原式上下同时除以，
即.
12．已知为第二象限角，且.
(1)求与的值；
(2)求的值.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）根据题意,由得,再根据同角三角函数平方关系,求出,进而即可求出.
（2）根据题意及（1）的结论,化简即可求出.
【详解】（1）,
,
,
又为第二象限角,故,故,.
（2）根据题意及（1）得
.
13．已知角的顶点为原点O，始边与x轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，
(1)判断角的终边所在的象限；
(2)求和的值．
【答案】(1)角的终边在第二或第三象限
(2)答案见解析
【分析】（1）由角终边上一点，则 列方程可得结果；
（2）分类讨论，由，分别计算可得结果.
【详解】（1）由题意知，点P到原点O的距离，
∴．∵，∴，∴，
∴，∴角的终边在第二或第三象限.
（2）当角的终边在第二象限时，；
当角的终边在第三象限时，.
题型三:同角三角函数的基本关系
一、单选题
1．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据终边上点的坐标确定三角函数值，再利用弦化切求解即可.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以，
因此.
故选：A.
2．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果.
【详解】将两边同时平方可得，，
可得；
又，所以；
易知，可得；
又,所以.
故选：C
3．化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数基本关系进行化简即可.
【详解】.
故选：D.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据二倍角的余弦公式结合整理为，再由同角三角函数的商数关系整理为，然后将代入即可求值.
【详解】因为，
又由可得，
且，
所以.
故选：D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系式可求出，再结合分别求出的值作差即可.
【详解】因为，所以，
解得，又因为，
，所以，，
所以，即，
整理得，解得
所以，所以，
故选：D.
6．已知，且为锐角，则（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】由的正弦值，结合公式，求出的余弦值，再利用两角和差公式求的值即可.
【详解】因为，且为锐角，
由公式，
得：；
；
由两角和差公式得：，
从而，
因为为锐角，所以，且，
得.
故选：A.
二、填空题
8．已知，，则 .
【答案】/
【分析】根据同角三角函数的基本关系式求出，再由诱导公式求值即可.
【详解】因为，所以，又，
所以，
所以.
故答案为：.
9．已知，则 .
【答案】/
【分析】根据诱导公式和已知角的余弦值即可求解
【详解】由题意得.
故答案为：
10．若，则 .
【答案】
【分析】根据诱导公式由得到，再根据诱导公式化简求解.
【详解】由题得，
所以，
故答案为：.
11．已知，则的值为 ．
【答案】/0.5
【分析】根据三角函数诱导公式化简，代入即可求值.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
二、计算题
12．已知，求：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据三角函数的诱导公式进行化简即可得解.
【详解】（1），所以，
.
（2）由（1），
.
13．已知角的终边经过点．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据三角函数定义即可得；
（2）结合诱导公式即可得.
【详解】（1）由，故角的终边经过点，
所以，
；
（2）.
14．化简：
(1)；
(2).
【答案】(1).
(2)1.
【分析】利用诱导公式进行化简即可得解.
【详解】（1）.
（2）
三、解答题
15．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简，然后判断；
（2）代入计算即可.
【详解】（1）由题可知：
所以函数的最小正周期为
（2）由（1）可知：，∴
即
∴，
由条件可知，，∴
∴
∴
题型五:三角函数图像与性质
一、单选题
1．函数的最小正周期是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据即，结合最小正周期为即可求解.
【详解】因为函数的最小正周期是，
即，解得.
故选：C.
2．下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据具体函数的奇偶性和单调性，分析即可判断.
【详解】对于A，定义域，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；
对于B，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；
对于C，是偶函数，在单调递减，不符合题意，故C错误；
对于D，是偶函数，在单调递增，不符合题意，故D错误.
故选：B．
3．函数的对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正弦函数的对称性令，解方程即可.
【详解】函数，
令，可得，
故函数的对称轴是.
故选：A.
4．函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1， B．， C．1， D．1，
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】由题设，，
根据正弦函数的性质，
当时函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以当时，的最大值为1，
当时，为，
时，为，
所以最大值和最小值分别为1，.
故选：D.
5．下列函数最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性即可选出正确答案.
【详解】对于A，的最小正周期，故A错误；
对于B：的最小正周期，故B正确；
对于C：的最小正周期，故C错误；
对于D：的最小正周期，故D错误；
故选：B.
6．函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的图像和性质即可求解判断.
【详解】∵，
函数的定义域为实数集R，关于原点对称，
又=，
所以函数是奇函数，
所以函数的周期为，且为奇函数.
故选：C.
二、填空题
7．函数的值域为 ．
【答案】
【分析】根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】因为，所以，，
所以，即.
故答案为：.
8．函数的最小正周期为 .
【答案】
【分析】根据函数解析式得出，代入最小正周期周期公式即可得解.
【详解】函数,
所以，，则，
故答案为：.
9．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式将函数解析式化为正弦型函数求解.
【详解】因为，
所以函数的最小正周期为.
故答案为：.
三、解答题
10．已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数的性质即可求解；
（2）先求出的取值范围，再结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）当时，函数单调递增，
由，
所以函数的单调增区间是.
（2）由，可得，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以，当时，有最大值1，
当时，有最小值，
从而，所以，
所以的值域为.
11．已知函数．
(1)求的最小正周期和对称轴；
(2)求在上的最大值和最小值．
【答案】(1)最小正周期为，对称轴为
(2)最大值为2，最小值为
【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式和对称性求解即可.
（2）根据正弦型函数的最值的性质即可求解.
【详解】（1）函数．
的最小正周期为，
令，可得即为对称轴.
（2）函数．
，
，
所以当，即时的最小值为，
当，即时的最大值为2.
12．已知函数部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过题干及图像中给出的已知条件，将，，求出即可得解.
（2）根据图像变换得到的解析式，求得函数的对称轴，再由题意列出不等式即可求解.
【详解】（1）由已知图象可知的最大值为1，最小值，故；
又因为，，所以，且，故，
将点代入得，，
化简得，，即，又，所以，
所以.
（2）的图象向右平移个单位长度,根据左加右减，得到函数，正弦函数的对称轴为，
所以令，解得，
所以的对称轴为，
题中已知曲线的对称轴只有一条落在区间上，
当时，对称轴为；当时，对称轴为，
所以，.