2.1简谐运动题型归纳人教版（2019）高中物理选择性必修一（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.1简谐运动题型归纳人教版（2019）高中物理选择性必修一（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2025-10-23 19:31:55 | ||
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文档简介
2.1简谐运动题型归纳
题型一．简谐运动的定义、运动特点与判断（共4小题）
1．如图所示，倾角为α＝30°的斜面体（斜面的上表面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ＝。两物块A、B均可视为质点，A的质量为m，B的质量为4m。斜面顶端与劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧与斜面保持平行，将物块A与弹簧的下端相连，并由弹簧原长处无初速释放，A下滑至斜面上P点时速度第一次减为零。若将物块B与弹簧的下端相连，也从弹簧原长处无初速释放，则B下滑至斜面上Q点时速度第一次减为零（PQ均未画出），斜面体始终处于静止状态，弹簧始终在弹性限度内，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g。求：
（1）斜面上PQ两点间的距离；
（2）物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间。（已知物块B无初速释放后，经时间t0第一次到达Q点，本小题的结果用t0表示）
（3）把AB合体成一个物块C，由弹簧原长处无初速释放，要求物块C在运动的过程中，斜面与地面之间保持相对静止，斜面的质量应满足什么条件。
2．某兴趣小组研究弹簧振子，设计了如图所示的装置，一个轻弹簧竖直放置，一端固定于地面，另一端与质量为m的物体B固连在一起，整个装置被一个口径略大且足够长的光滑圆套约束（图中未画出）。现将质量也为m的物体A由B的正上方某一高度处自由释放，A和B发生碰撞后两者一起以相同的速度向下运动（但不粘连）。AB在以后的振动过程中恰好不会分离，弹簧的劲度系数为k，整个振动过程弹簧处于弹性限度内。忽略A、B的体积，不计空气阻力。m、k、g为已知量。求：
（1）AB一起振动过程中最大加速度的大小；
（2）小组中的甲同学通过研究弹簧弹力做功，得出了弹簧的弹性势能表达式EP＝（x为弹簧形变量）。求A释放前距B的高度；
（3）小组中的乙同学通过课下自学了解到弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数k及振子的质量m有关，但是他记不清周期公式是T＝2π还是T＝2π，请根据所学知识直接选出正确的弹簧振子周期公式（不必写出推导过程）；
（4）以A与B碰撞为计时起点，求AB振动到最高点的时刻。
3．如图所示，质量为m的物体放在与弹簧固定的木板上，弹簧在竖直方向做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最大值是物重的1.5倍，求
（1）物体对弹簧的最小压力
（2）欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅最大值．
4．如图，在质量为M的无底木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M＞m）的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间的细线，此后A将做简谐运动．求：
（1）箱子对地面的压力最小时物块A应在振动的最低点还是最高点？
（2）箱子对地面的最小压力大小为多少？
题型二．简谐运动的表达式及振幅、周期、频率、相位等参数（共12小题）
5．一个弹簧振子在水平方向做简谐运动，周期为T，则（ ）
A．若t时刻和t+Δt时振子位移相同，则Δt一定等于T整数倍
B．若t时刻和t+Δt时刻振子速度相同，则Δt一定等于整数倍
C．若Δt＝，则在t时刻和t+Δt时刻振子的速度大小一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t+Δt时刻弹簧的长度一定相等
6．甲、乙两单摆振动图象如图所示，则（ ）
A．甲的振幅小 B．乙的摆长短
C．ta时刻甲的摆角大 D．tb时刻两摆球速度相同
7．（多选）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a﹣x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（ ）
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的6倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
8．（多选）一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图（a）所示，它的振动图象如图（b）所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．OB＝5cm
B．第0.2s末质点的速度方向是A→O
C．第0.4s末质点的加速度方向是A→O
D．第0.7s时质点位置在O点与A点之间
E．在4s内完成5次全振动
9．（多选）甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（ ）
A．甲速度为零时，乙速度最大
B．甲加速度最小时，乙速度最小
C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同
D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2
E．两个振子的振幅之比为A甲：A乙＝2：1
10．（多选）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．当振子位于A点时弹簧处于自然伸长状态．取竖直向上的方向为正方向，振子的质量为m，重力加速度为g．振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向竖直向下
B．t＝0.6 s和t＝1.0 s时，振子的速度相同
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝1.4s时，振子位于O点下方6 cm处
E．t＝1.2 s到t＝1.6 s的时间内，振子的速度逐渐变大
11．（多选）甲、乙两单摆在同一位置做简谐运动，它们的振动图象如图所示．下列说法中正确的是（ ）
A．甲、乙两摆的振幅之比为2：1
B．甲、乙两摆的摆长之比为1：2
C．t＝2s时，甲摆摆球的重力势能最小，乙摆球的动能为零
D．甲、乙两摆摆球在最低点时加速度为零
E．单摆做受迫振动时，其振幅与驱动的频率和固有频率的比值有关
12．如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象．试根据图象写出：
（1）A的振幅是 cm，周期是 s；B的振幅是 cm，周期是 s．
（2）这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式．
（3）在时间t＝0.05s时两质点的位移分别是多少？
13．如图是某单摆做简谐运动的振动图象．
（1）单摆振动的周期为T、振幅为A各为多少？
（2）若该单摆的摆长为1.00m，求当地的重力加速度（保留三位有效数字）．
（3）0﹣3.5s内，摆球通过的路程为多少？3.5s末，摆球对平衡位置的位移多少？
14．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示。
（1）求t＝0.25×10﹣2s时的位移；
（2）在t＝1.5×10﹣2s到2×10﹣2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
（3）在t＝0到8.5×10﹣2s时间内，质点通过的位移、路程各多大？
15．水平杆上振动的弹簧振子，如图所示，在AB范围内做简谐振动，已知AB间的距离为16cm，振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3s，不计球与杆间的摩擦，（取向右为正）
求：（1）弹簧振子的振幅是多少？
（2）弹簧振子在6s内通过的路程是多少？
（3）若从弹簧振子在A处开始计时，弹簧振子在8s时的位移是多少？
（4）若从弹簧振子在A处开始计时，请在图中作出该振子简谐运动的x﹣t图象．
16．如图是弹簧振子的振动图线，试回答下列问题：
（1）振动的振幅、周期、频率各是多少？
（2）如果从O点算起，到图线上哪一点为止振子完全成了一次全振动？从A点算起呢？
（3）从零到1.6s时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？
题型三．简谐运动的图像问题（共3小题）
17．如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的物块，组成一竖直悬挂的弹簧振子，在物块上装有一记录笔，在竖直面内放置有记录纸。当弹簧振子沿竖直方向上下自由振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示余弦型函数曲线形状的印迹，图中的y1、y2、x0、2x0、3x0为记录纸上印迹的位置坐标值，P、Q分别是印迹上纵坐标为y1和y2的两个点。若空气阻力、记录笔的质量及其与纸之间的作用力均可忽略不计，则（ ）
A．该弹簧振子的振动周期为
B．该弹簧振子的振幅为y1﹣y2
C．在记录笔留下PQ段印迹的过程中，物块所受合力的冲量为零
D．在记录笔留下PQ段印迹的过程中，弹力对物块做功为零
18．地震波既有纵波也有横波，是由同一震源同时产生的，两者均可简化为频率不变的简谐波。纵波是推进波，又称P波，在地壳中的传播速度vP＝6km/s；横波是剪切波，又称S波，在地壳中的传播速度vS＝4km/s。某研究性学习小组研制了一种简易地震仪，由竖直弹簧振子M和水平弹簧振子Q组成，如图甲所示。在一次地震中，震源位于此地震仪的正下方，观察到两组弹簧振子先后振动起来，起振时间相差为3s，同时装置记录下水平弹簧振子Q的振动图像如图乙所示。则：
（1）弹簧振子M和Q哪个先开始简谐振动？请简述理由。
（2）该地震波的横波波长是多少千米？
（3）震源距离地震仪多少千米？
19．均匀介质中，波源位于点的简谐横波在xOy水平面内传播，t＝0时刻，所有波峰、波谷的分布如图甲所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷，坐标（0，20）处的质点P处于波峰。质点P的振动图象如图乙所示，z轴正方向竖直向上。求：
（1）该波的传播速度大小；
（2）坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻；
（3）坐标（10，0）处的质点N的振动方程及8.5s末质点N在z轴上的坐标。
题型四．简谐运动的回复力（共8小题）
20．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动，A、B分居O点的左、右两侧的对称点。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如乙所示的正弦曲线，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.6s时，振子在O点右侧6cm处
B．振子t＝0.2s和t＝1.0s时的速度相同
C．t＝1.2s时，振子的加速度大小为m/s2，方向水平向右
D．t＝1.0s到t＝1.4s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大
21．下列说法正确的是（ ）
A．回复力一定是振动物体所受的合外力
B．弹簧振子振动过程中，速度增大时，加速度一定减小
C．声波与观察者相互接近时，波源发出的声波的频率会升高
D．由波长、波速和频率的关系v＝λf可知，波源频率越高，波的传播速度越大
22．如图所示，小球穿过粗糙的竖直杆，轻质弹性绳的左端与小球相连，右端固定在墙上N点，弹性绳跨过M处的光滑小滑轮，O为竖直杆上的一点，O、M、N在同一水平线上，弹性绳的自然长度和MN间距离相同。小球从O点静止释放，到达最低点P后又继续向上运动，Q为OP中点。绳中弹力始终遵从胡克定律，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则小球（ ）
A．从O运动至P的过程中，受到摩擦力变大
B．第一次运动至Q点时，速度最大
C．从P点返回的过程中，速度最大的位置在Q点上方
D．最终可以停在Q点上方的某一位置
23．（多选）装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。规定竖直向上为正方向，某时刻开始计时后的振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（ ）
A．回复力等于浮力
B．回复力等于重力和浮力的合力
C．振动周期与按压的深度无关
D．振动表达式为x＝4sin（4πt﹣）cm
24．（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体A，A和B通过细绳绕过定滑轮连接，已知A的质量为mA，B的质量为mB，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮摩擦，开始时A位于O点，系统处于静止状态，A在P点时弹簧处于原长，现将A物体由P点静止释放，A物体不会和定滑轮相碰，当B向下运动到最低点时绳子恰好被拉断且弹簧未超过弹性限度。已知弹簧振子的周期公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．绳子能承受的最大拉力小于2mBg
B．弹簧的最大弹性势能是
C．绳断后A物体回到位置O点时与P点时的速度大小之比为
D．从绳断后A物体第一次由位置O回到位置P时所用的时间为
25．（多选）甲、乙两弹簧振子水平放置时的振动图象如图所示，则可知（ ）
A．两弹簧振子完全相同
B．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
C．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲：F乙＝2：1
D．振子乙速度为最大时，振子甲速度不一定为零
E．两振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2
26．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O，A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂，已知弹簧振子的振动周期，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）细线断裂前瞬间的张力大小FT；
（2）从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间t；
（3）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小。
27．如图所示，质量分别为m、3m的滑块A和B靠在一起，静止在水平面上，中间有少量火药（质量可忽略），轻质弹簧左端固定，右端与滑块A接触但不拴接，弹簧处于自由伸长状态。某时刻点燃火药，滑块A、B分开，分开后瞬间A的速度大小为v0，B停止运动的瞬间A与B发生第一次碰撞。已知A与B间的所有碰撞均为弹性碰撞，A与水平面间没有摩擦，B与水平面间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧振子的振动周期，m0为振子的质量，k为弹簧的劲度系数，重力加速度为g。求：
（1）弹簧劲度系数k的大小；
（2）A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小：
（3）A、B第n次碰撞后到第n+1次碰撞前B运动的位移大小及全过程中B运动的总位移大小。
题型五．简谐运动的能量问题（共4小题）
28．如图甲所示为一小孩在蹦床上做预备活动的娱乐场景，其简化模型如图乙所示：轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从弹簧上端原长B处静止释放，始终沿着x轴竖直运动。以小球平衡位置O为坐标原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）现将小球由平衡位置O向下发生的位移为x，小球沿着竖直x轴运动。
①请写出小球所受的合外力F与x的关系式，并据此说明小球的运动是否为简谐运动；
②以平衡位置O为系统总势能的零势能参考点，可以将重力势能和弹性势能这两个势能等效成一个总势能。请结合小球的受力特点和求解变力功的基本思想方法，推导出“等效总势能”的表达式；
（2）已知小球运动的周期为，若只更换不同质量的小球，在B处静止释放小球运动的区间会发生变化。对于任意一个质量确定的小球，在该弹簧形变限度内实验，从位移最大处到平衡位置运动过程中，小球所受的合力对位移的平均值设为F1，合力对时间的平均值设为F2。试证明F1与F2的比值与振幅A无关。
29．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O（图中未画出），A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线恰好断裂（此时小球B未落地），已知弹簧振子的振动周期，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）初始系统处于静止状态时弹簧的形变量x0；
（2）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小v0；
（3）从细线断裂开始计时，小球A从右向左经过O点所用的时间t。
30．如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止于O点。另一质量为m的小球B从距A高为的P点由静止开始下落，与A发生碰撞瞬间粘在一起开始向下运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为已知弹簧振子的周期T＝2π，M为振子的总质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小v1；
（2）小球A被碰后向下运动的最大速度vAB，向下运动离O点的最大距离xmin；
（3）小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间t。
31．如图所示，倾角为θ的光滑斜面底端固定一垂直挡板，劲度系数为k的轻质弹簧一端连接挡板，一端与静止的物块B相连。物块A从距B一定距离处静止释放，与B发生碰撞，碰后A、B粘连，碰撞时间不计。碰后B上升到最高点时，弹簧恰好恢复原长。已知物块A、B的质量均为m，弹簧弹性势能（x为弹簧形变量），弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。
（1）求物块B的最大速率vB；
（2）求物块A与B碰后瞬间的速率vA；
（3）若已知物块A、B碰后到第一次运动至最低点经历的时间为t0，求物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的时间。
题型六．简谐运动过程中速度、加速度（回复力）与位移的变化问题（共2小题）
32．如图a所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距0.2m。小球经过B点时开始计时，在第一个周期内的位置x随时间t变化的图像如图b所示。
（1）求小球振动的周期和振幅；
（2）求小球振动的初相位φ0，并根据上述信息写出小球在任意时刻t的位移x的函数表达式；
（3）求4.5s内小球通过的路程及4.5s末小球的位移。
33．如图所示为一弹簧振子的振动图像，完成以下问题：
（1）该振子振动的振幅、周期、频率；
（2）该振子在前100s的总位移是多少？路程是多少？
（3）写出该振子简谐运动的表达式，计算t＝1.5s时振子的位移。
题型七．探究弹簧振子的周期和小球质量的关系（共3小题）
34．在探究弹簧振子（如图在一根轻质弹簧下悬挂质量为m的重物，让其在竖直方向上振动）振动周期T与物体质量m间的关系的实验中：
（1）如图1，某同学尝试用DIS测量周期，把弹簧振子挂在力传感器的挂钩上，图中力传感器的引出端A应接到 ．使重物做竖直方向小幅度振动，当力的测量值最大时重物位于 ．若测得连续N个力最大值之间的时间间隔为t，则重物的周期为 ．
（2）为了探究周期T与质量m间的关系，某同学改变重物质量，多次测量，得到了下表中所示的实验数据．为了得到T与m的明确关系，该同学建立了如图2的坐标系，并将横轴用来表示质量m，请在图中标出纵轴表示的物理量，然后在坐标系中画出图线．
m/kg T/s
0.10 0.14
0.20 0.20
0.40 0.28
0.60 0.35
0.80 0.40
（3）周期T与质量m间的关系是 ．
35．某兴趣小组查阅资料获知，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π（其中m是振子的质量，k是弹簧的劲度系数，弹簧质量忽略不计），利用该规律可以测定物体的质量。现有如下器材可供选择：
一个带有夹子的金属块A（总质量m0为已知量）；待测质量的物体B；一根劲度系数未知的弹簧C；光电门传感器和挡光片D；位移传感器E；力传感器F；数据采集器G；电脑H。
（1）本实验选用的器材： ，（填写器材后面的字母）．根据选用的器材，简述测定系统振动周期的方法：稍微向下拉一下金属块，让金属块上下振动起来，利用光电门传感器和挡光片D结合GH，求出振动30次所用的时间，进而求得振动系统的周期。
（2）简述测量物体B的质量的主要步骤（直接测量的物理量请用字母表示）：
① ；② 。③ 。
36．宇航员在绕地球做圆周运动的空间站内研究处于完全失重状态下弹簧振子的周期T与振子质量m的关系．
身边的器材有：弹簧、完全相同的螺帽若干个、天平、秒表、刻度尺、温度计等．
（1）宇航员利用上述器材中的螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还应从中选择的一个器材是 ．
（2）某次实验测量的数据记录如下表：
螺帽的数量n（个） 1 2 3 4 5
30次全振动的时间t（s） 13.40 19.20 23.21 26.83 30.01
振动周期T（s） 0.45 0.64 0.77 0.89 1.00
为了得出T与m的关系，他先研究T与n的关系，并采用作图的方法处理实验数据．他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，那么他是以 为纵坐标的．由表中数据，在图示坐标系中作出该直线．
（3）根据作出的图线，得出T与n的关系式为T＝ （s）．若每个螺帽的质量用m0表示，则T与m的关系式为T＝ （s）．
（4）若用一未知质量的物体做振子时，测得周期为1.26s，则该物体质量为 m0．
2.1简谐运动题型归纳答案
题型一．简谐运动的定义、运动特点与判断（共4小题）
1．如图所示，倾角为α＝30°的斜面体（斜面的上表面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ＝。两物块A、B均可视为质点，A的质量为m，B的质量为4m。斜面顶端与劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧与斜面保持平行，将物块A与弹簧的下端相连，并由弹簧原长处无初速释放，A下滑至斜面上P点时速度第一次减为零。若将物块B与弹簧的下端相连，也从弹簧原长处无初速释放，则B下滑至斜面上Q点时速度第一次减为零（PQ均未画出），斜面体始终处于静止状态，弹簧始终在弹性限度内，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g。求：
（1）斜面上PQ两点间的距离；
（2）物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间。（已知物块B无初速释放后，经时间t0第一次到达Q点，本小题的结果用t0表示）
（3）把AB合体成一个物块C，由弹簧原长处无初速释放，要求物块C在运动的过程中，斜面与地面之间保持相对静止，斜面的质量应满足什么条件。
【答案】（1）斜面上PQ两点间的距离为；
（2）物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间为；
（3）斜面的质量应满足。
【解答】解：（1）设质量为m0的物体在斜面上平衡时，弹簧的伸长量为l0，由共点力平衡条件得：
m0gsinα＝kl0
解得：
取沿斜面向上为正方向，当物块相对平衡位置位移为x时，物块所受合力为：
F合＝k（l0﹣x）﹣m0gsinα
解得：F合＝﹣kx
故可知物块做简谐运动，对物块A在平衡位置时弹簧的伸长量为：
同理对物块B在平衡位置时弹簧的伸长量为：
根据简谐运动的对称性，在PQ点时对应的弹簧的伸长量分别为：
故斜面上PQ两点间的距离为
（2）根据题意可知物块B做简谐运动的周期为
T＝2t0
振幅为：
从释放位置开始时，物块B做简谐运动的振动方程为：
解得：
设物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间为t′，有
联立解得：
可得或
解得：
（3）设斜面的质量为M，将斜面，物块C和弹簧作为一系统，当物块C处在最高点即此时弹簧为原长时，物块C的加速度最大并沿斜面向下，大小为
解得：
故此时系统失重最大，地面对斜面的支持力最小，根据牛顿第二定律，水平方向有：
f地＝5max＝5macosα
其中ax＝acosα
竖直方向有：
（M+5m）g﹣FN地＝5may
ay＝asinα
联立解得：
同时有
f地≤μFN地
解得斜面的质量应满足：
答：（1）斜面上PQ两点间的距离为；
（2）物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间为；
（3）斜面的质量应满足。
2．某兴趣小组研究弹簧振子，设计了如图所示的装置，一个轻弹簧竖直放置，一端固定于地面，另一端与质量为m的物体B固连在一起，整个装置被一个口径略大且足够长的光滑圆套约束（图中未画出）。现将质量也为m的物体A由B的正上方某一高度处自由释放，A和B发生碰撞后两者一起以相同的速度向下运动（但不粘连）。AB在以后的振动过程中恰好不会分离，弹簧的劲度系数为k，整个振动过程弹簧处于弹性限度内。忽略A、B的体积，不计空气阻力。m、k、g为已知量。求：
（1）AB一起振动过程中最大加速度的大小；
（2）小组中的甲同学通过研究弹簧弹力做功，得出了弹簧的弹性势能表达式EP＝（x为弹簧形变量）。求A释放前距B的高度；
（3）小组中的乙同学通过课下自学了解到弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数k及振子的质量m有关，但是他记不清周期公式是T＝2π还是T＝2π，请根据所学知识直接选出正确的弹簧振子周期公式（不必写出推导过程）；
（4）以A与B碰撞为计时起点，求AB振动到最高点的时刻。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AB在以后的振动过程中恰好不会分离，说明刚好不分离时达到最高点，此时二者之间的弹力为零，加速度最大。
在二者达到最高点时，对A根据牛顿第二定律可得：mg＝ma
解得：a＝g；
（2）设碰撞前A的速度大小为v0，碰撞后速度大小为v，取向下为正分向，根据动量守恒定律可得：mv0＝2mv
解得：v＝
原来弹簧压缩：x＝
从碰撞后到最高点的过程中，根据功能关系可得：+＝2mgx
解得：v＝
对A自由下落过程中，根据动能定理可得：mgh＝
联立解得：h＝；
（3）周期的单位为s，的单位为：＝＝s，故周期的计算公式为T＝2π；
（4）以A与B碰撞为计时起点，开始AB处于振幅一半的位置，结合简谐振动的方程x＝Asinωt，可得知向下运动到平衡位置时经过的时间：t1＝T
从平衡位置向下，到达波谷再第一次到达最高点经过的时间问：t2＝T
从AB碰撞后开始振动到最高点的时刻为：t＝t1+t2
解得：t＝T＝。
答：（1）AB一起振动过程中最大加速度的大小为g；
（2）A释放前距B的高度为；
（3）弹簧振子周期公式为；
（4）以A与B碰撞为计时起点，AB振动到最高点的时刻为。
3．如图所示，质量为m的物体放在与弹簧固定的木板上，弹簧在竖直方向做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最大值是物重的1.5倍，求
（1）物体对弹簧的最小压力
（2）欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可知，最大压力为1.5mg；
此时加速度最大，则最大加速度为
1.5mg﹣mg＝ma；
解得：a＝0.5g；
因为木块在竖直方向上做简谐运动，依题意木块在最低点时对弹簧的压力最大，在最高点对弹簧的压力最小．
在最低点根据牛顿第二定律有FN﹣mg＝ma，代入数据解得a＝0.5 g．
由最高点和最低点相对平衡位置对称，加速度大小等值反向，所以最高点的加速度大小为a′＝0.5 g，在最高点根据牛顿第二定律有mg﹣FN′＝ma′，
故FN′＝mg﹣ma′＝0.5 mg．
（2）当物体在平衡位置静止时，弹簧的弹力等于物体的重力，即：
mg＝kx0
当振幅为A时，在最高点物体对弹簧的压力等于0.5mg，由胡克定律得：
FN′＝kx1
而：x1＝x0﹣A
联立得：x0＝2A
欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，则在最高点物体对弹簧的压力恰好为0，则在最高点弹簧的长度等于弹簧的原长！所以此时物体的振幅等于x0，即等于2A
答：（1）物体对弹簧的最小压力的大小为0.5mg．
（2）欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅最大值是2A．
4．如图，在质量为M的无底木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M＞m）的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间的细线，此后A将做简谐运动．求：
（1）箱子对地面的压力最小时物块A应在振动的最低点还是最高点？
（2）箱子对地面的最小压力大小为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）轻弹簧悬挂质量均为m的A、B两物体，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间的连线，A将做简谐运动；对A和箱子整体分析，当具有向下的最大加速度时，对地压力最小；故在最高点对地压力最小；
（2）设弹簧形变量为2x，弹簧劲度系数为k，由平衡条件知2kx＝2mg，A将在弹簧形变量2x到0之间做振幅为x的简谐运动，即当A运动到最高点时弹簧被压缩x＝0，木箱只受到重力和地面的支持力，由二力平衡知N＝Mg，再有牛顿第三定律知木箱对地面的压力为N＝Mg．
答：（1）箱子对地面的压力最小时物块A应在振动的最高点；
（2）箱子对地面的最小压力大小为Mg．
题型二．简谐运动的表达式及振幅、周期、频率、相位等参数（共12小题）
5．一个弹簧振子在水平方向做简谐运动，周期为T，则（ ）
A．若t时刻和t+Δt时振子位移相同，则Δt一定等于T整数倍
B．若t时刻和t+Δt时刻振子速度相同，则Δt一定等于整数倍
C．若Δt＝，则在t时刻和t+Δt时刻振子的速度大小一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t+Δt时刻弹簧的长度一定相等
【答案】C
【解答】解：A、t时刻和（t+Δt）时刻的位移大小相等，方向相同（如图所示的t1、t2、……t8），表示质点经过同一位置，经过的时间Δt不一定等于T的整数倍。故A错误；
B、若t时刻和t+Δt时刻振子速度相同（如图所示的t1、T2、t3、T4 或t2、T1、t4、T3），显然Δt不一定等于 的整数倍，故B错误；
C、经过Δt＝，经过半个周期时，质点一定到达关于平衡位置对称的位置，t时刻和（t+Δt）时刻的速度的大小一定相等，但方向相反，（如图所示的t1、T1），故C正确；
D、Δt＝，质点位移大小相等，方向相反，但弹簧长度不相等（伸长或压缩）。故D错误；故选：C。
6．甲、乙两单摆振动图象如图所示，则（ ）
A．甲的振幅小
B．乙的摆长短
C．ta时刻甲的摆角大
D．tb时刻两摆球速度相同
【答案】C
【解答】解：A、由题目图可知，甲的振幅大，故A错误。
B、由图知，甲单摆的周期为 T甲＝tb，乙单摆的周期为 T乙＝tb，则T甲：T乙＝2：3，由单摆周期公式T＝2π得：甲、乙两单摆的摆长之比＝＝，故B错误。
C、ta时刻甲、乙两单摆的位移相等，由于甲的摆长短，则甲的摆角大，故C正确。
D、tb时刻甲、乙两摆球均通过平衡位置，速度方向相反，则速度不同，故D错误。
故选：C。
7．（多选）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a﹣x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（ ）
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的6倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【答案】ABC
【解答】解：A、在星球表面，根据万有引力等于重力可得：＝mg，则有：GM＝R2g，所以有：Gρ＝R2g，解得：ρ＝
根据图象可知，在M星球表面的重力加速度为gM＝3a0，在N表面的重力加速度为gN＝a0，星球M的半径是星球N的3倍，则M与N的密度相等，故A正确；
B、加速度为零时受力平衡，根据平衡条件可得：mPgM＝kx0，mQgN＝2kx0，解得：＝，故B正确；
C、根据动能定理可得max＝Ek，根据图象的面积可得：EkP＝mP 3a0 x0，EkQ＝mQa0 2x0，＝4，故C正确；
D、根据简谐运动的特点可知，P下落过程中弹簧最大压缩量为2x0，Q下落过程中弹簧最大压缩量为4x0，Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的2倍，故D错误。
故选：ABC。
8．（多选）一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图（a）所示，它的振动图象如图（b）所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．OB＝5cm
B．第0.2s末质点的速度方向是A→O
C．第0.4s末质点的加速度方向是A→O
D．第0.7s时质点位置在O点与A点之间
E．在4s内完成5次全振动
【答案】ACE
【解答】解：A、OB间距离等于振幅，由图知，OB＝A＝5cm。故A正确。
B、位移图象切线的斜率等于速度，根据数学知识知，第0.2s末质点的速度方向沿负向，即O→A．故B错误。
C、第0.4s末质点的位移为负，方向是O→A，由a＝﹣分析可知，加速度方向是A→O，故C正确。
D、第0.7s时，质点位置在O与B两点之间。故D错误。
E、质点的振动周期为 T＝0.8s，则n＝＝＝5，即在4s内完成5次全振动。故E正确。
故选：ACE。
9．（多选）甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（ ）
A．甲速度为零时，乙速度最大
B．甲加速度最小时，乙速度最小
C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同
D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2
E．两个振子的振幅之比为A甲：A乙＝2：1
【答案】ADE
【解答】解：A、由图示图象可知，甲的周期是乙的周期的2倍，它们的初相位相等，甲速度为零时乙的速度最大，故A正确；
B、振子在平衡位置处速度最小，振子在最大位移处速度最小，由于甲、乙的周期不同，甲加速度最小时，乙的速度并不都是最小，故B错误；
C、弹簧振子的回复力：F＝﹣kx，k不同，由图示可知，任意时刻x不同，由于不知k关系，则无法判断两振子的回复力是否相同，故C错误；
D、由图可知甲、乙两个振子的周期分别为T甲＝2.0s，T乙＝1.0s，甲、乙两个振子的周期之比为2：1，频率：f＝，所以甲乙振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2，故D正确；
E、由图示图象可知，两振子的振幅分别为：A甲＝10cm，A乙＝5cm，两个振子的振幅之比：A甲：A乙＝10：5＝2：1，故E正确；
故选：ADE。
10．（多选）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．当振子位于A点时弹簧处于自然伸长状态．取竖直向上的方向为正方向，振子的质量为m，重力加速度为g．振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向竖直向下
B．t＝0.6 s和t＝1.0 s时，振子的速度相同
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝1.4s时，振子位于O点下方6 cm处
E．t＝1.2 s到t＝1.6 s的时间内，振子的速度逐渐变大
【答案】ABE
【解答】解：A、x﹣t图象的斜率表示物体运动的速度，由图象乙知，t＝0.8s时，振子远离平衡位置向下运动，故A正确；
B、由图象乙知，t＝0.4s到t＝1.2s之间振子运动的方向始终向下，所以t＝0.6s和t＝1.0s时，振子的速度相同，故B正确；
C、由图可知t＝0.4s和t＝1.2s时，振子分别位于正、负最大位移处，所以振子的加速度大小相同，方向相反，故C错误；
D、由图象乙知振子的最大位移为12cm，周期为1.6s，在t＝0时刻振子从平衡位置开始向上振动，所以振子的振动方程为：
x＝Asinωt＝12sin t cm
当t＝1.4s时刻：x＝12×sin（×1.4）＝﹣6cm．故D错误；
E、t＝1.2s到t＝1.6s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，故E正确；
故选：ABE。
11．（多选）甲、乙两单摆在同一位置做简谐运动，它们的振动图象如图所示．下列说法中正确的是（ ）
A．甲、乙两摆的振幅之比为2：1
B．甲、乙两摆的摆长之比为1：2
C．t＝2s时，甲摆摆球的重力势能最小，乙摆球的动能为零
D．甲、乙两摆摆球在最低点时加速度为零
E．单摆做受迫振动时，其振幅与驱动的频率和固有频率的比值有关
【答案】ACE
【解答】解：A、由图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，则振幅之比为2：1，摆长无法，故A正确，B错误；
C、t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小。乙摆球不在最大位置处，所以乙摆球的动能不为零，故C正确。
D、甲、乙两摆摆球做的是圆周运动，摆球在最低点时，由细线的拉力和重力的合力提供向心力，加速度均不为零。故D错误。
E、单摆做受迫振动时，当驱动力频率等于物体的固有频率时，振幅最大，出现共振现象。驱动力频率与固有频率相差越小，振幅越大，故E正确。
故选：ACE。
12．如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象．试根据图象写出：
（1）A的振幅是 0.5 cm，周期是 0.4 s；B的振幅是 0.2 cm，周期是 0.8 s．
（2）这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式．
（3）在时间t＝0.05s时两质点的位移分别是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解析 （1）由图象知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s．
（2）由图象知：A中振动的质点已振动了周期，φ＝π，由T＝0.4 s，得ω＝＝5π，则简谐运动的表达式为 xA＝0.5sin（5πt+π） cm．
B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8 s得ω＝＝2.5π，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin （2.5πt+） cm．
（3）将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA＝0.5sin（5π×0.05+π）cm＝﹣0.5×cm＝cm
xB＝0.2sin（2.5π×0.05+）cm＝0.2sinπ cm．
故答案为：（1）0.5，0.4，0.2，0.8．
（2）AB这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式分别为：xA＝0.5sin （5πt+π）cm，xB＝0.2sin cm（2.5πt+） cm．
（3）在时间t＝0.05s时AB两质点的位移分别是﹣cm和0.2sinπ cm．
13．如图是某单摆做简谐运动的振动图象．
（1）单摆振动的周期为T、振幅为A各为多少？
（2）若该单摆的摆长为1.00m，求当地的重力加速度（保留三位有效数字）．
（3）0﹣3.5s内，摆球通过的路程为多少？3.5s末，摆球对平衡位置的位移多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解（1）由图知，周期 T＝2s 振幅 A＝4cm
（2）由得
（3）0﹣3.5s内的路程 S＝ 4A＝×4×4cm＝28cm
由图知，3.5s末位移为﹣4cm
答：
（1）单摆振动的周期T为2s、振幅为A为4cm．
（2）若该单摆的摆长为1.00m，当地的重力加速度是9.86m/s2．
（3）0﹣3.5s内，摆球通过的路程为28cm，3.5s末，摆球对平衡位置的位移是﹣4cm．
14．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示。
（1）求t＝0.25×10﹣2s时的位移；
（2）在t＝1.5×10﹣2s到2×10﹣2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
（3）在t＝0到8.5×10﹣2s时间内，质点通过的位移、路程各多大？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题图可知振幅 A＝2cm，周期 T＝2×10﹣2s。
质点的振动方程为：x＝Asin（ωt﹣）＝﹣Acosωt＝﹣2cost cm＝﹣2cos100πt cm
当t＝0.25×10﹣2s时，x＝﹣2coscm＝﹣cm。
（2）由图可知在1.5×10﹣2 s～2×10﹣2 s的振动过程中，质点的位移变大，远离平衡位置，则回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。
（3）从t＝0至8.5×10﹣2s时间内为个周期，质点的路程为s＝17A＝17×2cm＝34cm，位移为2cm。
答：
（1）t＝0.25×10﹣2s时的位移为﹣cm；
（2）在t＝1.5×10﹣2s到2×10﹣2s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。
（3）在t＝0到8.5×10﹣2s时间内，质点通过的位移为2cm，路程为34cm。
15．水平杆上振动的弹簧振子，如图所示，在AB范围内做简谐振动，已知AB间的距离为16cm，振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3s，不计球与杆间的摩擦，（取向右为正）
求：（1）弹簧振子的振幅是多少？
（2）弹簧振子在6s内通过的路程是多少？
（3）若从弹簧振子在A处开始计时，弹簧振子在8s时的位移是多少？
（4）若从弹簧振子在A处开始计时，请在图中作出该振子简谐运动的x﹣t图象．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）小球在AB间振动，则AB间有两个振幅；故振幅：
A＝＝8cm；
（2）从O点开始第二次经过O的时间为3s；则由对称性可知：
t＝T＝3s；
则T＝4s；
则6s内小球运动了个周期；
故路程为：
s＝×4A＝48cm；
（3）8s小球经过的周期数n＝＝2；
则8s时小球回到A点；
故位移为﹣8cm；
（4）由以上解答可知，振动周期为4s；振幅为8cm；作出图象如图所示；
答：（1）振幅为8cm；
（2）路程为48cm；
（3）位移为﹣8cm；
（3）如上图．
16．如图是弹簧振子的振动图线，试回答下列问题：
（1）振动的振幅、周期、频率各是多少？
（2）如果从O点算起，到图线上哪一点为止振子完全成了一次全振动？从A点算起呢？
（3）从零到1.6s时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）质点的振幅等于振子的位移最大值，由图直接读出振幅A＝2cm；
由图读出周期T＝0.8s；
故频率f＝；
（2）如果从O点算起，到图线上D点为止振子完全成了一次全振动；
从A点算起，到图线上E点为止振子完全成了一次全振动；
（3）从零到1.6s时间内，在平衡位置动能最大，即O点、B点、D点、F点、H点动能最大；
在最大位移位置势能最大，即A、C、E、G位置势能最大；
答：（1）振动的振幅、周期、频率分别为2cm、0.8s、1.25Hz；
（2）如果从O点算起，到图线上D点为止振子完全成了一次全振动；从A点算起呢，到图线上E点为止振子完全成了一次全振动；
（3）从零到1.6s时间内，O、B、D、F、H点动能最大，A、C、E、G点的势能最大．
题型三．简谐运动的图像问题（共3小题）
17．如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的物块，组成一竖直悬挂的弹簧振子，在物块上装有一记录笔，在竖直面内放置有记录纸。当弹簧振子沿竖直方向上下自由振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示余弦型函数曲线形状的印迹，图中的y1、y2、x0、2x0、3x0为记录纸上印迹的位置坐标值，P、Q分别是印迹上纵坐标为y1和y2的两个点。若空气阻力、记录笔的质量及其与纸之间的作用力均可忽略不计，则（ ）
A．该弹簧振子的振动周期为
B．该弹簧振子的振幅为y1﹣y2
C．在记录笔留下PQ段印迹的过程中，物块所受合力的冲量为零
D．在记录笔留下PQ段印迹的过程中，弹力对物块做功为零
【答案】C
【解答】解：AB、记录纸匀速运动，振子振动的周期等于记录纸运动位移2x0所用的时间，则周期 T＝，振幅为A＝，故AB错误；
C、在记录笔留下PQ段印迹的过程中，弹簧振子从上方最大位移处运动到下方最大位移处，初末速度为零，根据动量定理可知，物块受到的合力的冲量为零，故C正确；
D、同理，在记录笔留下PQ段印迹的过程中，根据动能定理可知，合外力做功为零，但重力做正功，故弹力对物块做负功，不为零，故D错误。
故选：C。
18．地震波既有纵波也有横波，是由同一震源同时产生的，两者均可简化为频率不变的简谐波。纵波是推进波，又称P波，在地壳中的传播速度vP＝6km/s；横波是剪切波，又称S波，在地壳中的传播速度vS＝4km/s。某研究性学习小组研制了一种简易地震仪，由竖直弹簧振子M和水平弹簧振子Q组成，如图甲所示。在一次地震中，震源位于此地震仪的正下方，观察到两组弹簧振子先后振动起来，起振时间相差为3s，同时装置记录下水平弹簧振子Q的振动图像如图乙所示。则：
（1）弹簧振子M和Q哪个先开始简谐振动？请简述理由。
（2）该地震波的横波波长是多少千米？
（3）震源距离地震仪多少千米？
【答案】（1）见解析；
（2）该地震波的横波波长为2km；
（3）震源距离地震仪36km。
【解答】解：（1）弹簧振子M先开始简谐振动，理由是纵波的波速大，故纵波先传到地震仪处。
（2）由图知，T＝0.5s，则横波波长为
λ＝vST＝4×0.5km＝2km
（3）设震源距离地震仪s千米，则
s＝vPt1
s＝vSt2
由题意可知
t2﹣t1＝3s
解得
s＝36km
答：（1）见解析；
（2）该地震波的横波波长为2km；
（3）震源距离地震仪36km。
19．均匀介质中，波源位于点的简谐横波在xOy水平面内传播，t＝0时刻，所有波峰、波谷的分布如图甲所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷，坐标（0，20）处的质点P处于波峰。质点P的振动图象如图乙所示，z轴正方向竖直向上。求：
（1）该波的传播速度大小；
（2）坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻；
（3）坐标（10，0）处的质点N的振动方程及8.5s末质点N在z轴上的坐标。
【答案】（1）该波的传播速度大小为5m/s；
（2）坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻为6s；
（3）坐标（10，0）处的质点N的振动方程为，8.5s末质点N在z轴上的坐标为z＝cm。
【解答】解：（1）由题知图甲中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷，则有：
解得：λ＝20m
图乙为质点P的振动图象，可知周期：T＝4s
根据波速计算公式有：＝m/s＝5m/s；
（2）由图甲可知当波谷传到坐标（0，40）处的质点M时，走过的位移为：x＝30m
则坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻为：＝s＝6s；
（3）由图乙知振幅：A＝2cm
角速度：ω＝＝rad/s＝rad/s
坐标（10，0）处的质点N的振动方程为：
将t＝8.5s代入上式可得8.5s末质点N在z轴上的坐标为：。
答：（1）该波的传播速度大小为5m/s；
（2）坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻为6s；
（3）坐标（10，0）处的质点N的振动方程为，8.5s末质点N在z轴上的坐标为z＝cm。
题型四．简谐运动的回复力（共8小题）
20．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动，A、B分居O点的左、右两侧的对称点。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如乙所示的正弦曲线，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.6s时，振子在O点右侧6cm处
B．振子t＝0.2s和t＝1.0s时的速度相同
C．t＝1.2s时，振子的加速度大小为m/s2，方向水平向右
D．t＝1.0s到t＝1.4s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大
【答案】C
【解答】A、由图象乙知，t＝0.6s时，图象的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，故A错误。
B、由图象乙知，振子t＝0.2s和t＝1.0s图象斜率大小相同，但正负不同，由于速度是矢量，故速度不同。B错误。
C、有图象乙可知该振子的运动规律为x＝0.12sint，对x求二阶导数可知可得加速度a＝﹣sint，当t＝1.2s时，sint＝﹣1，故a1.2＝，即振子的加速度大小为m/s2，方向水平向右，故C正确。
D、在t＝1.0s到t＝1.4s的时间内，振子的位移向增大，后减小，故速度先减小后增加，加速度先增大后减小，故D错误。
故选：C。
21．下列说法正确的是（ ）
A．回复力一定是振动物体所受的合外力
B．弹簧振子振动过程中，速度增大时，加速度一定减小
C．声波与观察者相互接近时，波源发出的声波的频率会升高
D．由波长、波速和频率的关系v＝λf可知，波源频率越高，波的传播速度越大
【答案】B
【解答】解：A、回复力也不一定就是合外力。举例：在单摆中，单摆的回复力是重力沿轨迹切线方向的分力，并非是重力与绳子拉力的合力。故A错误；
B、弹簧振子振动过程中，速度增大时，向平衡位置运动，则回复力减小，那么加速度一定减小。故B正确；
C、声波与观察者相互接近时，波源发出的声波的频率不变，而接收频率会升高。故C错误；
D、由波长、波速和频率的关系v＝λf可知，频率不变时，波速与波长成正比，故D错误。
故选：B。
22．如图所示，小球穿过粗糙的竖直杆，轻质弹性绳的左端与小球相连，右端固定在墙上N点，弹性绳跨过M处的光滑小滑轮，O为竖直杆上的一点，O、M、N在同一水平线上，弹性绳的自然长度和MN间距离相同。小球从O点静止释放，到达最低点P后又继续向上运动，Q为OP中点。绳中弹力始终遵从胡克定律，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则小球（ ）
A．从O运动至P的过程中，受到摩擦力变大
B．第一次运动至Q点时，速度最大
C．从P点返回的过程中，速度最大的位置在Q点上方
D．最终可以停在Q点上方的某一位置
【答案】B
【解答】解：A、设弹性绳与竖直方向的夹角为θ，由胡克定律得，弹性绳的弹力为kl（l为弹性绳与滑轮所在M点及杆上O点构成的直角三角形的斜边长），当小球从O点沿着杆下降的过程中，对小球做受力分析可得受力分析如下图所示，
对P受力分析，水平方向由平衡条件得：Fx＝klsinθ。由几何关系可知lsinθ始终等于dOM的长度，因此可知弹性绳的弹力在水平方向的分力大小始终不变，小球在竖直杆上滑动的过程中所受摩擦力为滑动摩擦力，大小为f＝μN＝μFx＝μklsinθ＝μkdOM，则摩擦力大小始终不变，故A错误；
B、对小球在O点向P点运动的过程中，竖直方向上小球所受合力为：F合＝mg﹣f﹣klcosθ＝mg﹣μkdOM﹣klcosθ，其中lcosθ等于小球从O点下落的距离，设x＝lcosθ，则有：F合＝mg﹣μkdOM﹣kx，小球下滑过程中，重力和摩擦力为恒力，以上等式关系可类比弹簧振子在最大位移处竖直向下做简谐振动时合力的变化，而Q为OP的中点，则可知小球第一次运动至Q点时速度最大，故B正确；
C、从P点返回的过程中，摩擦力向下，竖直方向有F合2＝mg+f﹣kx，类比小球第一次下降的过程，若合力不变，则小球仍然在上升至Q点时速度达到最大，但实际上在小球第一次从最低点P上升的过程中，竖直向下的力增大了，则小球需要克服阻碍其运动的力而做的功增加了，因此从能量的角度考虑，小球从P点返回的过程中，速度最大的位置一定在Q点的下方，故C错误；
D、由以上分析可知，小球每次下降后再上升的过程中其平衡位置都在下降，由此可知，当小球最终停止时一定停在Q点下方的某一位置处，故D错误。
故选：B。
23．（多选）装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。规定竖直向上为正方向，某时刻开始计时后的振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（ ）
A．回复力等于浮力
B．回复力等于重力和浮力的合力
C．振动周期与按压的深度无关
D．振动表达式为x＝4sin（4πt﹣）cm
【答案】BCD
【解答】解：AB、对试管，漂浮时，mg＝ρgSh0，按压后，F合＝ρgSh﹣mg＝ρgSh﹣ρgSh0＝ρgSx，大小与离开最初位置的距离成正比，方向总是指向最初位置，满足回复力定义，故B正确，A错误；
C、简谐振动的周期与振幅无关，由简谐振动周期公式，根据回复力F合＝ρgSh﹣mg＝ρgSh﹣ρgSh0＝ρgSx＝kx，联立解得，与振幅无关，故C正确；
D、振幅A＝4cm，T＝0.5s，简谐位移函数式，将0时刻和t1时刻特殊值代入，解得，故简谐位移函数式，故B正确。
故选：BCD。
24．（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体A，A和B通过细绳绕过定滑轮连接，已知A的质量为mA，B的质量为mB，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮摩擦，开始时A位于O点，系统处于静止状态，A在P点时弹簧处于原长，现将A物体由P点静止释放，A物体不会和定滑轮相碰，当B向下运动到最低点时绳子恰好被拉断且弹簧未超过弹性限度。已知弹簧振子的周期公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．绳子能承受的最大拉力小于2mBg
B．弹簧的最大弹性势能是
C．绳断后A物体回到位置O点时与P点时的速度大小之比为
D．从绳断后A物体第一次由位置O回到位置P时所用的时间为
【答案】ABC
【解答】解：A、将A、B作为整体，绳断前它们做简谐运动，平衡位置是O点。A在P点弹簧处于原长时释放，此时根据牛顿第二定律有：mBg＝（mA+mB）a
根据简谐运动的对称性，B到达最低点的加速度与初始位置的大小相等，则有：T﹣mBg＝mBa
解得绳子能承受的最大拉力＜2mBg，故A正确；
B、A处于O位置时，根据平衡条件得：kx1＝mBg，物体B下降到最低位置时，根据做简谐运动的对称性，弹簧伸长量为2x1，此时弹簧弹性势能最大，且为：
，故B正确；
C、绳断后A物体回到位置O时，根据机械能守恒可得：，解得A到达O点的速度：
绳断后A物体回到位置P时，根据机械能守恒可得：，解得A到达P点的速度：
绳断后A物体回到位置O点时与P点时的速度大小之比为，故C正确；
D、绳段后A做简谐运动，其平衡位置为P点，绳刚断时A的位置是位移最大处，由C选项可知，O点是P到位移最大处的中点，简谐运动图像如下图所示。
从绳断后A物体第一次由位置O回到位置P时所用的时间为，故D错误。
故选：ABC。
25．（多选）甲、乙两弹簧振子水平放置时的振动图象如图所示，则可知（ ）
A．两弹簧振子完全相同
B．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
C．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲：F乙＝2：1
D．振子乙速度为最大时，振子甲速度不一定为零
E．两振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2
【答案】BDE
【解答】解：A、两弹簧振子不一定完全相同，故A错误；
B、分析振动图象可知，振子甲速度为零时，振子乙处于平衡位置，速度最大，故B正确；
C、弹簧振子的回复力：F＝﹣kx，本题中k可能不同，则无法判断两振子的回复力最大值的关系，故C错误；
D、分析振动图象可知，振子乙速度最大时，振子甲可能处于最大位移处，也可能处于平衡位置，故振子甲速度不一定为零，故D正确；
E、由图可知甲、乙两个振子的周期分别为T甲＝2.0s，T乙＝1.0s，甲、乙两个振子的周期之比为2：1，频率：f＝，所以甲、乙振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2，故E正确。
故选：BDE。
26．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O，A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂，已知弹簧振子的振动周期，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）细线断裂前瞬间的张力大小FT；
（2）从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间t；
（3）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小。
【答案】（1）细线断裂前瞬间的张力大小为；
（2）从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间为；
（3）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小为。
【解答】解：（1）A静止于O点平衡时kx0＝mg
A、B组成的简谐振动中，振幅为
由对称性，小球A向右运动至最远点时，对A有k×2x0﹣FT＝ma
对B有FT﹣mg＝ma
联立解得
（2）细线断裂后A球单独做简谐振动，振幅变为
则A球单独做简谐振动的振动方程为
当小球A第一次返回O点时，有
可得
（3）细线断裂后，小球A到达O点时，根据能量守恒定律有
解得
答：（1）细线断裂前瞬间的张力大小为；
（2）从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间为；
（3）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小为。
27．如图所示，质量分别为m、3m的滑块A和B靠在一起，静止在水平面上，中间有少量火药（质量可忽略），轻质弹簧左端固定，右端与滑块A接触但不拴接，弹簧处于自由伸长状态。某时刻点燃火药，滑块A、B分开，分开后瞬间A的速度大小为v0，B停止运动的瞬间A与B发生第一次碰撞。已知A与B间的所有碰撞均为弹性碰撞，A与水平面间没有摩擦，B与水平面间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧振子的振动周期，m0为振子的质量，k为弹簧的劲度系数，重力加速度为g。求：
（1）弹簧劲度系数k的大小；
（2）A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小：
（3）A、B第n次碰撞后到第n+1次碰撞前B运动的位移大小及全过程中B运动的总位移大小。
【答案】（1）弹簧劲度系数k的大小为；
（2）A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小为：
（3）A、B第n次碰撞后到第n+1次碰撞前B运动的位移大小为，全过程中B运动的总位移大小为。
【解答】解：（1）规定向右为正方向，根据题意可知，A、B分开过程系统动量守恒，分离后瞬间A的速度大小为v0。则有mv0＝3mvB0
解得
对滑块B由牛顿第二定律有
分开后B在水平面上滑动的时间为
分开后B在水平面上滑过的距离为xB0＝
根据题意可知，滑块A开始压缩弹簧到与弹簧分离的过程做简谐运动，结合题述和简谐运动知识可知，滑块A做简谐运动的时间为
滑块A与弹簧分离后在水平面上做匀速运动直到与B第一次碰撞，运动的时间为
结合题述有t1+t2＝t0
联立解得
（2）设第1次碰撞后瞬间滑块A、B的速度分别为vA1和vB1，A与B间的所有碰撞均为弹性碰撞，碰撞过程根据动量守恒定律和能量守恒定律有mv0＝mvA1+3mvB1
解得，
假设第2次碰撞前B已停止运动，则第1次碰撞后B滑动的时间为
A运动时间为
其中
可得tB1＜tA1
则第2次碰撞前B已停止运动，第2次碰撞后，A的速度
即A与B第3次碰撞前瞬间A的速度大小为；
（3）A与B第2次碰撞后瞬间，B的速度大小
A与B第2次碰撞后，B滑动的位移
A与B第n次碰撞前，A的速度大小
A与B第n次碰撞后瞬间，B的速度大小为
A与B第n次碰撞后到n+1次碰撞前，B滑动的位移为
B运动的总位移为x总＝xB0+xB1+…+xBn
解得x总＝
答：（1）弹簧劲度系数k的大小为；
（2）A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小为：
（3）A、B第n次碰撞后到第n+1次碰撞前B运动的位移大小为，全过程中B运动的总位移大小为。
题型五．简谐运动的能量问题（共4小题）
28．如图甲所示为一小孩在蹦床上做预备活动的娱乐场景，其简化模型如图乙所示：轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从弹簧上端原长B处静止释放，始终沿着x轴竖直运动。以小球平衡位置O为坐标原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）现将小球由平衡位置O向下发生的位移为x，小球沿着竖直x轴运动。
①请写出小球所受的合外力F与x的关系式，并据此说明小球的运动是否为简谐运动；
②以平衡位置O为系统总势能的零势能参考点，可以将重力势能和弹性势能这两个势能等效成一个总势能。请结合小球的受力特点和求解变力功的基本思想方法，推导出“等效总势能”的表达式；
（2）已知小球运动的周期为，若只更换不同质量的小球，在B处静止释放小球运动的区间会发生变化。对于任意一个质量确定的小球，在该弹簧形变限度内实验，从位移最大处到平衡位置运动过程中，小球所受的合力对位移的平均值设为F1，合力对时间的平均值设为F2。试证明F1与F2的比值与振幅A无关。
【答案】（1）①小球所受的合外力F与x的关系式为F＝﹣kx，据此说明小球的运动为简谐运动；
②“等效总势能”的表达式为；
（2）证明F1与F2的比值与振幅A无关，证明过程见解答。
【解答】（1）①小球由平衡位置O向下发生的位移为x，以x轴正方向为正方向，设B处的x轴坐标为x0（x0＜0），小球所受合外力为：
F＝mg﹣k（x﹣x0）
当x＝0时，即小球处于平衡位置，则有：F＝0，可得：mg＝﹣kx0
联立可得：F＝﹣kx
可知小球所受合外力作为回复力，小球的运动是简谐运动。
②以x轴正方向为正方向，小球从平衡位置O向下位移为x时，
其重力势能变化量为：ΔEpG＝﹣mgx
弹簧弹力做功为：W＝﹣[﹣kx0+k（x﹣x0）]x＝﹣（mgx+kx2）
由功能关系可得弹性势能变化量为：ΔEp弹＝﹣W＝mgx+kx2
以平衡位置O为系统总势能的零势能参考点，则等效总势能为：
Ep＝ΔEpG+ΔEp弹＝
（2）从位移最大处到平衡位置，等效总势能的变化量为：ΔEp＝﹣kA2
由功能关系可得合力做功为：W1＝﹣ΔEp＝kA2
可得合力对位移的平均值为：
设小球到达平衡位置的速度大小为v，根据机械能守恒定律可得：mv2＝kA2
从位移最大处到平衡位置，小球的动量变化量的大小为：Δp＝mv
根据动量定理可得合力对时间的平均值为：＝
则F1与F2的比值为：
可得此比值与振幅A无关。
答：（1）①小球所受的合外力F与x的关系式为F＝﹣kx，据此说明小球的运动为简谐运动；
②“等效总势能”的表达式为；
（2）证明F1与F2的比值与振幅A无关，证明过程见解答。
29．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O（图中未画出），A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线恰好断裂（此时小球B未落地），已知弹簧振子的振动周期，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）初始系统处于静止状态时弹簧的形变量x0；
（2）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小v0；
（3）从细线断裂开始计时，小球A从右向左经过O点所用的时间t。
【答案】（1）初始系统处于静止状态时弹簧的形变量x0为；
（2）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小v0为；
（3）从细线断裂开始计时，小球A从右向左经过O点所用的时间t为。
【解答】解：（1）A静止于O点平衡时，有
kx0＝mg
解得
（2）A、B系统的简谐振动中，振幅为A＝
根据对称性，小球A向右运动至最远点时弹簧伸长量为2x0，细线断裂后，小球A到达O点时，根据能量守恒定律有
解得：
（3）细线断裂后A球单独做简谐振动，振幅变为了A'＝
则A球单独做简谐运动的振动方程为
有
当小球A向左经过O点时可得
答：（1）初始系统处于静止状态时弹簧的形变量x0为；
（2）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小v0为；
（3）从细线断裂开始计时，小球A从右向左经过O点所用的时间t为。
30．如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止于O点。另一质量为m的小球B从距A高为的P点由静止开始下落，与A发生碰撞瞬间粘在一起开始向下运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为已知弹簧振子的周期T＝2π，M为振子的总质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小v1；
（2）小球A被碰后向下运动的最大速度vAB，向下运动离O点的最大距离xmin；
（3）小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间t。
【答案】（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小；
（2）小球A被碰后向下运动的最大速度，向下运动离O点的最大距离；
（3）小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间。
【解答】解：（1）B与A碰撞前，根据动能定理
解得
AB碰撞过程，取向下为正方向，动量守恒
mv0＝2mv1
解得
（2）初始时，弹簧的形变量为
当弹簧的弹力等于AB两球的重力时，小球A的速度最大，此时弹簧的形变量为
碰后根据AB球和弹簧组成的系统机械能守恒
解得
向下运动离O点的距离最大时，两球速度为零，根据机械能守恒
解得
（3）小球AB受力平衡时为平衡位置，最低点为向下最大位移处，则小球AB做简谐运动的振幅为
O点到平衡位置的距离为
所以，小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间为
其中
解得
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小；
（2）小球A被碰后向下运动的最大速度，向下运动离O点的最大距离；
（3）小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间。
31．如图所示，倾角为θ的光滑斜面底端固定一垂直挡板，劲度系数为k的轻质弹簧一端连接挡板，一端与静止的物块B相连。物块A从距B一定距离处静止释放，与B发生碰撞，碰后A、B粘连，碰撞时间不计。碰后B上升到最高点时，弹簧恰好恢复原长。已知物块A、B的质量均为m，弹簧弹性势能（x为弹簧形变量），弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。
（1）求物块B的最大速率vB；
（2）求物块A与B碰后瞬间的速率vA；
（3）若已知物块A、B碰后到第一次运动至最低点经历的时间为t0，求物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的时间。
【答案】（1）物块B的最大速率为；
（2）物块A与B碰后瞬间的速率为；
（3）物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的时间为。
【解答】解：（1）两物块碰后一起做简谐运动，到平衡位置处物块B的速度达到最大，此时弹簧的压缩量为x，则有：
2mgsinθ＝kx
解得：
设物块B的最大速率为vB，从受力平衡位置到弹簧处于原长的位置，由机械能守恒定律有：
联立解得：；
（2）碰撞前，弹簧的压缩量为x0，则有：kx0＝mgsinθ
联立解得：
从A、B碰后瞬间到两物块的速度第一次达到最大，由机械能守恒定律有：2mg（x﹣x0）sinθ++＝+
解得：；
（3）设物块A碰前瞬间速度大小为v0，取沿斜面向下为正方向，根据动量守恒定律有：mv0＝2mvA
设物块A匀加速运动时间设为t1，则有：v0＝at1
根据牛顿第二定律可得：a＝gsinθ
解得：，
物块A的v﹣t图像如图所示
根据简谐运动特点可知，同一个周期内从最低点到最高点所用时间为：
物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的总时间为：。
答：（1）物块B的最大速率为；
（2）物块A与B碰后瞬间的速率为；
（3）物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的时间为。
题型六．简谐运动过程中速度、加速度（回复力）与位移的变化问题（共2小题）
32．如图a所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距0.2m。小球经过B点时开始计时，在第一个周期内的位置x随时间t变化的图像如图b所示。
（1）求小球振动的周期和振幅；
（2）求小球振动的初相位φ0，并根据上述信息写出小球在任意时刻t的位移x的函数表达式；
（3）求4.5s内小球通过的路程及4.5s末小球的位移。
【答案】（1）小球振动的周期是1.00s，振幅是0.1m；
（2）小球振动的初相位是，小球在任意时刻t的位移x的函数表达式为；
（3）4.5s内小球通过的路程是1.8m，4.5s末小球的位移是﹣0.1m。
【解答】解：（1）振幅A＝0.1m，周期T＝1.00s（或1s）；
（2）设振动方程为
由图给信息可得
可得小球任意时刻t的位移x为
（3）在时间t＝4.5s内，小球一共做了n次全振动＝＝4.5
1次全振动的路程s1＝4A
n次全振动的路程s＝ns1＝4.5×4A＝4.5×4×0.1m＝1.8m
4.5s末小球的位移＝﹣0.1m
答：（1）小球振动的周期是1.00s，振幅是0.1m；
（2）小球振动的初相位是，小球在任意时刻t的位移x的函数表达式为；
（3）4.5s内小球通过的路程是1.8m，4.5s末小球的位移是﹣0.1m。
33．如图所示为一弹簧振子的振动图像，完成以下问题：
（1）该振子振动的振幅、周期、频率；
（2）该振子在前100s的总位移是多少？路程是多少？
（3）写出该振子简谐运动的表达式，计算t＝1.5s时振子的位移。
【答案】（1）该振子振动的振幅为0.02m、周期为4s、频率为0.25Hz；
（2）该振子在前100s的总位移是0，路程是2m；
（3）该振子简谐运动的表达式为，t＝1.5s时振子的位移为。
【解答】解：（1）由振动图像可得振子振动的振幅为：A＝2cm＝0.02m，周期为：T＝4s，则频率为：；
（2）振子经过一个周期位移是零，路程为：s＝4A＝4×2cm＝8cm，前100s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子总位移x＝0，振子路程为：s＝25×4Acm＝200cm＝2 m；
（3）初相位φ＝π，角速度为：
故该振子做简谐运动的表达式为：
由简谐运动的表达式，可知当t＝1.5s时振子的位移为：。
答：（1）该振子振动的振幅为0.02m、周期为4s、频率为0.25Hz；
（2）该振子在前100s的总位移是0，路程是2m；
（3）该振子简谐运动的表达式为，t＝1.5s时振子的位移为。
题型七．探究弹簧振子的周期和小球质量的关系（共3小题）
34．在探究弹簧振子（如图在一根轻质弹簧下悬挂质量为m的重物，让其在竖直方向上振动）振动周期T与物体质量m间的关系的实验中：
（1）如图1，某同学尝试用DIS测量周期，把弹簧振子挂在力传感器的挂钩上，图中力传感器的引出端A应接到 数据采集器 ．使重物做竖直方向小幅度振动，当力的测量值最大时重物位于 最低点 ．若测得连续N个力最大值之间的时间间隔为t，则重物的周期为 ．
（2）为了探究周期T与质量m间的关系，某同学改变重物质量，多次测量，得到了下表中所示的实验数据．为了得到T与m的明确关系，该同学建立了如图2的坐标系，并将横轴用来表示质量m，请在图中标出纵轴表示的物理量，然后在坐标系中画出图线．
m/kg T/s
0.10 0.14
0.20 0.20
0.40 0.28
0.60 0.35
0.80 0.40
（3）周期T与质量m间的关系是 弹簧振子的周期与振子质量的平方根成正比． ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）某同学尝试用DIS测量周期，把弹簧振子挂在力传感器的挂钩上，图中力传感器的引出端A应接到数据采集器．使重物做竖直方向小幅度振动，当力的测量值最大时重物位于最低点．若测得连续N个力最大值之间的时间间隔为t，则重物的周期为．
（2）为了得到T与m的明确关系，我们应该作出倾斜的直线研究变量间的关系．
所以我们应该作出T2﹣﹣m的关系图线．
（3）由图象得：弹簧振子的周期与振子质量的平方根成正比．
故答案为：（1）数据采集器，最低点，
（2）如图
（3）振动周期T的平方与重物的质量m成正比．
35．某兴趣小组查阅资料获知，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π（其中m是振子的质量，k是弹簧的劲度系数，弹簧质量忽略不计），利用该规律可以测定物体的质量。现有如下器材可供选择：
一个带有夹子的金属块A（总质量m0为已知量）；待测质量的物体B；一根劲度系数未知的弹簧C；光电门传感器和挡光片D；位移传感器E；力传感器F；数据采集器G；电脑H。
（1）本实验选用的器材： ABCDGH ，（填写器材后面的字母）．根据选用的器材，简述测定系统振动周期的方法：稍微向下拉一下金属块，让金属块上下振动起来，利用光电门传感器和挡光片D结合GH，求出振动30次所用的时间，进而求得振动系统的周期。
（2）简述测量物体B的质量的主要步骤（直接测量的物理量请用字母表示）：
① 不放B时使用DIS系统测出振动周期T1 ；② 将B固定在A上，使用DIS系统测出振动周期T2 。③ 利用弹簧振子做简谐运动的周期公式T＝2π
，求得：mB＝m0 。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）组合成测定振动周期的装置，故选器材为：ABCDGH；
运用累积法测量周期，稍微向下拉一下金属块，让金属块上下振动起来，利用光电门传感器和挡光片D结合GH，求出振动30次所用的时间，进而求得振动系统的周期；
（2）①运用累积法测量周期：不放B时用秒表测出弹簧振子完成30次全振动的时间t1，弹簧振子的周期T1＝
②将B固定在A上，用秒表测出弹簧振子完成30次全振动的时间t2，弹簧振子的周期T2＝。
③利用弹簧振子做简谐运动的周期公式T＝2π
得：T1＝2π，T2＝2π，
联立解得，mB＝m0；
故答案为：（1）ABCDGH；
（2）①不放B时使用DIS系统测出振动周期T1；
②将B固定在A上，使用DIS系统测出振动周期T2。
③利用弹簧振子做简谐运动的周期公式T＝2π，求得：mB＝m0。
36．宇航员在绕地球做圆周运动的空间站内研究处于完全失重状态下弹簧振子的周期T与振子质量m的关系．
身边的器材有：弹簧、完全相同的螺帽若干个、天平、秒表、刻度尺、温度计等．
（1）宇航员利用上述器材中的螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还应从中选择的一个器材是 秒表 ．
（2）某次实验测量的数据记录如下表：
螺帽的数量n（个） 1 2 3 4 5
30次全振动的时间t（s） 13.40 19.20 23.21 26.83 30.01
振动周期T（s） 0.45 0.64 0.77 0.89 1.00
为了得出T与m的关系，他先研究T与n的关系，并采用作图的方法处理实验数据．他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，那么他是以 T2 为纵坐标的．由表中数据，在图示坐标系中作出该直线．
（3）根据作出的图线，得出T与n的关系式为T＝ T＝ （s）．若每个螺帽的质量用m0表示，则T与m的关系式为T＝ （s）．
（4）若用一未知质量的物体做振子时，测得周期为1.26s，则该物体质量为 7.94 m0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）宇航员利用螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还需要用秒表测时间．
（2）研究各组数据之间的关系如下：
第1组与第2组：n之比：＝2，
周期之比：≈1.42，≈2.02，
第1组与第3组：n之比：＝3，
周期之比：≈1.73，≈2.97，
第1组与第4组：n之比：＝4，周期之比：≈2，＝4，
…
由此可见，T2与n成正比．所以他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，应以T2为纵坐标．
列表如下，应用描点法作图，如图所示．
n（个） 1 2 3 4 5
T2（s2） 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
（3）由于T2与n正比，得到T2＝kn，由图象可知：n＝4，T2＝0.8，代入T2＝kn得到，k≈0.2，有T＝．
由于m＝nm0，则n＝；所以T＝＝；
（4）测得周期为1.26s，代入T＝得到，n＝7.94．则该物体质量为7.94m0．
故答案为：（1）秒表；（2）T2；图象如图所示；（3）T＝；；（4）7.94．
题型一．简谐运动的定义、运动特点与判断（共4小题）
1．如图所示，倾角为α＝30°的斜面体（斜面的上表面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ＝。两物块A、B均可视为质点，A的质量为m，B的质量为4m。斜面顶端与劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧与斜面保持平行，将物块A与弹簧的下端相连，并由弹簧原长处无初速释放，A下滑至斜面上P点时速度第一次减为零。若将物块B与弹簧的下端相连，也从弹簧原长处无初速释放，则B下滑至斜面上Q点时速度第一次减为零（PQ均未画出），斜面体始终处于静止状态，弹簧始终在弹性限度内，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g。求：
（1）斜面上PQ两点间的距离；
（2）物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间。（已知物块B无初速释放后，经时间t0第一次到达Q点，本小题的结果用t0表示）
（3）把AB合体成一个物块C，由弹簧原长处无初速释放，要求物块C在运动的过程中，斜面与地面之间保持相对静止，斜面的质量应满足什么条件。
2．某兴趣小组研究弹簧振子，设计了如图所示的装置，一个轻弹簧竖直放置，一端固定于地面，另一端与质量为m的物体B固连在一起，整个装置被一个口径略大且足够长的光滑圆套约束（图中未画出）。现将质量也为m的物体A由B的正上方某一高度处自由释放，A和B发生碰撞后两者一起以相同的速度向下运动（但不粘连）。AB在以后的振动过程中恰好不会分离，弹簧的劲度系数为k，整个振动过程弹簧处于弹性限度内。忽略A、B的体积，不计空气阻力。m、k、g为已知量。求：
（1）AB一起振动过程中最大加速度的大小；
（2）小组中的甲同学通过研究弹簧弹力做功，得出了弹簧的弹性势能表达式EP＝（x为弹簧形变量）。求A释放前距B的高度；
（3）小组中的乙同学通过课下自学了解到弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数k及振子的质量m有关，但是他记不清周期公式是T＝2π还是T＝2π，请根据所学知识直接选出正确的弹簧振子周期公式（不必写出推导过程）；
（4）以A与B碰撞为计时起点，求AB振动到最高点的时刻。
3．如图所示，质量为m的物体放在与弹簧固定的木板上，弹簧在竖直方向做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最大值是物重的1.5倍，求
（1）物体对弹簧的最小压力
（2）欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅最大值．
4．如图，在质量为M的无底木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M＞m）的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间的细线，此后A将做简谐运动．求：
（1）箱子对地面的压力最小时物块A应在振动的最低点还是最高点？
（2）箱子对地面的最小压力大小为多少？
题型二．简谐运动的表达式及振幅、周期、频率、相位等参数（共12小题）
5．一个弹簧振子在水平方向做简谐运动，周期为T，则（ ）
A．若t时刻和t+Δt时振子位移相同，则Δt一定等于T整数倍
B．若t时刻和t+Δt时刻振子速度相同，则Δt一定等于整数倍
C．若Δt＝，则在t时刻和t+Δt时刻振子的速度大小一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t+Δt时刻弹簧的长度一定相等
6．甲、乙两单摆振动图象如图所示，则（ ）
A．甲的振幅小 B．乙的摆长短
C．ta时刻甲的摆角大 D．tb时刻两摆球速度相同
7．（多选）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a﹣x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（ ）
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的6倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
8．（多选）一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图（a）所示，它的振动图象如图（b）所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．OB＝5cm
B．第0.2s末质点的速度方向是A→O
C．第0.4s末质点的加速度方向是A→O
D．第0.7s时质点位置在O点与A点之间
E．在4s内完成5次全振动
9．（多选）甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（ ）
A．甲速度为零时，乙速度最大
B．甲加速度最小时，乙速度最小
C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同
D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2
E．两个振子的振幅之比为A甲：A乙＝2：1
10．（多选）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．当振子位于A点时弹簧处于自然伸长状态．取竖直向上的方向为正方向，振子的质量为m，重力加速度为g．振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向竖直向下
B．t＝0.6 s和t＝1.0 s时，振子的速度相同
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝1.4s时，振子位于O点下方6 cm处
E．t＝1.2 s到t＝1.6 s的时间内，振子的速度逐渐变大
11．（多选）甲、乙两单摆在同一位置做简谐运动，它们的振动图象如图所示．下列说法中正确的是（ ）
A．甲、乙两摆的振幅之比为2：1
B．甲、乙两摆的摆长之比为1：2
C．t＝2s时，甲摆摆球的重力势能最小，乙摆球的动能为零
D．甲、乙两摆摆球在最低点时加速度为零
E．单摆做受迫振动时，其振幅与驱动的频率和固有频率的比值有关
12．如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象．试根据图象写出：
（1）A的振幅是 cm，周期是 s；B的振幅是 cm，周期是 s．
（2）这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式．
（3）在时间t＝0.05s时两质点的位移分别是多少？
13．如图是某单摆做简谐运动的振动图象．
（1）单摆振动的周期为T、振幅为A各为多少？
（2）若该单摆的摆长为1.00m，求当地的重力加速度（保留三位有效数字）．
（3）0﹣3.5s内，摆球通过的路程为多少？3.5s末，摆球对平衡位置的位移多少？
14．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示。
（1）求t＝0.25×10﹣2s时的位移；
（2）在t＝1.5×10﹣2s到2×10﹣2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
（3）在t＝0到8.5×10﹣2s时间内，质点通过的位移、路程各多大？
15．水平杆上振动的弹簧振子，如图所示，在AB范围内做简谐振动，已知AB间的距离为16cm，振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3s，不计球与杆间的摩擦，（取向右为正）
求：（1）弹簧振子的振幅是多少？
（2）弹簧振子在6s内通过的路程是多少？
（3）若从弹簧振子在A处开始计时，弹簧振子在8s时的位移是多少？
（4）若从弹簧振子在A处开始计时，请在图中作出该振子简谐运动的x﹣t图象．
16．如图是弹簧振子的振动图线，试回答下列问题：
（1）振动的振幅、周期、频率各是多少？
（2）如果从O点算起，到图线上哪一点为止振子完全成了一次全振动？从A点算起呢？
（3）从零到1.6s时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？
题型三．简谐运动的图像问题（共3小题）
17．如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的物块，组成一竖直悬挂的弹簧振子，在物块上装有一记录笔，在竖直面内放置有记录纸。当弹簧振子沿竖直方向上下自由振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示余弦型函数曲线形状的印迹，图中的y1、y2、x0、2x0、3x0为记录纸上印迹的位置坐标值，P、Q分别是印迹上纵坐标为y1和y2的两个点。若空气阻力、记录笔的质量及其与纸之间的作用力均可忽略不计，则（ ）
A．该弹簧振子的振动周期为
B．该弹簧振子的振幅为y1﹣y2
C．在记录笔留下PQ段印迹的过程中，物块所受合力的冲量为零
D．在记录笔留下PQ段印迹的过程中，弹力对物块做功为零
18．地震波既有纵波也有横波，是由同一震源同时产生的，两者均可简化为频率不变的简谐波。纵波是推进波，又称P波，在地壳中的传播速度vP＝6km/s；横波是剪切波，又称S波，在地壳中的传播速度vS＝4km/s。某研究性学习小组研制了一种简易地震仪，由竖直弹簧振子M和水平弹簧振子Q组成，如图甲所示。在一次地震中，震源位于此地震仪的正下方，观察到两组弹簧振子先后振动起来，起振时间相差为3s，同时装置记录下水平弹簧振子Q的振动图像如图乙所示。则：
（1）弹簧振子M和Q哪个先开始简谐振动？请简述理由。
（2）该地震波的横波波长是多少千米？
（3）震源距离地震仪多少千米？
19．均匀介质中，波源位于点的简谐横波在xOy水平面内传播，t＝0时刻，所有波峰、波谷的分布如图甲所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷，坐标（0，20）处的质点P处于波峰。质点P的振动图象如图乙所示，z轴正方向竖直向上。求：
（1）该波的传播速度大小；
（2）坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻；
（3）坐标（10，0）处的质点N的振动方程及8.5s末质点N在z轴上的坐标。
题型四．简谐运动的回复力（共8小题）
20．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动，A、B分居O点的左、右两侧的对称点。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如乙所示的正弦曲线，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.6s时，振子在O点右侧6cm处
B．振子t＝0.2s和t＝1.0s时的速度相同
C．t＝1.2s时，振子的加速度大小为m/s2，方向水平向右
D．t＝1.0s到t＝1.4s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大
21．下列说法正确的是（ ）
A．回复力一定是振动物体所受的合外力
B．弹簧振子振动过程中，速度增大时，加速度一定减小
C．声波与观察者相互接近时，波源发出的声波的频率会升高
D．由波长、波速和频率的关系v＝λf可知，波源频率越高，波的传播速度越大
22．如图所示，小球穿过粗糙的竖直杆，轻质弹性绳的左端与小球相连，右端固定在墙上N点，弹性绳跨过M处的光滑小滑轮，O为竖直杆上的一点，O、M、N在同一水平线上，弹性绳的自然长度和MN间距离相同。小球从O点静止释放，到达最低点P后又继续向上运动，Q为OP中点。绳中弹力始终遵从胡克定律，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则小球（ ）
A．从O运动至P的过程中，受到摩擦力变大
B．第一次运动至Q点时，速度最大
C．从P点返回的过程中，速度最大的位置在Q点上方
D．最终可以停在Q点上方的某一位置
23．（多选）装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。规定竖直向上为正方向，某时刻开始计时后的振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（ ）
A．回复力等于浮力
B．回复力等于重力和浮力的合力
C．振动周期与按压的深度无关
D．振动表达式为x＝4sin（4πt﹣）cm
24．（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体A，A和B通过细绳绕过定滑轮连接，已知A的质量为mA，B的质量为mB，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮摩擦，开始时A位于O点，系统处于静止状态，A在P点时弹簧处于原长，现将A物体由P点静止释放，A物体不会和定滑轮相碰，当B向下运动到最低点时绳子恰好被拉断且弹簧未超过弹性限度。已知弹簧振子的周期公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．绳子能承受的最大拉力小于2mBg
B．弹簧的最大弹性势能是
C．绳断后A物体回到位置O点时与P点时的速度大小之比为
D．从绳断后A物体第一次由位置O回到位置P时所用的时间为
25．（多选）甲、乙两弹簧振子水平放置时的振动图象如图所示，则可知（ ）
A．两弹簧振子完全相同
B．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
C．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲：F乙＝2：1
D．振子乙速度为最大时，振子甲速度不一定为零
E．两振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2
26．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O，A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂，已知弹簧振子的振动周期，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）细线断裂前瞬间的张力大小FT；
（2）从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间t；
（3）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小。
27．如图所示，质量分别为m、3m的滑块A和B靠在一起，静止在水平面上，中间有少量火药（质量可忽略），轻质弹簧左端固定，右端与滑块A接触但不拴接，弹簧处于自由伸长状态。某时刻点燃火药，滑块A、B分开，分开后瞬间A的速度大小为v0，B停止运动的瞬间A与B发生第一次碰撞。已知A与B间的所有碰撞均为弹性碰撞，A与水平面间没有摩擦，B与水平面间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧振子的振动周期，m0为振子的质量，k为弹簧的劲度系数，重力加速度为g。求：
（1）弹簧劲度系数k的大小；
（2）A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小：
（3）A、B第n次碰撞后到第n+1次碰撞前B运动的位移大小及全过程中B运动的总位移大小。
题型五．简谐运动的能量问题（共4小题）
28．如图甲所示为一小孩在蹦床上做预备活动的娱乐场景，其简化模型如图乙所示：轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从弹簧上端原长B处静止释放，始终沿着x轴竖直运动。以小球平衡位置O为坐标原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）现将小球由平衡位置O向下发生的位移为x，小球沿着竖直x轴运动。
①请写出小球所受的合外力F与x的关系式，并据此说明小球的运动是否为简谐运动；
②以平衡位置O为系统总势能的零势能参考点，可以将重力势能和弹性势能这两个势能等效成一个总势能。请结合小球的受力特点和求解变力功的基本思想方法，推导出“等效总势能”的表达式；
（2）已知小球运动的周期为，若只更换不同质量的小球，在B处静止释放小球运动的区间会发生变化。对于任意一个质量确定的小球，在该弹簧形变限度内实验，从位移最大处到平衡位置运动过程中，小球所受的合力对位移的平均值设为F1，合力对时间的平均值设为F2。试证明F1与F2的比值与振幅A无关。
29．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O（图中未画出），A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线恰好断裂（此时小球B未落地），已知弹簧振子的振动周期，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）初始系统处于静止状态时弹簧的形变量x0；
（2）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小v0；
（3）从细线断裂开始计时，小球A从右向左经过O点所用的时间t。
30．如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止于O点。另一质量为m的小球B从距A高为的P点由静止开始下落，与A发生碰撞瞬间粘在一起开始向下运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为已知弹簧振子的周期T＝2π，M为振子的总质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小v1；
（2）小球A被碰后向下运动的最大速度vAB，向下运动离O点的最大距离xmin；
（3）小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间t。
31．如图所示，倾角为θ的光滑斜面底端固定一垂直挡板，劲度系数为k的轻质弹簧一端连接挡板，一端与静止的物块B相连。物块A从距B一定距离处静止释放，与B发生碰撞，碰后A、B粘连，碰撞时间不计。碰后B上升到最高点时，弹簧恰好恢复原长。已知物块A、B的质量均为m，弹簧弹性势能（x为弹簧形变量），弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。
（1）求物块B的最大速率vB；
（2）求物块A与B碰后瞬间的速率vA；
（3）若已知物块A、B碰后到第一次运动至最低点经历的时间为t0，求物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的时间。
题型六．简谐运动过程中速度、加速度（回复力）与位移的变化问题（共2小题）
32．如图a所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距0.2m。小球经过B点时开始计时，在第一个周期内的位置x随时间t变化的图像如图b所示。
（1）求小球振动的周期和振幅；
（2）求小球振动的初相位φ0，并根据上述信息写出小球在任意时刻t的位移x的函数表达式；
（3）求4.5s内小球通过的路程及4.5s末小球的位移。
33．如图所示为一弹簧振子的振动图像，完成以下问题：
（1）该振子振动的振幅、周期、频率；
（2）该振子在前100s的总位移是多少？路程是多少？
（3）写出该振子简谐运动的表达式，计算t＝1.5s时振子的位移。
题型七．探究弹簧振子的周期和小球质量的关系（共3小题）
34．在探究弹簧振子（如图在一根轻质弹簧下悬挂质量为m的重物，让其在竖直方向上振动）振动周期T与物体质量m间的关系的实验中：
（1）如图1，某同学尝试用DIS测量周期，把弹簧振子挂在力传感器的挂钩上，图中力传感器的引出端A应接到 ．使重物做竖直方向小幅度振动，当力的测量值最大时重物位于 ．若测得连续N个力最大值之间的时间间隔为t，则重物的周期为 ．
（2）为了探究周期T与质量m间的关系，某同学改变重物质量，多次测量，得到了下表中所示的实验数据．为了得到T与m的明确关系，该同学建立了如图2的坐标系，并将横轴用来表示质量m，请在图中标出纵轴表示的物理量，然后在坐标系中画出图线．
m/kg T/s
0.10 0.14
0.20 0.20
0.40 0.28
0.60 0.35
0.80 0.40
（3）周期T与质量m间的关系是 ．
35．某兴趣小组查阅资料获知，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π（其中m是振子的质量，k是弹簧的劲度系数，弹簧质量忽略不计），利用该规律可以测定物体的质量。现有如下器材可供选择：
一个带有夹子的金属块A（总质量m0为已知量）；待测质量的物体B；一根劲度系数未知的弹簧C；光电门传感器和挡光片D；位移传感器E；力传感器F；数据采集器G；电脑H。
（1）本实验选用的器材： ，（填写器材后面的字母）．根据选用的器材，简述测定系统振动周期的方法：稍微向下拉一下金属块，让金属块上下振动起来，利用光电门传感器和挡光片D结合GH，求出振动30次所用的时间，进而求得振动系统的周期。
（2）简述测量物体B的质量的主要步骤（直接测量的物理量请用字母表示）：
① ；② 。③ 。
36．宇航员在绕地球做圆周运动的空间站内研究处于完全失重状态下弹簧振子的周期T与振子质量m的关系．
身边的器材有：弹簧、完全相同的螺帽若干个、天平、秒表、刻度尺、温度计等．
（1）宇航员利用上述器材中的螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还应从中选择的一个器材是 ．
（2）某次实验测量的数据记录如下表：
螺帽的数量n（个） 1 2 3 4 5
30次全振动的时间t（s） 13.40 19.20 23.21 26.83 30.01
振动周期T（s） 0.45 0.64 0.77 0.89 1.00
为了得出T与m的关系，他先研究T与n的关系，并采用作图的方法处理实验数据．他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，那么他是以 为纵坐标的．由表中数据，在图示坐标系中作出该直线．
（3）根据作出的图线，得出T与n的关系式为T＝ （s）．若每个螺帽的质量用m0表示，则T与m的关系式为T＝ （s）．
（4）若用一未知质量的物体做振子时，测得周期为1.26s，则该物体质量为 m0．
2.1简谐运动题型归纳答案
题型一．简谐运动的定义、运动特点与判断（共4小题）
1．如图所示，倾角为α＝30°的斜面体（斜面的上表面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ＝。两物块A、B均可视为质点，A的质量为m，B的质量为4m。斜面顶端与劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧与斜面保持平行，将物块A与弹簧的下端相连，并由弹簧原长处无初速释放，A下滑至斜面上P点时速度第一次减为零。若将物块B与弹簧的下端相连，也从弹簧原长处无初速释放，则B下滑至斜面上Q点时速度第一次减为零（PQ均未画出），斜面体始终处于静止状态，弹簧始终在弹性限度内，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g。求：
（1）斜面上PQ两点间的距离；
（2）物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间。（已知物块B无初速释放后，经时间t0第一次到达Q点，本小题的结果用t0表示）
（3）把AB合体成一个物块C，由弹簧原长处无初速释放，要求物块C在运动的过程中，斜面与地面之间保持相对静止，斜面的质量应满足什么条件。
【答案】（1）斜面上PQ两点间的距离为；
（2）物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间为；
（3）斜面的质量应满足。
【解答】解：（1）设质量为m0的物体在斜面上平衡时，弹簧的伸长量为l0，由共点力平衡条件得：
m0gsinα＝kl0
解得：
取沿斜面向上为正方向，当物块相对平衡位置位移为x时，物块所受合力为：
F合＝k（l0﹣x）﹣m0gsinα
解得：F合＝﹣kx
故可知物块做简谐运动，对物块A在平衡位置时弹簧的伸长量为：
同理对物块B在平衡位置时弹簧的伸长量为：
根据简谐运动的对称性，在PQ点时对应的弹簧的伸长量分别为：
故斜面上PQ两点间的距离为
（2）根据题意可知物块B做简谐运动的周期为
T＝2t0
振幅为：
从释放位置开始时，物块B做简谐运动的振动方程为：
解得：
设物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间为t′，有
联立解得：
可得或
解得：
（3）设斜面的质量为M，将斜面，物块C和弹簧作为一系统，当物块C处在最高点即此时弹簧为原长时，物块C的加速度最大并沿斜面向下，大小为
解得：
故此时系统失重最大，地面对斜面的支持力最小，根据牛顿第二定律，水平方向有：
f地＝5max＝5macosα
其中ax＝acosα
竖直方向有：
（M+5m）g﹣FN地＝5may
ay＝asinα
联立解得：
同时有
f地≤μFN地
解得斜面的质量应满足：
答：（1）斜面上PQ两点间的距离为；
（2）物块B由弹簧原长释放，运动至P点所需时间为；
（3）斜面的质量应满足。
2．某兴趣小组研究弹簧振子，设计了如图所示的装置，一个轻弹簧竖直放置，一端固定于地面，另一端与质量为m的物体B固连在一起，整个装置被一个口径略大且足够长的光滑圆套约束（图中未画出）。现将质量也为m的物体A由B的正上方某一高度处自由释放，A和B发生碰撞后两者一起以相同的速度向下运动（但不粘连）。AB在以后的振动过程中恰好不会分离，弹簧的劲度系数为k，整个振动过程弹簧处于弹性限度内。忽略A、B的体积，不计空气阻力。m、k、g为已知量。求：
（1）AB一起振动过程中最大加速度的大小；
（2）小组中的甲同学通过研究弹簧弹力做功，得出了弹簧的弹性势能表达式EP＝（x为弹簧形变量）。求A释放前距B的高度；
（3）小组中的乙同学通过课下自学了解到弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数k及振子的质量m有关，但是他记不清周期公式是T＝2π还是T＝2π，请根据所学知识直接选出正确的弹簧振子周期公式（不必写出推导过程）；
（4）以A与B碰撞为计时起点，求AB振动到最高点的时刻。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AB在以后的振动过程中恰好不会分离，说明刚好不分离时达到最高点，此时二者之间的弹力为零，加速度最大。
在二者达到最高点时，对A根据牛顿第二定律可得：mg＝ma
解得：a＝g；
（2）设碰撞前A的速度大小为v0，碰撞后速度大小为v，取向下为正分向，根据动量守恒定律可得：mv0＝2mv
解得：v＝
原来弹簧压缩：x＝
从碰撞后到最高点的过程中，根据功能关系可得：+＝2mgx
解得：v＝
对A自由下落过程中，根据动能定理可得：mgh＝
联立解得：h＝；
（3）周期的单位为s，的单位为：＝＝s，故周期的计算公式为T＝2π；
（4）以A与B碰撞为计时起点，开始AB处于振幅一半的位置，结合简谐振动的方程x＝Asinωt，可得知向下运动到平衡位置时经过的时间：t1＝T
从平衡位置向下，到达波谷再第一次到达最高点经过的时间问：t2＝T
从AB碰撞后开始振动到最高点的时刻为：t＝t1+t2
解得：t＝T＝。
答：（1）AB一起振动过程中最大加速度的大小为g；
（2）A释放前距B的高度为；
（3）弹簧振子周期公式为；
（4）以A与B碰撞为计时起点，AB振动到最高点的时刻为。
3．如图所示，质量为m的物体放在与弹簧固定的木板上，弹簧在竖直方向做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最大值是物重的1.5倍，求
（1）物体对弹簧的最小压力
（2）欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可知，最大压力为1.5mg；
此时加速度最大，则最大加速度为
1.5mg﹣mg＝ma；
解得：a＝0.5g；
因为木块在竖直方向上做简谐运动，依题意木块在最低点时对弹簧的压力最大，在最高点对弹簧的压力最小．
在最低点根据牛顿第二定律有FN﹣mg＝ma，代入数据解得a＝0.5 g．
由最高点和最低点相对平衡位置对称，加速度大小等值反向，所以最高点的加速度大小为a′＝0.5 g，在最高点根据牛顿第二定律有mg﹣FN′＝ma′，
故FN′＝mg﹣ma′＝0.5 mg．
（2）当物体在平衡位置静止时，弹簧的弹力等于物体的重力，即：
mg＝kx0
当振幅为A时，在最高点物体对弹簧的压力等于0.5mg，由胡克定律得：
FN′＝kx1
而：x1＝x0﹣A
联立得：x0＝2A
欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，则在最高点物体对弹簧的压力恰好为0，则在最高点弹簧的长度等于弹簧的原长！所以此时物体的振幅等于x0，即等于2A
答：（1）物体对弹簧的最小压力的大小为0.5mg．
（2）欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅最大值是2A．
4．如图，在质量为M的无底木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M＞m）的A、B两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间的细线，此后A将做简谐运动．求：
（1）箱子对地面的压力最小时物块A应在振动的最低点还是最高点？
（2）箱子对地面的最小压力大小为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）轻弹簧悬挂质量均为m的A、B两物体，箱子放在水平地面上，平衡后剪断A、B间的连线，A将做简谐运动；对A和箱子整体分析，当具有向下的最大加速度时，对地压力最小；故在最高点对地压力最小；
（2）设弹簧形变量为2x，弹簧劲度系数为k，由平衡条件知2kx＝2mg，A将在弹簧形变量2x到0之间做振幅为x的简谐运动，即当A运动到最高点时弹簧被压缩x＝0，木箱只受到重力和地面的支持力，由二力平衡知N＝Mg，再有牛顿第三定律知木箱对地面的压力为N＝Mg．
答：（1）箱子对地面的压力最小时物块A应在振动的最高点；
（2）箱子对地面的最小压力大小为Mg．
题型二．简谐运动的表达式及振幅、周期、频率、相位等参数（共12小题）
5．一个弹簧振子在水平方向做简谐运动，周期为T，则（ ）
A．若t时刻和t+Δt时振子位移相同，则Δt一定等于T整数倍
B．若t时刻和t+Δt时刻振子速度相同，则Δt一定等于整数倍
C．若Δt＝，则在t时刻和t+Δt时刻振子的速度大小一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和t+Δt时刻弹簧的长度一定相等
【答案】C
【解答】解：A、t时刻和（t+Δt）时刻的位移大小相等，方向相同（如图所示的t1、t2、……t8），表示质点经过同一位置，经过的时间Δt不一定等于T的整数倍。故A错误；
B、若t时刻和t+Δt时刻振子速度相同（如图所示的t1、T2、t3、T4 或t2、T1、t4、T3），显然Δt不一定等于 的整数倍，故B错误；
C、经过Δt＝，经过半个周期时，质点一定到达关于平衡位置对称的位置，t时刻和（t+Δt）时刻的速度的大小一定相等，但方向相反，（如图所示的t1、T1），故C正确；
D、Δt＝，质点位移大小相等，方向相反，但弹簧长度不相等（伸长或压缩）。故D错误；故选：C。
6．甲、乙两单摆振动图象如图所示，则（ ）
A．甲的振幅小
B．乙的摆长短
C．ta时刻甲的摆角大
D．tb时刻两摆球速度相同
【答案】C
【解答】解：A、由题目图可知，甲的振幅大，故A错误。
B、由图知，甲单摆的周期为 T甲＝tb，乙单摆的周期为 T乙＝tb，则T甲：T乙＝2：3，由单摆周期公式T＝2π得：甲、乙两单摆的摆长之比＝＝，故B错误。
C、ta时刻甲、乙两单摆的位移相等，由于甲的摆长短，则甲的摆角大，故C正确。
D、tb时刻甲、乙两摆球均通过平衡位置，速度方向相反，则速度不同，故D错误。
故选：C。
7．（多选）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a﹣x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（ ）
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的6倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【答案】ABC
【解答】解：A、在星球表面，根据万有引力等于重力可得：＝mg，则有：GM＝R2g，所以有：Gρ＝R2g，解得：ρ＝
根据图象可知，在M星球表面的重力加速度为gM＝3a0，在N表面的重力加速度为gN＝a0，星球M的半径是星球N的3倍，则M与N的密度相等，故A正确；
B、加速度为零时受力平衡，根据平衡条件可得：mPgM＝kx0，mQgN＝2kx0，解得：＝，故B正确；
C、根据动能定理可得max＝Ek，根据图象的面积可得：EkP＝mP 3a0 x0，EkQ＝mQa0 2x0，＝4，故C正确；
D、根据简谐运动的特点可知，P下落过程中弹簧最大压缩量为2x0，Q下落过程中弹簧最大压缩量为4x0，Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的2倍，故D错误。
故选：ABC。
8．（多选）一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图（a）所示，它的振动图象如图（b）所示，设向右为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．OB＝5cm
B．第0.2s末质点的速度方向是A→O
C．第0.4s末质点的加速度方向是A→O
D．第0.7s时质点位置在O点与A点之间
E．在4s内完成5次全振动
【答案】ACE
【解答】解：A、OB间距离等于振幅，由图知，OB＝A＝5cm。故A正确。
B、位移图象切线的斜率等于速度，根据数学知识知，第0.2s末质点的速度方向沿负向，即O→A．故B错误。
C、第0.4s末质点的位移为负，方向是O→A，由a＝﹣分析可知，加速度方向是A→O，故C正确。
D、第0.7s时，质点位置在O与B两点之间。故D错误。
E、质点的振动周期为 T＝0.8s，则n＝＝＝5，即在4s内完成5次全振动。故E正确。
故选：ACE。
9．（多选）甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（ ）
A．甲速度为零时，乙速度最大
B．甲加速度最小时，乙速度最小
C．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同
D．两个振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2
E．两个振子的振幅之比为A甲：A乙＝2：1
【答案】ADE
【解答】解：A、由图示图象可知，甲的周期是乙的周期的2倍，它们的初相位相等，甲速度为零时乙的速度最大，故A正确；
B、振子在平衡位置处速度最小，振子在最大位移处速度最小，由于甲、乙的周期不同，甲加速度最小时，乙的速度并不都是最小，故B错误；
C、弹簧振子的回复力：F＝﹣kx，k不同，由图示可知，任意时刻x不同，由于不知k关系，则无法判断两振子的回复力是否相同，故C错误；
D、由图可知甲、乙两个振子的周期分别为T甲＝2.0s，T乙＝1.0s，甲、乙两个振子的周期之比为2：1，频率：f＝，所以甲乙振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2，故D正确；
E、由图示图象可知，两振子的振幅分别为：A甲＝10cm，A乙＝5cm，两个振子的振幅之比：A甲：A乙＝10：5＝2：1，故E正确；
故选：ADE。
10．（多选）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．当振子位于A点时弹簧处于自然伸长状态．取竖直向上的方向为正方向，振子的质量为m，重力加速度为g．振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向竖直向下
B．t＝0.6 s和t＝1.0 s时，振子的速度相同
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度相同
D．t＝1.4s时，振子位于O点下方6 cm处
E．t＝1.2 s到t＝1.6 s的时间内，振子的速度逐渐变大
【答案】ABE
【解答】解：A、x﹣t图象的斜率表示物体运动的速度，由图象乙知，t＝0.8s时，振子远离平衡位置向下运动，故A正确；
B、由图象乙知，t＝0.4s到t＝1.2s之间振子运动的方向始终向下，所以t＝0.6s和t＝1.0s时，振子的速度相同，故B正确；
C、由图可知t＝0.4s和t＝1.2s时，振子分别位于正、负最大位移处，所以振子的加速度大小相同，方向相反，故C错误；
D、由图象乙知振子的最大位移为12cm，周期为1.6s，在t＝0时刻振子从平衡位置开始向上振动，所以振子的振动方程为：
x＝Asinωt＝12sin t cm
当t＝1.4s时刻：x＝12×sin（×1.4）＝﹣6cm．故D错误；
E、t＝1.2s到t＝1.6s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，故E正确；
故选：ABE。
11．（多选）甲、乙两单摆在同一位置做简谐运动，它们的振动图象如图所示．下列说法中正确的是（ ）
A．甲、乙两摆的振幅之比为2：1
B．甲、乙两摆的摆长之比为1：2
C．t＝2s时，甲摆摆球的重力势能最小，乙摆球的动能为零
D．甲、乙两摆摆球在最低点时加速度为零
E．单摆做受迫振动时，其振幅与驱动的频率和固有频率的比值有关
【答案】ACE
【解答】解：A、由图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，则振幅之比为2：1，摆长无法，故A正确，B错误；
C、t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小。乙摆球不在最大位置处，所以乙摆球的动能不为零，故C正确。
D、甲、乙两摆摆球做的是圆周运动，摆球在最低点时，由细线的拉力和重力的合力提供向心力，加速度均不为零。故D错误。
E、单摆做受迫振动时，当驱动力频率等于物体的固有频率时，振幅最大，出现共振现象。驱动力频率与固有频率相差越小，振幅越大，故E正确。
故选：ACE。
12．如图所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象．试根据图象写出：
（1）A的振幅是 0.5 cm，周期是 0.4 s；B的振幅是 0.2 cm，周期是 0.8 s．
（2）这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式．
（3）在时间t＝0.05s时两质点的位移分别是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解析 （1）由图象知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s．
（2）由图象知：A中振动的质点已振动了周期，φ＝π，由T＝0.4 s，得ω＝＝5π，则简谐运动的表达式为 xA＝0.5sin（5πt+π） cm．
B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8 s得ω＝＝2.5π，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin （2.5πt+） cm．
（3）将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA＝0.5sin（5π×0.05+π）cm＝﹣0.5×cm＝cm
xB＝0.2sin（2.5π×0.05+）cm＝0.2sinπ cm．
故答案为：（1）0.5，0.4，0.2，0.8．
（2）AB这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式分别为：xA＝0.5sin （5πt+π）cm，xB＝0.2sin cm（2.5πt+） cm．
（3）在时间t＝0.05s时AB两质点的位移分别是﹣cm和0.2sinπ cm．
13．如图是某单摆做简谐运动的振动图象．
（1）单摆振动的周期为T、振幅为A各为多少？
（2）若该单摆的摆长为1.00m，求当地的重力加速度（保留三位有效数字）．
（3）0﹣3.5s内，摆球通过的路程为多少？3.5s末，摆球对平衡位置的位移多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解（1）由图知，周期 T＝2s 振幅 A＝4cm
（2）由得
（3）0﹣3.5s内的路程 S＝ 4A＝×4×4cm＝28cm
由图知，3.5s末位移为﹣4cm
答：
（1）单摆振动的周期T为2s、振幅为A为4cm．
（2）若该单摆的摆长为1.00m，当地的重力加速度是9.86m/s2．
（3）0﹣3.5s内，摆球通过的路程为28cm，3.5s末，摆球对平衡位置的位移是﹣4cm．
14．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示。
（1）求t＝0.25×10﹣2s时的位移；
（2）在t＝1.5×10﹣2s到2×10﹣2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
（3）在t＝0到8.5×10﹣2s时间内，质点通过的位移、路程各多大？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题图可知振幅 A＝2cm，周期 T＝2×10﹣2s。
质点的振动方程为：x＝Asin（ωt﹣）＝﹣Acosωt＝﹣2cost cm＝﹣2cos100πt cm
当t＝0.25×10﹣2s时，x＝﹣2coscm＝﹣cm。
（2）由图可知在1.5×10﹣2 s～2×10﹣2 s的振动过程中，质点的位移变大，远离平衡位置，则回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。
（3）从t＝0至8.5×10﹣2s时间内为个周期，质点的路程为s＝17A＝17×2cm＝34cm，位移为2cm。
答：
（1）t＝0.25×10﹣2s时的位移为﹣cm；
（2）在t＝1.5×10﹣2s到2×10﹣2s的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大。
（3）在t＝0到8.5×10﹣2s时间内，质点通过的位移为2cm，路程为34cm。
15．水平杆上振动的弹簧振子，如图所示，在AB范围内做简谐振动，已知AB间的距离为16cm，振子从A开始运动到第二次经过O的时间为3s，不计球与杆间的摩擦，（取向右为正）
求：（1）弹簧振子的振幅是多少？
（2）弹簧振子在6s内通过的路程是多少？
（3）若从弹簧振子在A处开始计时，弹簧振子在8s时的位移是多少？
（4）若从弹簧振子在A处开始计时，请在图中作出该振子简谐运动的x﹣t图象．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）小球在AB间振动，则AB间有两个振幅；故振幅：
A＝＝8cm；
（2）从O点开始第二次经过O的时间为3s；则由对称性可知：
t＝T＝3s；
则T＝4s；
则6s内小球运动了个周期；
故路程为：
s＝×4A＝48cm；
（3）8s小球经过的周期数n＝＝2；
则8s时小球回到A点；
故位移为﹣8cm；
（4）由以上解答可知，振动周期为4s；振幅为8cm；作出图象如图所示；
答：（1）振幅为8cm；
（2）路程为48cm；
（3）位移为﹣8cm；
（3）如上图．
16．如图是弹簧振子的振动图线，试回答下列问题：
（1）振动的振幅、周期、频率各是多少？
（2）如果从O点算起，到图线上哪一点为止振子完全成了一次全振动？从A点算起呢？
（3）从零到1.6s时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）质点的振幅等于振子的位移最大值，由图直接读出振幅A＝2cm；
由图读出周期T＝0.8s；
故频率f＝；
（2）如果从O点算起，到图线上D点为止振子完全成了一次全振动；
从A点算起，到图线上E点为止振子完全成了一次全振动；
（3）从零到1.6s时间内，在平衡位置动能最大，即O点、B点、D点、F点、H点动能最大；
在最大位移位置势能最大，即A、C、E、G位置势能最大；
答：（1）振动的振幅、周期、频率分别为2cm、0.8s、1.25Hz；
（2）如果从O点算起，到图线上D点为止振子完全成了一次全振动；从A点算起呢，到图线上E点为止振子完全成了一次全振动；
（3）从零到1.6s时间内，O、B、D、F、H点动能最大，A、C、E、G点的势能最大．
题型三．简谐运动的图像问题（共3小题）
17．如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的物块，组成一竖直悬挂的弹簧振子，在物块上装有一记录笔，在竖直面内放置有记录纸。当弹簧振子沿竖直方向上下自由振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示余弦型函数曲线形状的印迹，图中的y1、y2、x0、2x0、3x0为记录纸上印迹的位置坐标值，P、Q分别是印迹上纵坐标为y1和y2的两个点。若空气阻力、记录笔的质量及其与纸之间的作用力均可忽略不计，则（ ）
A．该弹簧振子的振动周期为
B．该弹簧振子的振幅为y1﹣y2
C．在记录笔留下PQ段印迹的过程中，物块所受合力的冲量为零
D．在记录笔留下PQ段印迹的过程中，弹力对物块做功为零
【答案】C
【解答】解：AB、记录纸匀速运动，振子振动的周期等于记录纸运动位移2x0所用的时间，则周期 T＝，振幅为A＝，故AB错误；
C、在记录笔留下PQ段印迹的过程中，弹簧振子从上方最大位移处运动到下方最大位移处，初末速度为零，根据动量定理可知，物块受到的合力的冲量为零，故C正确；
D、同理，在记录笔留下PQ段印迹的过程中，根据动能定理可知，合外力做功为零，但重力做正功，故弹力对物块做负功，不为零，故D错误。
故选：C。
18．地震波既有纵波也有横波，是由同一震源同时产生的，两者均可简化为频率不变的简谐波。纵波是推进波，又称P波，在地壳中的传播速度vP＝6km/s；横波是剪切波，又称S波，在地壳中的传播速度vS＝4km/s。某研究性学习小组研制了一种简易地震仪，由竖直弹簧振子M和水平弹簧振子Q组成，如图甲所示。在一次地震中，震源位于此地震仪的正下方，观察到两组弹簧振子先后振动起来，起振时间相差为3s，同时装置记录下水平弹簧振子Q的振动图像如图乙所示。则：
（1）弹簧振子M和Q哪个先开始简谐振动？请简述理由。
（2）该地震波的横波波长是多少千米？
（3）震源距离地震仪多少千米？
【答案】（1）见解析；
（2）该地震波的横波波长为2km；
（3）震源距离地震仪36km。
【解答】解：（1）弹簧振子M先开始简谐振动，理由是纵波的波速大，故纵波先传到地震仪处。
（2）由图知，T＝0.5s，则横波波长为
λ＝vST＝4×0.5km＝2km
（3）设震源距离地震仪s千米，则
s＝vPt1
s＝vSt2
由题意可知
t2﹣t1＝3s
解得
s＝36km
答：（1）见解析；
（2）该地震波的横波波长为2km；
（3）震源距离地震仪36km。
19．均匀介质中，波源位于点的简谐横波在xOy水平面内传播，t＝0时刻，所有波峰、波谷的分布如图甲所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷，坐标（0，20）处的质点P处于波峰。质点P的振动图象如图乙所示，z轴正方向竖直向上。求：
（1）该波的传播速度大小；
（2）坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻；
（3）坐标（10，0）处的质点N的振动方程及8.5s末质点N在z轴上的坐标。
【答案】（1）该波的传播速度大小为5m/s；
（2）坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻为6s；
（3）坐标（10，0）处的质点N的振动方程为，8.5s末质点N在z轴上的坐标为z＝cm。
【解答】解：（1）由题知图甲中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷，则有：
解得：λ＝20m
图乙为质点P的振动图象，可知周期：T＝4s
根据波速计算公式有：＝m/s＝5m/s；
（2）由图甲可知当波谷传到坐标（0，40）处的质点M时，走过的位移为：x＝30m
则坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻为：＝s＝6s；
（3）由图乙知振幅：A＝2cm
角速度：ω＝＝rad/s＝rad/s
坐标（10，0）处的质点N的振动方程为：
将t＝8.5s代入上式可得8.5s末质点N在z轴上的坐标为：。
答：（1）该波的传播速度大小为5m/s；
（2）坐标（0，40）处的质点M第一次处于波谷的时刻为6s；
（3）坐标（10，0）处的质点N的振动方程为，8.5s末质点N在z轴上的坐标为z＝cm。
题型四．简谐运动的回复力（共8小题）
20．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动，A、B分居O点的左、右两侧的对称点。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如乙所示的正弦曲线，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.6s时，振子在O点右侧6cm处
B．振子t＝0.2s和t＝1.0s时的速度相同
C．t＝1.2s时，振子的加速度大小为m/s2，方向水平向右
D．t＝1.0s到t＝1.4s的时间内，振子的加速度和速度都逐渐增大
【答案】C
【解答】A、由图象乙知，t＝0.6s时，图象的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，故A错误。
B、由图象乙知，振子t＝0.2s和t＝1.0s图象斜率大小相同，但正负不同，由于速度是矢量，故速度不同。B错误。
C、有图象乙可知该振子的运动规律为x＝0.12sint，对x求二阶导数可知可得加速度a＝﹣sint，当t＝1.2s时，sint＝﹣1，故a1.2＝，即振子的加速度大小为m/s2，方向水平向右，故C正确。
D、在t＝1.0s到t＝1.4s的时间内，振子的位移向增大，后减小，故速度先减小后增加，加速度先增大后减小，故D错误。
故选：C。
21．下列说法正确的是（ ）
A．回复力一定是振动物体所受的合外力
B．弹簧振子振动过程中，速度增大时，加速度一定减小
C．声波与观察者相互接近时，波源发出的声波的频率会升高
D．由波长、波速和频率的关系v＝λf可知，波源频率越高，波的传播速度越大
【答案】B
【解答】解：A、回复力也不一定就是合外力。举例：在单摆中，单摆的回复力是重力沿轨迹切线方向的分力，并非是重力与绳子拉力的合力。故A错误；
B、弹簧振子振动过程中，速度增大时，向平衡位置运动，则回复力减小，那么加速度一定减小。故B正确；
C、声波与观察者相互接近时，波源发出的声波的频率不变，而接收频率会升高。故C错误；
D、由波长、波速和频率的关系v＝λf可知，频率不变时，波速与波长成正比，故D错误。
故选：B。
22．如图所示，小球穿过粗糙的竖直杆，轻质弹性绳的左端与小球相连，右端固定在墙上N点，弹性绳跨过M处的光滑小滑轮，O为竖直杆上的一点，O、M、N在同一水平线上，弹性绳的自然长度和MN间距离相同。小球从O点静止释放，到达最低点P后又继续向上运动，Q为OP中点。绳中弹力始终遵从胡克定律，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则小球（ ）
A．从O运动至P的过程中，受到摩擦力变大
B．第一次运动至Q点时，速度最大
C．从P点返回的过程中，速度最大的位置在Q点上方
D．最终可以停在Q点上方的某一位置
【答案】B
【解答】解：A、设弹性绳与竖直方向的夹角为θ，由胡克定律得，弹性绳的弹力为kl（l为弹性绳与滑轮所在M点及杆上O点构成的直角三角形的斜边长），当小球从O点沿着杆下降的过程中，对小球做受力分析可得受力分析如下图所示，
对P受力分析，水平方向由平衡条件得：Fx＝klsinθ。由几何关系可知lsinθ始终等于dOM的长度，因此可知弹性绳的弹力在水平方向的分力大小始终不变，小球在竖直杆上滑动的过程中所受摩擦力为滑动摩擦力，大小为f＝μN＝μFx＝μklsinθ＝μkdOM，则摩擦力大小始终不变，故A错误；
B、对小球在O点向P点运动的过程中，竖直方向上小球所受合力为：F合＝mg﹣f﹣klcosθ＝mg﹣μkdOM﹣klcosθ，其中lcosθ等于小球从O点下落的距离，设x＝lcosθ，则有：F合＝mg﹣μkdOM﹣kx，小球下滑过程中，重力和摩擦力为恒力，以上等式关系可类比弹簧振子在最大位移处竖直向下做简谐振动时合力的变化，而Q为OP的中点，则可知小球第一次运动至Q点时速度最大，故B正确；
C、从P点返回的过程中，摩擦力向下，竖直方向有F合2＝mg+f﹣kx，类比小球第一次下降的过程，若合力不变，则小球仍然在上升至Q点时速度达到最大，但实际上在小球第一次从最低点P上升的过程中，竖直向下的力增大了，则小球需要克服阻碍其运动的力而做的功增加了，因此从能量的角度考虑，小球从P点返回的过程中，速度最大的位置一定在Q点的下方，故C错误；
D、由以上分析可知，小球每次下降后再上升的过程中其平衡位置都在下降，由此可知，当小球最终停止时一定停在Q点下方的某一位置处，故D错误。
故选：B。
23．（多选）装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压4cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动，测得振动周期为0.5s。规定竖直向上为正方向，某时刻开始计时后的振动图像如图乙所示，其中A为振幅。对于玻璃管，下列说法正确的是（ ）
A．回复力等于浮力
B．回复力等于重力和浮力的合力
C．振动周期与按压的深度无关
D．振动表达式为x＝4sin（4πt﹣）cm
【答案】BCD
【解答】解：AB、对试管，漂浮时，mg＝ρgSh0，按压后，F合＝ρgSh﹣mg＝ρgSh﹣ρgSh0＝ρgSx，大小与离开最初位置的距离成正比，方向总是指向最初位置，满足回复力定义，故B正确，A错误；
C、简谐振动的周期与振幅无关，由简谐振动周期公式，根据回复力F合＝ρgSh﹣mg＝ρgSh﹣ρgSh0＝ρgSx＝kx，联立解得，与振幅无关，故C正确；
D、振幅A＝4cm，T＝0.5s，简谐位移函数式，将0时刻和t1时刻特殊值代入，解得，故简谐位移函数式，故B正确。
故选：BCD。
24．（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体A，A和B通过细绳绕过定滑轮连接，已知A的质量为mA，B的质量为mB，弹簧的劲度系数为k，不计滑轮摩擦，开始时A位于O点，系统处于静止状态，A在P点时弹簧处于原长，现将A物体由P点静止释放，A物体不会和定滑轮相碰，当B向下运动到最低点时绳子恰好被拉断且弹簧未超过弹性限度。已知弹簧振子的周期公式为，则下列说法正确的是（ ）
A．绳子能承受的最大拉力小于2mBg
B．弹簧的最大弹性势能是
C．绳断后A物体回到位置O点时与P点时的速度大小之比为
D．从绳断后A物体第一次由位置O回到位置P时所用的时间为
【答案】ABC
【解答】解：A、将A、B作为整体，绳断前它们做简谐运动，平衡位置是O点。A在P点弹簧处于原长时释放，此时根据牛顿第二定律有：mBg＝（mA+mB）a
根据简谐运动的对称性，B到达最低点的加速度与初始位置的大小相等，则有：T﹣mBg＝mBa
解得绳子能承受的最大拉力＜2mBg，故A正确；
B、A处于O位置时，根据平衡条件得：kx1＝mBg，物体B下降到最低位置时，根据做简谐运动的对称性，弹簧伸长量为2x1，此时弹簧弹性势能最大，且为：
，故B正确；
C、绳断后A物体回到位置O时，根据机械能守恒可得：，解得A到达O点的速度：
绳断后A物体回到位置P时，根据机械能守恒可得：，解得A到达P点的速度：
绳断后A物体回到位置O点时与P点时的速度大小之比为，故C正确；
D、绳段后A做简谐运动，其平衡位置为P点，绳刚断时A的位置是位移最大处，由C选项可知，O点是P到位移最大处的中点，简谐运动图像如下图所示。
从绳断后A物体第一次由位置O回到位置P时所用的时间为，故D错误。
故选：ABC。
25．（多选）甲、乙两弹簧振子水平放置时的振动图象如图所示，则可知（ ）
A．两弹簧振子完全相同
B．振子甲速度为零时，振子乙速度最大
C．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲：F乙＝2：1
D．振子乙速度为最大时，振子甲速度不一定为零
E．两振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2
【答案】BDE
【解答】解：A、两弹簧振子不一定完全相同，故A错误；
B、分析振动图象可知，振子甲速度为零时，振子乙处于平衡位置，速度最大，故B正确；
C、弹簧振子的回复力：F＝﹣kx，本题中k可能不同，则无法判断两振子的回复力最大值的关系，故C错误；
D、分析振动图象可知，振子乙速度最大时，振子甲可能处于最大位移处，也可能处于平衡位置，故振子甲速度不一定为零，故D正确；
E、由图可知甲、乙两个振子的周期分别为T甲＝2.0s，T乙＝1.0s，甲、乙两个振子的周期之比为2：1，频率：f＝，所以甲、乙振子的振动频率之比f甲：f乙＝1：2，故E正确。
故选：BDE。
26．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O，A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂，已知弹簧振子的振动周期，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）细线断裂前瞬间的张力大小FT；
（2）从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间t；
（3）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小。
【答案】（1）细线断裂前瞬间的张力大小为；
（2）从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间为；
（3）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小为。
【解答】解：（1）A静止于O点平衡时kx0＝mg
A、B组成的简谐振动中，振幅为
由对称性，小球A向右运动至最远点时，对A有k×2x0﹣FT＝ma
对B有FT﹣mg＝ma
联立解得
（2）细线断裂后A球单独做简谐振动，振幅变为
则A球单独做简谐振动的振动方程为
当小球A第一次返回O点时，有
可得
（3）细线断裂后，小球A到达O点时，根据能量守恒定律有
解得
答：（1）细线断裂前瞬间的张力大小为；
（2）从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间为；
（3）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小为。
27．如图所示，质量分别为m、3m的滑块A和B靠在一起，静止在水平面上，中间有少量火药（质量可忽略），轻质弹簧左端固定，右端与滑块A接触但不拴接，弹簧处于自由伸长状态。某时刻点燃火药，滑块A、B分开，分开后瞬间A的速度大小为v0，B停止运动的瞬间A与B发生第一次碰撞。已知A与B间的所有碰撞均为弹性碰撞，A与水平面间没有摩擦，B与水平面间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧振子的振动周期，m0为振子的质量，k为弹簧的劲度系数，重力加速度为g。求：
（1）弹簧劲度系数k的大小；
（2）A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小：
（3）A、B第n次碰撞后到第n+1次碰撞前B运动的位移大小及全过程中B运动的总位移大小。
【答案】（1）弹簧劲度系数k的大小为；
（2）A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小为：
（3）A、B第n次碰撞后到第n+1次碰撞前B运动的位移大小为，全过程中B运动的总位移大小为。
【解答】解：（1）规定向右为正方向，根据题意可知，A、B分开过程系统动量守恒，分离后瞬间A的速度大小为v0。则有mv0＝3mvB0
解得
对滑块B由牛顿第二定律有
分开后B在水平面上滑动的时间为
分开后B在水平面上滑过的距离为xB0＝
根据题意可知，滑块A开始压缩弹簧到与弹簧分离的过程做简谐运动，结合题述和简谐运动知识可知，滑块A做简谐运动的时间为
滑块A与弹簧分离后在水平面上做匀速运动直到与B第一次碰撞，运动的时间为
结合题述有t1+t2＝t0
联立解得
（2）设第1次碰撞后瞬间滑块A、B的速度分别为vA1和vB1，A与B间的所有碰撞均为弹性碰撞，碰撞过程根据动量守恒定律和能量守恒定律有mv0＝mvA1+3mvB1
解得，
假设第2次碰撞前B已停止运动，则第1次碰撞后B滑动的时间为
A运动时间为
其中
可得tB1＜tA1
则第2次碰撞前B已停止运动，第2次碰撞后，A的速度
即A与B第3次碰撞前瞬间A的速度大小为；
（3）A与B第2次碰撞后瞬间，B的速度大小
A与B第2次碰撞后，B滑动的位移
A与B第n次碰撞前，A的速度大小
A与B第n次碰撞后瞬间，B的速度大小为
A与B第n次碰撞后到n+1次碰撞前，B滑动的位移为
B运动的总位移为x总＝xB0+xB1+…+xBn
解得x总＝
答：（1）弹簧劲度系数k的大小为；
（2）A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小为：
（3）A、B第n次碰撞后到第n+1次碰撞前B运动的位移大小为，全过程中B运动的总位移大小为。
题型五．简谐运动的能量问题（共4小题）
28．如图甲所示为一小孩在蹦床上做预备活动的娱乐场景，其简化模型如图乙所示：轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从弹簧上端原长B处静止释放，始终沿着x轴竖直运动。以小球平衡位置O为坐标原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）现将小球由平衡位置O向下发生的位移为x，小球沿着竖直x轴运动。
①请写出小球所受的合外力F与x的关系式，并据此说明小球的运动是否为简谐运动；
②以平衡位置O为系统总势能的零势能参考点，可以将重力势能和弹性势能这两个势能等效成一个总势能。请结合小球的受力特点和求解变力功的基本思想方法，推导出“等效总势能”的表达式；
（2）已知小球运动的周期为，若只更换不同质量的小球，在B处静止释放小球运动的区间会发生变化。对于任意一个质量确定的小球，在该弹簧形变限度内实验，从位移最大处到平衡位置运动过程中，小球所受的合力对位移的平均值设为F1，合力对时间的平均值设为F2。试证明F1与F2的比值与振幅A无关。
【答案】（1）①小球所受的合外力F与x的关系式为F＝﹣kx，据此说明小球的运动为简谐运动；
②“等效总势能”的表达式为；
（2）证明F1与F2的比值与振幅A无关，证明过程见解答。
【解答】（1）①小球由平衡位置O向下发生的位移为x，以x轴正方向为正方向，设B处的x轴坐标为x0（x0＜0），小球所受合外力为：
F＝mg﹣k（x﹣x0）
当x＝0时，即小球处于平衡位置，则有：F＝0，可得：mg＝﹣kx0
联立可得：F＝﹣kx
可知小球所受合外力作为回复力，小球的运动是简谐运动。
②以x轴正方向为正方向，小球从平衡位置O向下位移为x时，
其重力势能变化量为：ΔEpG＝﹣mgx
弹簧弹力做功为：W＝﹣[﹣kx0+k（x﹣x0）]x＝﹣（mgx+kx2）
由功能关系可得弹性势能变化量为：ΔEp弹＝﹣W＝mgx+kx2
以平衡位置O为系统总势能的零势能参考点，则等效总势能为：
Ep＝ΔEpG+ΔEp弹＝
（2）从位移最大处到平衡位置，等效总势能的变化量为：ΔEp＝﹣kA2
由功能关系可得合力做功为：W1＝﹣ΔEp＝kA2
可得合力对位移的平均值为：
设小球到达平衡位置的速度大小为v，根据机械能守恒定律可得：mv2＝kA2
从位移最大处到平衡位置，小球的动量变化量的大小为：Δp＝mv
根据动量定理可得合力对时间的平均值为：＝
则F1与F2的比值为：
可得此比值与振幅A无关。
答：（1）①小球所受的合外力F与x的关系式为F＝﹣kx，据此说明小球的运动为简谐运动；
②“等效总势能”的表达式为；
（2）证明F1与F2的比值与振幅A无关，证明过程见解答。
29．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O（图中未画出），A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线恰好断裂（此时小球B未落地），已知弹簧振子的振动周期，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）初始系统处于静止状态时弹簧的形变量x0；
（2）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小v0；
（3）从细线断裂开始计时，小球A从右向左经过O点所用的时间t。
【答案】（1）初始系统处于静止状态时弹簧的形变量x0为；
（2）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小v0为；
（3）从细线断裂开始计时，小球A从右向左经过O点所用的时间t为。
【解答】解：（1）A静止于O点平衡时，有
kx0＝mg
解得
（2）A、B系统的简谐振动中，振幅为A＝
根据对称性，小球A向右运动至最远点时弹簧伸长量为2x0，细线断裂后，小球A到达O点时，根据能量守恒定律有
解得：
（3）细线断裂后A球单独做简谐振动，振幅变为了A'＝
则A球单独做简谐运动的振动方程为
有
当小球A向左经过O点时可得
答：（1）初始系统处于静止状态时弹簧的形变量x0为；
（2）细线断裂后，小球A到达O点时的速度大小v0为；
（3）从细线断裂开始计时，小球A从右向左经过O点所用的时间t为。
30．如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止于O点。另一质量为m的小球B从距A高为的P点由静止开始下落，与A发生碰撞瞬间粘在一起开始向下运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为已知弹簧振子的周期T＝2π，M为振子的总质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小v1；
（2）小球A被碰后向下运动的最大速度vAB，向下运动离O点的最大距离xmin；
（3）小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间t。
【答案】（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小；
（2）小球A被碰后向下运动的最大速度，向下运动离O点的最大距离；
（3）小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间。
【解答】解：（1）B与A碰撞前，根据动能定理
解得
AB碰撞过程，取向下为正方向，动量守恒
mv0＝2mv1
解得
（2）初始时，弹簧的形变量为
当弹簧的弹力等于AB两球的重力时，小球A的速度最大，此时弹簧的形变量为
碰后根据AB球和弹簧组成的系统机械能守恒
解得
向下运动离O点的距离最大时，两球速度为零，根据机械能守恒
解得
（3）小球AB受力平衡时为平衡位置，最低点为向下最大位移处，则小球AB做简谐运动的振幅为
O点到平衡位置的距离为
所以，小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间为
其中
解得
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度大小；
（2）小球A被碰后向下运动的最大速度，向下运动离O点的最大距离；
（3）小球A从开始向下运动到第一次回到O点所用的时间。
31．如图所示，倾角为θ的光滑斜面底端固定一垂直挡板，劲度系数为k的轻质弹簧一端连接挡板，一端与静止的物块B相连。物块A从距B一定距离处静止释放，与B发生碰撞，碰后A、B粘连，碰撞时间不计。碰后B上升到最高点时，弹簧恰好恢复原长。已知物块A、B的质量均为m，弹簧弹性势能（x为弹簧形变量），弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。
（1）求物块B的最大速率vB；
（2）求物块A与B碰后瞬间的速率vA；
（3）若已知物块A、B碰后到第一次运动至最低点经历的时间为t0，求物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的时间。
【答案】（1）物块B的最大速率为；
（2）物块A与B碰后瞬间的速率为；
（3）物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的时间为。
【解答】解：（1）两物块碰后一起做简谐运动，到平衡位置处物块B的速度达到最大，此时弹簧的压缩量为x，则有：
2mgsinθ＝kx
解得：
设物块B的最大速率为vB，从受力平衡位置到弹簧处于原长的位置，由机械能守恒定律有：
联立解得：；
（2）碰撞前，弹簧的压缩量为x0，则有：kx0＝mgsinθ
联立解得：
从A、B碰后瞬间到两物块的速度第一次达到最大，由机械能守恒定律有：2mg（x﹣x0）sinθ++＝+
解得：；
（3）设物块A碰前瞬间速度大小为v0，取沿斜面向下为正方向，根据动量守恒定律有：mv0＝2mvA
设物块A匀加速运动时间设为t1，则有：v0＝at1
根据牛顿第二定律可得：a＝gsinθ
解得：，
物块A的v﹣t图像如图所示
根据简谐运动特点可知，同一个周期内从最低点到最高点所用时间为：
物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的总时间为：。
答：（1）物块B的最大速率为；
（2）物块A与B碰后瞬间的速率为；
（3）物块A从静止释放到第一次上升到最高点所用的时间为。
题型六．简谐运动过程中速度、加速度（回复力）与位移的变化问题（共2小题）
32．如图a所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距0.2m。小球经过B点时开始计时，在第一个周期内的位置x随时间t变化的图像如图b所示。
（1）求小球振动的周期和振幅；
（2）求小球振动的初相位φ0，并根据上述信息写出小球在任意时刻t的位移x的函数表达式；
（3）求4.5s内小球通过的路程及4.5s末小球的位移。
【答案】（1）小球振动的周期是1.00s，振幅是0.1m；
（2）小球振动的初相位是，小球在任意时刻t的位移x的函数表达式为；
（3）4.5s内小球通过的路程是1.8m，4.5s末小球的位移是﹣0.1m。
【解答】解：（1）振幅A＝0.1m，周期T＝1.00s（或1s）；
（2）设振动方程为
由图给信息可得
可得小球任意时刻t的位移x为
（3）在时间t＝4.5s内，小球一共做了n次全振动＝＝4.5
1次全振动的路程s1＝4A
n次全振动的路程s＝ns1＝4.5×4A＝4.5×4×0.1m＝1.8m
4.5s末小球的位移＝﹣0.1m
答：（1）小球振动的周期是1.00s，振幅是0.1m；
（2）小球振动的初相位是，小球在任意时刻t的位移x的函数表达式为；
（3）4.5s内小球通过的路程是1.8m，4.5s末小球的位移是﹣0.1m。
33．如图所示为一弹簧振子的振动图像，完成以下问题：
（1）该振子振动的振幅、周期、频率；
（2）该振子在前100s的总位移是多少？路程是多少？
（3）写出该振子简谐运动的表达式，计算t＝1.5s时振子的位移。
【答案】（1）该振子振动的振幅为0.02m、周期为4s、频率为0.25Hz；
（2）该振子在前100s的总位移是0，路程是2m；
（3）该振子简谐运动的表达式为，t＝1.5s时振子的位移为。
【解答】解：（1）由振动图像可得振子振动的振幅为：A＝2cm＝0.02m，周期为：T＝4s，则频率为：；
（2）振子经过一个周期位移是零，路程为：s＝4A＝4×2cm＝8cm，前100s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子总位移x＝0，振子路程为：s＝25×4Acm＝200cm＝2 m；
（3）初相位φ＝π，角速度为：
故该振子做简谐运动的表达式为：
由简谐运动的表达式，可知当t＝1.5s时振子的位移为：。
答：（1）该振子振动的振幅为0.02m、周期为4s、频率为0.25Hz；
（2）该振子在前100s的总位移是0，路程是2m；
（3）该振子简谐运动的表达式为，t＝1.5s时振子的位移为。
题型七．探究弹簧振子的周期和小球质量的关系（共3小题）
34．在探究弹簧振子（如图在一根轻质弹簧下悬挂质量为m的重物，让其在竖直方向上振动）振动周期T与物体质量m间的关系的实验中：
（1）如图1，某同学尝试用DIS测量周期，把弹簧振子挂在力传感器的挂钩上，图中力传感器的引出端A应接到 数据采集器 ．使重物做竖直方向小幅度振动，当力的测量值最大时重物位于 最低点 ．若测得连续N个力最大值之间的时间间隔为t，则重物的周期为 ．
（2）为了探究周期T与质量m间的关系，某同学改变重物质量，多次测量，得到了下表中所示的实验数据．为了得到T与m的明确关系，该同学建立了如图2的坐标系，并将横轴用来表示质量m，请在图中标出纵轴表示的物理量，然后在坐标系中画出图线．
m/kg T/s
0.10 0.14
0.20 0.20
0.40 0.28
0.60 0.35
0.80 0.40
（3）周期T与质量m间的关系是 弹簧振子的周期与振子质量的平方根成正比． ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）某同学尝试用DIS测量周期，把弹簧振子挂在力传感器的挂钩上，图中力传感器的引出端A应接到数据采集器．使重物做竖直方向小幅度振动，当力的测量值最大时重物位于最低点．若测得连续N个力最大值之间的时间间隔为t，则重物的周期为．
（2）为了得到T与m的明确关系，我们应该作出倾斜的直线研究变量间的关系．
所以我们应该作出T2﹣﹣m的关系图线．
（3）由图象得：弹簧振子的周期与振子质量的平方根成正比．
故答案为：（1）数据采集器，最低点，
（2）如图
（3）振动周期T的平方与重物的质量m成正比．
35．某兴趣小组查阅资料获知，弹簧振子做简谐运动的周期T＝2π（其中m是振子的质量，k是弹簧的劲度系数，弹簧质量忽略不计），利用该规律可以测定物体的质量。现有如下器材可供选择：
一个带有夹子的金属块A（总质量m0为已知量）；待测质量的物体B；一根劲度系数未知的弹簧C；光电门传感器和挡光片D；位移传感器E；力传感器F；数据采集器G；电脑H。
（1）本实验选用的器材： ABCDGH ，（填写器材后面的字母）．根据选用的器材，简述测定系统振动周期的方法：稍微向下拉一下金属块，让金属块上下振动起来，利用光电门传感器和挡光片D结合GH，求出振动30次所用的时间，进而求得振动系统的周期。
（2）简述测量物体B的质量的主要步骤（直接测量的物理量请用字母表示）：
① 不放B时使用DIS系统测出振动周期T1 ；② 将B固定在A上，使用DIS系统测出振动周期T2 。③ 利用弹簧振子做简谐运动的周期公式T＝2π
，求得：mB＝m0 。
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）组合成测定振动周期的装置，故选器材为：ABCDGH；
运用累积法测量周期，稍微向下拉一下金属块，让金属块上下振动起来，利用光电门传感器和挡光片D结合GH，求出振动30次所用的时间，进而求得振动系统的周期；
（2）①运用累积法测量周期：不放B时用秒表测出弹簧振子完成30次全振动的时间t1，弹簧振子的周期T1＝
②将B固定在A上，用秒表测出弹簧振子完成30次全振动的时间t2，弹簧振子的周期T2＝。
③利用弹簧振子做简谐运动的周期公式T＝2π
得：T1＝2π，T2＝2π，
联立解得，mB＝m0；
故答案为：（1）ABCDGH；
（2）①不放B时使用DIS系统测出振动周期T1；
②将B固定在A上，使用DIS系统测出振动周期T2。
③利用弹簧振子做简谐运动的周期公式T＝2π，求得：mB＝m0。
36．宇航员在绕地球做圆周运动的空间站内研究处于完全失重状态下弹簧振子的周期T与振子质量m的关系．
身边的器材有：弹簧、完全相同的螺帽若干个、天平、秒表、刻度尺、温度计等．
（1）宇航员利用上述器材中的螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还应从中选择的一个器材是 秒表 ．
（2）某次实验测量的数据记录如下表：
螺帽的数量n（个） 1 2 3 4 5
30次全振动的时间t（s） 13.40 19.20 23.21 26.83 30.01
振动周期T（s） 0.45 0.64 0.77 0.89 1.00
为了得出T与m的关系，他先研究T与n的关系，并采用作图的方法处理实验数据．他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，那么他是以 T2 为纵坐标的．由表中数据，在图示坐标系中作出该直线．
（3）根据作出的图线，得出T与n的关系式为T＝ T＝ （s）．若每个螺帽的质量用m0表示，则T与m的关系式为T＝ （s）．
（4）若用一未知质量的物体做振子时，测得周期为1.26s，则该物体质量为 7.94 m0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）宇航员利用螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还需要用秒表测时间．
（2）研究各组数据之间的关系如下：
第1组与第2组：n之比：＝2，
周期之比：≈1.42，≈2.02，
第1组与第3组：n之比：＝3，
周期之比：≈1.73，≈2.97，
第1组与第4组：n之比：＝4，周期之比：≈2，＝4，
…
由此可见，T2与n成正比．所以他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，应以T2为纵坐标．
列表如下，应用描点法作图，如图所示．
n（个） 1 2 3 4 5
T2（s2） 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
（3）由于T2与n正比，得到T2＝kn，由图象可知：n＝4，T2＝0.8，代入T2＝kn得到，k≈0.2，有T＝．
由于m＝nm0，则n＝；所以T＝＝；
（4）测得周期为1.26s，代入T＝得到，n＝7.94．则该物体质量为7.94m0．
故答案为：（1）秒表；（2）T2；图象如图所示；（3）T＝；；（4）7.94．