2.2 用配方法求解一元二次方程 （第2课时）（20张PPT）教学课件 初中数学北师大版九年级上册

(共20张PPT)
北师大版·九年级上册
2.2 用配方法求解一元二次方程
第2课时
第二章 一元二次方程
学 习 目 标
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;（重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
知识回顾
1.直接开平方法解一元二次方程
理论依据： .
适用范围：能转化为 的形式的方程.
2.配方法解一元二次方程的思路是将方程转化为 的形式，它的一边是一个 ，另一边是一个常数，当 n ≥0 时，两边同时 ，转化为 方程，便可求出它的根.
( x + m) 2 = n
开平方
一元一次
完全平方式
3.配方法的关键：
在形如的两边同时加 ，即 .
一次项系数一半的平方
平方根的意义
x2=a或（mx＋n）2= a（a≥0）
情境引入
问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ;
② 3x2 +18x +24 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4.
想一想怎么来解3x2 +18x +24 = 0？
新知探究
探究一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0.
解：方程两边同时除以3,得
x2 + 6x + 8 = 0 .
移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方, 得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4 .
二次项系数化为1
新知探究
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
知识归纳
基本思路：在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.
解：两边同除以3,得 x2 +x - 1=0.
配方,得 x2 +x + () 2 - ()2 - 1 = 0,
即 （x +）2 -=0.
移项,得 （x +）2 -=0
两边开平方，得 x +=±,
即 x += 或 x +=.
所以 x1=, x2 = -3 .
新知探究
1.解方程： 3x2 + 8x -3 = 0.
新知探究
用配方法解一元二次方程的步骤：
知识归纳
①化：二次项系数化为1；
②移项：将常数项移到右边，含未知数的项移到左边；
③配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式；
④开方：若方程右边为负数，则方程没有实数根，若方程右边为非负数，就可以左右两边开平方得x + m =；
⑤求解：解两个一元一次方程，得方程的解为x=.
新知探究
探究二：配方法的应用
做一做
一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h=15t - 5t2.
小球何时能达到10m高？
解：将 h = 10代入方程式中，得 15t - 5t2 =10.
两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2,
配方,得 t2 - 3t + ()2= ()2 - 2,
即 （t -）2 =
移项,得 （t -）2 =
即 t -= ,或 t -=.
所以 t1= 2 , t2 = 1 .
∴小球在1s或2s时能达到10m高.
新知探究
证明：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
∵（k－2）2≥0，
∴（k－2）2＋1≥1.
∴k2－4k＋5的值必定大于零.
试用配方法证明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
议一议
典例分析
解方程：（1）＝0 ； （2）＝0.
例1
∴ x1＝ 1，x2＝.
解：(1)移项，得2x2x＝ 1.
二次项系数化为1，得x2x＝.
配方，得x2x+ =,
即 ,
由此可得＝，
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，即上式都不成立，所以原方程无实数根．
(2)移项，得
3x2－6x=-4,
二次项系数化为1，得
x2－2x=－ ,
配方，得
x2－2x+12=－ +12，
即
(x－1)2=－ .
若a,b,c为△ABC的三边长,且 试判断△ABC的形状.
例2
典例分析
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
∴=3，=4，=5,
∴,
∴△ABC为直角三角形.
巩固练习
基础巩固题
1.如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）
A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9
C
D
2.下列配方法有错误的是（ ）
A.x2-4x-1＝0化为(x-2)2＝5
B.x2+6x+8＝0化为(x+3)2＝1
C.2x2-7x-6＝0化为＝
D.3x2-4x+2＝0化为(3x+2)2＝2
巩固练习
基础巩固题
3.用配方法解方程3x2-6x+1＝0,则方程可变形为（ ）
A.(x-3)2＝13 B.3(x-1)2＝13
C.(3x-1)2＝1 D.(x-1)2＝
D
4.若一元二次方-x2+bx-5=0程配方后为(x-3)2=k，则b，k的值分别是（ ）
A.6，4 B.6，5 C.-6,5 D.-6,4
A
5.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11； （2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.
巩固练习
基础巩固题
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
解：x2-x-=0，
,
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2；
x-2=4.
x+1=2.
巩固练习
基础巩固题
6.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值；
(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 ,
所以当x =1时，有最小值，为3.
（2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 ,
所以当x =2时,有最大值，为-4.
7.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？
巩固练习
基础巩固题
解：设道路的宽为xm, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
课堂小结
用配方法求解一元二次方程2
①化：二次项系数化为1；
②移项：将常数项移到右边,含未知数的项移到左边；
配方法的步骤
③配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为( x + m) 2 = n的形式;
应用
求代数式的最值或证明
⑤求解：解两个一元一次方程,得方程的解为x=.
④开方：若方程右边为负数,则方程没有实数根,若方程右边为非负数,就可以左右两边开平方得x + m =；
作业布置
1.必做题：习题2.4第1-2题。
2.探究性作业：习题2.4第3题。
感谢聆听!