2.3.2 利用一元二次方程解决面积问题 课件（34张PPT）初中数学北师大版九年级上册

(共34张PPT)
第二章 一元二次方程
2.3.2利用一元二次方程解决面积问题
北师大版九年级上册数学课件
目录
1
新知导入
2
新课讲解
3
课堂练习
4
课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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问题 某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m，则由题意列的
方程为_____________________.
C
B
D
A
(30 - 2x)(20 - x) = 6×78
问题引入
新课讲解
第二部分
PART 02
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利用一元二次方程解决面积问题
问题：在一块长 16 m，宽 12 m 的矩形荒地上，要建造上个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16 m
12 m
想一想，你会怎么设计这片荒地？
看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
解：设小路的宽为 x m，根据题意得：
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程得 x1 = 2， x2 = 12.
将 x = 12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为 2 m.
小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程，得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
16 m
12 m
问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
x
x
解：由图片信息得，四个扇形组成一个圆
设扇形半径为 x m，根据题意得：
即 πx2 = 96.
解方程得 x1 = (舍去)，x2 = .
答：扇形半径约为 5.5 m.
小亮设计：
如右图所示，其中花园每个角上的扇形都相同.
问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？
16 m
12 m
解：设小路的宽为 x m，根据题意得：
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4，x2 = 24.
将 x = 24 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为 4 m.
小颖设计：如右图所示，其中花园小路是两条互相垂直的矩形，且它的宽都相等.
问题：你能帮小颖计算一下图中小路的宽吗？
16 m
12 m
x m
x m
典例精析
例1 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
27 cm
21 cm
分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右
边衬的宽度之比 : .
9
9
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
9
7
7
7
27 cm
21 cm
设上下边衬的宽均为 9x cm，则左右边衬宽为 7x cm，中央的矩形的长为 (27 18x) cm，宽为 (21 14x) cm.
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.
27cm
21cm
于是可列方程
解得
故上下边衬的宽为
故左右边衬的宽为
方程的哪个根符合实际意义
为什么
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
27 cm
21 cm
整理，得 16x2 48x + 9 = 0.
解法2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得
解得
故上下边衬的宽度为
左右边衬的宽度为
27cm
21cm
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为9 cm ？
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm.
解：设点 P，Q 出发 x s 后 S△PCQ = 9 cm .
整理，得
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后 S△PCQ 为 9 cm .
则有
在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，就割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法点拨
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米，则
例3 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
典例精析
还有其他方法吗？
方法一：
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x 米，可列方程
20 x
32 x
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴取 x = 2.
答：道路的宽为 2 米.
方法二：
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米，且 x＜20.
(32 x)(20 x) = 540
可列方程为
变式一
x
20 - x
32 - x
答：道路的宽为 2 米.
解得 x1 = 50(舍)，x2 = 2.
20
32
x
2x
20 - x
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米，且 x＜16.
(32 2x)(20 x) = 540.
可列方程为
变式二
32 - 2x
x2 = 18 -
解得 x1 = 18 +
(舍)，
答：道路的宽约为 1.45 米.
20
32
2x
2x
32 2x
20 2x
在宽为 20 m，长为
32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米且 x＜10.
(32 2x)(20 2x) = 540.
可列方程为
变式三
∴x = 1.
答：道路的宽为 1 米.
解得 x1 = 25(舍)，x2 = 1.
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为 3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？
变式四
32 cm
20 cm
2x
3x
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解：设横、竖小路的宽度分别为 3x、2x，
则可列方程
20 cm
32 cm
3x
2x
32 4x
(32 4x)(20 6x) = —×20×32
4
3
3x
2x
6x
4x
32 4x
20 6x
20 6x
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路平移，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
∴x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24.
解得 x1=
x2=
答：横、竖小路的宽度分别为 1.86 米、1.24 米.
视频：平移求面积动态展示
点击视频开始播放
解：设 AB 长是 x m，则 BC = (100 - 4x) m.
依题列方程 (100 - 4x)x = 400 ，
即 x2 - 25x + 100 = 0.
解得 x1 = 5，x2 = 20.
当 x = 5，100 - 4x = 80＞25， x = 5(舍) .
当 x = 20，100 - 4x = 20＜25，则 x = 20.
答：羊舍的边长 AB 和 BC 的长各是 20 m，20 m.
例4 如图：要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊舍，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊舍，求羊舍的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？
D
C
B
A
25 米
变式 如图，一农户要建一个矩形羊舍，羊舍的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围羊舍的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
住房墙
1m
解：设矩形羊舍垂直于住房墙的一边长为 x m，
由题意得 x(25 2x + 1) = 80，
解得 x1 = 5，x2 = 8.
当 x = 5 时，26 2x = 16 ＞ 12(舍)；
当 x = 8 时，26 2x = 10 ＜ 12.
故所围矩形羊舍的长为 10 m，宽为 8 m.
则平行于住房墙的一边长 (25 2x + 1) m.
课堂练习
第三部分
PART 03
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1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0
B．x2 + 65x - 350 = 0
C．x2 - 130x - 1400 = 0
D．x2 - 65x - 350 = 0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
2.一块长方形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5 cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为 x cm，则长为 2x cm.
列方程，得 5(2x 10)(x 10) = 3000，
整理，得 x2 15x 250 = 0.
解得 x1 = 10(舍)，x2 = 25，所以 2x = 50.
答：铁板的长 50 cm，宽为 25 cm.
3.如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向彩条的宽度 2x cm，则竖向彩条的宽度 3x cm.
则
答：横竖条的宽度分别是
解得
∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0，
∴ x＜
课堂小结
第四部分
PART 04
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几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系
类 型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移，聚零为整，方便列方程
动点面积问题
谢谢观看！