第13章 勾股定理 检测题（含答案）华东师大版（2024） 八年级上册数学
文档属性
| 名称 | 第13章 勾股定理 检测题（含答案）华东师大版（2024） 八年级上册数学 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 232.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-23 21:18:32 | ||
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文档简介
第13章 勾股定理 检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各组线段中，不能组成直角三角形的一组是( )
A．1，2， B．2，3，4 C．5，13，12 D．，，1
2．对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”用反证法证明，应假设( )
A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b2
3．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD且EF∥BC交AC于点M，若CM＝5，则CE2＋CF2等于( )
A．75 B．100 C．120 D．125
4．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝( )
A．8 B．10 C．12 D．13
5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列说法错误的是( )
A．若∠A－∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
B．若∠C＝90°，则c2－a2＝b2
C．若(a＋b)(a－b)＝c2，则△ABC是直角三角形
D．若a2∶b2∶c2＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
6．如图，一架长25分米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙角E 7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底部将平移( )
A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米
7．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m＞n).若小正方形面积为5，(m＋n)2＝21，则大正方形面积为( )
A．12 B．13 C．14 D．15
9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A．3，4，5 B．5，12，13
C．6，8，10 D．7，24，25
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为( )
A．2 B．4 C．3 D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设______________________________________________________________．
12．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 _______13．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连结OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为_______．
14．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁点A处到内壁点B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计).
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上一点，将长方形沿AE折叠，点B落在点B′处，当△B′EC是直角三角形时，BE的长为________．
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．用反证法证明：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
17．(9分)已知a，b，c满足(a－)2＋＋|c－|＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
18．(9分)有人说：如果Rt△ABC的三边是a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形也是直角三角形．
(1)这个说法是否正确？请说明理由；
(2)写出上述命题的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题．
19．(9分)(2024·陕西)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上．求证：∠ABC＝∠DFE.
20．(9分)如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一点C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
21．(10分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：AD2＋DB2＝DE2.
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：
→→
(1)请你按照他们的解题思路完成解答过程；
(2)填空：在△DEF中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，则△DEF的面积是__24__．
23．(11分)如图，我渔政船从广州起程开赴南海执行维权护渔、渔政管理的任务．渔政船位于南海的O处执行任务，一艘外国渔船从点O正东方向25海里的A处，以20海里/时的速度沿AB方向航行，随即我渔政船对其实行雷达跟踪监控．
(1)已知渔政船到AB的距离OD长为7海里，那么外国渔船从A点行驶到D点经过多长时间？
(2)若在A，D之间的点C处，渔政船测控系统显示两船间的距离与外国渔船所行驶的路程相等，此时C，D两处相距多远？
(3)如果渔政船周围8海里的圆形区域内为危禁区域，那么外国渔船会在我渔政船禁区内行驶多长时间？
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.A
A．2 B．4 C．3 D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．__一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角__．
12． __或__.
13．___
14．__20__
15．__3或6_
三、解答题(共75分)
16．证明：假设∠A，∠B，∠C都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A＋∠B＋∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立．因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°
17．解：(1)∵(a－)2＋＋|c－|＝0，∴a－＝0，b－3＝0，c－＝0.∴a＝，b＝3，c＝ (2)能构成直角三角形．理由如下：∵a2＋c2＝3＋6＝9，b2＝9，∴a2＋c2＝b2.∴以a，b，c为边能构成直角三角形
18．解：(1)正确，理由略 (2)逆命题：如果以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形是直角三角形，那么以a，b，c为三边的三角形也是直角三角形；真命题
19．证明：根据题意可知，AB＝EF＝，AC＝DE＝，BC＝DF＝，∴△ABC≌△EFD(SSS)，∴∠ABC＝∠DFE
20．解：过点C作CD⊥AB于点D，由勾股定理得AB＝500米，由S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，得CD＝240米＜260米，∴公路AB段有危险，需要暂时封锁
21．证明：易证△ACE≌△BCD，∴AE＝DB，∠CAE＝∠B，∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝∠CAD＋∠B＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2，即AD2＋DB2＝DE2
22．
解：(1)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，∴AD＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84
(2)如图，过点F作FG⊥DE于点G，在△DEF中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，设GD＝x，则GE＝15－x，由勾股定理，得FG2＝DF2－GD2＝42－x2，FG2＝EF2－EG2＝132－(15－x)2.故42－x2＝132－(15－x)2，解得x＝2.4.∴FG＝3.2.∴S△DEF＝DE·FG＝×15×3.2＝24.故答案为：24
23.
解：
(1)根据题意，可知AD＝＝24海里，∴外国渔船从A点行驶到D点经过的时间为24÷20＝1.2(小时) (2)设CD＝x海里，则OC＝AC＝(24－x)海里，在Rt△OCD中，由勾股定理，可得x2＋72＝(24－x)2，解得x＝，∴C，D两处相距海里 (3)如图，在AB上取E，F两点，使OE＝OF＝8海里，E点为外国渔船进入禁区地点，F点为外国渔船驶离禁区地点，由等腰三角形三线合一得DE＝DF，∵DE＝＝(海里)，∴EF＝2海里，∴外国渔船会在我渔政船禁区内行驶＝(小时)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各组线段中，不能组成直角三角形的一组是( )
A．1，2， B．2，3，4 C．5，13，12 D．，，1
2．对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”用反证法证明，应假设( )
A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b2
3．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD且EF∥BC交AC于点M，若CM＝5，则CE2＋CF2等于( )
A．75 B．100 C．120 D．125
4．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝( )
A．8 B．10 C．12 D．13
5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列说法错误的是( )
A．若∠A－∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
B．若∠C＝90°，则c2－a2＝b2
C．若(a＋b)(a－b)＝c2，则△ABC是直角三角形
D．若a2∶b2∶c2＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
6．如图，一架长25分米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙角E 7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底部将平移( )
A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米
7．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m＞n).若小正方形面积为5，(m＋n)2＝21，则大正方形面积为( )
A．12 B．13 C．14 D．15
9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A．3，4，5 B．5，12，13
C．6，8，10 D．7，24，25
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为( )
A．2 B．4 C．3 D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设______________________________________________________________．
12．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为 _______13．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连结OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为_______．
14．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁点A处到内壁点B处的最短距离为________cm(杯壁厚度不计).
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上一点，将长方形沿AE折叠，点B落在点B′处，当△B′EC是直角三角形时，BE的长为________．
三、解答题(共75分)
16．(8分)已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．用反证法证明：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
17．(9分)已知a，b，c满足(a－)2＋＋|c－|＝0.
(1)求a，b，c的值；
(2)试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
18．(9分)有人说：如果Rt△ABC的三边是a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形也是直角三角形．
(1)这个说法是否正确？请说明理由；
(2)写出上述命题的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题．
19．(9分)(2024·陕西)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上．求证：∠ABC＝∠DFE.
20．(9分)如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一点C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
21．(10分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：AD2＋DB2＝DE2.
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路：
→→
(1)请你按照他们的解题思路完成解答过程；
(2)填空：在△DEF中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，则△DEF的面积是__24__．
23．(11分)如图，我渔政船从广州起程开赴南海执行维权护渔、渔政管理的任务．渔政船位于南海的O处执行任务，一艘外国渔船从点O正东方向25海里的A处，以20海里/时的速度沿AB方向航行，随即我渔政船对其实行雷达跟踪监控．
(1)已知渔政船到AB的距离OD长为7海里，那么外国渔船从A点行驶到D点经过多长时间？
(2)若在A，D之间的点C处，渔政船测控系统显示两船间的距离与外国渔船所行驶的路程相等，此时C，D两处相距多远？
(3)如果渔政船周围8海里的圆形区域内为危禁区域，那么外国渔船会在我渔政船禁区内行驶多长时间？
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.A
A．2 B．4 C．3 D．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．__一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角__．
12． __或__.
13．___
14．__20__
15．__3或6_
三、解答题(共75分)
16．证明：假设∠A，∠B，∠C都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A＋∠B＋∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立．因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°
17．解：(1)∵(a－)2＋＋|c－|＝0，∴a－＝0，b－3＝0，c－＝0.∴a＝，b＝3，c＝ (2)能构成直角三角形．理由如下：∵a2＋c2＝3＋6＝9，b2＝9，∴a2＋c2＝b2.∴以a，b，c为边能构成直角三角形
18．解：(1)正确，理由略 (2)逆命题：如果以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形是直角三角形，那么以a，b，c为三边的三角形也是直角三角形；真命题
19．证明：根据题意可知，AB＝EF＝，AC＝DE＝，BC＝DF＝，∴△ABC≌△EFD(SSS)，∴∠ABC＝∠DFE
20．解：过点C作CD⊥AB于点D，由勾股定理得AB＝500米，由S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，得CD＝240米＜260米，∴公路AB段有危险，需要暂时封锁
21．证明：易证△ACE≌△BCD，∴AE＝DB，∠CAE＝∠B，∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝∠CAD＋∠B＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2，即AD2＋DB2＝DE2
22．
解：(1)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，∴AD＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84
(2)如图，过点F作FG⊥DE于点G，在△DEF中，DE＝15，EF＝13，DF＝4，设GD＝x，则GE＝15－x，由勾股定理，得FG2＝DF2－GD2＝42－x2，FG2＝EF2－EG2＝132－(15－x)2.故42－x2＝132－(15－x)2，解得x＝2.4.∴FG＝3.2.∴S△DEF＝DE·FG＝×15×3.2＝24.故答案为：24
23.
解：
(1)根据题意，可知AD＝＝24海里，∴外国渔船从A点行驶到D点经过的时间为24÷20＝1.2(小时) (2)设CD＝x海里，则OC＝AC＝(24－x)海里，在Rt△OCD中，由勾股定理，可得x2＋72＝(24－x)2，解得x＝，∴C，D两处相距海里 (3)如图，在AB上取E，F两点，使OE＝OF＝8海里，E点为外国渔船进入禁区地点，F点为外国渔船驶离禁区地点，由等腰三角形三线合一得DE＝DF，∵DE＝＝(海里)，∴EF＝2海里，∴外国渔船会在我渔政船禁区内行驶＝(小时)