2025-2026学年人教版八年级数学上册期中模拟测试卷（第十三--第十五章）（含答案）

2025-2026学年八年级数学上册期中测试卷（第十三--第十五章）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
3．如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　　）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠E
5．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，等边三角形ADE的顶点D，E分别落在BC，AC上．若AD＝BD，则∠EDC的度数为（　　）
A．15° B．20° C．30° D．40°
7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　）
A．180° B．240° C．300° D．360°
8.平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，1），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，连接BE，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则△ABE的面积是（　　）
A． B．2 C． D．
10.在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别为边AB、AC上的动点，且满足AD＝CE，当CD+BE最小时，∠CDB的度数为（　　）
A．60° B．67.5° C．75° D．90°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是　 　 ．
12.如果一个等腰三角形的一个角为30°，则这个三角形的顶角为　 　 ．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB，若CD＝2，则BD的长度为 　 　 ．
14.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝5，AD＝3，则AC的取值范围为 　 　 ．
15.已知△ABC是等腰三角形，若AD为腰BC边上的高，当AB＝2AD时，∠CAB的度数是 　 　 ．
16.如图，在Rt△ABD与Rt△BCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝45°，下列结论：①EF＝BE+DF；②若∠BAE＝∠DAF，则BE＝DF；③AE平分∠BEF；④AC平分∠BCD．其中正确的是 　 　 （填写序号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17.（8分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝118°，求∠ABC．
18.（8分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．
19.（8分）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥AC于点F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）连接AP，若∠ABC＝40°，求∠APC的度数．
20.（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60度，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BC为一边，且在BF下方作等边△BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．
21.（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，且AB＝5．仅用无刻度的直尺完成下列作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中，画出点B关于直线AC的对称点B′；
（2）在图1中，作出△ABC的高CH；
（3）在图1中，在线段AB上确定一点M，使得∠ACM＝45°；
（4）在图2中，若△ABC与△ADE关于直线AT对称，且D，E均为格点，请你作出直线AT（不必画出△ADE）．
22.（10分）已知△ABC为等边三角形，点D在射线AC上，点E在射线CB上，连接AE、DE，AE＝DE．
（1）如图1，当点D在线段AC的延长线上，点E在线段BC上时，求证：BE＝CD；
（2）如图2，当点D在线段AC上，点E在线段CB的延长线时，求证：BE＝CD．
23.（10分）（1）已知△ABC，△CDE均为等边三角形．
①如图1，求证：△BCD≌△ACE；
②如图2，连接AE并延长至点N，使得AN＝2AE，连接BD并延长至点M，使得BM＝2BD，连接CM、CN、MN．猜想△CMN的形状，并证明；
（2）如图3，等腰△ABC中，∠A＝120°，BD，CE为△ABC的中线．延长BD至M，使得BM＝2BD，延长EC至N，使得EN＝2EC，连接CM、MN．证明：CM⊥MN．
24.（12分）在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限，且AB⊥AC，AB＝AC．
（1）如图1，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），则C点的坐标为 　 　 ；
（2）如图2，OB＝OE，求证：∠ACE＝∠ABE；
（3）在（2）的条件下，如图3，CD＝DE，CD⊥DE，M为线段BE的中点，连接AM，MD，求证：AM⊥MD．
参考答案
一、单项选择题
1．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C、图形是轴对称图形，故C符合题意．
故选：C．
2．
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：C．
3．
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到1＜a＜9，即可得到答案．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为a，4，5，
∴5﹣4＜a＜5+4，
∴1＜a＜9，
∴整数a的值不可能是1．
故选：A．
4．
【分析】利用全等三角形的判定方法，“ASA”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案．
【解答】解：需要补充的条件是∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故选：B．
5．
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：C．
6．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝∠BAD，再利用等边三角形的性质可得∠DAE＝∠ADE＝60°，然后利用三角形内角和定理可得∠BAD＝∠B＝∠C＝40°，从而求出∠ADC＝80°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD+∠B+∠C＝180°﹣∠DAE＝120°，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝40°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝80°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝20°，
故选：B．
7．
【分析】根据三角形内角和定理以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可．
【解答】解：如图，∵∠CPQ是△PBE的外角，∠CQP是△AQD的外角，
∴∠CPQ＝∠B+∠E，∠CPQ＝∠A+∠D，
又∵∠CPQ+∠CQP+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故选：A．
8．
【分析】先根据点A，B的坐标求出AB与y轴的交点M为线段AB的中点，然后分两种情况进行讨论：（1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C'，②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，③过点M作MC⊥AB交x轴于C，（2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C'，②以点B为圆心，以BA为半径画弧交y轴于点C，C'，综上所述可得出答案
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（1，1），
∵（﹣1+1）＝0，（0+1）＝0.5
∴AB的中点M坐标为（0，0.5），
∴AB与y轴的交点即为AB的中点M，
∵在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，
∴有以下两种情况：
（1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况：
①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C'，如图1所示：
此时AB＝AC，AB＝AC'，
∴△ABC和△ABC'均为等腰三角形，则点C和点C'为所求的点，
②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，如图2所示：
此时BA＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，则点C为所求的点；
③过点M作MC⊥AB交x轴于C，连接BC，如图3所示：
∵点M为AB的中点，
∴MC为线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，则点C为所求的点．
综上所述：当点C在x轴上时，满足条件点C有4个．
（2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况：
①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C'，如图4所示：
此时AB＝AC，AB＝AC'，
∴△ABC和△ABC'均为等腰三角形，则点C和点C'为所求的点，
②以点B为圆心，以BZ为半径画弧交y轴于点C，C'，如图5所示：
此时BC＝BA，BC'＝BA，
∴△ABC和△ABC'均为等腰三角形，则点C和点C'为所求的点．
综上所述：当点C在y轴上时，满足条件点C有4个．
∴在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是8个．
故选：D．
9．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，延长AE交BC于F，先根据三角形的面积公式求出AH，再证明△ACE和△FCE全等得AC＝CF＝8，AE＝FE，则BF＝BC﹣CF＝2，进而S△ABF，再根据AE＝FE得S△ABE＝S△BEFS△ABF，据此即可得出答案．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，延长AE交BC于F，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∵S△ABCBC AHAB AC，
∴AH，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠FEC＝90°，
在△ACE和△FCE中，
，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴AC＝CF＝8，AE＝FE，
∴BF＝BC﹣CF＝2，
∴S△ABFBF AH，
∵AE＝FE，
∴S△ABE＝S△BEFS△ABF．
故选：C．
10．
【分析】过点A作AF⊥AB，且AF＝BC，连接DF，连接CF交AB于点D'，利用SAS证明△ADF≌△CEB，推出当CD+BE最小时，点D的位于D‘处，再求出∠CD'B的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥AB，且AF＝BC，连接DF，连接CF交AB于点D'，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FAD＝∠BCE，
在△ADF和△CEB中，
，
∴△ADF≌△CEB（SAS），
∴FD＝BE，
∴CD+BE＝CD+FD≥CF，
∴CD+BE最小时，点D位于点D'处，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AC＝AF，∠CAF＝90°+45°＝135°，
∴∠ACD'＝∠AFD'（180°﹣135°）＝22.5°，
∴∠CD'B＝∠ACD'+∠CAD'＝22.5°+45°＝67.5°．
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
n＝﹣2，m＝5．
mn＝﹣2×5＝﹣10，
故答案为：﹣10．
12．
【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解答】解：当30°角是顶角时，顶角＝30°；
当30°角是底角时，顶角＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
故答案为：30°或120°．
13．
【分析】首先利用条件和三角形内角和定理求出∠B＝30°，∠CAB＝60°，然后利用AD平分∠CAB可以推出∠B＝∠DAB，从而得到AD＝BD，最后利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
而∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，
又AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD，
而CD＝2，
∴BD＝AD＝2CD＝4．
故答案为：4．
14.
【分析】如图所示，延长AD至点E，使得DE＝DA，则AE＝2AD＝6，可证△BDE≌△CDA（SAS），得到AC＝BE，在△ABE中，运用三角形三边数量关系即可求解．
【解答】解：如图所示，延长AD至点E，使得DE＝DA，则AE＝2AD＝6，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD，且∠BDE＝∠CDA，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴AC＝BE，
在△ABE中，AE﹣AB＜BE＜AE+AB，即6﹣5＜BE＜6+5，
∴1＜AC＜11，
故答案为：1＜AC＜11．
15．
【分析】依题意分两种情况讨论如下：①当等腰△ABC是锐角三角形时，②当△ABC是钝角三角形，且∠ABC是钝角时，对于每一种情况画出图形，结合图形，利用含有30°角的直角三角形的性质分别求出∠CAB的度数即可．
【解答】解：依题意有以下三种情况：
①当等腰△ABC是锐角三角形时，如图1所示：
∵AD为腰BC边上的高，
∴△ABD是直角三角形，
∴AB＝2AD，
∴ADAB，
∴∠B＝30°，
∵AB＝CB，
∴∠CAB＝∠C（180°﹣∠A）＝75°；
②当△ABC是钝角三角形，且∠ABC是钝角时，如图2所示：
∵AD为腰BC边上的高，
∴△ABD是直角三角形，
∵AB＝2AD，
∴ADAB，
∴∠ABD＝30°，
∵AB＝CB，
∴∠CAB＝∠C，
∴∠ADB＝∠CAB+∠C＝2∠C＝30°，
∴∠CAB＝∠C＝15°；
③当△ABC是钝角三角形，且∠ACB为i钝角设时，如图3所示：
∵AD为腰BC边上的高，
∴△ABD是直角三角形，
∵AB＝2AD，
∴ADAB，
∴∠B＝30°，
∵BC＝AC，
∴∠CAB＝∠B＝30°，
综上所述：∠CAB的度数是75°或15°或30°．
故答案为：75°或15°或30°．
16．
【分析】由AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，得∠ABE+∠ADF＝180°，∠BAE+∠DAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，可证明△EAH≌△EAF，则EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，可判断①正确；由∠BAE＝∠BAH，但AE与AH不一定相等，推导出BE与BH不一定相等，则BE与DF不一定相等，可判断②错误；由全等三角形的性质得∠AEH＝∠AEF，可判断③正确；作AP⊥CB于点P，AQ⊥CD于点Q，可证明△ABP≌△ADQ，得AP＝AQ，则AC平分∠BCD，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠ABE+∠ADF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AH＝AF，BH＝DF，∠ABH＝∠ADF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠ABE+∠ABH＝180°，∠EAH＝∠BAE+∠BAF＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF，
在△EAH和△EAF中，
，
∴△EAH≌△EAF（SAS），
∴EH＝EF，
∵EH＝BE+BH＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，
故①正确；
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE＝∠BAH，
∵AE与AF不一定相等，
∴AE与AH不一定相等，
∴BE与BH不一定相等，
∴BE与DF不一定相等，
故②错误；
∵△EAH≌△EAF，
∴∠AEH＝∠AEF，
∴AE平分∠BEF，
故③正确；
作AP⊥CB于点P，AQ⊥CD于点Q，则∠APB＝∠Q＝90°，
∵∠ABP+∠ADC＝180°，∠ADQ+∠ADC＝180°，
∴∠ABP＝∠ADQ，
在△ABP和△ADQ中，
，
∴△ABP≌△ADQ（AAS），
∴AP＝AQ，
∴点A在∠BCD的平分线上，
∴AC平分∠BCD，
故④正确，
故答案为：①③④．
三．解答题
17.解：∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠A＝20°，
∵∠BEC＝∠BDC+∠DCE，且∠BEC＝118°，∠BDC＝90°，
∴∠DCE＝28°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCB＝2∠DCE＝56°，
∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠DCB＝34°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝54°．
18.证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
19.（1）证明：过P作PK⊥BC于K，
∵PB平分∠CBD，PE⊥BD，
∴PE＝PK，
同理：PF＝PK，
∴PE＝PF；
（2）解：∵PE⊥AD，PF⊥AC，PE＝PF，
∴AP平分∠BAC，
∴∠CAP∠BAC，
∵CP平分∠BCH，
∴∠PCH∠BCH，
∵∠PCH＝∠CAP+∠APC，
∴∠BCH∠BAC+∠APC，
∵∠BCH＝∠BAC+∠ABC，
∴（∠BAC+∠ABC）∠BAC+∠APC，
∴∠APC∠ABC40°＝20°．
20.（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝30°+60°＝90°．
21.解：（1）如图1，点B′即为所求．
（2）如图1，CH即为所求．
（3）如图1，取AC的中点F，连接BF，再取BF的中点G，连接CG并延长，交AB于点M，
则点M即为所求．
（4）如图2，直线AT即为所求（答案不唯一）．
22.证明：（1）在AB上取BH＝BE，连接EH，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵BH＝BE，
∴△BEH为等边三角形，
∴∠BHE＝60°，BE＝EH，
∵AE＝DE，
∴∠D＝∠CAE，
∴∠BAC﹣∠CAE＝∠ACB﹣∠D，
即∠BAE＝∠CED，
∵∠BHE＝60°，∠ACB＝60°，
∴180°﹣∠BHE＝180°﹣∠ACB，
即∠AHE＝∠DCE，
在△AHE和△DCE，
，
∴△AHE≌△DCE（AAS），
∴EH＝CD，
∴BE＝CD；
（2）在AB上取AF＝AD，连接EF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC，
∴△AFD是等边三角形，
∴∠FAD＝∠FDA＝∠AFD＝60°＝∠ABC，AF＝DF，
∴DF∥BC，BF＝CD，
∴∠DEB＝∠EDF，
∵AE＝DE，
∴∠EDA＝∠DAE，
∴∠EDF＝∠EAF＝∠DEB，
在△AFE和△DFE中，
，
∴△AFE≌△DFE（SSS），
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠FEB＝∠DEF+∠DEB，∠EFB＝∠EAF+∠AEF，
∴∠FEB＝∠EFB，
∴EB＝BF，
∴BE＝CD．
23.（1）①证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形．
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
②解：△CMN是等边三角形，理由如下：
由①知，
△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，
∵AN＝2AE，BM＝2BD，
∴AN＝BM，
∵AC＝BC，
∴△ACN≌△BCM（SAS），
∴∠BCM＝∠ACN，CM＝CN，
∴∠ACM﹣∠ACM＝∠ACN﹣∠ACM，
∴∠MCN＝∠BCA＝60°，
∴△CMN是等边三角形；
（2）证明：如图，
延长AC至F，使CF＝AC，连接FM，MN，延长BC交FM于点G，连接NG，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠FCG＝∠ACB＝30°，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DM＝BD，∠CDM＝∠ADB，
∴△ABD≌△CMD（SAS），
∴CM＝AB，∠A＝∠DCM，
∴CM∥AB，CM＝AC＝CF，
∴∠MCG＝∠ABC＝30°，
∴∠FCM＝∠MCG+∠FCG＝60°，
∴△CFM是等边三角形，
∴∠CMF ＝∠CFM＝60°，FM＝CM＝CF，GM＝FGFM，
同理可得，
△FCN≌△ACE，
∴∠CFN＝∠A＝120°，FN＝AEAB，
∴∠MFN＝∠CFN﹣∠CFM＝60°，FN＝FG，
∴△GFN是等边三角形，
∴∠FGN＝60°，GN＝FG＝GM，
∴∠GMN＝∠GNM，
∵∠GMN+∠GNM＝∠FGN＝60°，
∴∠GMN＝∠GNM＝30°，
∴∠CNM＝∠CMF+∠GMN＝60°+30°＝90°，
∴CM⊥MN．
24.（1）解：过C作CH⊥y轴于H，如图1：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAH＝90°﹣∠OAB＝∠ABO，
∵∠CHA＝90°＝∠AOB，AC＝AB，
∴△ACH≌△BAO（AAS），
∴CH＝OA，AH＝OB，
∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），
∴CH＝OA＝4，AH＝OB＝2，
∴OH＝OA+AH＝4＝2＝6，
∴C（4，6）；
故答案为：（4，6）；
（2）证明：过C作CH⊥y轴于H，设AB，CE交于P，如图：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAH＝90°﹣∠OAB＝∠ABO，
∵∠CHA＝90°＝∠AOB，AC＝AB，
∴△ACH≌△BAO（AAS），
∴CH＝OA，AH＝OB，
∵OB＝OE，∠BOE＝90°，
∴AH＝OE，∠BEO＝45°，
∴AH+AE＝OE+AE，即HE＝OA，
∴CH＝HE，
∵∠CHE＝90°，
∴∠HEC＝45°，
∴∠CEB＝180°﹣∠HEC﹣∠BEO＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠CEB＝∠BAC，
∵∠APC＝∠BPE，
∴∠ACE＝∠ABE；
（3）证明：连接OM，设AM交ED于N，如图：
∵CD＝DE，CD⊥DE，
∴∠CED＝45°，CEED，
由（2）知∠CEB＝90°，
∴∠DEM＝∠CEB﹣∠CED＝45°，
∵OB＝OE，∠BOE＝90°，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∵M为BE中点，
∴∠AOM＝45°，EM＝BM＝OMBE，
∴∠DEM＝∠AOM，
由（2）知CH＝HE，OA＝HE，
∴CEHEOA，
∴ED＝OA，
在△DEM和△AOM中，
，
∴△DEM≌△AOM（SAS），
∴∠OAM＝∠EDM，
∵∠ANE＝∠DNM，
∴∠AEN＝∠DMN，
∵∠AEN＝∠HEC+∠CED＝45°+45°＝90°，
∴∠DMN＝90°，
∴AM⊥DM．