人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习 （含答案）

24.1.2《垂直于弦的直径》同步练习
一、单选题
1．已知⊙O中，弦AB垂直弦CD，CD＝6，AB＝8，则关于直径的说法正确的是（　　）
A．一定等于10 B．可能大于10
C．不可能大于10 D．不可能等于8
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9
3．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
4．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC＝6，则OD的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
5．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
6．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
7．已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，若AB＝6，CD＝1，则AE的长为（　　）
A．3 B．8 C．12 D．8
9．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且，，则AB的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
10．如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图2，如果用表示腹拱，假设腹拱下面的桥面AB的长度为80米，腹拱的高度CD为20米，则该桥腹拱部分所在圆弧的半径是（　　）
A．30米 B．40米 C．50米 D．60米
二、填空题
11．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若⊙O的半径为13，CD＝24，则BE长为 　 　 ．
12．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CO⊥AB，垂足为M，路面AB宽为6m，若圆的半径为5m，则隧道的最大高度CM＝ 　 m．
13．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 　 　 ．
14．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为 　 　 ．
15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知AB＝200米，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝40米．则这段弯路的半径是　　 米．
三、解答题
16．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若CD＝6，EF＝1，求⊙O的半径．
17．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m．
（1）求桥拱的半径；
（2）此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
18．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
19．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C．
（1）求证：D是AC的中点；
（2）若AB＝6，，求⊙O的半径．
20．在⊙O中，AB，BC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，AF⊥BC于F．
（1）如图1，若AF过圆心O，求∠B的度数；
（2）如图2，若AF与CD相交于，求⊙O的半径．
参考答案
一、单选题
1．C
【解答】解：如果弦AB是圆的直径，圆的直径长＝AB＝8，
如果弦AB不是圆的直径，如图，
过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OC，OB，OP，
∴MBAB，CNCD，
∵CD＝6，AB＝8，
∴MB＝4，CN＝3，
设圆的半径是r，
∴OM2＝OB2﹣MB2＝r2﹣42，ON2＝OC2﹣CN2＝r2﹣32，
∵四边形OMPN是矩形，
∴PM＝ON，
∴OP，
∵OP≤r，
∴r，
∴r≤5，
∴圆的直径不可能大于10．
故选：C．
2．C
【解答】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴CE＝EDCD＝4，
∴OE3，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8，
故选：C．
3．A
【解答】解：连接OD，过点O作OH⊥DE，垂足为H，
∴，
在Rt△DHO中，OH3，
∴直尺的宽度为3cm．
故选：A．
4．B
【解答】解：∵半径OC⊥AB，
∴AD＝BD，
∵BC∥OA，
∴∠A＝∠B，∠O＝∠C，
∴△AOD≌△BCD（AAS），
∴OD＝CD，OA＝BC＝6，
∴ODOCOA＝3．
故选：B．
5．D
【解答】解：如图2，连接AB，OA，过点O作OG⊥CD于点G，交AB于点E，交⊙O于点F．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵OG⊥CD，
∴OG⊥AB，
∴AE＝EB＝8cm，
∴OE6（cm），
∴EF＝OF﹣OE＝10﹣6＝4（cm），
∵EG＝AC＝BD＝5cm，
∴FG＝EG﹣EF＝5﹣4＝1（cm），
∴圆盘离桌面CD最近的距离是1cm，
故选：D．
6．B
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OC，OB，
∴MN＝3.5cm，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴，，
设ON＝x cm，
∴OM＝MN﹣ON＝（3.5﹣x）cm，
∵OM2+MC2＝OC2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MC2＝ON2+BN2，
∴（3.5﹣x）2+22＝x2+1.52，
∴12.25﹣7x+x2+4＝x2+2.25，
∴7x＝14，
∴x＝2，
∴ON＝2（cm），
∴，
∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．
故选：B．
7．C
【解答】解：连接OC，OB，
∵点C在半径为5的半圆O上，
∴OC＝OE＝5，
∵ED＝2，
∴OD＝3，
∵矩形ABCD，
∴∠CDO＝∠BAO＝90°，CD＝AB，
∴，
∵OC＝OB，
∴Rt△CDO≌Rt△BAO，
∴AO＝DO＝3，
∴AD＝6，
∴矩形ABCD的面积为4×6＝24，
故选：C．
8．B
【解答】解：设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BCAB6＝3，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣1，
∵OC2+AC2＝OA2，
∴（R﹣1）2+32＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5﹣1＝4，
∴AE＝2OC＝8，
故选：B．
9．C
【解答】解：连接OC，
设圆的半径为r，
∵弦CD垂直于⊙O的直径AB，
∴CH＝DH，∠BHD＝∠CHO＝90°
∵，，
∴，
∴，
∴OH＝r﹣1，
∴CO2＝CH2+OH2，即，
解得：．
故选：C．
10．C
【解答】解：设圆弧的半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，如图，
则OC⊥AB于D，
∴AD40（米），
在Rt△AOD，OA＝x米，OD＝（x﹣20）米，
由勾股定理，得x2＝（x﹣20）2+402，
解得：x＝50，
故选：C．
二、填空题
11．8．
【解答】解：∵直径AB⊥CD，
∴CECD24＝12，
∵⊙O的半径为13，
∴OC＝OB＝13，
∴OE5，
∴BE＝OB﹣OE＝13﹣5＝8．
故答案为：8．
12．9．
【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OC＝5m．
∵CO⊥AB，AB＝6m，
∴AMAB＝3m，
在Rt△AMO中利用勾股定理，得OM4（m），
∴CM＝OC+OM＝5+4＝9（m），
∴隧道的最大高度CM＝9m．
故答案为：9．
13．2．
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，OA＝2，OD＝1，
在Rt△OAD中，
AD，
∴AB＝2AD＝2．
故答案为：2．
14．2
【解答】解：连接BE，如图所示：
∵OD⊥AB，AB＝8，
∴ACAB＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
∴AE＝2r＝10；
∵OD＝5，CD＝2，
∴OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE2，
故答案为：2．
15．145．
【解答】解：∵C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，
∴米，
设这段弯路的半径是x米，则OA＝OC＝x米，
∴OD＝OC﹣CD＝（x﹣40）米，
在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝OD2+AD2，
∴x2＝（x﹣40）2+1002，
解得x＝145，
∴这段弯路的半径是145米，
故答案为：145．
三、解答题
16．（1）证明：∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，OE⊥AB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
∴，∠OFC＝90°，
∴CO2＝CF2+OF2，
设⊙O的半径是r，
∴r2＝32+（r﹣1）2，
解得r＝5，
∴⊙O的半径是5．
17．解：如图半径OC⊥AB，OC⊥DE，
（1）设桥拱的半径是r m，
∵OC⊥AB，
∴ANAB16＝8（m），
∵拱高CN为4m，
∴ON＝（r﹣4）m，
∵OA2＝ON2+AN2，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
∴r＝10，
∴桥拱的半径是10m；
（2）不需要采取紧急措施，理由如下：
如图，连接OD，
∵CO⊥DE，
∴DMDE12＝6（m），
∴OM8（m），
∵CM＝OC﹣OM＝10﹣8＝2（m），
∵2m＞1.5m，
∴不需要采取紧急措施．
18．解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D，
则AEAB＝3米，DE＝1米，
设圆的半径为r米，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴32+（r﹣1）2＝r2，
解得r＝5，
∴该圆的半径为5米；
（2）如图，当AB＝8米时，AEAB＝4，
在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2，
∴42+OE2＝52，
∴OE＝3米，
∴DE＝5﹣3＝2（米），
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
19．（1）证明：如图，连接BD．
∵AB是⊙O的弦，半径 OD⊥AB，
∴D是 的中点，
∴，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝CD，
∴AD＝CD，
即D为AC的中点；
（2）如图，连接OA．
∵半径 OD⊥AB，垂足为H，AB＝6，
∴AHAB＝3，
∵D是AC的中点，，
∴，
∴DH2，
设OD＝OA＝r，则 OH＝r﹣2，
在 Rt△OAH中，OH2+AH2＝OA2，
∴（r﹣2）2+32＝r2，
∴，
即⊙O的半径为．
20．解：（1）如图，连接AC，
由条件可知AE＝BE，AC＝BC，
∵AF⊥BC，AF过圆心O，
∴CF＝BF，AC＝AB，
∴AC＝CB＝BA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°；
（2）如图，连接AD，OA，
∵，
∴∠C＝∠DAB，
由条件可知∠C＝∠GAE＝∠DAE，
∵AE＝AE，∠AEG＝∠AED，
∴△AEG≌△AED（ASA），
∴EG＝ED，
设⊙O的半径为r，则DG＝OD+OG＝r+1，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理可得（）2+（）2＝r2，
解得r或﹣1（负值舍去），
所以⊙O的半径为．