第2讲 动能定理
一、动能
1．动能的公式：Ek＝mv2.动能是状态量，v是瞬时速度．
2．动能的变化：物体________与________之差，即ΔEk＝________________．
二、动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中____________．
注意：(1)“力”指物体受到的合外力；(2)做功的过程与动能的变化过程必须是同一个过程．
2．表达式：W＝________________．
3．物理意义：________做的功是物体动能变化的量度．
4．动能定理的适用范围
(1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动；
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功；
(3)适用于各种性质的力做功，各力既可以同时作用，也可以不同时作用．
考教衔接
【链接·人教版必修第二册P88第4题，求人到底端的速度，两题创设情境和解法类似】
(2024·安徽卷，2)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v.已知该同学与滑板(可视为质点)的总质量为m.重力加速度大小为g，不计空气阻力．则此过程中该同学与滑板克服摩擦力做的功为( )
A．mgh B．mv2
C．mgh＋mv2 D．mgh－mv2
关键能力·研教材——考向探究 经典示例 突出一个“准”
考点一 动能定理的理解和基本应用
1．对动能定理的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中“＝”的三层关系如表所示．
因果关系 合力做功是物体动能变化的原因
数量关系 合力的功与动能变化可以等量代换
单位关系 国际单位都是焦耳
(2)动能定理中的“力”指物体受到的所有力，既包括重力、弹力、摩擦力，也包括电场力、磁场力和其他力，功则为合力所做的总功．
2．应用动能定理的注意点
(1)动能定理表达式是一个标量式，式中各项均为标量．
(2)注意物体所受各力做功的特点，如：重力做功与路径无关，摩擦阻力做功与路径有关．
(3) 动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.
考向1 对动能定理的理解
例1 如图所示，在观光车沿水平路面直线行驶的过程中，下列说法正确的是( )
A．若观光车匀速行驶，合力对乘客做正功
B．若观光车匀速行驶，合力对乘客做负功
C．若观光车加速行驶，合力对乘客做正功
D．若观光车减速行驶，合力对乘客做正功
考向2 动能定理的基本应用
例2 如图所示，在水平的PQ面上有一小物块(可视为质点)，小物块以某速度从P点最远能滑到倾角为θ的斜面QA上的A点(水平面和斜面在Q点通过一极短的圆弧连接)．若减小斜面的倾角θ，变为斜面QB(如图中虚线所示)，小物块仍以原来的速度从P点出发滑上斜面．已知小物块与水平面和斜面间的动摩擦因数相同，AB为水平线，AC为竖直线．则( )
A．小物块恰好能运动到B点
B．小物块最远能运动到B点上方的某点
C．小物块只能运动到C点
D．小物块最远能运动到B、C两点之间的某点
练1 (应用动能定理求变力的功)质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一水平放置的轻弹簧O端相距s，轻弹簧的另一端固定在竖直墙上，如图所示，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度大小为g，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短的过程中，弹簧弹力所做的功为( )
A.－μmg(s＋x)
B.－μmgx
C.
D．－μmg(s＋x)
考点二 动能定理与图像结合的问题
考向1 动能定理与v-t图像
例3 (多选)A、B两物体的质量之比mA∶mB＝1∶4，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v-t图像如图所示．此过程中，A、B两物体受到的摩擦力做的功之比WA∶WB和A、B两物体受到的摩擦力之比FA∶FB分别是( )
A．WA∶WB＝1∶2 B．WA∶WB＝1∶4
C．FA∶FB＝1∶2 D．FA∶FB＝4∶1
考向2 动能定理与Ek-x图像
例4 如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小Ff恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图乙所示．重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小Ff分别为( )
A．m＝0.7 kg，Ff＝0.5 N
B．m＝0.7 kg，Ff＝1.0 N
C．m＝0.8 kg，Ff＝0.5 N
D．m＝0.8 kg，Ff＝1.0 N
题后感悟
解决动能定理与图像问题的基本步骤
练2 (动能定理与F-x图像)一质量为4 kg的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力F作用做匀速直线运动．物体运动一段时间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动．如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像，重力加速度大小g取10 m/s2，则可以求得( )
A．物体做匀速直线运动的速度为4 m/s
B．整个过程拉力对物体所做的功为4 J
C．整个过程摩擦力对物体所做的功为－8 J
D．整个过程合外力对物体所做的功为－4 J
考点三 动能定理在多过程问题中的应用
考向1 多过程直线运动问题
例5 如图所示，水平桌面上的轻质弹簧左端固定，右端与静止在O点质量为m＝1 kg的小物块接触而不连接，此时弹簧无形变．现对小物块施加F＝10 N的水平向左的恒力，使其由静止开始向左运动．小物块在向左运动到A点前某处速度最大时，弹簧的弹力为6 N，运动到A点时撤去推力F，小物块最终运动到B点静止．图中OA＝0.8 m，OB＝0.2 m，重力加速度大小g取10 m/s2．求小物块：
(1)与桌面间的动摩擦因数μ；
(2)向右运动过程中经过O点的速度大小；
(3)向左运动的过程中弹簧的最大压缩量．
考向2 多过程曲线运动问题
例6 (2023·湖北卷)如图为某游戏装置原理示意图．水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°.小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D.小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点．求：
(1)小物块到达D点的速度大小；
(2)B和D两点的高度差；
(3)小物块在A点的初速度大小．
【教你解决问题】
第1步 模型建构
过程一：小物块在水平桌面上沿半圆形竖直挡板做圆周运动→建构水平面内的圆周运动模型．
过程二：小物块在BC段做平抛运动→建构平抛运动模型．
过程三：小物块在光滑圆弧轨道上做圆周运动→建构竖直面内的圆周运动的轻绳模型．
第2步 找几何关系并进行受力分析
几何关系
过程一：轨道半径为2R.
过程二：小物块在B、C点的速度关系有cos 60°＝.
过程三：轨道半径为R.
受力分析
过程一：小物块所受重力、水平桌面的支持力和竖直挡板的弹力均不做功，摩擦力做负功．
过程二：小物块所受重力做正功．
过程三：小物块受重力、轨道的弹力，小物块的机械能守恒．
第3步 选规律列方程(请同学们自己完成)
题后感悟
应用动能定理解决多过程问题的两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理．
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，逐个击破．
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，运用动能定理来研究．
练3 如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧处于原长时上端与刻度尺上的A点等高，质量m＝0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，底端距A点的高度h1＝1.10 m，篮球静止释放测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x1＝0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h2＝0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x2＝0.01 m，弹性势能为Ep＝0.025 J．若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的机械能损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内．求：(g取10 m/s2)
(1)弹簧的劲度系数；
(2)篮球在运动过程中受到的空气阻力；
(3)篮球在整个运动过程中通过的路程．
核心素养·析真题——深研高考 领悟真谛 体现一个“透”
生产生活类情境
典例 (2024·新课标卷)将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离．如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降．若重物的质量m＝42 kg，重力加速度大小g＝10 m/s2.当P绳与竖直方向的夹角α＝37°时，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°.(sin 37°＝0.6)
(1)求此时P、Q绳中拉力的大小．
(2)若开始竖直下降时重物距地面的高度h＝10 m，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功．
[试题立意] 本题以生活中常见的吊装重物为素材，创设了与生产生活紧密联系的物理问题情境．主要考查共点力平衡(正交分解法)、功及动能定理的应用等知识点，重点考查推理论证能力．
[关键能力] 推理论证能力
第(1)问
第(2)问
方法一：求拉力做功的方式有两种，①直接用W＝Fx；②变力做功求法.
方法二：也可利用转化变力为恒力的思想分析．两根绳子的拉力的合力与重力等大反向，因此WG＝－W.
[失分剖析] ①不会用正交分解法处理共点力平衡问题；②对求解变力做功的方法和思路不清晰．
[考教衔接] 本题与人教版教材必修第二册第99页第6题第(2)问在利用动能定理求变力做功的思路和方法上相似．
温馨提示：请完成课时分层精练(二十七)
第2讲 动能定理
必备知识·链教材
一、
2．末动能 初动能
二、
1．动能的变化 2.Ek2－Ek1 3.合外力
考教衔接
解析：该同学在下滑的过程中，由动能定理可得mgh－Wf克＝mv2－0，可得此过程中该同学与滑板克服摩擦力做的功为Wf克＝mgh－mv2.故选D.
答案：D
关键能力·研教材
例1 解析：若观光车匀速行驶，观光车的动能不变，根据动能定理可知，合力对乘客不做功，故A、B错误；若观光车加速行驶，观光车的动能增加，根据动能定理可知，合力对乘客做正功，故C正确；若观光车减速行驶，观光车的动能减小，根据动能定理可知，合力对乘客做负功，故D错误．
答案：C
例2 解析：小物块从P点滑上斜面的运动过程中有重力和摩擦力做功，设小物块能到达斜面上的最高点与水平面的距离为h，与Q点的水平距离为x，根据动能定理得－mgh－μmg·xPQ－μmg cos θ·xAQ＝，即mgh＋μmg(xPQ＋x)＝，若减小倾角θ时，h不变，则x不变，故A、C错误；若h变大，则x变小，故B错误；若h变小，则x变大，故D正确．
答案：D
练1 解析：对物体由动能定理可得W弹－μmg(s＋x)＝，解得W弹＝，故C正确．
答案：C
例3 解析：根据动能定理－W＝，可知A、B两物体受到的摩擦力做的功之比为WA∶WB＝1∶4，故A错误，B正确；根据v-t图像可知两物体的加速度之比为aA∶aB＝2∶1，根据牛顿第二定律F＝ma，可得A、B两物体受到的摩擦力之比FA∶FB＝1∶2，故C正确，D错误．
答案：BC
例4 解析：0～10 m内物块上滑，由动能定理得－mg sin 30°·s－Ffs＝Ek－Ek0，整理得Ek＝Ek0－(mg sin 30°＋Ff)s，结合0～10 m内的图像得，斜率的绝对值|k|＝mg sin 30°＋Ff＝4 N，10～20 m内物块下滑，由动能定理得(mg sin 30°－Ff)(s－s1)＝Ek，整理得Ek＝(mg sin 30°－Ff)s－(mg sin 30°－Ff)s1，结合10～20 m内的图像得，斜率k′＝mg sin 30°－Ff＝3 N，联立解得Ff＝0.5 N，m＝0.7 kg.
答案：A
练2 解析：F-x图线与横轴所围区域的面积表示拉力对物体所做的功，所以WF＝ J＝12 J，故B错误；0～2 m阶段，根据平衡条件可得F＝Ff＝4 N，所以整个过程中摩擦力对物体做的功为Wf＝－Ffx＝－4×4 J＝－16 J，故C错误；整个过程中合外力对物体做的功为W合＝WF＋Wf＝12 J＋(－16 J)＝－4 J，故D正确；根据动能定理可得W合＝，解得v0＝ m/s，故A错误．
答案：D
例5 解析：(1)小物块速度达到最大时，加速度为零，则
F－μmg－F弹＝0，解得μ＝0.4.
(2)设向右运动通过O点时的速度为v0，从O→B，
由动能定理得－FfxOB＝，
Ff＝μmg＝4 N，
解得v0＝ m/s≈1.26 m/s.
(3)设弹簧最大压缩量为xmax，对小物块运动的全过程，根据动能定理得FxOA－Ff(2xmax＋xOB)＝0，
代入数值得xmax＝0.9 m.
答案：(1)0.4 (2)1.26 m/s (3)0.9 m
例6 解析：(1)由题意知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，设小物块在D点的速度大小为vD，小物块的质量为m，则在D点有mg＝，解得vD＝.
(2)由题意知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道CDE内侧，设小物块在B、C点的速度大小分别为vB、vC，则在C点有cos 60°＝，小物块从C点到D点的过程中，根据动能定理有－mg(R＋R cos 60°)＝，小物块从B点到D点的过程中，根据动能定理有mgHBD＝，联立解得vB＝，B、D两点的高度差HBD＝0.
(3)小物块从A点到B点的过程中，根据动能定理有－μmgs＝，s＝π·2R，μ＝，解得vA＝.
答案：(1) (2)0 (3)
练3 解析：(1)篮球静止在弹簧上时，
有mg－kx2＝0，解得k＝500 N/m.
(2)篮球从开始运动到第一次上升到最高点，由动能定理得
mg(h1－h2)－f(h1＋h2＋2x1)＝0，
代入数值解得f≈0.5 N.
(3)设篮球在整个运动过程中通过的总路程为s，
整个运动过程中，空气阻力一直与运动方向相反，
根据动能定理有WG＋Wf＋W弹＝0，
重力做功WG＝mg(h1＋x2)＝5.55 J，
弹力做功W弹＝－Ep＝－0.025 J，
则空气阻力做功Wf＝－fs＝－5.525 J，
解得s＝11.05 m.
答案：(1)500 N/m (2)0.5 N (3)11.05 m
核心素养·析真题
典例 解析：(1)由题意可知重物下降过程中受力平衡，设此时P绳中拉力的大小为FTP、Q绳中拉力的大小为FTQ，则
在竖直方向上有FTPcos α＝FTQcos β＋mg，
在水平方向上有FTPsin α＝FTQsin β，
联立并代入数据解得FTP＝1 200 N、FTQ＝900 N.
(2)重物下降到地面的过程，根据动能定理有mgh＋W总＝0，
代入数据解得W总＝－4 200 J.
答案：(1)FTP＝1 200 N FTQ＝900 N
(2)－4 200 J(共72张PPT)
第2讲 动能定理
末动能
初动能
二、动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中____________．
注意：(1)“力”指物体受到的合外力；(2)做功的过程与动能的变化过程必须是同一个过程．
2．表达式：W＝________________．
3．物理意义：________做的功是物体动能变化的量度．
动能的变化
Ek2－Ek1
合外力
4．动能定理的适用范围
(1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动；
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功；
(3)适用于各种性质的力做功，各力既可以同时作用，也可以不同时作用．
答案：D
考点一 动能定理的理解和基本应用
1．对动能定理的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中“＝”的三层关系如表所示．
(2)动能定理中的“力”指物体受到的所有力，既包括重力、弹力、摩擦力，也包括电场力、磁场力和其他力，功则为合力所做的总功．
因果关系 合力做功是物体动能变化的原因
数量关系 合力的功与动能变化可以等量代换
单位关系 国际单位都是焦耳
2．应用动能定理的注意点
(1)动能定理表达式是一个标量式，式中各项均为标量．
(2)注意物体所受各力做功的特点，如：重力做功与路径无关，摩擦阻力做功与路径有关．
(3)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.
考向1 对动能定理的理解
例1 如图所示，在观光车沿水平路面直线行驶的过程中，下列说法正确的是( )
A．若观光车匀速行驶，合力对乘客做正功
B．若观光车匀速行驶，合力对乘客做负功
C．若观光车加速行驶，合力对乘客做正功
D．若观光车减速行驶，合力对乘客做正功
答案：C
解析：若观光车匀速行驶，观光车的动能不变，根据动能定理可知，合力对乘客不做功，故A、B错误；若观光车加速行驶，观光车的动能增加，根据动能定理可知，合力对乘客做正功，故C正确；若观光车减速行驶，观光车的动能减小，根据动能定理可知，合力对乘客做负功，故D错误．
考向2 动能定理的基本应用
例2 如图所示，在水平的PQ面上有一小物块(可视为质点)，小物块以某速度从P点最远能滑到倾角为θ的斜面QA上的A点(水平面和斜面在Q点通过一极短的圆弧连接)．若减小斜面的倾角θ，变为斜面QB(如图中虚线所示)，小物块仍以原来的速度从P点出发滑上斜面．已知小物块与水平面和斜面间的动摩擦因数相同，AB为水平线，AC为竖直线．
则( )
A．小物块恰好能运动到B点
B．小物块最远能运动到B点上方的某点
C．小物块只能运动到C点
D．小物块最远能运动到B、C两点之间的某点
答案：D
答案：C
考点二 动能定理与图像结合的问题
考向1 动能定理与v-t图像
例3 (多选)A、B两物体的质量之比mA∶mB＝1∶4，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v-t图像如图所示．此过程中，A、B两物体受到的摩擦力做的功之比WA∶WB和A、B两物体受到的摩擦力之比FA∶FB分别是( )
A．WA∶WB＝1∶2 B．WA∶WB＝1∶4
C．FA∶FB＝1∶2 D．FA∶FB＝4∶1
答案：BC
考向2 动能定理与Ek-x图像
例4 如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小Ff恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图乙所示．重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小Ff分别为( )
A．m＝0.7 kg，Ff＝0.5 N
B．m＝0.7 kg，Ff＝1.0 N
C．m＝0.8 kg，Ff＝0.5 N
D．m＝0.8 kg，Ff＝1.0 N
答案：A
解析：0～10 m内物块上滑，由动能定理得－mg sin 30°·s－Ffs＝Ek－Ek0，整理得Ek＝Ek0－(mg sin 30°＋Ff)s，结合0～10 m内的图像得，斜率的绝对值|k|＝mg sin 30°＋Ff＝4 N，10～20 m内物块下滑，由动能定理得(mg sin 30°－Ff)(s－s1)＝Ek，整理得Ek＝(mg sin 30°－Ff)s－(mg sin 30°－Ff)s1，结合10～20 m内的图像得，斜率k′＝mg sin 30°－Ff＝3 N，联立解得Ff＝0.5 N，m＝0.7 kg.
题后感悟
解决动能定理与图像问题的基本步骤
练2 (动能定理与F-x图像)一质量为4 kg的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力F作用做匀速直线运动．物体运动一段时间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动．如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像，重力加速度大小g取10 m/s2，则可以求得( )
A．物体做匀速直线运动的速度为4 m/s
B．整个过程拉力对物体所做的功为4 J
C．整个过程摩擦力对物体所做的功为－8 J
D．整个过程合外力对物体所做的功为－4 J
答案：D
考点三 动能定理在多过程问题中的应用
考向1 多过程直线运动问题
例5 如图所示，水平桌面上的轻质弹簧左端固定，右端与静止在O点质量为m＝1 kg的小物块接触而不连接，此时弹簧无形变．现对小物块施加F＝10 N的水平向左的恒力，使其由静止开始向左运动．小物块在向左运动到A点前某处速度最大时，弹簧的弹力为6 N，运动到A点时撤去推力F，小物块最终运动到B点静止．图中OA＝0.8 m，OB＝0.2 m，重力加速度大小g取10 m/s2．求小物块：
(1)与桌面间的动摩擦因数μ；
答案：0.4
解析：小物块速度达到最大时，加速度为零，则
F－μmg－F弹＝0，解得μ＝0.4.
(2)向右运动过程中经过O点的速度大小；
答案：1.26 m/s
(3)向左运动的过程中弹簧的最大压缩量．
答案：0.9 m
解析：设弹簧最大压缩量为xmax，对小物块运动的全过程，根据动能定理得FxOA－Ff(2xmax＋xOB)＝0，
代入数值得xmax＝0.9 m.
(1)小物块到达D点的速度大小；
(2)B和D两点的高度差；
答案：0
(3)小物块在A点的初速度大小．
题后感悟
应用动能定理解决多过程问题的两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理．
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，逐个击破．
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，运用动能定理来研究．
练3 如图所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧处于原长时上端与刻度尺上的A点等高，质量m＝0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，底端距A点的高度h1＝1.10 m，篮球静止释放测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x1＝0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h2＝0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x2＝0.01 m，弹性势能为Ep＝0.025 J．若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的机械能损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内．求：(g取10 m/s2)
(1)弹簧的劲度系数；
答案：500 N/m
解析：篮球静止在弹簧上时，
有mg－kx2＝0，解得k＝500 N/m.
(2)篮球在运动过程中受到的空气阻力；
答案：0.5 N
解析：篮球从开始运动到第一次上升到最高点，由动能定理得
mg(h1－h2)－f(h1＋h2＋2x1)＝0，
代入数值解得f≈0.5 N.
(3)篮球在整个运动过程中通过的路程．
答案：11.05 m
解析：设篮球在整个运动过程中通过的总路程为s，
整个运动过程中，空气阻力一直与运动方向相反，
根据动能定理有WG＋Wf＋W弹＝0，
重力做功WG＝mg(h1＋x2)＝5.55 J，
弹力做功W弹＝－Ep＝－0.025 J，
则空气阻力做功Wf＝－fs＝－5.525 J，
解得s＝11.05 m.
生产生活类情境
典例 (2024·新课标卷)将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离．如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降．若重物的质量m＝42 kg，重力加速度大小g＝10 m/s2.当P绳与竖直方向的夹角α＝37°时，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°.(sin 37°＝0.6)
(1)求此时P、Q绳中拉力的大小．
答案：FTP＝1 200 N FTQ＝900 N
解析：由题意可知重物下降过程中受力平衡，设此时P绳中拉力的大小为FTP、Q绳中拉力的大小为FTQ，则
在竖直方向上有FTPcos α＝FTQcos β＋mg，
在水平方向上有FTPsin α＝FTQsin β，
联立并代入数据解得FTP＝1 200 N、FTQ＝900 N.
(2)若开始竖直下降时重物距地面的高度h＝10 m，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功．
答案：－4 200 J
解析：重物下降到地面的过程，根据动能定理有mgh＋W总＝0，
代入数据解得W总＝－4 200 J.
[试题立意] 本题以生活中常见的吊装重物为素材，创设了与生产生活紧密联系的物理问题情境．主要考查共点力平衡(正交分解法)、功及动能定理的应用等知识点，重点考查推理论证能力．
[关键能力] 推理论证能力
第(1)问
第(2)问
方法一：求拉力做功的方式有两种，①直接用W＝Fx；②变力做功求法.
方法二：也可利用转化变力为恒力的思想分析．两根绳子的拉力的合力与重力等大反向，因此WG＝－W.
[失分剖析] ①不会用正交分解法处理共点力平衡问题；②对求解变力做功的方法和思路不清晰．
[考教衔接] 本题与人教版教材必修第二册第99页第6题第(2)问在利用动能定理求变力做功的思路和方法上相似．
1．(多选)如图所示，电梯质量为m0，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增大到v2时，上升高度为H，重力加速度大小为g，则在这个过程中，
答案：CD
2．(2024·新课标卷)福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰．借助配重小车可以进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上．调整弹射装置，使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍．忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的( )
A．0.25 B．0.5 C．2倍 D．4倍
答案：C
3．(多选)某次十米跳台跳水训练中某运动员从静止开始下落，入水后运动员始终受到恒定的阻力作用(运动员未触及池底)，设运动员的速度大小为v，动能为Ek，重力势能为Ep，机械能为E，忽略空气阻力，已知池水深度约为5.4 m，运动员视为质点，下列有关该运动员向下运动过程的图像可能正确的是( )
答案：AD
解析：入水前，运动员做自由落体运动，入水后，做匀减速运动，故A正确；运动员向下运动过程中，重力势能一直减小，故B错误；由动能定理可知，合力做功等于动能变化量，开始时重力做正功，动能增加，入水后，合力向上，动能减小，由题可知运动员加速的距离大于减速的距离，故C错误；入水前仅受重力做功，机械能守恒，入水后，阻力做负功，机械能减小，故D正确．
4．承德的转盘滑雪机为我国自主原创、世界首例的专利产品．一名运动员的某次训练过程中，转盘滑雪机绕垂直于盘面的固定转轴以角速度ω＝0.5 rad/s顺时针匀速转动，质量为60 kg的运动员在盘面上离转轴10 m半径上滑行，滑行方向与转盘转动方向相反，在最低点的速度大小为10 m/s，滑行半周到最高点的速度大小为8 m/s，该过程中，运动员所做的功为6 500 J．已知盘面与水平面夹角为18°，g取10 m/s2，sin 18°＝0.31，cos 18°＝0.95.该过程中运动员克服阻力做的功为( )
A．4 240 J B．3 740 J
C．3 860 J D．2 300 J
答案：C
答案：D
答案：BCD
7．(多选)(2025·安徽宿州统考一模)如图所示，水平传送带以8 m/s的恒定速率逆时针运转，它与两侧的水平轨道分别相切于A、B两点，物块(视为质点)以初速度v0从B点滑上传送带，与轨道左端的竖直固定挡板P碰撞(无机械能损失)返回到B点．已知物块与传送带、轨道间的动摩擦因数均为0.2，且AB＝6 m，AP＝5 m，g取10 m/s2.物块的初速度v0可能是( )
A．6 m/s B．7 m/s
C．8 m/s D．9 m/s
答案：BCD
8．(10分)如图所示，质量m＝0.1 kg的可视为质点的小球从距地面高H＝5 m处由静止开始自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽的右端切入，半圆形槽半径R＝0.4 m．小球到达槽最低点时速率为10 m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘竖直向上飞出……，如此反复，设小球在槽壁运动时受到的摩擦力大小恒定不变，不计空气阻力及小球与槽壁口接触时的机械能损失(g取10 m/s2)．求：
(1)小球第一次飞离槽后上升的高度H1；
答案：4.2 m
(2)小球最多能飞出槽外的次数．
答案：6次
解析：设小球能飞出槽外n次，对整个过程，由动能定理得
mgH－n×2Wf＝0，
解得n＝6.25，n只能取整数，故小球最多能飞出槽外6次．
9．电动车配有把机械能转化为电能的“能量回收”装置．某次测试中电动车沿倾角为15°的斜坡向下运动，初动能为1.0×105 J．第一次让车无动力自由滑行，其动能Ek与位移x的关系如图中直线①所示；第二次让车无动力并开启“能量回收”装置滑行，其动能Ek与位移x的关系如图中曲线②所示．假设机械能回收效率为90%，重力加速度大小g取10 m/s2.
下列说法正确的是( )
A．图中①对应过程汽车所受合力越来越大
B．可求图中②对应过程下滑200 m回收的电能
C．图中②对应过程下滑100 m后不再回收能量
D．由题中及图像信息可求出电动车的质量
答案：B
10．(14分)如图所示，摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高0.8 m顶部水平高台，接着以v＝3 m/s水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．A、B为圆弧两端点，其连线水平．已知圆弧半径为R＝1.0 m，人和车的总质量为200 kg，特技表演的全过程中，阻力忽略不计．(计算中g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s；
答案：1.2 m
(2)从平台飞出到A点时速度大小vA及圆弧对应圆心角θ；
答案：5 m/s 106°
(3)人和车运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力大小．
答案：8 600 N
