(共50张PPT)
实验九 用单摆测量重力加速度
注意事项
1．摆线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．
2．单摆必须在同一竖直平面内振动，且最大摆角小于5°.
3．选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．
4．应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长．
5．一般选用一米左右的细线．
误差分析
1．偶然误差
(1)产生原因
测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差
(2)减小方法
①多次测量求平均值
②从摆球经过平衡位置时开始计时
2．系统误差
(1)产生原因
主要来源于单摆模型本身
(2)减小方法
①摆球要选体积小，密度大的
②最大摆角要小于5°
考点一 教材原型实验
例1 某同学用单摆周期公式测当地重力加速度的值，组装了几种实验装置．
(1)下列最合理的装置是________．
D
解析：为了减小误差，小球应选取密度大，体积小的铁球，还需要保证摆动过程中摆线的长度不变，应选用细丝线，且要保证摆动过程中悬点不发生移动，应采取铁夹夹住细丝线．
(2)用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径d＝________ mm.周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与________(用d表示)之和．
21.25
解析：由题图甲可知，摆球的直径d＝21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm，周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与小球半径之和．
练1 某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中
(1)如图甲，该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为 .cm；同学用秒表记录的时间如图乙所示，则秒表的示数为 .s.
1.070
96.8
解析：该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为d＝10 mm＋14×0.05 mm＝10.70 mm＝1.070 cm.
秒表的示数为t＝60 s＋36.8 s＝96.8 s.
(2)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长l与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2 l的关系图像，如图丙所示，根据图中数据，重力加速度大小为 m/s2.（取π2＝9.86，结果保留三位有效数字）
9.86
(3)如果该同学测得的g值偏大，可能的原因是_________．
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．开始计时时，秒表按下稍晚
C．实验中将51次全振动误记为50次
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
AB
考点二 拓展创新实验
考向1 实验器材、探究思路的创新
例2 (2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等．具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图甲所示．
(1)由步骤④，可知振动周期T＝________．
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________．
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图乙所示，可得g＝
__________________ m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)．
9.65(9.55～9.75均可)
(4)本实验的误差来源包括______．
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
AB
解析：空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度的，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误．
考向2 情境设置、探究目的创新
例3 (2024·湖南卷)在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量．如图甲，某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案，主要实验仪器包括：气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体．主要步骤如下：
(1)调平气垫导轨，将弹簧左端连接气垫导轨左端，右端连接滑块；
(2)将滑块拉至离平衡位置20 cm处由静止释放，滑块第1次经过平衡位置处开始计时，第21次经过平衡位置时停止计时，由此测得弹簧振子的振动周期T；
(3)将质量为m的砝码固定在滑块上，重复步骤(2)；
(4)依次增加砝码质量m，测出对应的周期T，实验数据如下表所示，在图乙中绘制T2-m关系图线；
m/kg T/s T2/s2
0.000 0.632 0.399
0.050 0.775 0.601
0.100 0.893 0.797
0.150 1.001 1.002
0.200 1.105 1.221
0.250 1.175 1.381
答案：将题表中的数据在题图乙中进行描点，然后用直线拟合，使尽可能多的点在直线上，不在直线上的点均匀分布在直线两侧，偏离直线较远的点舍去，如答图所示．
(5)由T2-m图像可知，弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是________(选填“线性的”或“非线性的”)；
(6)取下砝码后，将待测物体固定在滑块上，测量周期并得到T2＝0.880 s2，则待测物体质量是________ kg(保留三位有效数字)；
线性的
解析：由于T 2-m图像为一条直线，则弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是线性的．
0.120
解析：根据答图可知T 2＝0.880 s2时，m＝0.120 kg.
(7)若换一个质量较小的滑块重做上述实验，所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴________(选填“正方向”“负方向”或“不”)移动．
负方向
解析：当m＝0时，T 2为滑块对应的弹簧振子振动周期的平方，由答图可知物体的质量越大，对应的弹簧振子的振动周期越大，所以质量较小的滑块对应的弹簧振子的振动周期较小，故换一个质量较小的滑块重做实验，所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴负方向移动．
练2 (2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型．
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变．
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙所示，则摆球直径为________ cm.
摆长
解析：选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变．
1.06
解析：摆球直径为d＝10 mm＋6×0.1 mm＝1.06 cm.
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动．当地重力加速度大小为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为________________．
1．(14分)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
(1)摆动时偏角α满足的条件是________．为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最________(选填“高”或“低”)的点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期．图甲中秒表示数为一单摆全振动50次所需时间，则单摆振动周期为________ s.
α≤5°
低
2.05
(2)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示．O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长为________________________ m.
(3)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________．
0.997 0(0.996 0～0.998 0均可)
解析：刻度尺的最小刻度为1 mm，所以刻度尺读数为L＝99.70 cm＝0.997 0 m.
(4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大．”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中__________．
A．甲的说法正确
B．乙的说法正确
C．两学生的说法都是错误的
A
解析：因为空气的浮力始终竖直向上，小球受到的合力小于重力，加速度变小，振动周期变大，故甲同学的说法是正确的．
2．(12分)重力加速度参数广泛应用于地球物理、空间科学、航空航天等领域．高精度的重力加速度值的测量对重力场模型建立与完善、自然灾害预警、矿物勘探、大地水准面绘制等领域有着重要的作用．某同学在“用单摆周期公式测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机和两个相同的圆柱体小磁粒进行了如下实验：
(1)用铁夹将摆线上端固定在铁架台上，将两个小磁粒的圆柱底面吸在一起，细线夹在两个小磁粒中间，做成图甲所示的单摆．
(2)用刻度尺测量悬线的长度，用游标卡尺测得小磁粒的底面直径如图d＝________ cm；算出摆长L.
1.14
解析：小磁粒的底面直径d＝11 mm＋4×0.1 mm＝11.4 mm＝1.14 cm.
(3)将智能手机磁传感器置于小磁粒平衡位置正下方，打开手机智能磁传感器，测量磁感应强度的变化．
(4)将小磁粒由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图乙所示．试回答下列问题：
①由图乙可知，单摆的周期为__________；
②改变摆线长度l，重复实验操作，得到多组数据，画出对应的图像如图丙所示，算出图像的斜率为k，则重力加速度g的表达式为__________ .(用题中物理量的符号表示)．
2t0
解析：根据单摆的运动规律，一个周期内应该有两个电磁感应的最大值，结合题图可得出单摆的周期为2t0.
(5)某同学在家里做实验时没有找到规则的小磁体，于是他在细线上的某点A做了一个标记，实验中保持标记A点以下细线长度不变，通过改变悬点O、A间细线长度改变摆长．实验中，测得悬点O到A点的距离为L1时对应的周期为T1，悬点O到A点的距离为L2时对应的周期为T2，由此可测得当地的重力加速度g＝__________(用L1、L2、T1、T2表示)．
3．(12分)某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度．实验装置如图甲所示，已知每根悬线长为d，两悬点间相距2 s，金属小球半径为r，图中小球两侧为光电计数器．请回答下列问题：
(1)如图甲所示的双线摆能够稳定的在________(选填“平行”或“垂直”)纸面的竖直平面内稳定的摆动．
(2)等效摆长L＝______________(用题目中的物理量符号表达)．
垂直
解析：由受力分析可知，题图所示的双线摆能够稳定的在垂直纸面的竖直平面内稳定摆动．
(3)如图乙是用游标卡尺测量小球的直径则小球的直径是_______ cm.
1.54
解析：小球的直径为d＝15 mm＋4×0.1 mm＝15.4 mm＝1.54 cm.
(4)根据实验中测得的数据，画出T2 -L图像如图丙所示，取π＝3.14，根据图像，可求得当地的重力加速度大小为____________ m/s2(结果保留三位有效数字)．
9.86
4．(12分)(2024·辽宁卷)图甲为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同．某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系．
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图乙所示，从图中读出D＝__________________ cm.
7.55(7.54～7.56均可)
解析：刻度尺的分度值为0.1 cm，需要估读到分度值下一位，读数为D＝7.55 cm.
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图丙所示．当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了________个周期．
10
解析：积木左端两次经过参考点O为一个周期，当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，之后每计数一次，经历半个周期，可知，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了10个周期．
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据．为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792
ln T －0.45 －0.53 －0.56 －0.65 －0.78 －0.92 －1.02
A
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．
提高该实验精度的改进措施：用游标卡尺测量外径D、换用更光滑的硬质水平桌面、通过测量40次或60次左端与O点等高所用时间来求周期、适当减小摆动的幅度．实验九 用单摆测量重力加速度
一、实验思路与操作
装置图和思路 操作要领
思路：当摆角很小时，单摆做简谐运动，由周期T＝2π得g＝可知，只要测出l、T即可计算当地重力加速度． (1)做单摆：取约1 m长的细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比孔径稍大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂． (2)测摆长：用米尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋. (3)测周期：让摆球偏离一个角度(小于5°)，释放后让单摆自由摆动，测出单摆振动30～50次的总时间，求出周期，反复测量三次，求出周期的平均值．
二、数据处理方法
1．公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度．
2.图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k，求重力加速度．
注意事项
1．摆线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．
2．单摆必须在同一竖直平面内振动，且最大摆角小于5°.
3．选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．
4．应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长．
5．一般选用一米左右的细线．
误差分析
1．偶然误差
(1)产生原因
测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差
(2)减小方法
①多次测量求平均值
②从摆球经过平衡位置时开始计时
2．系统误差
(1)产生原因
主要来源于单摆模型本身
(2)减小方法
①摆球要选体积小，密度大的
②最大摆角要小于5°
关键能力·研教材——考向探究 经典示例 突出一个“准”
考点一 教材原型实验
例1 某同学用单摆周期公式测当地重力加速度的值，组装了几种实验装置．
(1)下列最合理的装置是________．
(2)用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径d＝________ mm.周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与________(用d表示)之和．
(3)实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期T，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出T2-l图像如图乙，该图像的斜率为________(选填“”“”或“”)．
练1 某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，
(1)如图甲，该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为 cm；同学用秒表记录的时间如图乙所示，则秒表的示数为 s.
(2)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长l与周期T的数据，根据实验数据，作出了T2 l的关系图像，如图丙所示，根据图中数据，重力加速度大小为 m/s2.（取π2＝9.86，结果保留三位有效数字）
(3)如果该同学测得的g值偏大，可能的原因是__________________________．
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．开始计时时，秒表按下稍晚
C．实验中将51次全振动误记为50次
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
考点二 拓展创新实验
考向1 实验器材、探究思路的创新
例2 (2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等．具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图甲所示．
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门．
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动．
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t.
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作．
该同学将振动系统理想化为弹簧振子．已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，m为振子的质量．
(1)由步骤④，可知振动周期T＝________．
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________．
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图乙所示，可得g＝________ m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)．
(4)本实验的误差来源包括______．
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
考向2 情境设置、探究目的创新
例3 (2024·湖南卷)在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量．如图甲，某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案，主要实验仪器包括：气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体．主要步骤如下：
(1)调平气垫导轨，将弹簧左端连接气垫导轨左端，右端连接滑块；
(2)将滑块拉至离平衡位置20 cm处由静止释放，滑块第1次经过平衡位置处开始计时，第21次经过平衡位置时停止计时，由此测得弹簧振子的振动周期T；
(3)将质量为m的砝码固定在滑块上，重复步骤(2)；
(4)依次增加砝码质量m，测出对应的周期T，实验数据如下表所示，在图乙中绘制T2-m关系图线；
m/kg T/s T2/s2
0.000 0.632 0.399
0.050 0.775 0.601
0.100 0.893 0.797
0.150 1.001 1.002
0.200 1.105 1.221
0.250 1.175 1.381
(5)由T2-m图像可知，弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是________(选填“线性的”或“非线性的”)；
(6)取下砝码后，将待测物体固定在滑块上，测量周期并得到T2＝0.880 s2，则待测物体质量是________ kg(保留三位有效数字)；
(7)若换一个质量较小的滑块重做上述实验，所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴________(选填“正方向”“负方向”或“不”)移动．
练2 (2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型．
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变．
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙所示，则摆球直径为________ cm.
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动．当地重力加速度大小为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为________________．
温馨提示：请完成课时分层精练(三十八)
实验九 用单摆测量重力加速度
关键能力·研教材
例1 解析：(1)为了减小误差，小球应选取密度大，体积小的铁球，还需要保证摆动过程中摆线的长度不变，应选用细丝线，且要保证摆动过程中悬点不发生移动，应采取铁夹夹住细丝线．
(2)由题图甲可知，摆球的直径d＝21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm，周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与小球半径之和．
(3)根据题意，由单摆的周期公式可得T＝2π ，整理可得T2＝l＋，则图像T2-l的斜率为.
答案：(1)D (2)21.25 (3)
练1 解析：(1)该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为d＝10 mm＋14×0.05 mm＝10.70 mm＝1.070 cm.
秒表的示数为t＝60 s＋36.8 s＝96.8 s.
(2)根据单摆周期公式T＝2π可得T2＝l，所以，斜率为k＝＝，解得g＝9.86 m/s2.
(3)根据单摆周期公式T＝2π 可得g＝，g值偏大的原因可能是测摆线长时摆线拉得过紧，摆长测量值偏大，故A正确，D错误；设测量时间为t，全振动次数为n，则有g＝，所以g值偏大的原因可能是开始计时时，秒表过迟按表或多记录了全振动次数，故B正确，C错误．
答案：(1)1.070 96.8 (2)9.86 (3)AB
例2 解析：(1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝.
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝mg，又T＝2π ，联立可得l＝l0＋T2.
(3)结合(2)问分析可知l-T2图线的斜率k′＝，由题图乙可知k′＝ m/s2，联立解得g＝9.65 m/s2.
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度的，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误．
答案：(1) (2)l0＋T2 (3)9.65(9.55～9.75均可) (4)AB
例3 解析：(4)将题表中的数据在题图乙中进行描点，然后用直线拟合，使尽可能多的点在直线上，不在直线上的点均匀分布在直线两侧，偏离直线较远的点舍去，如答图所示．
(5)由于T 2-m图像为一条直线，则弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是线性的．
(6)根据答图可知T 2＝0.880 s2时，m＝0.120 kg.
(7)当m＝0时，T 2为滑块对应的弹簧振子振动周期的平方，由答图可知物体的质量越大，对应的弹簧振子的振动周期越大，所以质量较小的滑块对应的弹簧振子的振动周期较小，故换一个质量较小的滑块重做实验，所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴负方向移动．
答案：(4)如图所示 (5)线性的 (6)0.120 (7)负方向
练2 解析：(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变．
(2)摆球直径为d＝10 mm＋6×0.1 mm＝1.06 cm.
(3)根据单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长为L＝.将摆球从平衡位置拉开5°的角度释放，可得振幅为A＝L sin 5°.以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝A cos ωt＝·cos (t)．
答案：(1)摆长 (2)1.06 (3)x＝cos (t)
