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第1讲 静电场及其应用
一、电荷 电荷守恒定律
1．电荷
(1)电荷量：电荷的多少叫作________．
(2)元电荷：把最小的电荷量叫作元电荷，即e＝1.60×10－19 C．所有带电体的电荷量都是e的________倍．
电荷量
整数
2．电荷守恒定律
(1)表述一：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体________到另一个物体，或者从物体的一部分________到另一部分；在________的过程中，电荷的总量保持不变．
(2)表述二：一个与外界没有电荷________的系统，电荷的________保持不变．
转移
转移
转移
交换
代数和
(3)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、________起电．起电的实质是电子的________，遵循____________．
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带__________电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先__________，余下的电荷再________．
感应
转移
电荷守恒定律
等量同种
中和
平分
二、库仑定律
1．内容：________中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的________成正比，与它们的距离的________成反比．作用力的方向在它们的________．
2．表述式：F＝________，式中k＝________ N·m2/C2，叫作静电力常量．
3．适用条件：________中静止的________．
4．库仑力的方向：同种电荷相互_______，异种电荷相互_______．
真空
乘积
二次方
连线上
9.0×109
真空
点电荷
排斥
吸引
三、静电场 电场强度 电场线
1．静电场
(1)定义：________产生的电场叫作静电场．
(2)基本性质：对放入其中的电荷有________．
静止电荷
力的作用
静电力
正电荷
静电力
3．电场线：为了形象地描述电场中各点电场强度的________和________，画在电场中的一条条有方向的曲线，曲线上每点的________方向表示该点的电场强度方向．
大小
方向
切线
四、静电平衡
导体放入电场中，导体内的自由电子不再发生________，导体处于静电平衡状态．处于静电平衡状态下的导体，其内部的电场强度处处为________．
定向移动
零
考教衔接
1.【链接·人教版必修第三册P24第6题，两题的创设情境十分相似】
(2024·江苏卷，1)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，则a、b两点的场强大小Ea∶Eb等于( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
答案：D
2．【链接·人教版必修第三册P17第6题，将原题图9.3－12的一个小球改为两个小球.2023年浙江卷6月第12题曾考查过类似情境】
(2024·新课标卷，18)如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等．则( )
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量
D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
答案：B
解析：分别对两小球受力分析如图所示．
考点一 电荷守恒定律 库仑定律
对库仑定律的理解
(1)对于均匀带电的两个绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
(2)对于距离较近的两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
考向1 库仑定律和电荷守恒定律的综合应用
例1 (2025·八省联考四川卷)X、Y、Z为大小相同的带电小球，X、Y所带电荷量均为q，Z所带电荷量为－5q.X、Y均放置在光滑绝缘水平面上，Y固定在P点，X与绝缘轻弹簧一端相连，弹簧另一端固定，此时X静止在平衡位置O点，如图所示，将较远处的Z(图中未画出)移近，先与X接触，然后与Y接触，再移回较远处，在此过程中，
一直保持不变的是( )
A．X的平衡位置 B．Z的电荷种类
C．Y对X的库仑力方向 D．X、Y系统的电势能
答案：B
考向2 库仑力作用下的平衡问题
例2 (多选)如图所示，同一直线上的三个自由点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用．已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍．下列说法正确的是( )
A．若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B．若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷
C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
D．q1∶q2∶q3＝9∶6∶36
答案：AC
题后感悟
“三个自由点电荷平衡”模型
(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置．
(2)
答案：D
题后感悟
静电力作用下平衡问题的求解思路
涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力．具体步骤如图所示．
考向3 库仑力作用下的加速运动问题
例4 导体在静电场的作用下，自由电荷发生再分布的现象称为导体的静电感应现象．如图所示，将一长为2L的光滑金属导体MN固定在绝缘水平面上，倾角为θ，P是固定于金属导体左上方的一带电荷量为＋Q的点电荷，PM⊥MN，且PM＝L.现将一质量为m、电荷量为＋q的带绝缘壳的小球体(可视为点电荷)，从金属导体的M端由静止释放，小球体开始沿金属导体向下滑动．已知重力加速度大小为g，小球体的电荷量始终不变．
答案：A
答案：D
答案：C
考点二 电场强度的叠加与计算
1．电场强度的三个公式
2．电场的叠加：多个电荷在空间某处产生的电场的合场强为各个电荷在该处所产生的电场强度的矢量和．
答案：D
题后感悟
电场叠加问题的分析思路
(1)确定研究点的空间位置．
(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向．
(3)同一直线上的电场强度的叠加可简化为代数运算；不在同一直线上的两个电场强度的叠加，用平行四边形定则求合电场强度．
答案：B
答案：C
考点三 电场线的理解和应用
1．电场线的应用
(1)判断电场强度的大小：电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小．
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反．
(3)判断电势的高低与电势降低的快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低更快．
2．两种等量点电荷的电场线
考向1 几种常见电场的电场线分布
例6 (多选)如图所示的四种电场中均有a、b两点，其中a、b两点的电场强度相同的是( )
A．图甲中，与点电荷等距离的a、b两点
B．图乙中，两等量异种点电荷连线的中
垂线上与连线等距离的a、b两点
C．图丙中，两等量同种点电荷连线的中
垂线上与连线等距离的a、b两点
D．图丁中，匀强电场中的a、b两点
答案：BD
解析：根据点电荷的电场的特点可知题图甲中a、b两点的电场强度大小相等，但方向不同，则电场强度不同，故A错误；题图乙中a、b两点的电场强度大小相等，方向都与中垂线垂直向左，则a、b两点的电场强度相同，故B正确；题图丙中a、b两点电场强度方向不同，故C错误；题图丁的匀强电场中a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，故D正确．
考向2 电场线的应用
例7 电场线能直观地反映电场的分布情况．如图甲所示是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点．则( )
A．E、F两点电场强度不同
B．A、D两点电场强度不同
C．在B、O、C三点中，O点电场强度最小
D．从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
答案：C
解析：根据对称性，E、F两点电场强度大小相等、方向相同，E、F两点电场强度相同，故A错误；根据对称性，A、D两点电场强度大小相等、方向相同，A、D两点电场强度相同，故B错误；电场线越疏，电场强度越小，所以在B、O、C三点中，O点电场强度最小，故C正确；电场线越疏，电场强度越小，电子所受的电场力越小，电子的加速度越小，所以从C点向O点运动的电子加速度逐渐减小，故D错误．
考向3 电场线与轨迹的运动分析
例8 在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集．下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
答案：A
解析：运动中的物体所受合力应指向运动轨迹凹侧，结合电子受到的电场力及电子的运动轨迹进行分析，可知A正确，B、C、D错误．
题后感悟
电场线与轨迹问题的判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况．
(2)三不知时要用“假设法”——电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用假设法分别讨论各种情况．
练5 两个点电荷电场的部分电场线如图所示，一带电粒子仅在静电力的作用下由a点运动到c点的轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是( )
A．粒子带负电
B．正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量
C．粒子在b点的动能大于在c点的动能
D．粒子在b点的加速度小于在c点的加速度
答案：B
解析：粒子的轨迹向电场强度方向弯曲，粒子所受电场力与电场强度方向相同，粒子带正电荷，故A错误；正电荷所在处的电场线比负电荷所在处的电场线密，所以正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量，故B正确；粒子由b点到c点的过程中，电场力与速度方向成锐角，速度增大，粒子在b点的速度小于在c点的速度，故C错误；因为电场线b点比c点密，b点的电场强度大，粒子所受的电场力大，加速度大，所以粒子在b点的加速度大于在c点的加速度，故D错误．
非点电荷电场强度的叠加及计算
方法1 等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境．
例如：一个点电荷与一个无限大接地薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
答案：B
答案：B
方法3 填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
答案：D
方法4 微元法
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．
答案：C
答案：A
2．在某一点电荷产生的电场中，A、B两点的电场强度方向如图所示，则A、B两点的电场强度大小之比为( )
A．1∶3 B．3∶1
C．1∶4 D．4∶1
答案：A
3.如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电荷量为＋Q，B带电荷量为－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正电，B的右边0.4 m处
B．正电，B的左边0.2 m处
C．负电，A的左边0.2 m处
D．负电，A的右边0.2 m处
答案：C
4．(多选)如图，将带负电的试探电荷沿着等量异种点电荷连线的中垂线从A点移动到B点，再沿连线从B点移动到C点．该试探电荷( )
A．从A到B过程中所受的静电力减小
B．从B到C过程中所受的静电力增大
C．从A到B过程中的电势能增大
D．从B到C过程中的电势能减小
答案：BD
解析：等量异种点电荷的电场分布如图所示，将带负电的试探电荷沿连线的中垂线从A到B过程中，由于电场强度逐渐增大，则试探电荷所受的静电力逐渐增大，故A错误；从B到C过程中，由于电场强度逐渐增大，则试探电荷所受的静电力逐渐增大，故B正确；由于中垂线是等势线，所以从A到B过程中的电势能不变，故C错误；由于试探电荷带负电，所以从B到C过程中，电场力对试探电荷做正功，电势能减小，故D正确．
5．(多选)如图所示，电荷量均为q的等量异种点电荷固定在A、B两点，M是AB连线的中点，在M点的正上方O点处用绝缘丝线悬挂一电荷量也为q的带电小球(可视为质点)，稳定后小球恰好静止在AM连线的中点N处，此时丝线与竖直方向的夹角θ＝30°，已知A、B两点间的距离为d，静电力常量为k，重力加速度大小为g，
答案：AC
答案：A
7.(多选)如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一个带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹．设粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN.下列判断正确的是( )
A．vM
C．aM答案：BC
解析：电场线越密处，电场强度越大，同一个粒子受到的电场力就越大，根据牛顿第二定律可知其加速度越大，故有aMvN；若粒子从N运动到M，则根据带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，可知在某点的电场力方向和速度方向如图乙所示，故电场力做正功，动能增大，即vM>vN，故A错误，B正确．
答案：C
答案：C
答案：C
解析：对C进行受力分析，受A对C的吸引力、B对C的排斥力、重力，水平天花板对C可能有竖直向下的压力，如图所示．
答案：C
12．(多选)(2024·海南卷)真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q ≥ 0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x(x r)，已知静电力常量为k，
答案：BCD第九章 静电场及其应用 静电场中的能量
第1讲 静电场及其应用
必备知识·链教材——知识梳理 考教衔接 把握一个“全”
一、电荷 电荷守恒定律
1．电荷
(1)电荷量：电荷的多少叫作________．
(2)元电荷：把最小的电荷量叫作元电荷，即e＝1.60×10－19 C．所有带电体的电荷量都是e的________倍．
2．电荷守恒定律
(1)表述一：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体________到另一个物体，或者从物体的一部分________到另一部分；在________的过程中，电荷的总量保持不变．
(2)表述二：一个与外界没有电荷________的系统，电荷的________保持不变．
(3)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、________起电．起电的实质是电子的________，遵循____________．
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带__________电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先__________，余下的电荷再________．
二、库仑定律
1．内容：________中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的________成正比，与它们的距离的________成反比．作用力的方向在它们的________．
2．表述式：F＝________，式中k＝________ N·m2/C2，叫作静电力常量．
3．适用条件：________中静止的________．
4．库仑力的方向：同种电荷相互________，异种电荷相互________．
三、静电场 电场强度 电场线
1．静电场
(1)定义：________产生的电场叫作静电场．
(2)基本性质：对放入其中的电荷有________．
2．电场强度
(1)定义：试探电荷所受的________与它的电荷量之比．
(2)定义式：E＝，是矢量，单位：N/C或V/m.
(3)方向：规定________在电场中某点所受________的方向为该点的电场强度方向，则负电荷在电场中某点所受静电力的方向与该点电场强度的方向相反．
(4)点电荷的电场强度：E＝.
3．电场线：为了形象地描述电场中各点电场强度的________和________，画在电场中的一条条有方向的曲线，曲线上每点的________方向表示该点的电场强度方向．
四、静电平衡
导体放入电场中，导体内的自由电子不再发生________，导体处于静电平衡状态．处于静电平衡状态下的导体，其内部的电场强度处处为________．
考教衔接
1.【链接·人教版必修第三册P24第6题，两题的创设情境十分相似】
(2024·江苏卷，1)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，则a、b两点的场强大小Ea∶Eb等于( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶1 D．4∶1
2．【链接·人教版必修第三册P17第6题，将原题图9.3－12的一个小球改为两个小球.2023年浙江卷6月第12题曾考查过类似情境】
(2024·新课标卷，18)如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等．则( )
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量
D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
关键能力·研教材——考向探究 经典示例 突出一个“准”
考点一 电荷守恒定律 库仑定律
对库仑定律的理解
(1)对于均匀带电的两个绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
(2)对于距离较近的两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
(3)当距离r接近于零时，库仑力F不能认为趋近于无限大，因为当r接近零时，两个带电体不能视为点电荷，库仑定律F＝k不再适用．
考向1 库仑定律和电荷守恒定律的综合应用
例1 (2025·八省联考四川卷)X、Y、Z为大小相同的带电小球，X、Y所带电荷量均为q，Z所带电荷量为－5q.X、Y均放置在光滑绝缘水平面上，Y固定在P点，X与绝缘轻弹簧一端相连，弹簧另一端固定，此时X静止在平衡位置O点，如图所示，将较远处的Z(图中未画出)移近，先与X接触，然后与Y接触，再移回较远处，在此过程中，一直保持不变的是( )
A．X的平衡位置 B．Z的电荷种类
C．Y对X的库仑力方向 D．X、Y系统的电势能
考向2 库仑力作用下的平衡问题
例2 (多选)如图所示，同一直线上的三个自由点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用．已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍．下列说法正确的是( )
A．若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B．若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷
C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
D．q1∶q2∶q3＝9∶6∶36
题后感悟
“三个自由点电荷平衡”模型
(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置．
(2)
例3 如图所示，质量为m的小球甲用长为L的轻质绝缘细线悬挂在天花板上的A点，小球乙固定在绝缘天花板上的B点，两球均视为质点，带电荷量相等，甲静止时位于C点，已知A、B两点间的距离为L，B、C两点间的距离为L，静电力常量为k.重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
A．两球的电性相同
B．细线的拉力大小为mg
C．两球的带电荷量都为
D．若甲的电荷量变成2L，则需给甲施加竖直向下、大小为mg的拉力，才能让甲仍静止在C点
题后感悟
静电力作用下平衡问题的求解思路
涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力．具体步骤如图所示．
考向3 库仑力作用下的加速运动问题
例4 导体在静电场的作用下，自由电荷发生再分布的现象称为导体的静电感应现象．如图所示，将一长为2L的光滑金属导体MN固定在绝缘水平面上，倾角为θ，P是固定于金属导体左上方的一带电荷量为＋Q的点电荷，PM⊥MN，且PM＝L.现将一质量为m、电荷量为＋q的带绝缘壳的小球体(可视为点电荷)，从金属导体的M端由静止释放，小球体开始沿金属导体向下滑动．已知重力加速度大小为g，小球体的电荷量始终不变．小球体从M运动到N的时间( )
A．等于2 B．大于2
C．小于2 D．无法确定
练1 如图所示，质量为m的带电小球A用一端固定在O点、长为L的绝缘细线悬于平面内某点，带电小球B被一轻杆固定于O点的正下方，小球A静止时与小球B在同一竖直平面内，OB和AB与细线的夹角均为θ＝37°，两带电小球带电荷量相同，两球均可视为点电荷．已知重力加速度大小为g，静电力常量为k，sin 37°＝0.6，则小球A的带电荷量为( )
A． B．
C． D．
练2 如图所示，A、B两个带电小球用长为L的绝缘细线连接，A球固定，B球悬吊，B球质量为m，重力加速度大小为g，两球带电荷量相等，剪断细线的一瞬间，B球加速度大小为0.6 g，不计小球的大小，静电力常量为k.下列说法正确的是( )
A．A、B两球带同种电荷
B．细线未断时，细线上拉力大小为0.4mg
C．B球的带电荷量大小为L
D．未剪断细线时释放A球，释放的一瞬间，A球加速度大小为g
考点二 电场强度的叠加与计算
1．电场强度的三个公式
2．电场的叠加：多个电荷在空间某处产生的电场的合场强为各个电荷在该处所产生的电场强度的矢量和．
例5 (2024·河北卷)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C.M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为.已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k.顶点A处的电场强度大小为( )
A． B．(6＋)
C．(3＋1) D．(3＋)
题后感悟
电场叠加问题的分析思路
(1)确定研究点的空间位置．
(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向．
(3)同一直线上的电场强度的叠加可简化为代数运算；不在同一直线上的两个电场强度的叠加，用平行四边形定则求合电场强度．
练3 (2024·贵州卷)如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°.A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于( )
A． B． C． D．2
练4 (2025·海南海口市模拟预测)如图所示，水平面内有一半径为R的圆，O为圆心，M、N为一直径上的两端点，P、Q为另一直径上的两端点，且MN垂直PQ.在点M、N、P、Q分别放置四个电荷量为＋q的点电荷，在垂直于水平面且过圆心O点的轴线上有一点a，a、O两点间的距离也为R.已知静电力常量为k，则a点的电场强度大小为( )
A． B． C． D．
考点三 电场线的理解和应用
1．电场线的应用
(1) 判断电场强度的大小：电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小．
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反．
(3)判断电势的高低与电势降低的快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低更快．
2．两种等量点电荷的电场线
考向1 几种常见电场的电场线分布
例6 (多选)如图所示的四种电场中均有a、b两点，其中a、b两点的电场强度相同的是( )
A．图甲中，与点电荷等距离的a、b两点
B．图乙中，两等量异种点电荷连线的中垂线上与连线等距离的a、b两点
C．图丙中，两等量同种点电荷连线的中垂线上与连线等距离的a、b两点
D．图丁中，匀强电场中的a、b两点
考向2 电场线的应用
例7 电场线能直观地反映电场的分布情况．如图甲所示是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点．则( )
A．E、F两点电场强度不同
B．A、D两点电场强度不同
C．在B、O、C三点中，O点电场强度最小
D．从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
考向3 电场线与轨迹的运动分析
例8 在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集．下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
题后感悟
电场线与轨迹问题的判断方法
(1)“运动与力两线法”——画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况．
(2)三不知时要用“假设法”——电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用假设法分别讨论各种情况．
练5 两个点电荷电场的部分电场线如图所示，一带电粒子仅在静电力的作用下由a点运动到c点的轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是( )
A．粒子带负电
B．正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量
C．粒子在b点的动能大于在c点的动能
D．粒子在b点的加速度小于在c点的加速度
核心素养·拓教材——情境命题 规范解题 收获一个“赢”
非点电荷电场强度的叠加及计算
方法1 等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境．
例如：一个点电荷与一个无限大接地薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示．
典例1 如图所示，一无限大接地导体板MN前面放有一点电荷＋Q，它们在周围产生的电场可看作是在没有导体板MN存在的情况下，由点电荷＋Q与其像电荷－Q共同激发产生的．像电荷－Q的位置就是把导体板当作平面镜时，点电荷＋Q在此镜中的像位置．已知＋Q所在位置P点到导体板MN的距离为L，a为OP的中点，abcd是边长为L的正方形，其中ab边平行于MN.则( )
A．a点的电场强度大小为E＝4
B．a点的电场强度大小大于b点的电场强度大小
C．b点的电场强度和c点的电场强度相同
D．一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电势能的变化量为零
方法2 对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如，如图所示，均匀带电的球壳在O点产生的电场强度，等效为弧BC产生的电场强度，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向．
典例2 如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷．已知b点处的场强为E＝(k为静电力常量)，方向由b指向a，则d点处场强的大小为( )
A． B．
C．k D．k
方法3 填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
典例3 均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场．如图所示，一半径为R的球壳表面均匀带有正电荷，电荷量为2q，O为球心，直线ab是过球壳中心的一条水平线，球壳表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R.现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为( )
A． B．
C．＋E D．－E
方法4 微元法
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．
典例4 如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面中心轴上的一点，OP＝L，则P点的场强为( )
A． B．
C． D．
温馨提示：请完成课时分层精练(三十九)
第1讲 静电场及其应用
必备知识·链教材
一、
1．(1)电荷量 (2)整数
2．(1)转移 转移 转移 (2)交换 代数和 (3)感应 转移 电荷守恒定律 (4)等量同种 中和 平分
二、
1．真空 乘积 二次方 连线上 2.k 9.0×109
3．真空 点电荷 4.排斥 吸引
三、
1．(1)静止电荷 (2)力的作用
2．(1)静电力 (3)正电荷 静电力
3．大小 方向 切线
四、
定向移动 零
考教衔接
1．解析：根据E＝可知，F-q图像的斜率表示电场强度，由题图可知Ea＝ N/C＝4 N/C，Eb＝ N/C＝1 N/C，可得Ea∶Eb＝4∶1.
答案：D
2．解析：分别对两小球受力分析如图所示．设两小球间的距离为l，绳与竖直方向的夹角为θ，则有－qQE＝mQg tan θ，＋qPE＝mPg tan θ，显然mQg tan θqQE，则>E，但P、Q电荷量之间的大小无法确定，C、D错误．
答案：B
关键能力·研教材
例1 解析：设X、Y两带电小球相距为r，开始时，X、Y间的库仑斥力大小为F＝k，X受到的库仑力方向水平向左，由于X静止在平衡位置O点，则弹簧的弹力大小为F＝k，方向水平向右，将Z与X接触时，根据电荷分配原理可知，此时qX′＝qZ′＝－2q，此时X、Y间的库仑力大小为F′＝k，大小发生了变化，X受到的库仑力方向为水平向右，X的平衡位置发生了变化，X、Y系统的电势能发生了变化；当Z再与Y接触时，根据电荷分配原理可知，此时qY′＝qZ″＝－，整个过程中Z始终为负电荷保持不变．故选B.
答案：B
例2 解析：三个自由点电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以q1、q3为同种电荷，q2为异种电荷，故A正确，B错误；根据库仑定律和矢量的合成，则有＝＝，解得q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C正确，D错误．
答案：AC
例3 解析：乙和甲相互靠近，乙对甲的库仑力是吸引的相互作用，故两球的电性相反，故A错误；根据数学知识可得∠CAB＝∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，对甲受力分析可知，甲受三个力，且三力之间夹角均为120°，根据三力平衡的知识可得，甲受到的三个力大小相等，均为mg，故B错误；由＝mg，解得q＝L，故C错误；要使甲仍静止在C点，三个力方向之间的夹角依然均为120°，甲的电量变成2L，说明甲的电荷量加倍，在甲、乙两球位置不变时，甲、乙之间的库仑力加倍，变成2mg，故拉力也变成2mg，竖直向下的力也为2mg，故需要给甲施加竖直向下、大小为mg的拉力，才能让甲仍静止在C点，故D正确．
答案：D
例4 解析：金属导体MN 为等势体，电场力垂直于导体表面，故做匀加速直线运动．小球体则从M点下滑至N点的过程中，根据牛顿第二定律可知其加速度为mg sin θ＝ma，解得a＝g sin θ，所以从M点下滑至N点的过程中所用的时间满足2L＝at2，解得t＝2.
答案：A
练1 解析：设AB的距离为r，由题可知，OB的距离也为r，根据几何关系可得2r cos 37°＝L，解得r＝L，对小球A受力分析，如图所示，可知AB间的库仑力与细线的合力大小等于mg，根据相似三角形原理有＝＝，因OB＝AB，则可得k＝mg，解得q＝.
答案：D
练2 解析：由于剪断细线的一瞬间，B球加速度大小为0.6g，小于重力加速度g，说明两球相互吸引，所以带异种电荷，故A错误；根据牛顿第二定律有mg－F库＝ma，解得F库＝0.4mg，细线未断时，对B球，根据平衡条件有F＋F库＝mg，可得细线上拉力大小为F＝0.6mg，故B错误；由库仑力公式有0.4mg＝k，解得q＝L，故C正确；未剪断细线时释放A球，释放的一瞬间，A球受到向下的重力、库仑力，因此A球加速度大小大于g，故D错误．
答案：C
例5 解析：B点、C点的点电荷在M点的合场强大小为E＝2cos 60°＝.M点的合场强为零，因此带电细杆在M点的场强大小EM＝E，由对称性可知带电细杆在A点的场强大小为EA＝EM＝E，方向竖直向上，因此A点合场强大小为E合＝EA＋2cos 30°＝(3＋)，故选D.
答案：D
练3 解析：根据题意可知两电荷为异种电荷，假设qA为正电荷，qB为负电荷，两电荷在C点的场强如图所示，设圆的半径为r，根据几何知识可得AC＝r，BC＝r，则tan 60°＝， 同时有EA＝，EB＝，联立解得＝.
答案：B
练4 解析：由几何关系可知，Pa、Qa、Ma、Na的长度均为r＝R，根据点电荷的电场强度公式和电场叠加原理，可得a点的电场强度大小Ea＝4×kcos 45°＝，故C正确．
答案：C
例6 解析：根据点电荷的电场的特点可知题图甲中a、b两点的电场强度大小相等，但方向不同，则电场强度不同，故A错误；题图乙中a、b两点的电场强度大小相等，方向都与中垂线垂直向左，则a、b两点的电场强度相同，故B正确；题图丙中a、b两点电场强度方向不同，故C错误；题图丁的匀强电场中a、b两点的电场强度大小相等，方向相同，故D正确．
答案：BD
例7 解析：根据对称性，E、F两点电场强度大小相等、方向相同，E、F两点电场强度相同，故A错误；根据对称性，A、D两点电场强度大小相等、方向相同，A、D两点电场强度相同，故B错误；电场线越疏，电场强度越小，所以在B、O、C三点中，O点电场强度最小，故C正确；电场线越疏，电场强度越小，电子所受的电场力越小，电子的加速度越小，所以从C点向O点运动的电子加速度逐渐减小，故D错误．
答案：C
例8 解析：运动中的物体所受合力应指向运动轨迹凹侧，结合电子受到的电场力及电子的运动轨迹进行分析，可知A正确，B、C、D错误．
答案：A
练5 解析：粒子的轨迹向电场强度方向弯曲，粒子所受电场力与电场强度方向相同，粒子带正电荷，故A错误；正电荷所在处的电场线比负电荷所在处的电场线密，所以正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量，故B正确；粒子由b点到c点的过程中，电场力与速度方向成锐角，速度增大，粒子在b点的速度小于在c点的速度，故C错误；因为电场线b点比c点密，b点的电场强度大，粒子所受的电场力大，加速度大，所以粒子在b点的加速度大于在c点的加速度，故D错误．
答案：B
核心素养·拓教材
典例1 解析：由题意可知，点电荷＋Q和导体板MN周围空间电场与等量异种点电荷产生的电场等效，所以a点的电场强度E＝k＋k＝，故A错误；等量异种点电荷周围的电场线分布如图所示，由图可知Ea＞Eb，故B正确；图中b、c两点的场强方向不同，故C错误；由于a点的电势高于d点的电势，所以一正点电荷从a点经b、c运动到d点的过程中电场力做正功，电荷的电势能减小，故D错误．
答案：B
典例2 解析：依题意，b点的合场强为E＝，可知圆盘在b点的场强为E盘b＝，由对称性可知圆盘在b点的场强和在d点的场强大小相等、方向相反，再根据电场叠加原理，可得出d点的场强为Ed＝E盘b＋＝.
答案：B
典例3 解析：先将半球面补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为2q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场为E0＝k＝k，左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则EQ＝E0－E＝k－E.
答案：D
典例4 解析：如图所示设想将圆环看成由n个小段组成，当n相当大时，每一小段都可以看成点电荷，其所带电荷量Q′＝，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P处产生的场强为E＝＝.由对称性知，各小段带电体在P处场强E垂直于中心轴的分量Ey相互抵消，而其轴向分量Ex之和即为带电圆环在P处的场强EP，EP＝nEx＝nkcos θ＝，故C正确．
答案：C