2025-2026学年江苏省常州高级中学高二上学期10月阶段考试数学试卷（PDF版，含解析）

2025-2026学年江苏省常州高级中学高二上学期 10月阶段考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知直线 1: + 2 = 0与直线 2: + ( + 1) + 4 = 0，则“ = 1”是“ 1// 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.设直线 的方程为 cos + 2 = 0，则直线 的倾斜角 的取值范围是( )
π π π 3π π π π 3π
A. [0, π] B. [ , ] C. [ , ] D. [ , ) ∪ ( , ]
4 2 4 4 4 2 2 4
3.若点 (1,1)在圆 ： 2 + 2 + 2 = 0的外部，则 的取值范围为( )
A. ( 1,4) B. ( 4,1) C. ( 1,+∞) D. ( ∞,4)
4.已知 为圆 ： 2 + 2 = 4上的动点，点 满足 = (2, 1)，记 的轨迹为 ，则 的方程为( )
A. ( 2)2 + ( + 1)2 = 20 B. ( + 2)2 + ( 1)2 = 20
C. ( 2)2 + ( + 1)2 = 4 D. ( + 2)2 + ( 1)2 = 4
5.已知定点 ( 1, 0)，圆 与 轴相切，直线2 + 2 = 0是圆 的一条对称轴．若圆 上存在两点 , 使
π
得∠ > ，则圆 圆心的横坐标的取值范围是( )
3
3 9 11
A. ( ∞, ) ∪ ( , +∞) B. (1, )
2 2 2
3
C. (0, 1) ∪ ( ,+∞) D. (1, 5)
2
6.过圆 2 + 2 + 2 = 0和 2 + 2 = 5的交点，且圆心在直线3 + 4 1 = 0上的圆的方程为( )
A. 2 + 2 + 2 2 11 = 0 B. 2 + 2 2 + 2 11 = 0．
C. 2 + 2 2 2 11 = 0 D. 2 + 2 + 2 + 2 11 = 0
+3
7.已知 ( , )为曲线 = 3 √ 4 2上任意一点，则 的取值范围是( )
+2
2 2
A. [2 √ 3, 2 + √ 3] B. [1,3]
3 3
2 2
C. [2 √ 3, 3] D. [1,2 + √ 3]
3 3
8.若圆 ： 21 +
2 = 1与圆 2：( )
2 + ( )2 = 9( , ∈ )有且仅有2条公切线，则|3 4 + 5|的
取值范围为( )
A. [0,5) B. [1,5) C. [0,25) D. [5,25)
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中正确的有( )
A. 过点(3,1)，且在 轴和 轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 + 4 = 0， 2 = 0
3
B. 若直线 + + 1 = 0和以 ( 3,1), (3,2)为端点的线段相交，则实数 的取值范围为( ∞, ] ∪
2
1
[ , +∞)
2
C. 若三条直线 + = 0, = 0, + = 3 不能构成三角形，则实数 所有可能的取值组成的集合
为{ 1,1}
D. 若直线 沿 轴向左平移3个单位长度，再沿 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线 的
2
斜率为
3
10.在平面直角坐标系 中， ( 2,0)，动点 满足| | = √ 2| |，记点 的轨迹为曲线 ，则( )
A. 的方程为( 2)2 + 2 = 8
B. 若直线 = + 4与 有公共点，则 的取值范围是[2 √ 6, 2 + √ 6]
C. 当 ， ， 三点不共线时，若 (2 2√ 2, 0)，则射线 平分∠
2 4
D. 过 外一点( 4, )作 的切线，切点分别为 ， ，则直线 过定点( , )
3 3
11.如图，在平面直角坐标系 中，已知圆 : 2 + 2 = 2( > 0)上恰有3个点到直线√ 3 + + 3 = 0的
3
距离为 .设点 ( 2,0)， (2,0)， (0,4)，点 是圆 上的任意一点，过点 作 ⊥ 于 ，则下列说法中
2
正确的有( )
A. = 3
B. 点 的轨迹方程为 2 + 2 = 4( ≠ 2)
C. 2| | + | |的最小值为2√ 10
3
D. 圆 上存在唯一点 ，使得 | | + | |取到最小值
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
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12.若直线 1: + 2 4 = 0与直线 2: + 2 + 1 = 0的交点位于第一象限，则实数 的取值范围
是 ．
13.已知圆 : ( 1)2 + ( 2)2 = 1，若从点 (3,5)发出的光线经过直线 2： + 1 = 0，反射后恰好
平分圆 的圆周，反射光线所在直线的方程是 ．
14.1765年，数学家欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心三点共
线，这条直线称为欧拉线． 中，已知 (1,1)， (4,5)，且 的欧拉线方程为7 + 8 42 = 0，
则点 的横坐标为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知矩形 的两条对角线相交于点 (0,1)， 边所在直线的方程为2 + + 2 = 0，点 (2, 1)在 边
所在直线上．
(1)求点 的坐标；
(2)求矩形 的面积．
16.(本小题15分)
已知圆( + 5)2 + 2 = 2( > 0)与圆 关于直线 = 2 对称，且点 (6,8)在圆 上.
(1)求圆 的方程；
(2)过点 的直线 交圆 于另一点 ，若 的面积为12，求直线 的方程．
17.(本小题15分)
已知圆 : ( )2 + ( + 1)2 = 1， (0,3)， 为坐标原点．
(1)若 = 1，求圆 与圆 1: ( 2)
2 + ( 2)2 = 4的公共弦长；
(2)若圆 上存在点 ，使得| | = 2| |，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
16 12 16 12
已知圆 的圆心在 轴的非．负．半．轴．上，且经过 (0, 4)， ( , )， ( , )， (1, 4)中的三个点． 5 5 5 5
(1)求圆 的方程；
(2)设直线 : = 2 与圆 交于点 ，点 ， 分别在直线 和圆 上，若∠ = 60 ，求点 的横坐标的取值
范围；
(3)求圆 与圆 : ( 4)2 + ( 3)2 = 1的公切线的方程．
19.(本小题17分)
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平面直角坐标系 中，已知定点 (0,2)，动点 满足 = 3，记动点 的轨迹为曲线 .过点 作两
条直线 ， 分别与曲线 交于点 ， 和 ， 四点(其中点 、 在上方)．
(1)求曲线 的方程；
(2)若 ⊥ ，求四边形 面积的取值范围；
(3)设 交 轴于点 ， 交 轴于点 ，证明：| | = | |．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
1 1
12.( , )
6 2
13.4 5 + 6 = 0
127
14.5或
113
15.【详解】(1) ∵ 为矩形，∴ ⊥ ．
∵ 边所在的直线方程为：2 + + 2 = 0， = 2，
1
∴ 所在直线的斜率为 = ， 2
∵ (2, 1)在 边所在直线上，
1
∴ 边所在直线的方程为 + 1 = ( 2)，
2
即 2 4 = 0．
2 4 = 0 = 0
联立{ ，所以{ ,
2 + + 2 = 0 = 2
得 (0, 2)；
(2)矩形 的两条对角线相交于点 (0,1)，
3 3√ 5 3√ 5 6√ 5
因为点 到 的距离为 = ，得| | = 2 × = ；
√ 1+4 5 5 5
6 6√ 5 6√ 5 12√ 5
因为点 到 的距离为 = ，得| | = 2 × = ；
√ 1+4 5 5 5
6√ 5 12√ 5 72
∴矩形 的面积为 = | | × | | = × = ．
5 5 5
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16.【详解】(1)由圆方程为( + 5)2 + 2 = 2( > 0)，得圆心为( 5,0)，
5
设圆 的圆心 ( , )，则两圆心的中点坐标为( , )，
2 2
5
= 2 = 3
因为两圆心关于直线 = 2 对称，则{2 2 ，解得{ ；
0 1
= = 4
+5 2
圆 的方程为( 3)2 + ( 4)2 = 2，
由点 (6,8)在圆 上可得(6 3)2 + (8 4)2 = 2，解得 = 5，
所以圆 的方程为( 3)2 + ( 4)2 = 25；
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为 = 6，可得交圆上两点为 (6,8), (6,0)，
1
此时| | = 8，弦心距为3，则 = × 3 × 8 = 12，符合题意； 2
当斜率存在时，直线 方程设为 8 = ( 6)，即 6 + 8 = 0；
2
|3 4 6 +8| | 3 +4| | 3 +4|
此时弦心距为 = ，半径为5，则| | = 2√ 25 ( ) ，
√ 2 2 2 +1 √ +1 √ +1
2
1 | 3 +4| | 3 +4|
可得 = × × 2√ 25 ( ) = 12， 2
√ 2 2 +1 √ +1
2 2
( 3 +4) ( 3 +4)
等式两边同时平方得 2 [25 2 ] = 144，
+1 +1
2
( 3 +4)
令 2 = ，则 (25 ) = 144，解得 = 9或 = 16，
+1
2
( 3 +4) 7
当 = 9时， 2 = 9，解得 = ，
+1 24
7 7
此时直线方程为 6 × + 8 = 0，即7 24 + 150 = 0；
24 24
2
( 3 +4) 24
当 = 16时， 2 = 16，解得 = 或 = 0，
+1 7
24 24
此时直线解析式为 6 × ( ) + 8 = 0或 + 8 = 0，即24 + 7 200 = 0或 = 8；
7 7
综上所述，直线解析为： = 8或 = 6或24 + 7 200 = 0或7 24 + 150 = 0．
17.【详解】(1)当 = 1时，圆 : ( )2 + ( + 1)2 = 1即为圆 : ( 1)2 + 2 = 1，
: ( 1)2 + 2 = 1的圆心为 (1,0)，半径为 = 1，
2 21: ( 2) + ( 2) = 4的圆心为 1(2,2)，半径为 = 2，
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则| 1| = √ (1 2)
2 + (0 2)2 = √ 5, < √ 5 < + ，即两圆相交，
将( 2)2 + ( 2)2 = 4与( 1)2 + 2 = 1相减得 + 2 2 = 0，
即两圆公共弦的方程为 + 2 2 = 0，
|1 2| 1
(1,0)到直线 + 2 2 = 0的距离为 = = ，
√ 2 2 √ 5 1 +2
2
2 2 2 2 √ 2 1 4√ 5故圆 与圆 1: ( 2) + ( 2) = 4的公共弦长为2√ = 2 1 ( ) = ； √ 5 5
(2)设 ( , )，由 (0,3)，| | = 2| |得√ 2 + ( 3)2 = 2√ 2 + 2，
即得 2 + ( + 1)2 = 4，
即 的轨迹为以 (0, 1)为圆心，2为半径的圆；
又因为 在圆 : ( )2 + ( + 1)2 = 1上，即圆 和圆 有公共点，
故2 1 ≤ | | ≤ 2 + 1，即1 ≤ √ ( 0)2 + ( 1 + 1)2 ≤ 3，即1 ≤ √ 2| | ≤ 3，
3√ 2 √ 2 √ 2 3√ 2
解得 ∈ [ , ] ∪ [ , ]，
2 2 2 2
3√ 2 √ 2 √ 2 3√ 2
即 的取值范围为[ , ] ∪ [ , ]．
2 2 2 2
16 12 16 12
18.【详解】(1)由于 ( , )， ( , )关于 轴对称，圆 的圆心在 轴的非负半轴上，
5 5 5 5
故圆 必过 , 两点，
设 ( , 0), ≥ 0，则圆的方程为( )2 + 2 = 2, > 0，
假设圆 还过点 (0, 4)，则 2 + 16 = 2，
16 12 16 2 12 2
将 ( , )代入圆的方程得( ) + ( ) = 2，
5 5 5 5
2 + 16 = 2 = 0
解{ 16 2 12 2 ，得{ ,
( ) + ( ) = 2 2 = 16
5 5
故此时圆的方程为 2 + 2 = 16，
将 (1, 4)的坐标代入得12 + ( 4)2 = 17 > 16，即所求圆不过 ，符合题意；
假设圆 还过点 (1, 4)，则(1 )2 + 16 = 2，
16 12 16 2 12 2
将 ( , )代入圆的方程得( ) + ( ) = 2，
5 5 5 5
(1 )2 + 16 = 2
5
解{ 16 2 12 2 ，得 = < 0，不合题意；
( ) + ( ) = 2 22
5 5
综上所述可知圆的方程为 2 + 2 = 16；
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16 64
(2)联立 : = 2 和 2 + 2 = 16，解得 2 = , 2 = ，
5 5
4√ 5 8√ 5 4√ 5 8√ 5
则 ( , )或 ( , )，
5 5 5 5
4√ 5 8√ 5
不妨先取 ( , )，如图，设∠ = 60 ，且此时 和圆相切，
5 5
4√ 5
设 ( , 2 ), ≥ 0, ≠ ，
5
4 8√ 3 2 2 8√ 3 8√ 15则| | = 4, | | = = ，故√ + (2 ) = ，解得 = ， sin60 3 3 15
结合圆的对称性可知，要满足题意，使得∠ = 60 ，
只需将 沿 方向向下平移，使得 到达 1位置，此时 1 1也与圆相切，
8√ 15 4√ 5 4√ 5 4√ 5 4√ 5 8√ 15
则可得 点横坐标的取值范围为[ , ) ∪ ( , ) ∪ ( , ]；
15 5 5 5 5 15
(3)圆 : 2 + 2 = 16的圆心为 (0,0)半径 = 4，
圆 : ( 4)2 + ( 3)2 = 1的圆心为 (4,3)，半径 = 1，
则| | = √ (0 4)2 + (0 3)2 = 5 = + ，故两圆外切，
则两圆有3条公切线；显然 = 4是两圆的一条公切线；
3
又过两圆公共点处的切线与两圆的连心线垂直，而 = ， 4
4
故该条公切线的斜率为 ，设其方程为4 + 3 + = 0, < 0，
3
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| |
则 = 4，解得 = 20，故此条公切线方程为4 + 3 20 = 0；
√ 42+32
设第三条公切线方程为 = + , > 0, < 0，
| |
= 4
√ 2 +1
则 ，则| | = 4|4 3 + |，则 3 = 4(4 3)或 5 = 4(4 3)，
|4 3+ | = 1
{ √
2
+1
| |
将 3 = 4(4 3)代入 = 4，即|4 3| = 3√ 2 + 1，
√ 2 +1
24 100
解得 = ， = 0(舍)，则 = ，
7 7
24 100
此时切线方程为 = ，即24 7 100 = 0；
7 7
| |
将 5 = 4(4 3)代入 = 4，即|4 3| = 5√ 2 + 1，
√ 2 +1
4
解得 = ，不合题意；
3
综上，可知切线方程为： = 4，4 + 3 20 = 0，24 7 100 = 0．
19.【详解】(1)设 ( , )，则 = ( , ), = ( , 2 ),
故 = 2 (2 ) = 3，化简可得 2 + ( 1)2 = 4，
故曲线 方程为 2 + ( 1)2 = 4
(2)由题意可知直线 , 均有斜率，且不为0，由于 ⊥ ，
1
设直线 : = , : = ，

曲线 为圆心为 (0,1)，半径 = 2的圆，
1 | |
则 (0,1)到 的距离为 = ，同理可得 (0,1)到 的距离为 0 = ，
√ 2 2 1+ √ 1+
2
1
故| | = 2√ 2 2 = 2√ 4 2 , | | = 2√
2 20 = 2√ 4 2，
1+ 1+
2 2 2
1 1 1 1
故 = | || | = × 2√ 4 × 2√2 4 2 = 2√ 4 √2 4 2 = 2√ 12 +2 2 2当 > 01+ 1+ 1+ 1+ 2(1+ )
1 1
时， + ≥ 2，当且仅当 = 1时取到等号，当 < 0时， + ≤ 2，当且仅当 = 1时取到等号，

2
1+ 1
因此| | = | + | ≥ 2，当且仅当 = ±1时取到等号，

2 2
2
2
1+ 1 (1+ ) 1
故| | = | + | ≥ 2，即 2 ≥ 4，因此0 < 2 ≤ ， 2 4(1+ )
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2
7
故√ 12 + 2 ∈ (2√ 3, ], 2 2
(1+ )
2

故 = 2√ 12 + 2 ∈ (4√ 3, 7], 2
(1+ )
(3)设直线 : = , : = ，其中 , 均不为0，
联立直线 : = 与 2 + ( 1)2 = 4可得(1 + 2) 2 2 3 = 0，
2 3
设 ( 1, 1), ( 2, 2),则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2，
1+ 1+
2 3
同理设 ( 3, 3), ( 4, 4),则 3 + 4 = 1+ 2
, 3 4 = 1+ 2
，

则直线 : = 1 4 (
1
) + 1，
1 4
( )
令 = 0，则 = 1 1 4 + 1 4 1 4 1 4 1 41 = ，故 = ， 1 4

1 4 1 4

同理可得 3 2 3 2 = ， 3 2

则 + = 1
4 1 4 ( )( )+( )( )
+
3 2 3 2 = 1 4 1 4 3 2 3 2 3 2 1 4
1 4 3 2 ( 1 4)( 3 2)
( 1 4 1 4)( 3 2) + ( 3 2 3 2)( 1 4)
= 1 3 4 1 2 4 1 4 3 + 1 2 4 + 1 3 2 3 4 2 1 2 3 + 4 2 3
= 2 2 2 21 3 4 1 2 4 1 4 3 + 1 2 4 + 1 3 2 3 4 2 1 2 3
+ 4 2 3
3 3 3 3 3 3
= 1
2 24 1 + +
2
1 + 2 1 + 2 1 + 2
4 3 2
1 + 2 1 + 2 1 + 2
3 3
2 +
1 + 2
3 1 + 2 2
3 3 3 2 3 2
= ( + ) + ( + ) + ( +
1+ 2 1 2 2 4 3 2 4 3
) + (
1+ 2 1
+ 2)
1 + 1+
3 2 3 2 3 2 2 3 2 2
= × + × + × + ×
1+ 2 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1+ 2 1 + 2
2 2
6 6 2+6 +6 2
= 2 = 0，
(1+ 2)(1+ )
因此( 1 4 1 4)( 3 2) + ( 3 2 3 2)( 1 4) = 0，故 + = 0，
因此| | = | |，得证．
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