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4.1.2 指数函数的性质与图象
第1课时 指数函数的性质与图象
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法；
2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质；
3.掌握指数函数的图象与性质，能借助指数函数的性质比较大小.
知识点一 指数函数的定义
一般地,函数称为__________,其中是常数,且 .
注意：指数函数的系数为1.
指数函数
【诊断分析】 指数函数中为什么规定且
解:①如果,那么当时,恒等于0,没有研究的必要，当时, 无意
义;②如果,例如,那么当, ,…时,该函数无意义;③如果
,那么 是一个常数,没有研究的价值.为了避免上述各种情况的出现,所以规
定且 .
知识点二 指数函数的图象与性质
函数且 的图象和性质
底数
图象 _________________________________ ________________________________
性质 定义域
值域
过定点 ______
单调性 在 上是____函数 在 上是____函数
函数值的 变化 当时， ______，当 时， ________ 当时， ________，
当时， ______
增
减
知识点三 底数与指数函数图象的关系
1.由指数函数的图象与直线的交点可知，在 轴右侧，图象从
____到____相应的底数由小变大.
下
上
2.由指数函数的图象与直线的交点可知，在 轴左侧，图
象从下到上相应的底数__________.
如图所示,指数函数底数的大小关系为 .
由大变小
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）指数函数的图象一定在 轴的上方.( )
√
（2）函数在 上是减函数.( )
√
（3）函数和的图象关于 轴对称.( )
×
探究点一 指数函数定义的应用
例1（1） （多选题）下列各函数中是指数函数的是 ( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 根据指数函数的定义知A，D中的函数是指数函数，故选 .
（2）[2023·吉林长春外国语学校高一期末] 若函数
是指数函数，则 ___.
3
[解析] 若函数是指数函数，则解得 .
变式（1） 指数函数的图象经过点，则 ( )
D
A. B. C. D.9
[解析] 设且，因为函数的图象过点 ，
所以,解得,所以,所以 .故选D.
（2）已知函数是指数函数， ，
则是 的( )
C
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若函数是指数函数，则，且， ，解得
.若,则或 .
所以是 的必要不充分条件.故选C.
［素养小结］
判断一个函数是否为指数函数的方法：
（1）底数的值是否符合要求；
（2） 前的系数是否为1；
（3）指数是否符合要求.
探究点二 指数函数图象及应用
例2（1） 如图所示的是指数函数 ，
，，的图象，则， ，
， 与1的大小关系是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 在 轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象
的升降知，，所以 .故选B.
（2）[2023·重庆十八中高一月考]函数
的图象如图所示，则
的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据函数的图象可知 ，由指
数函数的图象及性质可知，单调递增，且与 轴的交点坐标为
，又，所以 .故选C.
（3）已知函数的图象如图所示，其中， 为常
数，则下列结论正确的是( )
D
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由函数的图象可知，函数 在
定义域上单调递减，所以.易知函数的图象是由 的图象
向左平移所得，所以，所以 .故选D.
变式（1） 已知，，则函数 的图象必定不经过 ( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] ,的图象经过第一、二象限,经过点,且在
上是减函数.的图象可看成是把的图象向下平移 个
单位长度得到的,故函数 的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象
限.故选A.
（2）在同一个平面直角坐标系中，二次函数与指数函数
的图象可能为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据指数函数可知,同号且，， ，则二次函
数的图象的对称轴方程为 ，排除B，D；
因为二次函数 的图象过坐标原点，所以排除A.故选C.
（3）若函数 的图象如图所示，
则( )
D
A., B.,
C., D.,
[解析] 令，可得或 ，
结合的图象可得，则 .
由函数的图象得，当时， ，
当时，因为，所以 ，所以
，即，可得 .故选D.
［素养小结］
（1）无论指数函数的底数如何变化，指数函数且 的图象
与直线均相交于点，由图象可知,在 轴右侧，图象从下到上相应的底
数由小变大.
（2）处理指数函数的图象的方法：①抓住特殊点，指数函数图象过点 ；②
巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.
探究点三 利用指数函数的单调性比较大小
例3 比较下列各组数的大小：
①___ ；
[解析] 因为在上为增函数，且，所以 .
②___ ；
[解析] 因为在上为减函数，且，所以
③___ ；
[解析] 因为，，所以 .
④___ .
[解析] 因为，所以.因为在 上为减
函数，且，所以，所以 .
变式 将下列各数按从小到大排序：,,,， .
解:因为，，，， ，且
，
所以 .
［素养小结］
比较幂的大小的方法：
（1）底数相同的直接利用单调性;
（2）底数、指数都不同的把1作为中间量比较;
（3）底数不同指数相同的借助图象间的关系比较.
拓展 （多选题）已知实数,满足等式 ，则下列关系式中可能成立的
是( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 在同一平面直角坐标系中，作出函数 与函
数的图象，如图所示.当 时，根据图象
得，故A正确；
当 时，根据图象得，故D正确；
当 时，根据图象得，故B正确.故选 .
1.已知函数是指数函数，则 ( )
C
A.2 B.3 C.9 D.16
[解析] 因为函数是指数函数，所以，且, ，
解得，所以，所以 .
2.指数函数与 的图象如图所示，则 ( )
C
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 结合指数函数的图象知,, .故选C.
3.已知,,,则,, 的大小关系为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设 ,可知在 上单调递减,
，
又 ,
， .
设 ,可知在 上单调递增,
，
.故选C.
4.“”是“ ”的( )
D
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 取,，则，但，故充分性不成立；取 ,
，则，但 ，故必要性不成立.故选D.
5.若且，则函数 的图象恒过的定点坐标为______.
[解析] 令，得，因为 ，所以函数
的图象恒过定点 .
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合 且
这一结构形式，即的系数是1，指数是 且系数为1.
例1 下列函数是指数函数的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 对于A,的指数不是 ,不是指数函数；
对于B， 的系数不为1，不是指数函数；
对于C,是底数为 的指数函数；
对于D, 的底数不满足大于0且不等于1，不是指数函数.故选C.
2.利用图象变换法作图
利用图象变换法作图时要注意：（1）选择哪个指数函数作为起始函数；（2）
平移的方向及单位.
例2 画出函数 的图象，并根据图象判断此函数图象的对称性以及函
数的单调性和值域.
解：函数的解析式为
其图象是由两部分组成的，一是把函数 的图
象向右平移1个单位，取 的部分，二是把函数
的图象向右平移1个单位，取 的部分，
连接处的公共点为 ，如图所示.
由图象可知：
①对称性：函数图象的对称轴为直线 ；
②单调性：函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增；
③值域：函数的值域为 .4.1.2 指数函数的性质与图象
第1课时 指数函数的性质与图象
【课前预习】
知识点一
指数函数
诊断分析
解:①如果a=0,那么当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要,当x≤0时,ax无意义;②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,那么当x=,,…时,该函数无意义;③如果a=1,那么1x是一个常数,没有研究的价值.为了避免上述各种情况的出现,所以规定a>0且a≠1.
知识点二
(0,1) 增 减 (0,1) (1,+∞) (1,+∞) (0,1)
知识点三
1.下 上 2.由大变小
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)×
【课中探究】
例1 (1)AD (2)3 [解析] (1)根据指数函数的定义知A,D中的函数是指数函数,故选AD.
(2)若函数f(x)是指数函数,则解得a=3.
变式 (1)D (2)C [解析] (1)设f(x)=ax(a>0且a≠1),因为函数f(x)=ax的图象过点P,所以a3=,解得a=,所以f(x)=,所以f(-2)==9.故选D.
(2)若函数f(x)是指数函数,则m2-3m+3=1,且m>0,m≠1,解得m=2.若m2-3m+2=0,则m=1或m=2.
所以q是p的必要不充分条件.故选C.
例2 (1)B (2)C (3)D [解析] (1)在y轴的右侧,指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降知c>d>1,b
(2)根据函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象可知a>1>b>0,由指数函数的图象及性质可知,g(x)=ax-b单调递增,且与y轴的交点坐标为(0,1-b),又1>b>0,所以1-b∈(0,1).故选C.
(3)由函数f(x)=ax-b的图象可知,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以00,所以b<0.故选D.
变式 (1)A (2)C (3)D [解析] (1)∵01)个单位长度得到的,故函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故选A.
(2)根据指数函数y=可知a,b同号且a≠0,b≠0,a≠b,则二次函数y=ax2+bx的图象的对称轴方程为x=-<0,排除B,D;因为二次函数y=ax2+bx的图象过坐标原点,所以排除A.故选C.
(3)令f(x)=0,可得x=0或x=b-1,
结合f(x)的图象可得b-1>0,则b>1.
由函数f(x)的图象得,当x<0时,f(x)>0,
当x<0时,因为b>1,所以x-b+1<0,所以ax-1<0,即ax<1,可得a>1.故选D.
例3 ①< ②< ③> ④< [解析] ①因为y=1.8x在R上为增函数,且2.2<3.2,所以1.82.2<1.83.2.
②因为y=0.3x在R上为减函数,且-0.4>-0.6,所以0.3-0.4<0.3-0.6.
③因为2.10.3>2.10=1,0.93.1<0.90=1,所以2.10.3>0.93.1.
④因为=<=1,所以<.因为y=在R上为减函数,且>,所以<,所以<.
变式 解:因为<0,0<<1,=1,>1,>1,且=>,
所以<<<<.
拓展 ABD [解析] 在同一平面直角坐标系中,作出函数y=2x与函数y=3x的图象,如图所示.当2a=3b>1时,根据图象得0【课堂评价】
1.C [解析] 因为函数f(x)=(a-2)ax是指数函数,所以a-2=1,且a>0,a≠1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(2)=32=9.
2.C [解析] 结合指数函数的图象知,b>1,03.C [解析] 设f(x)= ,可知f(x)在R上单调递减,∴f又a===f(0.3),c==f,∴c设g(x)=1.1x ,可知g(x)在R上单调递增,
∴b=g(0.7)>g(0)=1,∴b>a>c.故选C.
4.D [解析] 取a=-1,b=1,则>,但<,故充分性不成立;取a=1,b=-1,则>,但<,故必要性不成立.故选D.
5.(4,4) [解析] 令x-4=0,得x=4,因为f(4)=a0+3=4,所以函数f(x)=ax-4+3的图象恒过定点(4,4).4.1.2 指数函数的性质与图象
第1课时 指数函数的性质与图象
【学习目标】
1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法;
2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质;
3.掌握指数函数的图象与性质,能借助指数函数的性质比较大小.
◆ 知识点一 指数函数的定义
一般地,函数y=ax称为 ,其中a是常数,a>0且a≠1.
注意:指数函数的系数为1.
【诊断分析】 指数函数中为什么规定a>0且a≠1
◆ 知识点二 指数函数的图象与性质
函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质
底数 a>1 0图象
性 质 定义域 R
值域 (0,+∞)
过定点
单调性 在R上是 函数 在R上是 函数
函数值的 变化 当x<0时,y∈ ,当x>0时,y∈ 当x<0时,y∈ ,当x>0时,y∈
◆ 知识点三 底数与指数函数图象的关系
1.由指数函数y=ax的图象与直线x=1的交点(1,a)可知,在y轴右侧,图象从 到 相应的底数由小变大.
2.由指数函数y=ax的图象与直线x=-1的交点可知,在y轴左侧,图象从下到上相应的底数 .
如图所示,指数函数底数的大小关系为0【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)指数函数的图象一定在x轴的上方. ( )
(2)函数y=在R上是减函数. ( )
(3)函数y=和y=2x的图象关于x轴对称.( )
◆ 探究点一 指数函数定义的应用
例1 (1)(多选题)下列各函数中是指数函数的是 ( )
A.y=3x B.y=-3x
C.y=(-3)x D.y=
(2)[2023·吉林长春外国语学校高一期末] 若函数f(x)=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数,则a= .
变式 (1)指数函数f(x)的图象经过点P,则f(-2)= ( )
A. B.
C. D.9
(2)已知p:函数f(x)=(m2-3m+3)mx是指数函数,q:m2-3m+2=0,则q是p的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
[素养小结]
判断一个函数是否为指数函数的方法:
(1)底数的值是否符合要求;
(2)ax前的系数是否为1;
(3)指数是否符合要求.
◆ 探究点二 指数函数图象及应用
例2 (1)如图所示的是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.aB.bC.1D.a(2)[2023·重庆十八中高一月考] 函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象如图所示,则g(x)=ax-b的图象可能是( )
A B
C D
(3)已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0变式 (1)已知0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)在同一个平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象可能为( )
A B C D
(3)若函数f(x)=(ax-1)(x-b+1)的图象如图所示,则 ( )
A.0B.01
C.a>1,b<1
D.a>1,b>1
[素养小结]
(1)无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与直线x=1均相交于点(1,a),由图象可知,在y轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大.
(2)处理指数函数的图象的方法:①抓住特殊点,指数函数图象过点(0,1);②巧用图象平移变换;③注意函数单调性的影响.
◆ 探究点三 利用指数函数的单调性比较大小
例3 比较下列各组数的大小:
①1.82.2 1.83.2;②0.3-0.4 0.3-0.6;
③2.10.3 0.93.1;④ .
变式 将下列各数按从小到大排序:,,,,.
[素养小结]
比较幂的大小的方法:
(1)底数相同的直接利用单调性;
(2)底数、指数都不同的把1作为中间量比较;
(3)底数不同指数相同的借助图象间的关系比较.
拓展 (多选题)已知实数a,b满足等式2a=3b,则下列关系式中可能成立的是 ( )
A.0C.b1.已知函数f(x)=(a-2)ax是指数函数,则f(2)= ( )
A.2 B.3 C.9 D.16
2.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示,则 ( )
A.a<0,b<0
B.a<0,b>0
C.01
D.03.已知a=,b=1.10.7,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.b>a>c D.a>c>b
4.“>”是“>”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若a>0且a≠1,则函数f(x)=ax-4+3的图象恒过的定点坐标为 . 4.1.2 指数函数的性质与图象
第1课时 指数函数的性质与图象
1.C [解析] 因为函数y=(m2-2m-2)·mx是指数函数,所以解得m=3.故选C.
2.D [解析] 因为y=ax的图象一定过点(0,1),将y=ax的图象向上平移1个单位得到函数y=ax+1的图象,所以函数y=ax+1的图象必过点(0,2).
3.D [解析] 易知函数y=3x与y=-3-x的图象关于原点对称,故选D.
4.D [解析] 当00,所以y=1+在区间(-∞,1)和区间(1,+∞)上单调递减,且当x=0时,y=a>0,故A,B错误;当a>1时,函数y=ax在R上为增函数,此时1-a<0,所以y=1+在区间(-∞,1)和区间(1,+∞)上单调递增,且当x=0时,y=a>1,故C错误,D正确.故选D.
5.B [解析] 因为c=a0=1,a=<1,b==>1,所以a6.B [解析] 由题易知,当x<0时,f(x)单调递减,所以≥0,解得a≥0.又函数f(x)在R上单调,所以当x≥0时,f(x)单调递减,且0-0+a≥(4-2a)0,则有解得7.D [解析] 函数f(x)=|2x-1|在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,因为af(c)>f(b),所以a<0,c>0,b无法确定正负,故ac<0,故A,B错误,D正确.因为a<0,所以-a>0,则f(-a)-f(a)=2-a-1-(1-2a)=2-a+2a-2≥2-2=0,当且仅当a=0时等号成立,又a≠0,所以等号无法取到,因此f(-a)>f(a),又f(a)>f(c),所以f(-a)>f(c),因为-a>0,c>0,f(x)=|2x-1|在(0,+∞)上单调递增,所以-a>c,所以2-a>2c,故C错误.故选D.
8.ABD [解析] 对于A,∵x-1∈R,∴x∈R,故A正确;对于B,∵a>1,∴y=ax2+1≥1,∴函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞),故B正确;对于C,当0an,∴m9.BCD [解析] 由题意可得aa-2+2=3,解得a=2,故A错误;因为a=2,所以f(x)=2x+1+2,所以f(1)=22+2=6,故B正确;由f(x)=2x+1+2,易知f(x)为R上的增函数,故C正确;令f(x)=2x+1+2>10,解得x>2,故D正确.故选BCD.
10.a1,故a【技巧】 关于指数的比较大小问题,当底数不同时通常借助常数1间接比较大小.
11.-3 [解析] 由已知得f(1)=2.∵当x>0时,f(x)=2x>1,且f(a)+f(1)=0,∴f(a)=-2且a≤0,∴a+1=-2,解得a=-3.
12. [解析] 易知函数y=6a-x在(0,+∞)上的取值范围为(-∞,6a).要使f(x)=(a>0且a≠1)的值域为R,需y=ax在(-∞,0]上为减函数且6a≥1,即解得≤a<1.故实数a的取值范围是.
13.证明:任取x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)=(-)-(-)=(-)[1-(+)].
∵x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)故f(x)在(-∞,-1]上单调递增.
14.解:(1)由2x-1≠0,得x≠0,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于坐标原点对称,
又f(-x)=+=+=+=-1++=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
15.BD [解析] 若函数f(x)为增函数,则解得a>3,故A错误,B正确.若函数f(x)为减函数,则解得016.解:①当a>1时,f(x)在[1,2]上单调递增,则M=f(2)=a2,N=f(1)=a;
②当0(1)∵M+N=6,∴a2+a=6,解得a=2或a=-3(舍去).
(2)∵M=2N,∴当a>1时,a2=2a,解得a=2或a=0(舍去);
当0综上所述,a=2或a=.4.1.2 指数函数的性质与图象
第1课时 指数函数的性质与图象
一、选择题
1.[2023·吉林长春外国语学校高一期末] 若函数y=(m2-2m-2)·mx是指数函数,则实数m的值为( )
A.-1或3 B.-1
C.3 D.
2.函数y=ax+1(a>0且a≠1)的图象必过点( )
A.(0,1) B.(1,0)
C.(2,1) D.(0,2)
3.函数y=3x与y=-3-x的图象关于 ( )
A.x轴对称
B.y轴对称
C.直线y=x对称
D.原点对称
4.[2023·上海南汇中学高一期末] 在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=1+的图象可能是 ( )
A B
C D
5.已知a=,b=,c=a0,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.bC.c6.若函数f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.[0,2) B.
C.[1,2] D.[0,1]
7.[2024·河南漯河高中高一期末] 已知函数f(x)=|2x-1|,若af(c)>f(b),则下列结论中一定成立的是 ( )
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b<0,c>0
C.2-a<2c
D.ac<0
8.(多选题)下列结论中正确的是 ( )
A.函数y=2x-1的定义域为R
B.函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞)
C.若am>an(a>0,a≠1),则m>n
D.函数f(x)=2x·3x为指数函数
9.(多选题)已知函数f(x)=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象过定点(a-3,3),则 ( )
A.a=3
B.f(1)=6
C.f(x)为R上的增函数
D.f(x)>10的解集为(2,+∞)
二、填空题
★10.已知a=3-1.1,b=π0,c=30.9,则a,b,c的大小关系为 .
11.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为 .
12.已知函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=2x-4x,求证:f(x)在(-∞,-1]上单调递增.
14.已知函数f(x)=+.
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性.
15.(多选题)[2023·重庆沙坪坝一中高一期末] 已知f(x)=是定义在(-1,+∞)上的函数,则下列说法正确的是( )
A.若f(x)为增函数,则a的取值范围为
B.若f(x)为增函数,则a的取值范围为(3,+∞)
C.若f(x)为减函数,则a的取值范围为
D.若f(x)为减函数,则a的取值范围为(0,1)
16.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值为M,最小值为N.
(1)若M+N=6,求实数a的值;
(2)若M=2N,求实数a的值.