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4.1.2 指数函数的性质与图象
第2课时 指数函数的性质与图象的应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域；
2.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断；
3.掌握指数函数在现实生活中的应用;
4.掌握指数函数的综合性问题.
知识点一 与指数函数有关的复合函数
函数且的定义域、值域可转化为函数 进行研究，其
中_____.若的定义域为，则的定义域为___.函数 的值
域要根据的值域及函数 的单调性研究.
【诊断分析】 函数 的定义域是___，值域是________.
知识点二 指数函数且 的单调性的应用
1. 的取值与单调性
当时,指数函数在上单调递减，若,则___ ;
当时,指数函数在上单调递增，若,则___ .
2.单调性的应用——解指数不等式
对形如 的不等式的讨论：
当时， ____________；
当时， ____________.
【诊断分析】
（1）不等式 的解集是__________.
（2）若且，则实数 的取值范围是__________.
探究点一 指数型函数的定义域和值域
例1 求下列函数的定义域和值域：
（1） ；
解：要使函数有意义，则,得,解得 ,故该函数的定义域为
.
当时，,则,则 ,故该函数的值域为
.
（2） ；
解：要使函数有意义，则,得,即,故该函数的定义域为 .当
时，,故该函数的值域为 .
（3） ；
解： ,则该函数的定义域
为 .
设,则,则,故该函数的值域为 .
（4） .
解：要使函数有意义,则,解得,所以函数 的定义域为
.因为,所以,则函数的值域为 且
.
变式（1） [2023·山东滨州北镇中学高一期末]若函数 的
定义域为，则实数 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得对任意恒成立，即 对任
意恒成立，因为在上单调递增，所以 ，即
对任意恒成立，则，解得 ，
所以实数的取值范围为 .故选B.
（2）[2023·江西新余高一期末]已知函数且 在区
间上的最大值是14，则 的值为( )
D
A.3 B. C. D.3或
[解析] 令，则.
当 时，由，得，因为函数在 上单
调递增，所以，解得（舍去）.
当 时，由，得，因为函数在 上
单调递增，所以，解得（舍去）.
综上，或 .故选D.
［素养小结］
函数 的定义域与值域的求法：
（1）形如的函数的定义域就是 的定义域.
（2）形如的值域，应先求出的值域，再由函数 的单调性求
出的值域.若的取值范围不确定，则需对 进行分类讨论.
探究点二 简单的指数不等式的解法
例2（1） 不等式 的解集为________________.
[解析] 因为，所以,因为在 上是增函数，所以
，解得.故原不等式的解集为 .
（2）已知且，求 的取值范围.
解：①当时，因为，所以，解得
当时，因为，所以，解得 .
综上所述，当时，的取值范围是；
当时， 的取值范围是 .
变式（1） 不等式 的解集为__________________.
[解析] 因为，所以，又在 上单调递增，
所以，即，解得 或
，所以原不等式的解集为 .
（2）已知，则 的取值范围是_________.
[解析] ，在 上是增函数，
又 ,，解得.故 的取值范
围是 .
［素养小结］
简单指数型不等式的解法：
（1）指数型不等式且 的解法：
当时，可化为 ；
当时，可化为 .
（2）当不等式的形式不是同底指数式的形式时，要先进行变形将不等式两边的
底数进行统一，此时常用到以下结论：且 ，
且 等.
探究点三 指数型函数的单调性
例3（1） [2024·云南昆明高一期末]函数 的单调递增区间为 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 令，易知在 上单调递减，在
上单调递增，又在 上单调递增，所以由复合函数的单调性可知，
函数的单调递增区间为 .故选B.
（2）函数 的单调递增区间是__________.
[解析] 设，，则在上单调递减，在
上单调递增.令，得，所以当 时，
，即，所以 ，所以
的单调递增区间是 .
变式 若函数在区间 上是减函数，请写出一个符合条件的区间
______________________.
（答案不唯一）
[解析] 设，则函数可以看成由与 复
合而成.
因为在上是减函数，所以要使函数在区间 上是减函数，
则函数在区间 上是增函数.
易知函数在区间上是增函数，所以 即可.
［素养小结］
与指数型函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论：
（1）求解步骤：①求定义域，依据题意明确研究范围；②拆分，把原函数拆分
为几个基本函数；③定性质，分层逐一求单调性；④下结论，根据复合函数的
单调性法则，即“同增异减”，得出原函数的单调性.
（2）一般结论：形如且的函数的单调性，令 ，
，若两个函数与的单调性相同，则函数 在
上是增函数；若两者的单调性相异（即一增一减），则函数 在
上是减函数.
探究点四 指数函数的实际应用
例4 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了
危险状态，经抢修，排气扇恢复正常.排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度
为（为浓度单位，一个 表示百万分之一），再过4分钟又测得车
库内的一氧化碳浓度为.由检验知该地下车库一氧化碳浓度 与排
气时间（分钟）存在函数关系（， 为常数）.
（1）求， 的值；
解：由题知函数（,为常数）的图象经过点, ,所以
解得
（2）若空气中一氧化碳浓度不高于 为正常，问至少排气多少分钟，这
个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
解：由（1）得,令,解得 .
故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
变式 （多选题）如图，某池塘里浮萍的面积
（单位：）与时间 （单位：月）的关系为
且， 则下列说法正确的是( )
BD
A.浮萍每月的增长率为2
B.第6个月时，浮萍的面积为
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.若浮萍面积长到,, 所经过的时间分别是
,,，则
[解析] 由题图可知，函数的图象经过点，则，得 ，所以
，因为 不是常数，所以浮萍每个月的面积是上个月的2倍，
则每个月的增长率为，故A错误，C错误；
当时， ，故B正确；
若浮萍面积长到,,所经过的时间分别是,, ，
则，，，则 ，
由指数函数的单调性知，故D正确.故选 .
［素养小结］
解决指数函数的应用问题的步骤：
（1）审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息；
（2）建模：根据已知条件，列出指数函数的关系式；
（3）解模：运用数学知识解决问题；
（4）回归：还原为实际问题，归纳得出结论.
1.[2023·四川成都高一期中]函数 的定义域为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 要使函数有意义，则解得且 .故选D.
2.已知指数函数单调递减，则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 若指数函数单调递减，则，得，所以实数
的取值范围是 .故选C.
3.已知函数且,的值域是, ，则实数
的值为( )
C
A.3 B. C.3或 D.或
[解析] 当时，函数在 上单调递减，值域是
,所以即 解得；
当 时，函数在上单调递增，值域是,
所以 即 解得.综上所述，或 .故选C.
4.若函数在区间上单调递增，则实数 的取值范围为
________.
[解析] 因为函数在 上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，函数
在区间上单调递减.因为函数 的图象的对称轴
为直线，且函数的图象开口向下，所以 ，解得
.故实数的取值范围为 .
5.已知,当时，恒成立，则实数 的取
值范围是________.
[解析] 由题知，即 恒成立,因为
，当且仅当，即 时，等号成立,所以
，即.故实数的取值范围是 .
1.换元法
对于与指数函数复合的函数，求其值域时一般考虑换元法，即通过换元将复合
函数转化为简单函数，再利用简单函数的单调性求其值域.
例1 求函数 的值域.
解：，令,则 ，
所以 ，
当时，取得最小值，所以函数的值域为， .
例2 [2023·安徽马鞍山二中高一月考]函数 的单调递增区间为
( )
D
A., B. C., D.,
[解析] 令，解得， 函数 的定
义域为.易知在,上单调递增，在, 上单调递减,
在,上单调递增，在,上单调递减, 函数 在
定义域上为减函数, 函数的单调递增区间为, .故选D.
2.复合函数法
对于与指数函数相关的复合函数的单调性，一般用复合函数法判断其单调性.
3.中间量法
当两个式子底数不同且指数也不同时，常将它们都与一个中间量进行比较，常
用的中间量有0，1，原数据同底数不同指数或者同指数不同底数的一些数据等.
例3 比较与 的大小.
解：方法一：， ，
.
方法二：， .第2课时 指数函数的性质与图象的应用
【课前预习】
知识点一
f(x) R
诊断分析
R [3,+∞)
知识点二
1.> < 2.f(x)
g(x)
诊断分析
(1)(-4,+∞) (2)0【课中探究】
例1 解:(1)要使函数有意义,则1-3x≥0,得3x≤1,解得x≤0,故该函数的定义域为(-∞,0].
当x≤0时,0<3x≤1,则0≤1-3x<1,则0≤<1,故该函数的值域为[0,1).
(2)要使函数有意义,则-|x|≥0,得|x|≤0,即x=0,故该函数的定义域为{0}.当x=0时,y==1,故该函数的值域为{1}.
(3)y=4x+2x+1+2=(2x)2+2×2x+2=(2x+1)2+1,则该函数的定义域为R.
设t=2x,则t>0,则y=(t+1)2+1>1+1=2,故该函数的值域为(2,+∞).
(4)要使函数有意义,则x-4≠0,解得x≠4,所以函数y=的定义域为{x∈R|x≠4}.因为≠0,所以≠1,则函数y=的值域为{y|y>0且y≠1}.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)由题意可得-2≥0对任意x∈R恒成立,即≥2对任意x∈R恒成立,因为y=2x在R上单调递增,所以x2-2ax+3≥1,即x2-2ax+2≥0对任意x∈R恒成立,则Δ=4a2-8≤0,解得-≤a≤,所以实数a的取值范围为[-,].故选B.
(2)令t=ax,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,由x∈[-1,1],得t∈,因为函数y=(t+1)2-2在上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(a=-5舍去).当0例2 (1){x|-1(2)解:①当a>1时,因为a-5x>a3x+12,所以-5x>3x+12,解得x<-.②当0a3x+12,所以-5x<3x+12,解得x>-.综上所述,当a>1时,x的取值范围是;当0变式 (1)∪[1,+∞) (2)
[解析] (1)因为≤33x-4,所以≤33x-4,又y=3x在R上单调递增,所以1-2x2≤3x-4,即2x2+3x-5=(x-1)(2x+5)≥0,解得x≤-或x≥1,所以原不等式的解集为∪[1,+∞).
(2)∵a2-a+2=+>1,∴y=(a2-a+2)x在R上是增函数,又(a2-a+2)2x>(a2-a+2)1-3x ,∴2x>1-3x,解得x>.故x的取值范围是.
例3 (1)B (2)[-2,+∞) [解析] (1)令u=x(x-2)=x2-2x,易知u=x2-2x在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又y=3u在R上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,函数f(x)=3x(x-2)的单调递增区间为(1,+∞).故选B.
(2)设t=,t>0,则y=t2-8t+17在(0,4]上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.令≤4,得x≥-2,所以当-2≤x1,即4≥t1>t2,所以-8t1+17<-8t2+17,所以y=-8·+17的单调递增区间是[-2,+∞).
变式 (-∞,0](答案不唯一) [解析] 设t=2-3x2,则函数y=可以看成由y=与t=2-3x2复合而成.
因为y=在R上是减函数,所以要使函数y=在区间D上是减函数,
则函数t=2-3x2在区间D上是增函数.
易知函数t=2-3x2在区间(-∞,0]上是增函数,
所以D (-∞,0]即可.
例4 解:(1)由题知函数y=c(c,m为常数)的图象经过点(4,64),(8,32),所以解得
(2)由(1)得y=128,令128≤0.5,解得t≥32.
故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
变式 BD [解析] 由题图可知,函数y=at的图象经过点(1,2),则a1=2,得a=2,所以y=2t,因为2t+1-2t=2t不是常数,所以浮萍每个月的面积是上个月的2倍,则每个月的增长率为100%,故A错误,C错误;当t=6时,y=26=64(m2),故B正确;若浮萍面积长到3 m2,5 m2,15 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则=3,=5,=15,则·==3×5=15=,由指数函数的单调性知t1+t2=t3,故D正确.故选BD.
【课堂评价】
1.D [解析] 要使函数有意义,则解得x≥2且x≠5.故选D.
2.C [解析] 若指数函数y=单调递减,则0<<1,得03.C [解析] 当01时,函数y=ax-2在[-1,1]上单调递增,值域是[a-1-2,a-2],所以即 解得a=3.综上所述,a=或a=3.故选C.
4. [解析] 因为函数y=在R上单调递减,所以由复合函数的单调性可知,函数y=-x2+4ax在区间(1,2)上单调递减.因为函数y=-x2+4ax的图象的对称轴为直线x=2a,且函数y=-x2+4ax的图象开口向下,所以2a≤1,解得a≤.故实数a的取值范围为.
5.(-∞,5) [解析] 由题知f(x)=32x-(k+1)3x+9>0,即k+1<3x+恒成立,因为3x+≥2=6,当且仅当3x=,即x=1时,等号成立,所以k+1<6,即k<5.故实数k的取值范围是(-∞,5).第2课时 指数函数的性质与图象的应用
【学习目标】
1.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域;
2.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断;
3.掌握指数函数在现实生活中的应用;
4.掌握指数函数的综合性问题.
◆ 知识点一 与指数函数有关的复合函数
函数y=af(x)(a>0且a≠1)的定义域、值域可转化为函数y=at进行研究,其中t= .若f(x)的定义域为R,则y=af(x)的定义域为 .函数y=af(x)的值域要根据f(x)的值域及函数y=at的单调性研究.
【诊断分析】 函数y=的定义域是 ,值域是 .
◆ 知识点二 指数函数y=ax(a>0且a≠1)的单调性的应用
1.a的取值与单调性
当0当a>1时,指数函数y=ax在R上单调递增,若x12.单调性的应用——解指数不等式
对形如af(x)>ag(x)的不等式的讨论:
当0ag(x) ;
当a>1时,af(x)>ag(x) .
【诊断分析】 (1)不等式22x+3>的解集是 .
(2)若a30且a≠1),则实数a的取值范围是 .
◆ 探究点一 指数型函数的定义域和值域
例1 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;(2)y=;
(3)y=4x+2x+1+2;(4)y=.
变式 (1)[2023·山东滨州北镇中学高一期末] 若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围为 ( )
A.[-1,0] B.[-,]
C.(0,] D.R
(2)[2023·江西新余高一期末] 已知函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为 ( )
A.3 B.
C.-5 D.3或
[素养小结]
函数y=af(x)的定义域与值域的求法:
(1)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)形如y=af(x)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数y=ax的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
◆ 探究点二 简单的指数不等式的解法
例2 (1)不等式<4的解集为 .
(2)已知a-5x>a3x+12(a>0且a≠1),求x的取值范围.
变式 (1)不等式≤33x-4的解集为 .
(2)已知(a2-a+2)2x>(a2-a+2,则x的取值范围是 .
[素养小结]
简单指数型不等式的解法:
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)的解法:
当a>1时,可化为f(x)>g(x);
当0(2)当不等式的形式不是同底指数式的形式时,要先进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下结论:1=a0(a>0且a≠1),a-x=(a>0且a≠1)等.
◆ 探究点三 指数型函数的单调性
例3 (1)[2024·云南昆明高一期末] 函数f(x)=3x(x-2)的单调递增区间为 ( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.R D.(-∞,1)
(2)函数y=-8·+17的单调递增区间是 .
变式 若函数y=在区间D上是减函数,请写出一个符合条件的区间D= .
[素养小结]
与指数型函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论:
(1)求解步骤:①求定义域,依据题意明确研究范围;②拆分,把原函数拆分为几个基本函数;③定性质,分层逐一求单调性;④下结论,根据复合函数的单调性法则,即“同增异减”,得出原函数的单调性.
(2)一般结论:形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的单调性,令u=f(x),x∈[m,n],若两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,则函数y=af(x)在[m,n]上是增函数;若两者的单调性相异(即一增一减),则函数y=af(x)在[m,n]上是减函数.
◆ 探究点四 指数函数的实际应用
例4 某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修,排气扇恢复正常.排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,一个ppm表示百万分之一),再过4分钟又测得车库内的一氧化碳浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)存在函数关系y=c(c,m为常数).
(1)求c,m的值;
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态
变式 (多选题)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at(a>0且a≠1),则下列说法正确的是 ( )
A.浮萍每月的增长率为2
B.第6个月时,浮萍的面积为64 m2
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.若浮萍面积长到3 m2,5 m2,15 m2所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3
[素养小结]
解决指数函数的应用问题的步骤:
(1)审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息;
(2)建模:根据已知条件,列出指数函数的关系式;
(3)解模:运用数学知识解决问题;
(4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论.
1.[2023·四川成都高一期中] 函数f(x)=的定义域为( )
A.(-∞,2]
B.(-∞,5)∪(5,+∞)
C.[2,+∞)
D.[2,5)∪(5,+∞)
2.已知指数函数y=单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(-∞,2)
C.(0,2) D.(-2,0)
3.已知函数y=ax-2(a>0且a≠1,-1≤x≤1)的值域是-,1,则实数a的值为 ( )
A.3 B.
C.3或 D.或
4.若函数f(x)=在区间(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围为 .
5.已知f(x)=32x-(k+1)3x+9, 当x∈R时,f(x)>0恒成立,则实数k的取值范围是 . 第2课时 指数函数的性质与图象的应用
1.A [解析] 由题意得,自变量x应满足解得-32.A [解析] 原不等式即34x-2<,可得4x-2<,解得x<.故选A.
3.B [解析] 函数y=的定义域为[-1,3],设t=,∵t=在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,y=2t在定义域上单调递增,∴y=的单调递增区间为[-1,1].故选B.
4.D [解析] 根据题意,当x>0时,(a2-1)x>1,则a2-1>1,可得|a|>.故选D.
5.A [解析] 由题意知,y=的图象与直线y=k有两个不同的交点,函数y==的图象如图所示,由图知06.A [解析] 依题意得,m·-=m·-,即m(-)=-.因为x0≠0,所以-≠0,所以m=,又因为+>2,显然m>0,所以07.B [解析] 令g(x)=f(x)-2=3x-(x∈R),则g(-x)=3-x-=-3x=-g(x),
所以g(x)是奇函数.又y=3x和y=-都是R上的增函数,所以g(x)是R上的增函数, 所以f(a2)+f(a-2)>4可化为g(a2)+g(a-2)>0,所以g(a2)>g(2-a),所以a2+a-2>0,解得a<-2或a>1.故选B.
【技巧】 结合题干信息及已知函数来构造函数,并对所构造函数的单调性、奇偶性进行讨论,最后回归到题干所求中去.
8.ACD [解析] 令f(m)=2x·m-(2x+2),则f(m)是关于m的一次函数,因为2x>0恒成立,所以f(m)在[1,2]上单调递增.要使2x·m-(2x+2)<0对一切的m∈[1,2]恒成立,则f(2)<0,即f(2)=2x+1-(2x+2)<0,可得020=1,因为函数y=3x在R上单调递增,所以0<3-0.2<30=1.故选ACD.
【点睛】 本题指定m为自变量,构造了关于m的函数,相比较于将x视为自变量,降低了计算量.
9.ABC [解析] 对于A,f(x)的定义域为R,若f(x)是偶函数,则f(x)===f(-x),
所以-x2-2ax=-x2+2ax,可得a=0,故A正确;对于B,f(x)的图象不过点(0,0),故B正确;
对于C,y=-x2-2ax在[-a,+∞)上单调递减,又y=ex在R上单调递增,
所以f(x)在[-a,+∞)上单调递减,故C正确;对于D,y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2≤a2,又y=ex在R上单调递增,所以f(x)的最大值为,所以f(x)的最大值大于或等于1,故D错误.故选ABC.
10.c2,即b>2,0<<=1,即011.(-∞,0) [解析] f(x)的图象如图所示,
由图可知解得x<0.故x的取值范围是(-∞,0).
12.(-∞,0) [解析] 函数f(x)=|2x-1|,f(a)=f(b)(a≠b),不妨设a2=2,∴2a+b<1=20,∴a+b<0.故a+b的取值范围是(-∞,0).
13.解:(1)设森林面积的年增长率为x,根据题意可得a(1+x)10=3a,即(1+x)10=3,则1+x=,
故x=-1.故森林面积的年增长率为-1.
(2)设该地已经植树造林t年,根据题意可得a(1+x)t=a,即=,则=,解得t=5.
故该地已经植树造林5年.
14.解:(1)显然f(x)的定义域为R.
∵f(x)是奇函数,∴f(x)+f(-x)=3x+k·3-x+3-x+k·3x=(k+1)(3x+3-x)=0对一切实数x都成立,∴k=-1.
(2)由(1)知,f(x)=3x-3-x,易知f(x)为R上的增函数,
又f(x)是奇函数,且f(-1)+f(1-3ax-2)<0,
∴-1<3ax-2-1,即<3ax-2,即2ax2-4x当a≤0时,显然不符合题意;
当a>0时,由不等式只有一个整数解,可知不等式的解集为,
由题意得1<≤2,即1≤a<2.综上,实数a的取值范围是[1,2).
15.(-1,+∞) [解析] 因为对任意x1,x2,x3∈[0,1],总有f(x1),f(x2),f(x3)为某一个三角形的边长,
所以2f(x)min>f(x)max.f(x)==3+,x∈[0,1].
当a=3时,f(x)=3,满足题意;
当a>3时,易知f(x)单调递减,所以f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(0)=,所以2×>,所以a>3满足题意;
当a<3时,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(0)=, f(x)max=f(1)=,所以2×>,所以a>-1,所以-1【技巧】 对于f(x1),f(x2),f(x3)为某一个三角形的边长,只需2f(x)min>f(x)max,即将多变量的问题转换为函数求最值的问题.
16.解:(1)设f(x)=的图象的对称中心为(a,b),
则h(x)=f(x+a)-b=-b的图象关于原点中心对称,
因为h(x)的定义域为R,所以h(-x)+h(x)=-b+-b=0恒成立,
即(1-2b)(3x+a+3-x+a)+2-2b-2b·32a=0恒成立,
所以解得所以f(x)的图象的对称中心为.
(2)函数f(x)=在区间[1,+∞)上单调递减,则f(x)在区间[1,+∞)上的取值范围为,
由题意可知g(x)≤对任意的x∈[-1,1]恒成立.
函数g(x)=-x2+mx的图象开口向下,对称轴为直线x=.
当≤-1,即m≤-2时,g(x)在[-1,1]上单调递减,则-1-m≤,解得m≥-,不符合题意;
当-1<<1,即-2则-+≤,解得-1≤m≤1;
当≥1,即m≥2时,g(x)在[-1,1]上单调递增,
则-1+m≤,解得m≤,不符合题意.
综上所述,实数m的取值范围为[-1,1]第2课时 指数函数的性质与图象的应用
一、选择题
1.函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
2.使不等式92x-1<成立的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.函数y=的单调递增区间为 ( )
A.(-∞,1] B.[-1,1]
C.[1,3] D.[-1,3]
4.已知函数f(x)=(a2-1)x,若x>0时总有f(x)>1,则实数a满足的条件是 ( )
A.1<|a|<2 B.|a|<2
C.|a|>1 D.|a|>
5.[2023·江苏宿迁高一期末] 若关于x的方程=k有两个不等实根,则实数k的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.(-1,0)
C. (-∞,-1) D. (1,+∞)
6.已知函数f(x)=m·4x-2x,若存在非零实数x0,使得f(-x0)=f(x0)成立,则实数m的取值范围是( )
A. B.(0,2)
C. D.[2,+∞)
★7.已知函数f(x)=3x-+2,若f(a2)+f(a-2)>4,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-2,1)
D.(-1,2)
★8.(多选题)若不等式m·2x<2x+2对一切的m∈[1,2]恒成立,则实数x的值可能是 ( )
A. B.20.1
C.3-0.2 D.
9.(多选题)已知函数f(x)=(a∈R),则 ( )
A.若f(x)是偶函数,则a=0
B.无论a取何值,f(x)都不可能是奇函数
C.f(x)在区间[-a,+∞)上单调递减
D.f(x)的最大值小于1
二、填空题
10.[2024·广东东莞高一期末] 设a=20.6,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 .(用“<”连接)
11.设函数f(x)=则满足f(x+1)12.已知f(x)=|2x-1|,若f(a)=f(b)(a≠b),则a+b的取值范围是 .
三、解答题
13.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念,大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩,计划每年种植一些树苗,且森林面积的年增长率相同,当面积是原来的3倍时,所用时间是10年.
(1)求森林面积的年增长率;
(2)到今年为止,森林面积为原来的倍,则该地已经植树造林多少年
14.已知函数f(x)=3x+k·3-x为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若关于x的不等式f(-1)+f(1-)<0只有一个整数解,求实数a的取值范围.
★15.已知函数f(x)=,x∈[0,1],若对任意x1,x2,x3∈[0,1],总有f(x1),f(x2),f(x3)为某一个三角形的边长,则实数a的取值范围是 .
16.[2023·江苏苏州中学高一月考] “函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形”的充要条件是“函数y=f(x)为奇函数”,可以将其推广为:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件是“函数y=f(x+a)-b为y关于x的奇函数”.给定函数f(x)=.
(1)求f(x)的图象的对称中心;
(2)已知函数g(x)=-x2+mx,若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[1,+∞),使得g(x1)≤f(x2),求实数m的取值范围.
