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4.2.3 对数函数的性质与图象
第2课时 对数函数的图象及其性质的应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 课堂评价
◆ 备课素材
【学习目标】
1.会进行函数性质与图象的结合；
2.掌握与对数函数有关的复合函数的单调性的求解方法；
3.会解决对数函数的综合性问题.
知识点 型函数性质的研究
1.定义域:由解得的取值范围,即为函数 的定义域.
2.值域:在函数的定义域中确定的值域,再由 的单
调性确定函数的值域.
3.单调性:在定义域内考虑与 的单调性,根据__________法则判
定,或运用单调性定义判定.
同增异减
4.奇偶性:根据奇函数、偶函数的定义判定.
5.最值:在的条件下,确定的值域,再根据确定函数 的
单调性,最后确定最值.
【诊断分析】
1.函数 的定义域是___________________,值域是___,是____
（填“奇”或“偶”）函数,单调递增区间是________.
偶
2.与同为上的增函数，且图象都过点 ，怎样区分
它们在同一坐标系内的相对位置？
解：可以通过描点定位，也可令，对应 的值即为底数.一般地，对于底数
的对数函数，在区间内，底数越大图象越靠近 轴；对于底数
的对数函数，在区间内，底数越小图象越靠近 轴.
探究点一 与对数函数有关的复合函数的单调性
例1（1） [2024·河南商丘高一期末]已知函数 在区间
上单调递减，则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题得解得，故实数的取值范围是 .故选
C.
（2）已知函数 .
①求 的定义域；
解:要使函数有意义，需，即，即，所以函数 的
定义域为 .
②判断 的单调性，并证明.
解: 是减函数.证明如下：
在内任取，，且 ，
则 .
因为，所以，所以 ，所以
，所以 ，
即，所以函数 是减函数.
变式 已知函数在上为减函数，则实数 的取值范围
是______.
[解析] 由题知且，所以 为减函数，又函数
在上为减函数，所以函数在 上大于
零，且，即解得.故实数的取值范围是 .
［素养小结］
（1）求形如 的函数的单调区间，一定要树立定义域优先的意识，
即由 先求定义域.
（2）与形如 的函数的单调性有关的两种问题及思路：①证明单调
性，利用函数单调性的定义求证；②求单调区间，借助函数的性质研究函数
和在定义域上的单调性，从而求出 的单调区间.
探究点二 与对数函数有关的复合函数的值域或最值
例2（1） 函数 的最大值为___.
0
[解析] 令.当时， ,
当时，, 函数 的最大值为
.
（2）已知函数 .
①若的定义域为，求实数 的取值范围；
解：若的定义域为，则关于的不等式的解集为 .
当时，，这与矛盾，所以 .
当时，由题意得解得 ，
即实数的取值范围为 .
②若的值域为，求实数 的取值范围.
解：若的值域为，则 能取遍一切正数，
所以或所以 ，
即实数的取值范围为 .
变式 函数 的最小值为____.
[解析] 函数的定义域是， ，则
，
所以当时，取得最小值，最小值为 .
［素养小结］
求与对数函数有关的函数的值域或最值时要注意:①利用对数函数的单调性;②若
是与二次函数复合的函数,要考虑二次函数的最值情况.
拓展 [2024·陕西西安交大附中高一期末] 若函数 没有
最小值，则 的取值范围是_________.
[解析] 函数的图象开口向上，要使函数 没有最小值，只
需，即方程至少有1个根，则 ，解得
，所以的取值范围是 .
探究点三 解与对数函数有关的不等式
例3 [2024·河北郑口中学高一期末] 已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性；
解：由题意得函数的定义域为 ，关于原点对称，
，
所以函数 为奇函数.
（2）判断函数 的单调性；
解： ，
易知函数在上单调递减，又在 上单调递减，
所以在 上单调递增.
（3）若，求实数 的取值范围.
解：因为在 上单调递增，
所以解得 ，
故实数的取值范围是 .
变式 已知函数且 .
（1）讨论函数 的定义域；
解：由,得 .
当时，;当时， .
故当时，的定义域是 ;
当时，的定义域是 .
（2）当时，解关于的不等式 ；
解：当时，任取，,且 ,
则, .
,，即 ，
故当时，在 上是增函数.
，,, .
又,，故不等式的解集为 .
（3）当时，不等式对任意实数 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：当时，在 上是增
函数， ,
对恒成立, .
［素养小结］
解与对数函数有关的不等式的一般思路：
（1）把不等式两边均化为 的形式；
（2）利用单调性把不等式转化为真数的大小关系，得到新的不等式，要注意底
数 和1的关系；
（3）在真数大于零的前提下解这个新的不等式；
（4）得出不等式的解集.
探究点四 对数函数的综合应用
例4 已知实数满足 .
（1）求 的取值范围；
解：原不等式可化为 ，
即，可得，解得 .
故的取值范围为 .
（2）在（1）的条件下，若函数 的最小
值为1，求 的值.
解：设 ，
易知是 上的减函数.
因为，所以是上的增函数，所以是 上的减函数，
所以，可得 .
变式 [2023·云南红河高一期末] 已知函数， .
（1）求 的值.
解： ，
.
（2）从下列问题中选一个作答.
①,，定义,求, 的解析式及
的最小值；
②,，定义,求, 的解析式及
的最大值.
解：函数在定义域 上单调递增，
在上单调递减，且 ，
所以当时，，当时， .
选择①.
,
函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，
所以函数的最小值为 .
选择②.
,
函数在区间上单调递增，在区间 上单调递减，
所以函数的最大值为 .
［素养小结］
解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”的原则，同时注意数形结合
思想和分类讨论思想在解决此类问题中的应用.
1.已知，，则函数 的图象不经过( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为，所以的图象经过第一、四象限，经过点 ，且
是增函数.的图象可以看成是把 的图象向左平
移个单位得到的，故函数 的图象经过第一、二、三
象限，不经过第四象限.故选D.
2.函数 的单调递增区间为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题知，解得 ，
函数的定义域为 .
函数 的图象是开口向下的抛物线，
当时， 单调递增，
当时， 单调递减，又 是减函数，
由复合函数的单调性得函数的单调递增区间为 .故
选A.
3.已知函数，若，则实数 的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] ,即, 解得
.故选A.
4.（多选题）[2024·陕西西安高一期末] 下列函数中，值域为 且是增函
数的是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 对于A，函数的定义域为，其值域为 ，故A错误；
对于B，函数的值域为 ，且是增函数，故B正确；
对于C，由复合函数的单调性知为增函数，令，
则 ，所以，即其值域为，故C正确；
对于D，令 ，则，函数在定义域内为增函数，
易知函数在 上单调递减，在上单调递增，故函数
在 上单调递减，在上单调递增，且值域为 ，
故D错误.故选 .
5.若函数有最小值，则 的取值范围是______.
[解析] 令且.
①当时，在 上单调递增， 要使有
最小值，必须满足 ，，解得，；
②当 时，没有最大值，从而不能使得函数
有最小值，不符合题意.综上所述，的取值范围是 .
1.换元法
对于与对数函数复合的函数，求其值域或判断其单调性时一般考虑换元法，即
通过换元将复合函数转化为简单函数，再利用简单函数的单调性求其值域，利
用复合函数“同增异减”的特性判断其单调性.
例1 [2023·云南昆明八中高一期末] 已知函数在
上单调递增，则实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由，解得或，所以函数 的定义域为
.
易知在 上单调递增，根据复合函数的单调性可得函数
的单调递增区间为 ，又函数在上单
调递增，所以，即实数 的取值范围是 .故选D.
2.数形结合法
对于由指数函数、对数函数和其他函数所构成的不等式（一般称为超越不等
式），去研究解的情况或求参数的范围时，我们常画出相应的函数图象，用数
形结合的方法解决问题.
例2 已知函数在，内恒有，求实数 的取值
范围.
解：且 ，
，即 .
在同一平面直角坐标系中作出和
的图象，如图所示，
要使函数在， 内恒有
，即在， 内恒成立，
只要在，内，的图象在的图象的上方即可，则有 .
当时，， ，
，即，又 ，
，故实数的取值范围是 .第2课时 对数函数的图象及其性质的应用
【课前预习】
知识点
3.同增异减
诊断分析
1.(-∞,-1)∪(1,+∞) R 偶 (1,+∞)
2.解:可以通过描点定位,也可令y=1,对应x的值即为底数.一般地,对于底数a>1的对数函数,在区间(1,+∞)内,底数越大图象越靠近x轴;对于底数0
【课中探究】
例1 (1)C [解析] 由题得解得2≤k<,故实数k的取值范围是.故选C.
(2)解:①要使函数f(x)有意义,需3-3x>0,即3x<3,即x<1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,1).
②f(x)是减函数.证明如下:
在(-∞,1)内任取x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)=lg(3-)-lg(3-)=lg.
因为x11,所以lg>0,
即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)是减函数.
变式 (1,3] [解析] 由题知a>0且a≠1,所以t(x)=6-ax为减函数,又函数f(x)=loga(6-ax)在(0,2)上为减函数,所以函数t(x)=6-ax在(0,2)上大于零,且a>1,即解得1例2 (1)0 [解析] 令y=-3x2+x+=-3+.当x=时,ymax=,当x=时,ymin=1,∴函数f(x)=lo的最大值为lo1=0.
(2)解:①若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R.
当a=0时,x>-,这与x∈R矛盾,所以a≠0.
当a≠0时,由题意得解得a>1,
即实数a的取值范围为a>1.
②若f(x)的值域为R,则ax2+2x+1能取遍一切正数,
所以a=0或所以0≤a≤1,
即实数a的取值范围为0≤a≤1.
变式 - [解析] 函数f(x)的定义域是(0,+∞),log2x∈R,则f(x)=log2·log4(4x2)=(log2x-2)(1+log4x2)=(log2x-2)(1+log2x)=(log2x)2-log2x-2=-,所以当x=时,f(x)取得最小值,最小值为-.
拓展 (-∞,4] [解析] 函数g(x)=x2-2x+的图象开口向上,要使函数f(x)没有最小值,只需g(x)min≤0,即方程g(x)=0至少有1个根,则Δ=4-4×≥0,解得a≤4,所以a的取值范围是(-∞,4].
例3 解:(1)由题意得函数f(x)的定义域为(-6,6),关于原点对称,
f(-x)=lo(6+x)-lo(6-x)=-[lo(6-x)-lo(6+x)]=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)f(x)=lo(6-x)-lo(6+x)=lo=lo,
易知函数y=在(-6,6)上单调递减,又y=lox在(0,+∞)上单调递减,
所以f(x)在(-6,6)上单调递增.
(3)因为f(x)在(-6,6)上单调递增,
所以解得-1故实数k的取值范围是.
变式 解:(1)由ax-1>0,得ax>1.
当a>1时,x>0;当0故当a>1时,f(x)的定义域是(0,+∞);
当0(2)当a>1时,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则<,∴-1<-1.
∵a>1,∴loga(-1)故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∵f(x)1,∴x<1.
又∵x>0,∴0(3)当a=2时,∵g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log2在[1,3]上是增函数,∴g(x)min=g(1)=-log23,
∵m例4 解:(1)原不等式可化为-6×2x+8≤0,
即(2x-2)(2x-4)≤0,可得2≤2x≤4,解得1≤x≤2.
故x的取值范围为[1,2].
(2)设g(x)=x2-4x+a2+2,
易知g(x)=x2-4x+a2+2是[1,2]上的减函数.
因为a>,所以y=logax是(0,+∞)上的增函数,所以f(x)是[1,2]上的减函数,
所以f(2)=loga(a2-2)=1,
可得a=2.
变式 解:(1)f=log2=-2,
g=g(-2)=-×(-2)+4=5.
(2)函数f(x)=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,
g(x)=-x+4在R上单调递减,且f(4)=g(4)=2,
所以当0f(x),当x>4时,f(x)>g(x).
选择①.
h(x)=max{f(x),g(x)}=
函数h(x)在区间(0,4)上单调递减,在区间[4,+∞)上单调递增,
所以函数h(x)的最小值为h(4)=2.
选择②.
h(x)=min{f(x),g(x)}=
函数h(x)在区间(0,4]上单调递增,在区间(4,+∞)上单调递减,
所以函数h(x)的最大值为h(4)=2.
【课堂评价】
1.D [解析] 因为a>1,所以y=logax的图象经过第一、四象限,经过点(1,0),且y=logax是增函数.y=loga(x-b)的图象可以看成是把y=logax的图象向左平移-b(-b>1)个单位得到的,故函数y=loga(x-b)的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D.
2.A [解析] 由题知-x2+x+6>0,解得-2∴函数y=(-x2+x+6)的定义域为(-2,3).
∵函数t=-x2+x+6的图象是开口向下的抛物线,
∴当-2当又y=t是减函数,
∴由复合函数的单调性得函数y=(-x2+x+6)的单调递增区间为.故选A.
3.A [解析] f(x)=log0.5(4x-3)>0,即log0.5(4x-3)>log0.51,∴解得4.BC [解析] 对于A,函数y=的定义域为[0,+∞),其值域为[0,+∞),故A错误;对于B,函数y=2x的值域为(0,+∞),且是增函数,故B正确;对于C,由复合函数的单调性知y=log3(2x+1)为增函数,令t=2x+1,则t>1,所以y=log3(2x+1)>0,即其值域为(0,+∞),故C正确;对于D,令u=x2+1,则u≥1,函数y=ln u在定义域内为增函数,易知函数u=x2+1在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,故函数y=ln(x2+1)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,且值域为[0,+∞),故D错误.故选BC.
5.(1,2) [解析] 令g(x)=x2-ax+1(a>0且a≠1).①当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,∴要使y=loga(x2-ax+1)有最小值,必须满足g(x)min>0,∴Δ<0,解得-2【学习目标】
1.会进行函数性质与图象的结合;
2.掌握与对数函数有关的复合函数的单调性的求解方法;
3.会解决对数函数的综合性问题.
◆ 知识点 y=logaf(x)型函数性质的研究
1.定义域:由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数y=logaf(x)的定义域.
2.值域:在函数y=logaf(x)的定义域中确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数的值域.
3.单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=logat的单调性,根据 法则判定,或运用单调性定义判定.
4.奇偶性:根据奇函数、偶函数的定义判定.
5.最值:在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值.
【诊断分析】 1.函数y=log2(x2-1)的定义域是 ,值域是 ,是 (填“奇”或“偶”)函数,单调递增区间是 .
2.y=log2x与y=log3x同为(0,+∞)上的增函数,且图象都过点(1,0),怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置
◆ 探究点一 与对数函数有关的复合函数的
单调性
例1 (1)[2024·河南商丘高一期末] 已知函数f(x)=log3(x2-2kx+5)在区间[1,2]上单调递减,则实数k的取值范围是 ( )
A. D.[2,+∞)
(2)已知函数f(x)=lg(3-3x).
①求f(x)的定义域;
②判断f(x)的单调性,并证明.
变式 已知函数f(x)=loga(6-ax)在(0,2)上为减函数,则实数a的取值范围是 .
[素养小结]
(1)求形如y=logaf(x)的函数的单调区间,一定要树立定义域优先的意识,即由f(x)>0先求定义域.
(2)与形如y=logaf(x)的函数的单调性有关的两种问题及思路:①证明单调性,利用函数单调性的定义求证;②求单调区间,借助函数的性质研究函数t=f(x)和y=logat在定义域上的单调性,从而求出y=logaf(x)的单调区间.
◆ 探究点二 与对数函数有关的复合函数的
值域或最值
例2 (1)函数f(x)=lo的最大值为 .
(2)已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
①若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
②若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
变式 函数f(x)=log2·log4(4x2)的最小值为 .
[素养小结]
求与对数函数有关的函数的值域或最值时要注意:①利用对数函数的单调性;②若是与二次函数复合的函数,要考虑二次函数的最值情况.
拓展 [2024·陕西西安交大附中高一期末] 若函数f(x)=lg没有最小值,则a的取值范围是 .
◆ 探究点三 解与对数函数有关的不等式
例3 [2024·河北郑口中学高一期末] 已知函数f(x)=lo(6-x)-lo(6+x).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)的单调性;
(3)若f(2k+1)变式 已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1).
(1)讨论函数f(x)的定义域;
(2)当a>1时,解关于x的不等式f(x)(3)当a=2时,不等式f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.
[素养小结]
解与对数函数有关的不等式的一般思路:
(1)把不等式两边均化为logaf(x)的形式;
(2)利用单调性把不等式转化为真数的大小关系,得到新的不等式,要注意底数a和1的关系;
(3)在真数大于零的前提下解这个新的不等式;
(4)得出不等式的解集.
◆ 探究点四 对数函数的综合应用
例4 已知实数x满足4x-3×2x+1+8≤0.
(1)求x的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)=loga(x2-4x+a2+2)(a>)的最小值为1,求a的值.
变式 [2023·云南红河高一期末] 已知函数f(x)=log2x,g(x)=-x+4.
(1)求gf的值.
(2)从下列问题中选一个作答.
① a,b∈R,定义max{a,b}=求h(x)=max{f(x),g(x)}的解析式及h(x)的最小值;
② a,b∈R,定义min{a,b}=求h(x)=min{f(x),g(x)}的解析式及h(x)的最大值.
[素养小结]
解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”的原则,同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决此类问题中的应用.
1.已知a>1,b<-1,则函数y=loga(x-b)的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.函数y=(-x2+x+6)的单调递增区间为 ( )
A. B.
C. D.
3.已知函数f(x)=log0.5(4x-3),若f(x)>0,则实数x的取值范围是 ( )
A. B.
C.(1,+∞) D.∪(1,+∞)
4.(多选题)[2024·陕西西安高一期末] 下列函数中,值域为(0,+∞)且是增函数的是 ( )
A.y= B.y=2x
C.y=log3(2x+1) D.y=ln(x2+1)
5.若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是 . 第2课时 对数函数的图象及其性质的应用
1.A [解析] 令x+5=1,可得x=-4,那么函数值y=0,即函数的图象过定点(-4,0).∵02.D [解析] 易知f(x)=eln x=x,且x>0,eln x>0,故其定义域与值域均为(0,+∞).函数y=x的定义域与值域均为R,故A错误;y=ln ex=x,且ex>0恒成立,故其定义域与值域均为R,故B错误;y==|x|≥0,即其定义域为R,值域为[0,+∞),故C错误;y=>0,且x>0,故其定义域与值域均为(0,+∞),故D正确.故选D.
3.D [解析] A,C中函数为减函数,不合题意.B中函数的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),不合题意.在D中,函数y=x2-4x+5在(0,2)上为减函数,又0<<1,所以y=lo(x2-4x+5)在(0,2)上为增函数.故选D.
4.B [解析] 因为a>0,所以函数y=4-ax在[0,2]上单调递减.因为函数f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1)在[0,2]上单调递减,所以y=logax在(0,+∞)上单调递增,故a>1,又4-2a>0,所以a<2.故a的取值范围是(1,2).故选B.
5.D [解析] 当x≥1时,不等式f(x)≤1即为log2x≤1=log22,可得1≤x≤2;当x<1时,不等式f(x)≤1即为≤1,即≥0,解得x≤0或x>1(舍),所以x≤0.综上所述,不等式f(x)≤1的解集为(-∞,0]∪[1,2],故选D.
6.B [解析] ∵f(x)=|log2(x+1)|,且f(m)=f(n),
∴|log2(m+1)|=|log2(n+1)|,∵m≠n,∴log2(m+1)=-log2(n+1),∴(m+1)(n+1)=1,即mn+m+n=0,则+=-1.故选B.
7.D [解析] 由题知,当x<0或x=0时,函数f(x)无意义,所以x>0.因为对于定义域内任意x1,总存在x2,使得f(x2)0,a>1),则函数g(x)在定义域内无最小值或g(x)min≤0,因为当a>1时,函数g(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g()=+-1=-1≤0,解得a≥4,所以实数a的取值范围是[4,+∞),故选D.
【点睛】 ①“对于定义域内任意x1,总存在x2,使得f(x2)1)在定义域内无最小值,则函数f(x)在定义域内无最小值或f(x)min≤0.
8.ACD [解析] 由|x-1|>0得x≠1,故函数f(x)=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以B错误;设g(x)=|x-1|=则g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,且g(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以C正确;因为f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,所以a>1,所以D正确;由上述分析知f(x)=loga|x-1|在(1,+∞)上单调递增且无最大值,所以A正确.故选ACD.
9.ABD [解析] f(-x)=log2(+x)+3=-log2(-x)+3,故f(-x)+f(x)=6,即f(x)的图象关于点(0,3)对称,故f(ln 2)+f=f(ln 2)+f(-ln 2)=6,故A,B正确;当x≥0时,t=-x=单调递减,而y=log2t+3单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(x)的图象关于点(0,3)对称,所以f(x)在R上单调递减,故C错误;由题得f(a)>6-f(b)=f(-b),又f(x)在R上单调递减,所以a<-b,故a+b<0,故D正确.故选ABD.
10.5 (-1,+∞) [解析] 由题知f(2)=lo2=-1,所以f[f(2)]=f(-1)=5.当x≤1时,y=-x2-2x+4在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1]上单调递减,f(1)=1;当x>1时,y=lox在(1,+∞)上单调递减,且lo1=0<1.故函数f(x)的单调递减区间是(-1,+∞).
11.- [解析] 因为f(x)=lg=lg,所以f(-x)+f(x)=0,则f(-a)+f(a)=0,故f(-a)=-f(a)=-.
12. [解析] 根据题意知f(x)=loga(-4x2+logax)<0对任意x∈恒成立.当a>1时,对任意x∈,-4x2+logax<0,不满足题意;当01对任意x∈恒成立,即logax>4x2+1,x∈,结合单调性可知,只需loga≥2,可得≤a<1,即a的取值范围是.
13.解:y=log2·log2=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2.
∵-3≤lox≤-,∴≤log2x≤3.
令t=log2x,则t∈,则y=t2-3t+2=-,t∈,
∴当t=时,ymin=-,当t=3时,ymax=2.
故所求函数的值域为.
14.解:(1)∵f(1)=log2(1+a)=1,
∴1+a=2,解得a=1,
∴f(x)=log2(x+1)+log2(2-x)=log2[(x+1)(2-x)].
由得-1令g(x)=(x+1)(2-x)=-x2+x+2,易知g(x)在上单调递增,在上单调递减,
又函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由(1)知-1f(2-x)=log2(3-x)+log2x=log2[x(3-x)],
因为f(x)≤f(2-x),所以log2[(x+1)(2-x)]≤log2[x(3-x)],
所以(x+1)(2-x)≤x(3-x),解得x≥1,所以1≤x<2.
故原不等式的解集为[1,2).
15.D [解析] ∵实数x,y满足log2x+e-y∴log2x-e-x1,∴ln|y-x+1|>0,故选D.
16.解:(1)当a=4时,f(x)=log2(4x+4·2x-1-6),
由题意,令log2(4x+4·2x-1-6)=x,则4x+2·2x-6=2x,则2x=2(负值舍去),所以x=1∈[1,2],
所以函数f(x)的“不动点”为1.
(2)由题得log2(4x+a·2x-1-6)=x在[1,2]上无解,
即4x+a·2x-1-6=2x在[1,2]上无解,
令2x=t,t∈[2,4],
则t2+t-6=t,即t2+t-6=0在[2,4]上无解,
即1-=t-在[2,4]上无解.
设g(t)=t-,t∈[2,4],易知g(t)在[2,4]上单调递增,故g(t)∈,
所以1->或1-<-1,解得a<-3或a>4.
又4x+a·2x-1-6>0在[1,2]上恒成立,
所以-<2x-在[1,2]上恒成立,则-<-1,则a>2.
综上,实数a的取值范围是(4,+∞)第2课时 对数函数的图象及其性质的应用
一、选择题
1.若0A.不经过第一象限,但过点(-4,0)
B.不经过第二象限,但过点(-4,0)
C.不经过第三象限,但过点(0,1)
D.不经过第四象限,但过点(a-4,1)
2.[2024·北京通州区高一期末] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数f(x)=eln x的定义域和值域相同的是 ( )
A.y=x B.y=ln ex
C.y= D.y=
3.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是 ( )
A.y=lo(x+1)
B.y=log2
C.y=log2
D.y=lo(x2-4x+5)
4.已知函数f(x)=loga(4-ax)(a>0且a≠1)在[0,2]上单调递减,则a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(0,2) D.[2,+∞)
5.已知函数f(x)=则不等式f(x)≤1的解集为 ( )
A.(-∞,2]
B.(-∞,0]∪(1,2]
C.[0,2]
D.(-∞,0]∪[1,2]
6.已知函数f(x)=|log2(x+1)|,若f(m)=f(n),m≠n,则+等于 ( )
A.1 B.-1
C.0 D.2
★7.[2024·安徽六安二中高一期末] 已知函数f(x)=loga(a>1),若对于定义域内任意x1,总存在x2,使得f(x2)A.(2,6) B.[2,6)
C.(4,+∞) D.[4,+∞)
8.(多选题)已知函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,则 ( )
A.f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值
B.f(x)在定义域内是偶函数
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.a的值可以为2022
9.(多选题)[2024·重庆西南大学附中高一期末] 已知函数f(x)=log2(-x)+3,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象关于点(0,3)对称
B.f(ln 2)+f=6
C.函数f(x)在定义域上单调递增
D.若实数a,b满足f(a)+f(b)>6,则a+b<0
二、填空题
10.已知函数f(x)=则f[f(2)]= ,函数f(x)的单调递减区间是 .
11.已知f(x)=lg,x∈(-1,1),若f(a)=,则f(-a)= .
12.当x∈时,函数f(x)=loga(-4x2+logax)的图象恒在x轴下方,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
13.已知实数x满足-3≤lox≤-,求函数y=log2·log2的值域.
14.已知函数f(x)=log2(x+a)+log2(2-x),且f(1)=1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求关于x的不等式f(x)≤f(2-x)的解集.
15.已知实数x,y满足log2x+e-yA.x>y
B.ln|x-y|<0
C.ln|x-y+1|>0
D.ln|y-x+1|>0
16.[2023·山东日照高一期末] 设区间A是函数y=f(x)定义域内的一个子集,若存在x0∈A,使得f(x0)=x0成立,则称x0是f(x)的一个“不动点”,也称f(x)在区间A上存在不动点.例如:g(x)=2x-1的“不动点”满足g(x0)=2x0-1=x0,即g(x)的“不动点”是1.设函数f(x)=log2(4x+a·2x-1-6),x∈[1,2].
(1)若a=4,求函数f(x)的“不动点”;
(2)若函数f(x)不存在不动点,求实数a的取值范围.