本章总结提升
【知识辨析】
1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.√ 7.√
【素养提升】
题型一
例1 (1)D (2)C [解析] (1)由cos A=,可得sin A==,由正弦定理得2R===3(R为△ABC的外接圆的半径),所以==2R=3.故选D.
(2)由题意得S1=a2,S2=b2,S3=c2,则S3-S2-S1=c2-b2-a2=ab,所以c2-b2-a2=ab,即b2+a2-c2=-ab,由余弦定理得cos C===-,又0
例2 解:(1)在△ABC中,由+=0及正弦定理得+=0,则tan C=-,
又0(2)在△ABD中,由正弦定理得=,在△CBD中,由正弦定理得=,
因为AD=CD,sin∠ABD=sin∠CBD,sin∠ADB=sin∠CDB,所以AB=CB,即c=a.
在△ABC中,由余弦定理得cos C===-,可得a=4,
所以S△ABC=absin C=×4×4×=4.
变式 解:(1)由S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×2××sin∠ABD=2,可得sin∠ABD=,
由题可知∠ABD∈,所以cos∠ABD=.
在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=4+5-2×2××=5,所以AD=.
(2)由AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD=,
所以sin∠CBD=cos∠ABD=.
因为∠BCD=2∠ABD,所以sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=,∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π--2∠ABD=-∠ABD=∠CBD,
所以△CBD为等腰三角形,即CB=CD.
在△CBD中,由正弦定理得=,
则CD===,所以S△CBD=CB·CD·sin∠BCD=×××=.
例3 (1)C [解析] 因为·=-S,所以-cacos B=-×acsin B,所以tan B=,又B∈(0,π),所以B=.由余弦定理得cos B==,即a2+c2-b2=ac,因为2b=a+c,所以a2+c2-b2=(a+c)2-2ac-b2=4b2-2ac-b2=3b2-2ac=ac,所以b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,所以ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c,又B=,所以△ABC为等边三角形.故选C.
(2)解:(i)证明:由=及正弦定理得=,
即sin C(2cos A-cos B)=sin Bcos C+sin B,
则2sin Ccos A=sin Bcos C+sin Ccos B+sin B=sin(B+C)+sin B=sin A+sin B,
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin Ccos A-cos Csin A=sin A,即sin(C-A)=sin A,
因为A,C∈(0,π),所以C-A=A,所以C=2A.
(ii)S△ABC=AB·hc=CB·ha,则c·hc=a·ha,
由hc∶ha=1∶,可得c=a,
由正弦定理得===,
解得cos A=,
又A∈(0,π),所以A=,所以B=π-A-C=π-3A=,所以△ABC是直角三角形.
变式 A [解析] 设原直角三角形的三边分别为a,b,c(c为最大边),则c2=a2+b2,设增加的长度为m(m>0),则新的三角形的三边长分别为a+m,b+m,c+m,显然c+m为最大边,其对应角最大,设为α.易知a+b>c,即a+b-c>0,所以(a+m)2+(b+m)2-(c+m)2=m2+2(a+b-c)m>0,由余弦定理得cos α=>0,又0<α<π,所以0<α<,所以α为锐角,所以新的三角形为锐角三角形.故选A.
题型二
例4 解:(1)由(a-b)(sin A+sin B)=c(sin C-sin B)及正弦定理得(a-b)(a+b)=c(c-b),
即b2+c2-a2=bc,
由余弦定理得cos A===,
又0∵a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,
∴bc≤a2=64,当且仅当b=c=8时取等号,
∴S△ABC=bcsin A=bc≤16,
故△ABC的面积的最大值为16.
(2)∵D是边BC的中点,∴=(+),
∴==(||2+2·+||2)=(b2+c2)+·.
∵·=8,∴bccos A=8,∴bc=16,
由(1)知b2+c2-bc=a2=64,∴b2+c2=80,
∴=×80+×8=24,∴||=2,
故线段AD的长度为2.
例5 解:(1)由asin B-bcos Bcos C=ccos2B及正弦定理得sin Asin B-sin Bcos Bcos C=sin Ccos2B,
则sin Asin B=sin Ccos2B+sin Bcos Bcos C=cos B(sin Ccos B+sin Bcos C)=cos Bsin(B+C)=sin Acos B,又sin A>0,所以sin B=cos B,则tan B=,又B∈(0,π),所以B=.
(2)由S△ABD+S△CBD=S△ABC,得×a×BD×sin+×c×BD×sin=×a×c×sin,
即(a+c)=ac,即a+c=ac=2.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(2)2-3×2=6,则b=.
设△ABC外接圆的半径为R,
则2R===2,则R=,
故△ABC外接圆的面积为πR2=2π.
(3)由△ABC为锐角三角形,得
即得则a+b=+==+·=+,
由又tan=tan==2-,
所以2-则变式 解:(1)由2a-c=2bcos C及正弦定理得2sin A-sin C=2sin Bcos C,
所以2sin(B+C)-sin C=2sin Bcos C,
即2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin C=2sin Bcos C,
所以2cos Bsin C=sin C,
因为sin C>0,所以cos B=,
又B∈(0,π),所以B=.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,
即12=42-2ac-2ac×, 解得ac=,
所以S△ABC=acsin B=××sin=.
(3)由正弦定理得====4,
因为A+C=π-B=,
所以a+c=4(sin A+sin C)=4=4=4=4sin,
因为0所以sin∈,
所以a+c∈(2,4],所以a+b+c∈(4,6],
故△ABC的周长的取值范围为(4,6].本章总结提升
判断下列说法是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=90°,则=c. ( )
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a=4,b=4,则B=45°或B=135°. ( )
3.在△ABC中,若sin2A>sin2B+sin2C,则△ABC一定为钝角三角形. ( )
4.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α+β=90°. ( )
5.若P在Q北偏东44°的方向上,则Q在P东偏北44°的方向上. ( )
6.在三角形中,已知两边及其夹角就能求三角形的面积. ( )
7.若点A在点C北偏东30°的方向上,点B在点C南偏东60°的方向上,且AC=BC,则点A在点B北偏西15°的方向上. ( )
◆ 题型一 应用正弦定理、余弦定理解三角形
[类型总述] (1)三角形基本量的计算;(2)周长、面积的计算;(3)判断三角形形状.
例1 (1)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B≠C,若cos A=,a=1,则= ( )
A. B. C.2 D.3
(2)[2024·云南师大附中高一月考] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的正三角形的面积依次为S1,S2,S3,且S3-S2-S1=ab,则C= ( )
A. B.
C. D.
例2 [2024·浙江温州高一期中] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=0.
(1)求角C的大小;
(2)若b=4,D是AC的中点,且sin∠ABD=sin∠CBD,求△ABC的面积.
变式 如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,BD=,AB⊥BC,∠BCD=2∠ABD,△ABD的面积为2.
(1)求AD的长;
(2)求△CBD的面积.
例3 (1)[2024·山东实验中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2b=a+c,若△ABC的面积为S,·=-S,则△ABC的形状为 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.
(i)证明:C=2A;
(ii)记边AB和BC上的高分别为hc和ha,若hc∶ha=1∶,判断△ABC的形状.
变式 如果把直角三角形的三边都增加相同的长度,则这个新的三角形的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
◆ 题型二 三角恒等变换、平面向量与解三角
形的综合问题
[类型总述] (1)将三角形中的线段用向量进行表示,利用向量解三角形;(2)三角恒等变换在解三角形中的应用.
角度1 正弦定理、余弦定理与平面向量的综合应用
例4 [2024·河南南阳高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=8,且(a-b)(sin A+sin B)=c(sin C-sin B).
(1)求△ABC的面积的最大值;
(2)若·=8,D是边BC的中点,求线段AD的长度.
角度2 解三角形与三角恒等变换的综合问题
例5 在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且asin B-bcos Bcos C=ccos2B.
(1)求角B的大小;
(2)若角B的平分线与AC交于点D,BD的长为1,且ac=2,求△ABC外接圆的面积;
(3)若△ABC为锐角三角形,c=1,求a+b的取值范围.
变式 [2024·广东华南师大附中高一期末] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,2a-c=2bcos C.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=4,求△ABC的面积;
(3)求△ABC的周长的取值范围(共31张PPT)
本章总结提升
题型一 应用正弦定理、余弦定理解三角形
题型二 三角恒等变换、平面向量与解三
角形的综合问题
判断下列说法是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”）
1.在中,内角,,所对的边分别为,,,若 ,则 .
( )
√
2.在中,内角,,所对的边分别为,,,若 , ,
,则 或 .( )
×
3.在中,若,则 一定为钝角三角形.
( )
√
4.从处望处的仰角为 ,从处望处的俯角为 ,则 .
( )
×
5.若在北偏东 的方向上,则在东偏北 的方向上.( )
×
6.在三角形中,已知两边及其夹角就能求三角形的面积.( )
√
7.若点在点北偏东 的方向上,点在点南偏东 的方向上,
且,则点在点北偏西 的方向上.( )
√
题型一 应用正弦定理、余弦定理解三角形
［类型总述］（1）三角形基本量的计算；（2）周长、面积的计算；
（3）判断三角形形状.
例1（1） 已知的内角,,的对边分别为,,,且 ，若
,，则 ( )
A. B. C.2 D.3
[解析] 由,可得 ，由正弦定理得
（为 的外接圆的半径），所以
.故选D.
√
（2）[2024·云南师大附中高一月考]记的内角,, 的对边分
别为,,，分别以,,为边长的正三角形的面积依次为,, ，且
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，， ，
则，
所以 ，即，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 .故选C.
√
例2 [2024·浙江温州高一期中] 已知的内角,, 的对边分别
为,,，且 ．
（1）求角 的大小；
解：在中，由及正弦定理得 ，
则 ，
又 ，所以 ．
（2）若,是的中点，且，求
的面积．
解：在中，由正弦定理得，
在 中，由正弦定理得 ，
因为,, ，
所以，即 .
在中，由余弦定理得 ，
可得 ，
所以 ．
变式 如图，在平面四边形中，， ，
，， 的面积为2．
（1）求 的长；
解：由
，可得 ，
由题可知，所以 ．
在 中，由余弦定理得，所以 ．
（2）求 的面积．
解：由，得 ，
所以 ．
因为 ，所以， ，
所以为等腰三角形，即 .
在中，由正弦定理得 ，则 ，所以 ．
例3（1） [2024·山东实验中学高一月考]在中，内角,, 所
对的边分别为,,，且，若的面积为 ，
，则 的形状为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
√
[解析] 因为，所以 ，
所以，又，所以 .
由余弦定理得，即，
因为，所以，所以 ，
由余弦定理得，所以 ，即，所以，
又，所以 为等边三角形.故选C.
（2）在中，内角，，所对的边分别为，， ，且 ．
（ⅰ）证明： ；
证明：由及正弦定理得 ，
即 ，
则 ，
又 ，
所以，即 ，
因为,，所以，所以 .
（ⅱ）记边和上的高分别为和，若 ，判断
的形状．
解：，则 ，
由，可得 ，
由正弦定理得 ，解得 ，
又，所以，所以 ，所以
是直角三角形.
变式 如果把直角三角形的三边都增加相同的长度，则这个新的三角
形的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
√
[解析] 设原直角三角形的三边分别为，，（ 为最大边），则
，
设增加的长度为 ，则新的三角形的三边长分别为，
，，显然 为最大边，其对应角最大，设为 .
易知，即 ，所以
，
由余弦定理得，
又 ，所以，所以 为锐角，
所以新的三角形为锐角三角形．故选A.
题型二 三角恒等变换、平面向量与解三角形的综合问题
［类型总述］（1）将三角形中的线段用向量进行表示，利用向量解
三角形；（2）三角恒等变换在解三角形中的应用.
角度1 正弦定理、余弦定理与平面向量的综合应用
例4 [2024·河南南阳高一期末] 在中，内角，， 所对的边
分别为，，，已知 ，且
.
（1）求 的面积的最大值；
解：由 及正弦定理得
，即 ，
由余弦定理得 ，
又 ， .
，
，当且仅当 时取等号，
，
故的面积的最大值为 .
（2）若,是边的中点，求线段 的长度．
解：是边的中点， ，
．
，， ，
由（1）知， ，
， ，
故线段的长度为 .
角度2 解三角形与三角恒等变换的综合问题
例5 在中，,,分别是内角,, 的对边，且
.
（1）求角 的大小；
解：由 及正弦定理得
，
，
又，所以,则，
又 ，所以 .
（2）若角的平分线与交于点，的长为1，且 ，求
外接圆的面积；
解：由 ,
得 ，
即，即 .
由余弦定理得，则 .
设外接圆的半径为 ，则，则 ，
故外接圆的面积为 .
（3）若为锐角三角形，，求 的取值范围.
解：由为锐角三角形，得 即
得 .
则 ，
由，得 ，
又 ，
所以 ，则 .
变式 [2024·广东华南师大附中高一期末] 已知的内角,,
的对边分别为,,，且， .
（1）求角 的大小；
解：由及正弦定理得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
因为，所以 ，
又，所以 .
（2）若，求 的面积；
解：由余弦定理得
，
即，解得 ，
所以 .
（3）求 的周长的取值范围．
解：由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
因为，所以 ，所以 ，
所以，所以 ，
故的周长的取值范围为 .
