11.3.2 多边形的内角和
基础题
知识点1 n边形内角和等于(n－2)×180°
1．一个六边形的内角和等于(
)
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
2．(广东中考)一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
3．四边形ABCD中，若∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B的度数为(
)
A．80°
B．90°
C．170°
D．20°
4．四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为2∶3∶4∶3，则∠D等于(
)
A．60°
B．75°
C．90°
D．120°
5．(丽水中考)一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是(
)
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
6．求如图所示的图形中x的值：
7．已知两个多边形的内角和为1
800°，且两多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数．
知识点2 多边形的外角和等于360°
8．(泉州中考)七边形外角和为(
)
A．180°
B．360°
C．900°
D．1
260°
9．(孝感中考)已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是(
)
A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
(北京中考)如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝________．
11．将一个n边形变成n＋1边形，其内角和________，外角和________．
12．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是________．
13．若一个多边形每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
中档题
14．不能作为正多边形的内角的度数的是(
)
A．120°
B．108°
C．144°
D．145°
15．多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有(
)
A．8条
B．9条
C．10条
D．11条
16．(泰安中考)如图，五边形ABCDE中，
( http: / / www.21cnjy.com )AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(
)
A．90°
B．180°
C．210°
D．270°
17．(毕节中考)如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2
340°的新多边形，则原多边形的边数为(
)
A．13
B．14
C．15
D．16
18．如图，一个角为60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为(
)
A．120°
B．180°
C．240°
D．300°
19．一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1∶4，那么这个多边形的边数为(
)
A．8
B．9
C．10
D．12
20．(自贡中考)一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是________．
21．(安徽中考)如图，正六边形ABCDEF，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N，则∠MPN＝________．
(河北中考)平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝________．
23．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1
350°，求多边形的边数．
24．四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图1，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．
综合题
25．(1)如图1、2，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；
图1
图2
(2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
(3)用你发现的结论解决下列问题：
如图3，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
图3
参考答案
D 2.D 3.A 4.C 5.C
(1)根据图形可知：x＝360－150－90－70＝50.
根据图形可知：x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65.
根据图形可知：x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝540.解得x＝115.
设两多边形的边数分别为2n和5n，则它们的内角和分别为(2n－2)×180°和(5n－2)×180°，
则(2n－2)×180°＋(5n－2)×180°＝1
800°，解得n＝2，2n＝4，5n＝10.
答：这两个多边形分别为四边形和十边形．
B 9.B 10.360° 11.增加180° 不变
12．4
设这个多边形的边数为n，由题意知这个多边形的内角和为360°×2＝720°，则(n－2)×180°＝720°.
解得n＝6.所以这个多边形的边数为6.
D 15.B 16.B 17.B 18.C 19.C 20.9 21.60° 22.24°
设这个外角度数为x°，多边形的边数为n，
由题意，得(n－2)×180＋x＝1
350.解得x＝1
710－180n.
∵0＜x＜180，
∴0＜1
710－180n＜180.
解得8.5＜n＜9.5.
又∵n为正整数，
∴n＝9.故多边形的边数是9.
(1)∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠C，
∴∠C＝＝＝70°
.(2)∵BE∥AD，
∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE＝40°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝60°.
(1)∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．
∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．
∵∠B＋∠C＝240°，
∴∠MDA＋∠NAD＝240°.
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD.
∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝120°.
∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°.11.3 多边形及其内角和
11．3.1 多边形
基础题
知识点1 多边形及其相关概念
1．下面图形是多边形的是（
）
A
B
C
D
2．下列说法中，正确的有（
）
①由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；
②三角形是边数最少的多边形；
③n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角；
④多边形分为凹多边形和凸多边形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（
）
A．十三边形
B．十二边形
C．十一边形
D．十边形
4．从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
知识点2 正多边形
5．下列说法：①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形．其中正确的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．一个正多边形的周长是100，边长为10，则正多边形的边数n＝________．
中档题
7．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（
）
A．四边形的边长
B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小
D．四边形的内角和
8．桥梁拉杆，电视塔底座都是三角形结构，这是利用三角形的________性；而活动挂架是四边形结构，这是利用四边形的________性．
9．如图所示，将多边形分割成三角形，图1
( http: / / www.21cnjy.com )中可分割出2个三角形；图2中可分割出3个三角形；图3中可分割出4个三角形，由此你能猜测出，n边形可以分割出________个三角形．
10．若过n边形的一个顶点有2m条对角线，m边形没有对角线，k边形有k条对角线，则(n－k)m＝________．
11．一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形．
综合题
12．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x.
(1)上图中的格点多边形，其内部都只有1个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式：S＝________；
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
2.5
3
4
…
各边上格点的个数和x
4
5
6
8
…
(2)请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是S＝________；
(3)请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x的关系式是S＝11．3 多边形及其内
参考答案
1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.10 7.C
8.稳定 不稳定9．n－1 10.12
11．不一定，如图所示：
12．(1)x (2)＋1 (3)＋n－1
