(共64张PPT)
11.1.4 棱锥与棱台
探究点一 棱锥、棱台的概念及其结构特征
探究点二 棱锥中的有关计算
探究点三 棱台中的有关计算
探究点四 棱锥、棱台中的侧面展开图及
截面问题
【学习目标】
1.认识棱锥、棱台的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中
简单物体结构,能够识别和区分棱锥、棱台，通过观察空间图形，认
识棱锥、棱台的结构特征，培养数学抽象思维和直观想象能力；
2.体会空间问题转化为平面问题的转化方法,借助几何关系计算
棱锥和棱台的棱长和表面积，通过棱锥、棱台的表面积的计算，培
养数学运算能力．
知识点一 棱锥的结构特征
1.棱锥
定义 如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有
______________的三角形,则称这个多面体为棱锥
一个公共顶点
图示及相关 概念 ________________________________________________ 底面：是多边形的那个面.
侧面：有公共顶点的各三角形.
顶点：各侧面的公共顶点.
侧棱：相邻两侧面的公共边.
高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂
线,所得到的线段（或它的长度）.
侧面积：所有侧面的面积之和
棱锥的分类 依据底面的形状分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 续表
2.正棱锥及其有关概念
（1）正棱锥的定义：如果棱锥的底面是__________,且棱锥的顶点与
底面中心的连线________底面,则称这个棱锥为正棱锥.
（2）侧面的性质：正棱锥的侧面都全等,而且都是____________.
正多边形
垂直于
等腰三角形
（3）正棱锥的斜高：侧面等腰三角形底边上的高.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）正棱锥的侧面是等边三角形.( )
×
[解析] 正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形.
（2）各个面都是三角形的几何体是三棱锥.( )
×
[解析] 如图,该几何体的各个面都是三角形,但该几何体不是三棱锥.
（3）底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
( )
×
[解析] 如图所示,三棱锥 中,
,满足 是等边三角形,
三个侧面,, 都是等腰三角形,
但 的长度不确定,所以三个侧面不一定全等.
2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗
解：不一定是棱锥.如图所示的几何体满足各面都是三角形,
但这个几何体不是棱锥,因为它不满足“其余各面都是有一个公共顶点
的三角形”.
知识点二 棱台的结构特征
1.棱台
定义 一般地,用______于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截
面与底面间的多面体称为棱台
平行
图示及相关 概念 ______________________________________ 下底面：原棱锥的底面.
上底面：截面.
侧面：其余各面.
侧棱：相邻两侧面的公共边.
高：过棱台一个底面上的任意一个顶
点,作另一个底面的垂线所得到的线段
（或它的长度）.
侧面积：所有侧面的面积之和
棱台的分类 依据底面的形状分类：三棱台、四棱台、五棱台…… 续表
2.正棱台及其有关概念
（1）正棱台的定义：由________截得的棱台称为正棱台.
（2）正棱台的高：上、下底面中心的连线.
（3）侧面性质：正棱台的侧面都______，而且都是等腰梯形.
（4）正棱台的斜高：侧面等腰梯形的高.
正棱锥
全等
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部
分.( )
√
（2）用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台.
( )
×
（3）有两个面平行,且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台.( )
×
2.棱台的各侧棱是什么关系 各侧面是什么样的多边形 两个底面是什
么关系
解：棱台的各侧棱延长后交于一点,各侧面是梯形,两个底面是相似的
多边形.
知识点三 棱锥、棱台的表面积（侧面积）
棱锥、棱台的表面积就是围成它们的______________的和.
各个面的面积
【诊断分析】
1.棱锥、棱台是由多个面围成的几何体,沿着若干条棱剪开后,几何体
的各个面就可以展开在一个平面内,得到一个平面多边形,这个平面多
边形就是几何体的____________.
表面展开图
2.棱锥的侧面展开图是由________构成的平面图形;棱台的侧面展开
图是由______构成的平面图形.
三角形
梯形
探究点一 棱锥、棱台的概念及其结构特征
［探索］ 如何判断一个棱锥为正棱锥
解：判断一个棱锥是否是正棱锥,关键是紧扣正棱锥的定义,
当底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心时,该棱锥为正棱锥.
例1（1） 观察如图所示的几何体，其中判断正确的是( )
A.①是棱台 B.②是棱锥 C.③是棱锥 D.④不是棱柱
√
[解析] ①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以各侧棱延长后
不会相交于一点，不是棱台.
②中侧面三角形无公共顶点，不是棱锥.
③中几何体是棱锥.
④是底面为六边形的棱柱.故选C.
（2）（多选题）下列说法错误的是( )
A.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
√
√
√
[解析] 正六边形中心与各个顶点连线，构成了6个全等的小正三角形，
所以正六棱锥侧棱长不可能与底边相等，故A中说法错误;
用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才
是棱台，故B中说法错误；
四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，故C中说法正确；
棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故D中说法
错误.故选 .
变式（1） （多选题）下列说法正确的是( )
A.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，会得到一个棱锥和一个棱台
B.棱锥的侧面一定都是三角形
C.棱台各侧棱所在直线必交于一点
D.有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体
一定是四棱台
√
√
√
[解析] 对于A，由棱台的定义可知A中说法正确；
对于B，根据棱锥的定义可知，棱锥的侧面一定
都是三角形，故B中说法正确；
对于C，根据棱台的定义可知，棱台各侧棱所在直线 必交于一点，
故C中说法正确；
对于D，如图所示，该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形
平行，且上底面矩形的长与下底面矩形的宽对应平行，则四个侧面
均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故不是四棱台，故D中
说法错误.故选 .
（2）判断图中甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台.
解：在图甲中，多面体侧棱延长线不相交于同一点，故甲不是棱台；
在图乙中，多面体不是由棱锥截得的，故乙不是棱台；
在图丙中，多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，
故丙不是棱台．
［素养小结］
关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法
（1）根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义
进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时作出几何
模型通过演示进行准确判断．
（2）解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正掌握几何体的
结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说
明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．
探究点二 棱锥中的有关计算
例2 已知正六棱锥的底面周长为24,为底面 的
中心,是的中点, .
解：连接,则 平面 .因为正六棱锥的底面周长为24,
所以正六棱锥的底面边长为4.
（1）求棱锥的斜高;
易知,在中,因为 ,
所以，即正六棱锥的斜高为 .
（2）求棱锥的高;
解：在中, ,即正六棱锥的高为6.
（3）求棱锥的侧棱长.
解：连接,在中,, ,
所以,即正六棱锥的侧棱长为 .
变式（1） [2024·浙江杭师大附中高二期中]棱长为1的正四面体的高
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 作出正四面体，如图所示.
取 的中心，连接，.
因为 是边长为1的等边三角形，
所以是 的外接圆半径，
所以 .
由正四面体的性质可知， 平面，
所以正四面体的高为，又 平面，所以，
则 .故选D.
（2）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是
______.
[解析] 如图，在正三棱锥 中，高，
取的中点，连接， ，则点在上，
且， ，，
由勾股定理得 ，
所以 ，
，
所以 ， ，
所以该三棱锥的表面积为 .
［素养小结］
正棱锥的侧面积等于它的斜高与底面周长 乘积的一半，即
，表面积 .
探究点三 棱台中的有关计算
例3（1） 正四棱台的上、下底面边长分别为, ，侧棱长为
，则该棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得正四棱台的一个侧面是等腰梯形，且等腰梯形的上、
下底边长分别为,，腰长为 ，
所以斜高 ，
所以该棱台的侧面积 故选B.
√
（2）[2023·成都盐道街中学高一月考] 正四棱台 的
高是，两底面的边长分别是和 ，则这个棱台的侧棱
长为____，斜高为______ .
19
[解析] 设棱台下、上底面的中心分别是和 ，，的中点分别
是，.连接，， ，，，，
则四边形， 都是直角梯形，如图．
在正方形中， ，
，.
在正方形中， ，
，.
在直角梯形 中，
.
在直角梯形 中，
故这个棱台的侧棱长为，斜高为 .
变式 [2024·辽宁大连辽宁师大附中高一月考]正四棱台的上底面边长
为，下底面边长为，上底面中心处高为 的旗杆的顶点恰好为该四
棱台四条侧棱延长线的交点，则该四棱台的高为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设正四棱台 的侧棱的
延长线交于点，则是正四棱锥，
设, 分别是正方形,的中心，
则,, 三点共线，
连接，则是正四棱锥的高， 是四棱台的高.
连接,，则， , 于是，
因此 ，即，解得 ，
所以该四棱台的高为 .
［素养小结］
（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长与高的乘积，即 ，
表面积 .
（2）正棱台的表面积等于侧面积与底面积之和.
（3）正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜
高组成一个直角梯形；两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外
接圆的半径组成一个直角梯形．在求解有关棱台的问题时，一般是
根据这两个直角梯形来转化棱台的高、斜高、侧棱与底面边长之间
的关系．
探究点四 棱锥、棱台中的侧面展开图及截面问题
［探索］ 如何求一动点沿棱锥、棱台的侧面运动到某一点的最短路
径长
解：作出棱锥、棱台的侧面展开图,在一个平面上连接两点组成线段，
该线段的长度即为最短路径的长.
例4 已知正四棱锥的侧棱长为4，且 ，若一
只蚂蚁从点出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点 ，则蚂蚁爬
行的最短距离为_____.
[解析] 将该四棱锥沿 剪开，
展成平面图形，如图，
根据两点之间的线段最短，得蚂蚁爬行的最短
距离为 ，
，
所以
，
故蚂蚁爬行的最短距离为 .
变式 如图所示，正四棱锥 的所有
棱长都等于，过不相邻的两条棱, 作截
面 ，求截面的面积.
解：根据正棱锥的性质可知，底面是正方形，故 .
在等腰三角形 中，，
又， ，
， 截面的面积为 .
［素养小结］
如果给出多面体的平面展开图，判断是由哪一个多面体展开的，可
以再将展开图中的各个面通过向内或者向外翻折，将平面图还原为
多面体.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一
个多面体可能有多个平面展开图.
拓展 如图，在正三棱锥中，底面边长为 ，侧棱
长为，点，分别为，上的动点，求截面
的周长的最小值和取最小值时点， 的位置．
解：如图所示，展开三棱锥的侧面得五边形
，连接分别交，于点 ，，
则此时 的周长最小，最小值为的长.
由题意易知 ，
则，所以 ，
则 ，
，且，
所以 ，,则,即.
由，可得 ，
即,则 ，
故当，分别为棱，上靠近， 的
一个四等分点时，截面 的周长最小，
最小值为 .
1.（多选题）给出下列关于棱锥、棱台的说法，其中正确的是
( )
A.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B.棱台的侧面一定不会是平行四边形
C.棱锥的侧面只能是三角形
D.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
√
√
[解析] A错误,有两个面平行且相似，其余各面都是梯形，侧棱延长
后不交于一点的多面体不是棱台;
B正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
C正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;
D错误，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的.故选 .
2.设棱锥的底面面积为 ，则这个棱锥的中截面（过棱锥高的中
点且平行于底面的截面）的面积是( )
A. B. C. D.
[解析] 易知中截面的面积应是底面面积的，即为 .
故选C.
√
3.用一个平面去截一个三棱锥,截面是( )
A.四边形 B.三角形
C.三角形或四边形 D.不可能为四边形
[解析] 如图所示，截面（图中阴影部分）是三角形或四边形.
√
4.正三棱锥的侧棱长为2，高为1，则该正三棱锥的底面周长为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
[解析] 设正三棱锥的底面边长为 ，
根据正三棱锥的几何性质可知，在底面上的射影
为底面中心.连接，如图所示，
设D为 的中点，则A,,D三点共线，连接 ，
则 .
在 中，由勾股定理得，即，
解得 ，所以该正三棱锥的底面周长为 .
√
5.（多选题）如图，以下条件中不能推出这个几何体是三棱台的是
( )
A.,,,
B.,,,, ,
C.,,,, ,
D.,,
√
√
√
[解析] 对于A，因为 ，所以该几何体
不可能是三棱台，故A中条件不能推出几何体可
能是三棱台；
对于B，因为 ，所以该几何体不可能是三棱台，
故B中条件不能推出几何 体可能是三棱台；
对于C，因为 ，所以该几何体可能
是三棱台，故C中条件可能推出几何体是三棱台；
对于D，易知该几何体可能是三棱柱，故D中条件
不能推出几何体可能是三棱台．故选 .
1.棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表
示出来.（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）
2.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面的面积公式之间的关系
其中，分别为正棱台上、下底面周长， 为正棱台和正棱锥的斜
高， 为正棱柱的高．
用图表示直棱柱、正棱锥、正棱
台的侧面积公式之间的关系如图
所示．
3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较
结构特征 棱柱 棱锥 棱台
底面 两底面是全等的 多边形 多边形 两底面是相似的
多边形
侧面 平行四边形 三角形 梯形
侧棱 平行且相等 相交于顶点 延长线交于一点
平行于底面的 截面 与两底面全等的 多边形 与底面相似的 多边形 与两底面相似的
多边形
过不相邻两侧 棱的截面 平行四边形 三角形 梯形
4.棱锥的表面积
（1）若正棱锥的底面边长为 ，底面周长为，斜高为，则正 棱锥
的侧面积公式为 ，即正棱锥的侧面积等于它的
底面的周长和斜高乘积的一半．
（2）棱锥的表面积等于侧面积与底面积的和.
5.棱台的表面积
棱台的展开图是由棱台的各个侧面和上下底面组成的；正棱台的
侧面展开图是一些全等的等腰梯形.设棱台下底面边长为 ，周长为
，上底面边长为，周长为 ，斜高为，则正 棱台的侧面积公
式为 .
6.用“补形法”解决台体中的计算问题与台体有关的计算问题，常利用
“补形法”将台体还原为锥体，并结合相似三角形的性质求解.利用了
化归与转化的思想.
1.正棱锥中的几个重要的直角三角形：如图所示,
正棱锥中,点为底面中心,是 的中
点,则,均是直角三角形,显然, ,
也是直角三角形.
例1 已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点 ，到该正四
棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，由题意可得
，
且，解得 .
故选A.
√
2.正棱台中的几个重要的直角梯形：
如图所示,由斜高、侧棱构成的直角梯形 ,
由斜高、高构成的直角梯形 ,
由高、侧棱构成的直角梯形 .
例2 一个正三棱台的上、下底面的边长分别为和 ，高是
.求此三棱台的侧面积及表面积．
解：设，分别是上、下底面的中心，连接 ，则，
连接并延长交于点，连接 并延长交于点，
连接，过作于点 .
在中， ，
，
则 ，
则 ，
则 .
故三棱台的侧面积为，表面积为 .11.1.4 棱锥与棱台
【课前预习】
知识点一
1.一个公共顶点 2.(1)正多边形 垂直于 (2)等腰三角形
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形.
(2)如图,该几何体的各个面都是三角形,但该几何体不是三棱锥.
(3)如图所示,三棱锥A-BCD中,AB=AD=BD=BC=CD,满足△BCD是等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC的长度不确定,所以三个侧面不一定全等.
2.解:不一定是棱锥.如图所示的几何体满足各面都是三角形,但这个几何体不是棱锥,因为它不满足“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.
知识点二
1.平行 2.(1)正棱锥 (3)全等
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)×
2.解:棱台的各侧棱延长后交于一点,各侧面是梯形,两个底面是相似的多边形.
知识点三
各个面的面积
诊断分析
1.表面展开图 2.三角形 梯形
【课中探究】
探究点一
探索 解:判断一个棱锥是否是正棱锥,关键是紧扣正棱锥的定义,当底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心时,该棱锥为正棱锥.
例1 (1)C (2)ABD [解析] (1)①中互相平行的两个平面四边形不相似,所以各侧棱延长后不会相交于一点,不是棱台.②中侧面三角形无公共顶点,不是棱锥.③中几何体是棱锥.④是底面为六边形的棱柱.故选C.
(2)正六边形中心与各个顶点连线,构成了6个全等的小正三角形,所以正六棱锥侧棱长不可能与底边相等,故A中说法错误;用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分才是棱台,故B中说法错误;四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面,故C中说法正确;棱台的侧棱延长后交于一点,但侧面不一定是等腰梯形,故D中说法错误.故选ABD.
变式 (1)ABC [解析] 对于A,由棱台的定义可知A中说法正确;对于B,根据棱锥的定义可知,棱锥的侧面一定都是三角形,故B中说法正确;对于C,根据棱台的定义可知,棱台各侧棱所在直线必交于一点,故C中说法正确;对于D,如图所示,该几何体的上下底面是两个全等的矩形,两矩形平行,且上底面矩形的长与下底面矩形的宽对应平行,则四个侧面均为等腰梯形,但四条侧棱并不交于同一点,故不是四棱台,故D中说法错误.故选ABC.
(2)解:在图甲中,多面体侧棱延长线不相交于同一点,故甲不是棱台;在图乙中,多面体不是由棱锥截得的,故乙不是棱台;在图丙中,多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,故丙不是棱台.
探究点二
例2 解:连接SO,则SO⊥平面ABCDEF.因为正六棱锥的底面周长为24,所以正六棱锥的底面边长为4.
(1)易知OH=BC=2,在Rt△SOH中,因为∠SHO=60°,所以SH==2OH=4,即正六棱锥的斜高为4.
(2)在Rt△SOH中,SO=SHsin 60°=6,即正六棱锥的高为6.
(3)连接OB,在Rt△SOB中,SO=6,OB=BC=4,所以SB==2,即正六棱锥的侧棱长为2.
变式 (1)D (2)12 [解析] (1)作出正四面体A-BCD,如图所示.取△BCD的中心O,连接AO,DO.因为△BCD是边长为1的等边三角形,所以OD是△BCD的外接圆半径,所以OD=×=×=.由正四面体的性质可知,AO⊥平面BCD,所以正四面体A-BCD的高为AO,又OD 平面BCD,所以AO⊥OD,则AO===.故选D.
(2)如图,在正三棱锥O-ABC中,高OM=2,取BC的中点N,连接AN,ON,则点M在AN上,且MN=AN,AB=4,BN=2,由勾股定理得AN==2,所以MN=AN=,ON===,所以S△OBC=BC·ON=,S△ABC=BC·AN=4,所以该三棱锥的表面积为×3+4=12.
探究点三
例3 (1)B (2)19 5 [解析] (1)由题意得正四棱台的一个侧面是等腰梯形,且等腰梯形的上、下底边长分别为1 cm,3 cm,腰长为 cm,所以斜高h'==1(cm),所以该棱台的侧面积S=×(1+3)×1×4=8(cm2).故选B.
(2)设棱台下、上底面的中心分别是O和O',B'C',BC的中点分别是E',E.连接O'O,E'E,O'B',OB,O'E',OE,则四边形OBB'O',OEE'O'都是直角梯形,如图.在正方形ABCD中,∵BC=16 cm,∴OB=8 cm,OE=8 cm.在正方形A'B'C'D'中,∵B'C'=4 cm,∴O'B'=2 cm,O'E'=2 cm.在直角梯形OBB'O'中,BB'===19(cm).在直角梯形OEE'O'中,EE'= ==5(cm).故这个棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5 cm.
变式 D [解析] 如图,设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧棱的延长线交于点P,则P-ABCD是正四棱锥,设O,O1分别是正方形ABCD,A1B1C1D1的中心,则P,O1,O三点共线,连接PO,则PO是正四棱锥P-ABCD的高,OO1是四棱台的高.连接AC,A1C1,则PO⊥AC,AC∥A1C1,于是△PA1C1∽△PAC,因此=,即=,解得OO1=,所以该四棱台的高为.
探究点四
探索 解:作出棱锥、棱台的侧面展开图,在一个平面上连接两点组成线段,该线段的长度即为最短路径的长.
例4 4 [解析] 将该四棱锥P-ABCD沿PA剪开,展成平面图形,如图,根据两点之间的线段最短,得蚂蚁爬行的最短距离为AA',由∠APB=30°,得∠APA'=120°,AP=A'P=4,所以AA'==
=4,故蚂蚁爬行的最短距离为4.
变式 解:根据正棱锥的性质可知,底面ABCD是正方形,故AC=a.在等腰三角形SAC中,SA=SC=a,又AC=a,∴SA2+SC2=a2+a2=2a2=AC2,
∴∠ASC=90°,∴截面的面积为a2.
拓展 解:如图所示,展开三棱锥的侧面得五边形ABCDB',连接BB'分别交AC,AD于点E,F,则此时△BEF的周长最小,最小值为BB'的长.由题意易知△ABE≌△AB'F,则AE=AF,所以∠AEF=∠AFE,则∠AEF=∠AFE=∠ACD=∠ADC,所以EF∥CD,且∠BEC=∠AEF=∠ACD=∠BCE,所以BE=a=B'F,△BEC∽△ACD,则==,即EC=a.由EF∥CD,可得=,即×CD=EF=a,则==,故当E,F分别为棱AC,AD上靠近C,D的一个四等分点时,截面△BEF的周长最小,最小值为BE+EF+FB'=a+a+a=a.
【课堂评价】
1.BC [解析] A错误,有两个面平行且相似,其余各面都是梯形,侧棱延长后不交于一点的多面体不是棱台;B正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;C正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;D错误,棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的.故选BC.
2.C [解析] 易知中截面的面积应是底面面积的,即为8×=2(cm2).故选C.
3.C [解析] 如图所示,截面(图中阴影部分)是三角形或四边形.
4.B [解析] 设正三棱锥S-ABC的底面边长为a,根据正三棱锥的几何性质可知,S在底面上的射影O为底面中心.连接SO,如图所示,设D为BC的中点,则A,O,D三点共线,连接AD,则OA=AD=×a=a.在Rt△SAO中,由勾股定理得AO2+SO2=SA2,即a2+1=4,解得a=3,所以该正三棱锥的底面周长为3a=9.
5.ABD [解析] 对于A,因为≠,所以该几何体不可能是三棱台,故A中条件不能推出几何体可能是三棱台;对于B,因为≠,所以该几何体不可能是三棱台,故B中条件不能推出几何体可能是三棱台;对于C,因为==,所以该几何体可能是三棱台,故C中条件可能推出几何体是三棱台;对于D,易知该几何体可能是三棱柱,故D中条件不能推出几何体可能是三棱台.故选ABD.11.1.4 棱锥与棱台
【学习目标】
1.认识棱锥、棱台的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体结构,能够识别和区分棱锥、棱台,通过观察空间图形,认识棱锥、棱台的结构特征,培养数学抽象思维和直观想象能力;
2.体会空间问题转化为平面问题的转化方法,借助几何关系计算棱锥和棱台的棱长和表面积,通过棱锥、棱台的表面积的计算,培养数学运算能力.
◆ 知识点一 棱锥的结构特征
1.棱锥
定义 如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有 的三角形,则称这个多面体为棱锥
图示 及相 关概念 底面:是多边形的那个面. 侧面:有公共顶点的各三角形. 顶点:各侧面的公共顶点. 侧棱:相邻两侧面的公共边. 高:过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段(或它的长度). 侧面积:所有侧面的面积之和
棱锥的 分类 依据底面的形状分类:三棱锥、四棱锥、五棱锥……
2.正棱锥及其有关概念
(1)正棱锥的定义:如果棱锥的底面是 ,且棱锥的顶点与底面中心的连线 底面,则称这个棱锥为正棱锥.
(2)侧面的性质:正棱锥的侧面都全等,而且都是 .
(3)正棱锥的斜高:侧面等腰三角形底边上的高.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正棱锥的侧面是等边三角形. ( )
(2)各个面都是三角形的几何体是三棱锥. ( )
(3)底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ( )
2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗
◆ 知识点二 棱台的结构特征
1.棱台
定义 一般地,用 于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体称为棱台
图示 及相 关概念 下底面:原棱锥的底面. 上底面:截面. 侧面:其余各面. 侧棱:相邻两侧面的公共边. 高:过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度). 侧面积:所有侧面的面积之和
棱台的 分类 依据底面的形状分类:三棱台、四棱台、五棱台……
2.正棱台及其有关概念
(1)正棱台的定义:由 截得的棱台称为正棱台.
(2)正棱台的高:上、下底面中心的连线.
(3)侧面性质:正棱台的侧面都 ,而且都是等腰梯形.
(4)正棱台的斜高:侧面等腰梯形的高.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分. ( )
(2)用一个平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台. ( )
(3)有两个面平行,且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台. ( )
2.棱台的各侧棱是什么关系 各侧面是什么样的多边形 两个底面是什么关系
◆ 知识点三 棱锥、棱台的表面积(侧面积)
棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 的和.
【诊断分析】 1.棱锥、棱台是由多个面围成的几何体,沿着若干条棱剪开后,几何体的各个面就可以展开在一个平面内,得到一个平面多边形,这个平面多边形就是几何体的 .
2.棱锥的侧面展开图是由 构成的平面图形;棱台的侧面展开图是由 构成的平面图形.
◆ 探究点一 棱锥、棱台的概念及其结构特征
[探索] 如何判断一个棱锥为正棱锥
例1 (1)观察如图所示的几何体,其中判断正确的是 ( )
A.①是棱台 B.②是棱锥
C.③是棱锥 D.④不是棱柱
(2)(多选题)下列说法错误的是 ( )
A.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥
B.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D.棱台的侧棱延长后交于一点,侧面是等腰梯形
变式 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,会得到一个棱锥和一个棱台
B.棱锥的侧面一定都是三角形
C.棱台各侧棱所在直线必交于一点
D.有两个面为矩形且相互平行,其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台
(2)判断图中甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台.
[素养小结]
关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法
(1)根据几何体的结构特征的描述,结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断,注意判断时要充分发挥空间想象能力,必要时作出几何模型通过演示进行准确判断.
(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义,要真正掌握几何体的结构特征,并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析,即要说明一个命题是错误的,设法举出一个反例即可.
◆ 探究点二 棱锥中的有关计算
例2 已知正六棱锥S-ABCDEF的底面周长为24,O为底面ABCDEF的中心,H是BC的中点,∠SHO=60°.
(1)求棱锥的斜高;
(2)求棱锥的高;
(3)求棱锥的侧棱长.
变式 (1)[2024·浙江杭师大附中高二期中] 棱长为1的正四面体的高为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知正三棱锥的底面边长为4,高为2,则该三棱锥的表面积是 .
[素养小结]
正棱锥的侧面积等于它的斜高h'与底面周长c乘积的一半,即S侧=ch',表面积=S侧+S底.
◆ 探究点三 棱台中的有关计算
例3 (1)正四棱台的上、下底面边长分别为1 cm,3 cm,侧棱长为 cm,则该棱台的侧面积为 ( )
A.4 cm2 B.8 cm2
C.4 cm2 D.8 cm2
(2)[2023·成都盐道街中学高一月考] 正四棱台ABCD-A'B'C'D'的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm和16 cm,则这个棱台的侧棱长为 cm,斜高为 cm.
变式 [2024·辽宁大连辽宁师大附中高一月考] 正四棱台的上底面边长为a,下底面边长为b,上底面中心处高为h的旗杆的顶点恰好为该四棱台四条侧棱延长线的交点,则该四棱台的高为 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长c与高h的乘积,即S侧=ch,表面积=S侧+2S底.
(2)正棱台的表面积等于侧面积与底面积之和.
(3)正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高组成一个直角梯形;两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径组成一个直角梯形.在求解有关棱台的问题时,一般是根据这两个直角梯形来转化棱台的高、斜高、侧棱与底面边长之间的关系.
◆ 探究点四 棱锥、棱台中的侧面展开图及
截面问题
[探索] 如何求一动点沿棱锥、棱台的侧面运动到某一点的最短路径长
例4 已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为4,且∠APB=30°,若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短距离为 .
变式 如图所示,正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a,过不相邻的两条棱SA,SC作截面SAC,求截面的面积.
[素养小结]
如果给出多面体的平面展开图,判断是由哪一个多面体展开的,可以再将展开图中的各个面通过向内或者向外翻折,将平面图还原为多面体.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可能有多个平面展开图.
拓展 如图,在正三棱锥A-BCD中,底面边长为a,侧棱长为2a,点E,F分别为AC,AD上的动点,求截面△BEF的周长的最小值和取最小值时点E,F的位置.
1.(多选题)给出下列关于棱锥、棱台的说法,其中正确的是 ( )
A.有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
B.棱台的侧面一定不会是平行四边形
C.棱锥的侧面只能是三角形
D.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
2.设棱锥的底面面积为8 cm2,则这个棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的截面)的面积是 ( )
A.4 cm2 B.2cm2
C.2 cm2 D. cm2
3.用一个平面去截一个三棱锥,截面是 ( )
A.四边形
B.三角形
C.三角形或四边形
D.不可能为四边形
4.正三棱锥的侧棱长为2,高为1,则该正三棱锥的底面周长为 ( )
A.6 B.9
C.12 D.18
5.(多选题)如图,以下条件中不能推出这个几何体是三棱台的是 ( )
A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4
B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3
C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4
D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A111.1.4 棱锥与棱台
1.A
2.A [解析] 四面体有4个面,四棱锥有5个面,三棱柱有5个面,三棱台有5个面,所以面的个数最少的是四面体.故选A.
3.D [解析] 由题得正四棱锥P-ABCD侧面的高h==2,所以正四棱锥P-ABCD的侧面积S=4××2×2=8.故选D.
4.A [解析] 因为相邻两个氟原子间的距离为2a,所以该正八面体的每个面都是边长为2a的等边三角形,故该正八面体的表面积为8××2a×2a×sin 60°=8a2.故选A.
5.B [解析] 因为正四棱锥P-ABCD的侧棱长为10,底面边长为6,所以正四棱锥的高为=8,又正四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为5,所以正四棱台的高为8×=4.故选B.
6.D [解析] 由棱台的定义可知,AA1,BB1,CC1,DD1的延长线都交于点P,连接AC,因为在正四棱锥P-ABCD中,∠APB=,AB=2,所以△PAB是边长为2的等边三角形,所以PA=PC=2.又在正方形ABCD中,AC=2,所以AC2=PA2+PC2,所以PA⊥PC,所以∠APC=.故选D.
7.B [解析] 设正三棱锥的高为h,底面边长为a,则斜高为h.由题知h2+=,所以h=,所以S侧面积=3×a·=a2,S底面积=a2,所以S侧面积=2S底面积.
8.AC [解析] 对于A,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四面体A1-ABC的四个面都是直角三角形,故A正确;对于B,三个直角均以A为顶点,那么△BCD一定为锐角三角形,故B错误;对于C,存在不共面的四点A,B,C,D,使∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,如图所示,故C正确;对于D,若∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,则A,B,C,D四点共面,故D错误.故选AC.
9.ABC [解析] 如图所示,AE∥BF∥CD,四边形ACDE为梯形.对于A,由题意可知,“羡除”有且仅有两个面为三角形,故A正确;对于B,因为AE∥BF∥CD,所以“羡除”一定不是台体,故B正确;对于C,假设四边形ABFE和四边形BCDF为平行四边形,则AE∥BF∥CD,且AE=BF=CD,则四边形ACDE为平行四边形,与四边形ACDE为梯形矛盾,故不存在有两个面为平行四边形的“羡除”,故C正确;对于D,若AE≠BF≠CD,则“羡除”有三个面为梯形,故D错误.故选ABC.
10.11 cm [解析] 设截面与底面间的距离为d cm,则由题意得=,可得d=11.
11.2 80+48 [解析] 如图为棱台的侧面AA1B1B,过A1,B1分别作A1E⊥AB,B1F⊥AB,垂足分别为E,F,则AE==2(cm),所以斜高h=A1E===2(cm).棱台的表面积为42+82+4××(4+8)×2=80+48(cm2).
12.8 [解析] 如图,沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC的侧面展开在一个平面内,如图所示,则AA'即为△AEF的周长的最小值,易知∠AVA'=3×30°=90°,在△VAA'中,由勾股定理得AA'===8.
13.解:如图,连接AD,则点O在AD上.
∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a,O为△ABC的中心,∴OA=a,OD=a.
在Rt△POA中,根据勾股定理,得PA===;
在Rt△POD中,根据勾股定理,得PD===.
故该正三棱锥的侧棱PA的长为,斜高PD的长为.
14.解:依题意,AB=10,则AD=AB=5,OD=AD=.
设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x,如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,
则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x,得DH=OD-OH=-x.
在Rt△D1DH中,D1D==2.
因为四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D,所以=(x+10)×2×,
即40=(x+10)(10-x),所以x=2,
所以△A1B1C1的边长为2.
15.B [解析] 如图所示,取A1B1的中点N,连接BN,MN,CM,易知平面BCMN为过点B,C,M的平面,则所得的三棱台为A1NM-ABC,其中上、下底面均为等腰直角三角形,三个侧面均为梯形,则S△ABC=×4×4=8,=×2×2=2,=×(2+4)×5=15,
=×(2+4)×5=15,S四边形BCMN=×(2+4)×=3,所以该三棱台的表面积为25+15+3.故选B.
16.解:因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,
所以四棱柱需要加工的面积S1=+S侧面=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1300(平方厘米).因为四棱台A1B1C1D1-ABCD的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,
所以四棱台需要加工的面积S2=+S侧面=(A1B1)2+4××(AB+A1B1)h等腰梯形的高=202+4××(10+20)×=1120(平方厘米).
所以该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420(平方厘米),
故所需加工处理费为0.2S=0.2×2420=484(元).11.1.4 棱锥与棱台
一、选择题
1.下面图形所表示的几何体中,不是棱锥的为 ( )
2.下列几何体中,面的个数最少的是 ( )
A.四面体 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱台
3.已知正四棱锥P-ABCD的高为,且AB=2,则正四棱锥P-ABCD的侧面积为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
4.六氟化硫,化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫的分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体),如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a,则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是(不计氟原子的大小) ( )
A.8a2 B.6a2
C.12a2 D.2a2
5.[2023·安徽师大附中高一期中] 正四棱锥P-ABCD的侧棱长为10,底面边长为6,该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1,正四棱台的侧棱长为5,则正四棱台的高为 ( )
A.5 B.4
C.3 D.2
6.如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1,BB1的延长线交于点P,∠APB1=,AB=2,则∠APC= ( )
A. B.
C. D.
7.若正三棱锥的斜高是高的倍,则该三棱锥的侧面积是底面积的 ( )
A. 倍 B.2倍
C. 倍 D.3倍
8.(多选题)下列结论正确的是 ( )
A.存在这样的四面体ABCD,四个面都是直角三角形
B.存在这样的四面体ABCD,∠BAC=∠CAD=∠DAB=∠BCD=90°
C.存在不共面的四点A,B,C,D,使∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
D.存在不共面的四点A,B,C,D,使∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
9.(多选题)[2024·山东泰安肥城高一期中] 《九章算术》是中国古代的一部数学专著,是“算经十书”中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,则 ( )
A.“羡除”有且仅有两个面为三角形
B.“羡除”一定不是台体
C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除”
D.“羡除”至多有两个面为梯形
二、填空题
10.若棱锥的高为16 cm,底面面积为512 cm2,平行于底面的截面面积为50 cm2,则截面与底面间的距离为 .
11.已知正四棱台的上底面边长为4 cm,侧棱和下底面的边长都是8 cm,则该正四棱台的斜高为 cm,它的表面积为 cm2.
12.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=8,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面AEF,则△AEF的周长的最小值为 .
三、解答题
13.如图所示,正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高PO为h,求它的侧棱PA的长和斜高PD的长.
14.如图所示,在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求△A1B1C1的边长.
15.[2024·黑龙江哈尔滨师大附中高一期中] 《九章算术》中有这样一个问题:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺.问积几何 答曰:四万六千五百尺”.所谓“堑堵”就是底面为直角三角形的直棱柱.如图所示的几何体是一个“堑堵”,其中AB=BC=4,AA1=5,M是A1C1的中点,过点B,C,M的平面把该“堑堵”分为两个几何体,其中一个为三棱台,则该三棱台的表面积为 ( )
A.40 B.25+15+3
C.50 D.30+20+3
16.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下面为底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上面是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面为全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.2元,则该零件需加工处理费多少元
