11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11．1.3 三角形的稳定性
基础题
知识点1 三角形的高
1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（
）
2．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
3．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有________个．
4．画出下面三角形三边上的高．
知识点2 三角形的中线
5．如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是（
）
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．AD＝EC，DC＝BE
6．三角形的三条中线的交点的位置为（
）
A．一定在三角形内部
B．一定在三角形外部
C．可能在三角形内部，也可能在三角形外部
D．可能在三角形的一条边上
7．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（
）
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形
D．周长相等的三角形
如图，AD是△ABC的一条中线，若BD＝3，则BC＝________．
知识点3 三角形的角平分线
9．如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是（
）
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
10．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这个交点一定在（
）
A．三角形内部
B．三角形的一边上
C．三角形外部
D．三角形的某个顶点上
11．如图所示，∠
1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（
）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC.
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
12．如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．
知识点4 三角形的稳定性
13．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（
）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性
D．长方形的四个角都是直角
14．将几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（
）
如图所示是一幅电动伸缩门的图片，则电动门能伸缩的几何原理是________________．
中档题
16．三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
17．如图，在△ABC中，AB＝5厘米，BC＝3厘米，BM为中线，则△ABM与△BCM的周长之差是________厘米．
如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添________根木条．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC＝12，AC＝8，AD＝6，BE的长为多少？
20．张大爷的四个儿子都长大成人了，也该分家
( http: / / www.21cnjy.com )了，于是张大爷准备把如图所示的一块三角形的田地平均分给四个儿子，四个儿子要求田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．
21．如图，AD是∠CAB
( http: / / www.21cnjy.com )的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
综合题
22．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4
cm2，求阴影部分的面积S阴影．
参考答案
D 2.A 3.6 4.略 5.D 6.A 7.B 8.6 9.A 10.A 11.C
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.
∵∠EDA＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD.∴AD是△ABC的角平分线．
C 14.C
15．四边形的不稳定性 16.B 17.2 18.3
∵S△ABC＝BC·AD＝×12×6＝36
又∵S△ABC＝AC·BE，
∴×8×BE＝36，即BE＝9.
答案不唯一，第一种方案：四等分一条边构成的四个三角形，如图1；第二种方案：由一条中线以及中线上的中线分割成的四个三角形，如图2.
DO是∠EDF的平分线．
证明：∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD
.∴∠EDA＝∠FDA，即DO是∠EDF的平分线．
∵D是边BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2(cm2)．
∵E是AD的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝1
cm2，S△CDE＝S△ACD＝1
cm2.
∴S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝2
cm2.
又∵F是CE的中点，
∴S阴影＝S△BEC＝1
cm2.第十一章 三角形
11．1 与三角形有关的线段
11．1.1 三角形的边
基础题
知识点1 三角形的概念
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是(
）
如图所示，∠BAC的对边是(
）
A．BD
B．DC
C．BC
D．AD
3．如图，三角形的个数有(
）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4．如图所示．
(1)图中共有多少个三角形？
(2)写出其中以EC为边的三角形；
(3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则以∠B为公共角的“共角三角形”有哪些？
知识点2 三角形的分类
5．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是(
）
6．下列说法正确的是(
）
A．所有的等腰三角形都是锐角三角形
B．等边三角形属于等腰三角形
C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
7．如图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
知识点3 三角形的三边关系
8．已知a，b，c是三角形的三边长，则下列不等式中不成立的是(
）
A．a＋b＞c
B．a－b＞c
C．b－c＜a
D．b＋c＞a
9．已知下列每组数分别是三根小木棒的长度，其中能摆成三角形的是(
）
A．3
cm，4
cm，5
cm
B．7
cm，8
cm，15
cm
C．
3
cm，12
cm，20
cm
D．5
cm，5
cm，11
cm
10．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为________．
11．已知在△ABC中，AB＝8，BC＝2a＋2，AC＝22.
(1)求a的取值范围；
(2)若△ABC为等腰三角形，求这个三角形的周长．
中档题
12．如图，三角形的个数为(
）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
13．下列长度的三条线段能组成三角形的是
(
）
A．5，6，
10
B．5，6，11
C．3，4，8
D．4a，4a，8a(a＞0)
14．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B
( http: / / www.21cnjy.com )之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5
m，PB＝4
m，那么点A与点B之间的距离不可能是(
）
A．6
m
B．7
m
C．8
m
D．9
m
15．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则(
）
A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
16．有四条线段，长分别为3
cm、5
cm、7
cm、9
cm，如果用这些线段组成三角形，可以组成________个三角形．
17．已知三角形的两边长分别为2
cm和7
cm，最大边的长为a
cm，则a的取值范围是________．
18．用一条长为36
cm的细绳围成一个等腰三角形，若它的一边长为8
cm，则它的底边长为________cm.
19．已知a，b，c是三角形的三边长．
(1)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|；
(2)在(1)的条件下，若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．
综合题
20．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个
( http: / / www.21cnjy.com )三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．
(1)请用含m的式子表示第三条边长；
(2)第一条边长能否为10米？为什么？
(3)若第一条边长最短，求m的取值范围．
参考答案
D 2.C 3.D
(1)图中共有5个三角形．(2)△ACE，
( http: / / www.21cnjy.com )△DCE，△BCE.(3)△DBE与△CBE，△CBA与△CBE，△DBE与△CBA. 5.D 6.B 7.D 8.B 9.A 10.8
(1)由题意得：14＜2a＋2＜30，故6＜a＜14.
∵△ABC为等腰三角形，∴2a＋2＝8或2a＋2＝22，则a＝3或a＝10.∵6＜a＜14，
∴a＝10.∴△ABC的周长为22＋22＋8＝52.
C 13.A 14.D 15.D 16.3 17.7≤a＜9 18.8
(1)∵a，b，c是三角形的三边长，∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0.
∴原式＝－a＋b＋c－b＋a＋c－c＋a＋b＝a＋b＋c.
当a＝5，b＝4，c＝3时，原式＝5＋4＋3＝12.
(1)∵第二条边长为(3m－2)米，∴第三条边长为50－m－(3m－2)＝(52－4m)米．
当m＝10时，三边长分别为10，28，12，
∵10＋12＜28，
∴不能构成三角形，即第一条边长不能为10米．
由题意得
解得＜m＜9.
