《解一元一次方程(一)—合并同类项与移项》习题
1．在中， 是方程的解．
2．若是的解，则的值是 ．
3．当 时，代数式与的差为10．
4．如果与互为相反数，则的值为 ．
5．已知方程是关于的一元一次方程，则 ．
6．如果成立，则的正数解为 ．
7．已知的解满足，则 ．
8．若是关于的一元一次方程，则 ， ．
9．解下列方程.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
第三章 不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一无二次不等式及其解法
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集为( )
A．{x|x≤2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2≤x≤1} D．?
解析：由－x2－x＋2≥0，得
x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，
所以－2≤x≤1，
所以原不等式解集为{x|－2≤x≤1}．
答案：C
2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0，2) B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
解析：由a⊙b＝ab＋2a＋b，得
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，
所以－2＜x＜1.
答案：B
3．二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( )
A. B. C. D.
解析：结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c＜0，则.
答案：D
4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为( )
A．14 B．－10 C．10 D．－14
解析：由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，.
所以解得
所以a＋b＝－14.
答案：D
5．已知不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}．则a，b的值等于( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2 D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，所以方程ax2＋3x－2＝0的两个根分别为1和b，根据根与系数的关系，得1＋b＝－，b＝－，所以a＝－1，
b＝2.
答案：C
二、填空题
6．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为________．
解析：因为0＜t＜1，所以＞1，
所以(x－t)＜0的解集为.
答案：
7．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为________．
解析：因为ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以解得
所以bx2－ax－2＞0，即x2＋x－2＞0，
解得x＞1或x＜－2.
答案：{x|x＞1或x＜－2}
8．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}，且B?A，则a的取值范围为________．
解析：A＝{x|3x－2－x2＜0}＝{x|x2－3x＋2＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|x＜a}．若B?A，如图，则a≤1.
答案：(－∞，1]
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3＞0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，
所以(2x＋1)(x－2)＜0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
故原不等式的解集是R.
10．解不等式组：
－1＜x2＋2x－1≤2.
解：原不等式组等价于
即
由①得x(x＋2)＞0，
所以x＜－2或x＞0；
由②得(x＋3)(x－1)≤0，
所以－3≤x≤1.
所以原不等式组的解集为
{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}，
B级 能力提升
1．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝
则f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C. D.∪(2，＋∞)
解析：由x＜g(x)，得x＜x2－2，则x＜－1或x＞2；
由x≥g(x)，得x≥x2－2，则－1≤x≤2.
因此f(x)＝
即f(x)＝
因为当x＜－1时，y＞2；当x＞2时，y＞8.
所以 当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f(x)的值域为(2，＋∞)．
当－1≤x≤2时， －≤y≤0.
所以当x∈[－1，2] 时，函数f(x)的值域为.
综上可知，函数f(x)的值域为∪(2，＋∞)．
答案：D
2．设0＜b＜1＋a.若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为________．
解析：原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0，①当a≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a＞1时，＜x＜，由题意知0＜＜1，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤＜－2.整理，得2a－2＜b≤3a－3.结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a.所以a＜3，从而有1＜a＜3.综上可得a∈(1，3)．
答案：(1，3)
3．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值．
解：(1)当m＝1时，不等式f(x)＞0为2x2－x＞0，
因此所求解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1＞0，即(m＋1)x2－mx＋m＞0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根．
因此?m＝－.
《解一元一次方程(一)——合并同类项与移项》习题
1．是方程的解，检验是不是方程的解．
2．已知是关于的一元一次方程，试求代数式的值．
3．如果，求的值．
4．方程和方程的解相同，求的值和方程的解．
5．关于的方程中，是常数，请你给赋值，并解此时关于的方程．
6、已知ax+2=2a-2x的解满足，则a=_____．
第三章 不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一无二次不等式及其解法
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集为( )
A．{x|x≤2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2≤x≤1} D．?
解析：由－x2－x＋2≥0，得
x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，
所以－2≤x≤1，
所以原不等式解集为{x|－2≤x≤1}．
答案：C
2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0，2) B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
解析：由a⊙b＝ab＋2a＋b，得
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，
所以－2＜x＜1.
答案：B
3．二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( )
A. B. C. D.
解析：结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c＜0，则.
答案：D
4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为( )
A．14 B．－10 C．10 D．－14
解析：由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，.
所以解得
所以a＋b＝－14.
答案：D
5．已知不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}．则a，b的值等于( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2 D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，所以方程ax2＋3x－2＝0的两个根分别为1和b，根据根与系数的关系，得1＋b＝－，b＝－，所以a＝－1，
b＝2.
答案：C
二、填空题
6．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为________．
解析：因为0＜t＜1，所以＞1，
所以(x－t)＜0的解集为.
答案：
7．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为________．
解析：因为ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以解得
所以bx2－ax－2＞0，即x2＋x－2＞0，
解得x＞1或x＜－2.
答案：{x|x＞1或x＜－2}
8．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}，且B?A，则a的取值范围为________．
解析：A＝{x|3x－2－x2＜0}＝{x|x2－3x＋2＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|x＜a}．若B?A，如图，则a≤1.
答案：(－∞，1]
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3＞0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，
所以(2x＋1)(x－2)＜0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
故原不等式的解集是R.
10．解不等式组：
－1＜x2＋2x－1≤2.
解：原不等式组等价于
即
由①得x(x＋2)＞0，
所以x＜－2或x＞0；
由②得(x＋3)(x－1)≤0，
所以－3≤x≤1.
所以原不等式组的解集为
{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}，
B级 能力提升
1．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝
则f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C. D.∪(2，＋∞)
解析：由x＜g(x)，得x＜x2－2，则x＜－1或x＞2；
由x≥g(x)，得x≥x2－2，则－1≤x≤2.
因此f(x)＝
即f(x)＝
因为当x＜－1时，y＞2；当x＞2时，y＞8.
所以 当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f(x)的值域为(2，＋∞)．
当－1≤x≤2时， －≤y≤0.
所以当x∈[－1，2] 时，函数f(x)的值域为.
综上可知，函数f(x)的值域为∪(2，＋∞)．
答案：D
2．设0＜b＜1＋a.若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为________．
解析：原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0，①当a≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a＞1时，＜x＜，由题意知0＜＜1，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤＜－2.整理，得2a－2＜b≤3a－3.结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a.所以a＜3，从而有1＜a＜3.综上可得a∈(1，3)．
答案：(1，3)
3．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值．
解：(1)当m＝1时，不等式f(x)＞0为2x2－x＞0，
因此所求解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1＞0，即(m＋1)x2－mx＋m＞0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根．
因此?m＝－.
《解一元一次方程(一)——合并同类项与移项》教案
教学目标
知识技能：
掌握解方程中的合并；理解并掌握移项变号法则进行解方程；灵活的运用移项变号法则解决一些实际问题；经历运用方程解决实际问题的过程；学习如何找出实际问题中的已知数和未知数，并分析它们之间的数量关系，列出方程；通过具体的例子感受一些常用的相等关系式；体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化．
数学思考：
通过“列算式”和“列方程”解决问题的方法，感受方程是应用广泛的数学工具；学会分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，渗透建立方程模型的思想.使学生在解决问题的过程中进一步体验方程是刻画现实世界的一个有效的模型，感受方程的作用．
问题解决：
通过对具体情境的观察和思考，从数学的角度发现并提出问题，尝试用不同的方法分析问题、解决问题，感受不同方法之间的差异.能够用合并同类项和移项法则解相应的一元一次方程；能够解决相关实际问题．
情感态度：
培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力.经历从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的过程，树立多种方法解决问题的创新意识，品尝成功的喜悦，增强用数学的意识，激发学习数学的热情.在讨论交流的过程中勇于发表自己的观点，质疑他人的观点. 初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化；体会解法中蕴涵的化归思想.解方程时渗透数学变未知为已知的数学思想，培养学生独立思考问题的能力．
教学重点
运用合并同类项、移项变号法则解一元一次方程．
教学难点
正确运用移项变号法则、合并同类项法则解一元一次方程．
教学过程
(一)创设情境，引入新课.
约公元825年，数学家阿尔－花拉子米写了一本代数书，重点论述了怎样解方程．这本书的译本名称为《对消与还原》．“对消”“还原”是什么意思呢？我们先讨论下面的内容，然后再回答．
问题1：某校三年共买了计算机140台，去年买的数量是前年的2倍，今年又是去年的2倍，前年这个学校买了多少台计算机？
学生活动设计：通过审题发现可以设前年购买了计算机x台，则去年购买了2x台，今年购买了4x台，问题中的相等关系是：前年购买的计算机＋去年买的计算机＋今年买的计算＝140台，于是可以列出方程x＋2x＋4x＝140，可以把关于x的同类项合并得：7x＝140，于是问题解决．
活动：从上述方程的解决你能发现什么？
教师活动设计：“系数化为1”指的是使方程的一边ax化为x，这里依据的是等式性质2，这里可能还有其他设未知数的方法(比如设今年的为x台)若出现这种情况，请同学分析比较多种方法，找到最简方法．
例1解下列方程：
(1)2x-=6-8；(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3.
解：(1)合并同类项，得
.
系数化为1，得
x=4.
(2)合并同类项，得
6x=-78.
系数化为1，得
x=-13.
例2有一列数，按一定规律排列：
1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某3个相邻的数的和为－1701，这三个数是多少？
学生活动设计：学生独立思考，在独立思考的基础上可以进行讨论，然后交流，学生在思考中可以发现这一列数的排列规律是：后一个数是前一个数的－3倍，于是当设第一个数是x时，它后面的一个数是－3x，－3x后面的一个数是9x，根据相等关系，不难得到方程．
教师活动设计：让学生充分思考，给予其思考的时间和空间，必要时可以进行讨论，然后让学生表达自己的看法．
解：设第一个数是x，则它后面的一个数是－3x，－3x后面的一个数是9x，根据题意有：
x＋(－3x)＋9x＝－1701，
合并得，
7x＝1701，
系数化为1得，
x＝－243，
所以－3x＝729，9x＝－2187．
(二)合作交流，探索新知.
问题2：把一些图书分给某班同学阅读，如果每人3本则剩余20本，若每人4本，则还缺少25本，这个班的学生有多少人？
学生活动设计：
学生独立思考，发现若设这个班有x人，则每人分3本时，书的总数为3x＋20，而每人分4本时，书的总数是4x－25，于是这批书有两种表示方法，书的总数不变，根据这个等量关系，得到方程3x＋20＝4x－25．
教师活动设计：让学生体会运用方程的优点，同时学生可能发现多种解决方案(比如设书的总数是x，则可以列出相应的方程)同样让学生进行比较，发现最佳方法．
思考：对于方程3x＋20＝4x－25两边都含有x，如何把它向x＝a的形式转化？
学生活动设计：学生主动探究，为了使方程的一边无未知数，可以运用等式性质1，把等式的两边同时减去4x，则等号的右边没有了x的项3x－4x＋20＝－25，再把等式的两边同时减去20，则方程的左边没有了常数项，于是得到3x－4x＝－25－20，然后合并即可．
教师活动设计：在学生解决问题的过程中，让学生发现变形的特点，从而进行归纳出移项变号法则．
活动：观察由方程3x＋20＝4x－25到方程3x－4x＝－25－20的过程，你能发现什么？
师生共同归纳：
把等式的一边的某项变号后移到另一边，叫作移项(依据是等式性质1)．
例3解下列方程.
(1)3x+7=32-2x；(2)x-3=+1.
解：(1)移项，得
3x+2x=32-7.
合并同类项，得
5x=25.
系数化为1，得
x=5.
(2)移项，得
x-=1+3.
合并同类项，得
.
系数化为1，得
x=-8.
例4某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100t.新、旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？
分析：因为新、旧工艺的废水排量之比为2：5，所以可设它们分别为2xt和5xt，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程.
解：设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5x-200=2x+100.
移项，得
5x-2x=100+200.
合并同类项，得
3x=300.
系数化为1，得
x=100.
所以
2x=200，
5x=500.
学生活动设计：学生可能发现很多，但是最主要的是利用方程解决实际问题的一般步骤，让学生归纳出来，必要时教师进行提醒和启发．
(三)课堂小结，体验收获.
本节课我们学了什么知识？
1.你有什么收获？
2.移项法则；
3.能够利用移项法则进行解简单的一元一次方程；
4.解实际问题的一般步骤．用一元一次方程解决实际问题的一般过程：
第三章 不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一无二次不等式及其解法
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集为( )
A．{x|x≤2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2≤x≤1} D．?
解析：由－x2－x＋2≥0，得
x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，
所以－2≤x≤1，
所以原不等式解集为{x|－2≤x≤1}．
答案：C
2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0，2) B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
解析：由a⊙b＝ab＋2a＋b，得
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，
所以－2＜x＜1.
答案：B
3．二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( )
A. B. C. D.
解析：结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c＜0，则.
答案：D
4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为( )
A．14 B．－10 C．10 D．－14
解析：由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，.
所以解得
所以a＋b＝－14.
答案：D
5．已知不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}．则a，b的值等于( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2 D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，所以方程ax2＋3x－2＝0的两个根分别为1和b，根据根与系数的关系，得1＋b＝－，b＝－，所以a＝－1，
b＝2.
答案：C
二、填空题
6．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为________．
解析：因为0＜t＜1，所以＞1，
所以(x－t)＜0的解集为.
答案：
7．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为________．
解析：因为ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以解得
所以bx2－ax－2＞0，即x2＋x－2＞0，
解得x＞1或x＜－2.
答案：{x|x＞1或x＜－2}
8．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}，且B?A，则a的取值范围为________．
解析：A＝{x|3x－2－x2＜0}＝{x|x2－3x＋2＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|x＜a}．若B?A，如图，则a≤1.
答案：(－∞，1]
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3＞0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，
所以(2x＋1)(x－2)＜0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
故原不等式的解集是R.
10．解不等式组：
－1＜x2＋2x－1≤2.
解：原不等式组等价于
即
由①得x(x＋2)＞0，
所以x＜－2或x＞0；
由②得(x＋3)(x－1)≤0，
所以－3≤x≤1.
所以原不等式组的解集为
{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}，
B级 能力提升
1．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝
则f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C. D.∪(2，＋∞)
解析：由x＜g(x)，得x＜x2－2，则x＜－1或x＞2；
由x≥g(x)，得x≥x2－2，则－1≤x≤2.
因此f(x)＝
即f(x)＝
因为当x＜－1时，y＞2；当x＞2时，y＞8.
所以 当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f(x)的值域为(2，＋∞)．
当－1≤x≤2时， －≤y≤0.
所以当x∈[－1，2] 时，函数f(x)的值域为.
综上可知，函数f(x)的值域为∪(2，＋∞)．
答案：D
2．设0＜b＜1＋a.若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为________．
解析：原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0，①当a≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a＞1时，＜x＜，由题意知0＜＜1，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤＜－2.整理，得2a－2＜b≤3a－3.结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a.所以a＜3，从而有1＜a＜3.综上可得a∈(1，3)．
答案：(1，3)
3．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值．
解：(1)当m＝1时，不等式f(x)＞0为2x2－x＞0，
因此所求解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1＞0，即(m＋1)x2－mx＋m＞0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根．
因此?m＝－.
《解一元一次方程(一)——合并同类项与移项》教案
教学目标
1.经历运用方程解决实际问题的过程．
2.学会合并(同类项)，会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程．
3.掌握移项方法，学会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想．
重点难点
1.能用合并同类项和移项解一元一次方程．
2.体会合并同类项和移项是化归的一种手段．
三易点
1.系数化为1时，乘除颠倒．
2.移项后不变号．
3.移项和等式性质混淆．
教学过程
复习与回顾：
通过课本介绍的中亚西亚数学家阿尔-花拉子米的《对消与还原》提出问题．
应用问题1来回顾前面列方程解决问题的基本思想．
某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍．前年这个学校购买了多少台计算机？
解决问题
1.一个问题中多个等量关系的处理问题，有的等量关系是用来表示未知量的，不如本题中未知量有三个，但只能用一个未知数表示，这时就得需要用未知量之间的关系来表示；有的等量关系是用来列方程的．
2.用等量关系列出方程，怎样解这个方程呢？
3.总量=各部分量的和，是一个基本的等量关系．
讲授新课
让学生独立解决问题1所得到的方程，并总结出合并同类项的方法．
例1解下列方程：
(1)2x-=6-8；(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3.
解：(1)合并同类项，得
.
系数化为1，得
x=4.
(2)合并同类项，得
6x=-78.
系数化为1，得
x=-13.
例2有一列数，按一定规律排列：
1，－3，9，－27，81，－243，…，其中某3个相邻的数的和为－1701，这三个数是多少？
学生活动设计：学生独立思考，在独立思考的基础上可以进行讨论，然后交流，学生在思考中可以发现这一列数的排列规律是：后一个数是前一个数的－3倍，于是当设第一个数是x时，它后面的一个数是－3x，－3x后面的一个数是9x，根据相等关系，不难得到方程．
教师活动设计：让学生充分思考，给予其思考的时间和空间，必要时可以进行讨论，然后让学生表达自己的看法．
解：设第一个数是x，则它后面的一个数是－3x，－3x后面的一个数是9x，根据题意有：
x＋(－3x)＋9x＝－1701，
合并得，
7x＝1701，
系数化为1得，
x＝－243，
所以－3x＝729，9x＝－2187．
问题2．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？
解决问题
(1)表示同一个量的两个不同式子相等是一个基本的等量关系．
(2)所列方程怎样转化为，应用等式的性质变形，让学生观察变形前后的不同，自己提出变形前后的变化规律．
教师总结学生得到的规律：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
归纳本节学到的两种解一元一次方程的步骤和方法——合并同类项和移项，让学生体会合并同类项和移项之间的关系．
例3解下列方程.
(1)3x+7=32-2x；(2)x-3=+1.
解：(1)移项，得
3x+2x=32-7.
合并同类项，得
5x=25.
系数化为1，得
x=5.
(2)移项，得
x-=1+3.
合并同类项，得
.
系数化为1，得
x=-8.
例4某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100t.新.旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？
分析：因为新.旧工艺的废水排量之比为2：5，所以可设它们分别为2xt和5xt，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程.
解：设新.旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5x-200=2x+100.
移项，得
5x-2x=100+200.
合并同类项，得
3x=300.
系数化为1，得
x=100.
所以
2x=200，
5x=500.
课堂小结：
我们用合并同类项和移项的方法解一元一次方程，解一元一次方程基本思路是化归思想，合并同类项和移项其实就是化归的一种手段．
课后反思：
本节课是正式解一元一次方程的第一节课，有的学生可能受等式性质的影响，对移项解一元一次方程有些冲突，为了解决这个问题，可以向学生说明，移项就是应用等式性质的结果．
第三章 不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一无二次不等式及其解法
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集为( )
A．{x|x≤2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2≤x≤1} D．?
解析：由－x2－x＋2≥0，得
x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，
所以－2≤x≤1，
所以原不等式解集为{x|－2≤x≤1}．
答案：C
2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0，2) B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
解析：由a⊙b＝ab＋2a＋b，得
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，
所以－2＜x＜1.
答案：B
3．二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( )
A. B. C. D.
解析：结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c＜0，则.
答案：D
4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为( )
A．14 B．－10 C．10 D．－14
解析：由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，.
所以解得
所以a＋b＝－14.
答案：D
5．已知不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}．则a，b的值等于( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2 D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，所以方程ax2＋3x－2＝0的两个根分别为1和b，根据根与系数的关系，得1＋b＝－，b＝－，所以a＝－1，
b＝2.
答案：C
二、填空题
6．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为________．
解析：因为0＜t＜1，所以＞1，
所以(x－t)＜0的解集为.
答案：
7．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为________．
解析：因为ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以解得
所以bx2－ax－2＞0，即x2＋x－2＞0，
解得x＞1或x＜－2.
答案：{x|x＞1或x＜－2}
8．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}，且B?A，则a的取值范围为________．
解析：A＝{x|3x－2－x2＜0}＝{x|x2－3x＋2＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|x＜a}．若B?A，如图，则a≤1.
答案：(－∞，1]
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3＞0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，
所以(2x＋1)(x－2)＜0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
故原不等式的解集是R.
10．解不等式组：
－1＜x2＋2x－1≤2.
解：原不等式组等价于
即
由①得x(x＋2)＞0，
所以x＜－2或x＞0；
由②得(x＋3)(x－1)≤0，
所以－3≤x≤1.
所以原不等式组的解集为
{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}，
B级 能力提升
1．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝
则f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C. D.∪(2，＋∞)
解析：由x＜g(x)，得x＜x2－2，则x＜－1或x＞2；
由x≥g(x)，得x≥x2－2，则－1≤x≤2.
因此f(x)＝
即f(x)＝
因为当x＜－1时，y＞2；当x＞2时，y＞8.
所以 当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f(x)的值域为(2，＋∞)．
当－1≤x≤2时， －≤y≤0.
所以当x∈[－1，2] 时，函数f(x)的值域为.
综上可知，函数f(x)的值域为∪(2，＋∞)．
答案：D
2．设0＜b＜1＋a.若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为________．
解析：原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0，①当a≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a＞1时，＜x＜，由题意知0＜＜1，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤＜－2.整理，得2a－2＜b≤3a－3.结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a.所以a＜3，从而有1＜a＜3.综上可得a∈(1，3)．
答案：(1，3)
3．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值．
解：(1)当m＝1时，不等式f(x)＞0为2x2－x＞0，
因此所求解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1＞0，即(m＋1)x2－mx＋m＞0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根．
因此?m＝－.
课件48张PPT。3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项（第1课时）义务教育教科书 数学 七年级 上册创设情景提出问题约公元825年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．思考:“对消”与“还原”是什么意思呢？ 某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？1、设未知数：前年购买计算机x台
那么去年购买计算机 台.今年购买计算机 台. 2 x4x140台如何列方程？分哪些步骤？ 2、找相等关系
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量= .3、列方程
x＋2x＋4x=140 问题1 某校三年共购买计算机140台，去年购买
数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的
2倍．前年这个学校购买了多少台计算机？问题2.还有不同的设法吗？
还可以列怎样的方程？设去年购买计算机x台.设今年购买计算机x台.方法二：方法三：（二）提出问题，建立模型如何将此方程转化为x＝a（a为常数）的形式？合并同类项系数化为1问题3.等式性质2理论依据？（三）合作探究，归纳方法1.解方程：解：合并同类项，得系数化为1，得例1.（四）例题规范，巩固新知例1.合并同类项，得系数化为1，得2.解方程：解：（三）例题规范，巩固新知解方程有哪些步骤？1.合并同类项
2.系数化为1练习：1.解下列方程：（四）基础训练，学以致用.
练习88页1题 有一列数，按一定规律排列成
1，－3，9，－27，81，－243，···，
其中某三个相邻数的和是－1 701，
这三个数各是多少？例2（一）创设情境，探究规律解：设这三个相邻数中第一个数为 ，
则第二个数为 ，第三个数 ．根据这三个数的和是 ，得合并同类项，得系数化为1，得所以答：这三个数是 ， ， .解：设这三个相邻数中的中间的一个数为 ，
则第一个数为 ，第三个数为 .根据这三个数的和是－1 701，得解得解：设这三个相邻数中最后1个数为 ，
则第二个数为 ，
第一个数为_________________.根据这三个数的和是－1 701，得解得 2.三个连续的奇数的和是39，求这三个数.解：设这3个连续奇数为， 根据题意，得解得答：这三个数分别为：所以（二）巩固方法，学以致用88页练习2题（二）巩固方法，学以致用解：设三次活动的时间分别为：x－7，x，x＋7.
根据题意，得
x－7＋x＋x＋7＝27.
解得 x＝9.
所以这三天为2，9，16.
本月的四次活动的时间为2，9，16，23.四次的和为50.
你今天学习的解方程有哪些步骤？小结 合并同类项系数化为1 （等式性质2）
2：如何列方程？分哪些步骤？一.设未知数：二.找题意找出等量关系：三.根据等量关系列方程：解方程中“合并同类项”起了什么作用？解方程中的“合并同类项”是利用分配律将含有未知数的项和常数项分别合并为一项.它使方程变得简单，更接近x = a的形式想一想：布置作业：1.教科书第91页习题3.2第1，7题.
2.补充作业
（1）三个连续整数之和为36，求：这三个整数分别是多少？
（2）三个连续偶数的和是30，求这三个偶数.课堂家庭练习册：82页第1课时解：合并同类项，得
系数化为1，得（1） 解：合并同类项，得
系数化为1，得
解：合并同类项，得
系数化为1，得
解：合并同类项，得
系数化为1，得
下节课我们继续学习！再见3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项（第2课时）义务教育教科书 数学 七年级 上册温故知新1：用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形（改变式子的形状）的.
①、如果2x = 5 - 3x，那么2x +（ ）= 5
②、如果0.2x = 10， 那么x =（ ）解：①、2x +（ 3x ）= 5
根据等式性质 1，等式两边都加上 3x.3x50小试牛刀解下列方程解：（1）合并同类项，得：系数化为1，得：（2）合并同类项，得：系数化为1，得： 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？问题1思考：
（1）你认为题中涉及到哪些数量关系和相等关系？
（2）你认为引进什么样的未知数，根据这样的相等
关系关系列出方程？（一）创设情境，列出方程 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？ 每人分3本，共分出 本，加上剩余
的20本，这批书共 本.
每人分4本，需要 本，减去缺少
的25本，这批书共 本.分析设这个班有x名学生.
这批书的总数有几种
表示法？
它们之间有什么关系？表示这批书的总数的两个代数式相等.问题1（一）创设情境，列出方程该方程与上节课的方程在结构上有什么不同？怎样才能将方程转化为的形式呢？（二）尝试合作， 探究方法 移 项合并同类项系数化为1上面解方程中“移项”起到了什么作用？
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于 的形式.问题5问题4移项的依据是什么？等式的性质1.解方程(1)解：移项，得合并同类项，得系数化为1，得例3（三）例题规范，巩固新知（2）解：移项，得合并同类项，得系数化为1，得例4：解下列方程 解：移项，得
即
系数化为1，得 x = - 2
（2）解：移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（1） 移项时应注意改变项的符号运用新知“移项”应注意什么？1.下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？
(1)从7+x=13，得到x=13+7
(2)从5x=4x+8，得到5x–4x=8 ×改:从7+x=13，得到x=13–7?2.小明在解方程x–4=7时，是这样写解的过程的:
x–4=7=x=7+4=x=11
(1)小明这样写对不对？
(2)应该怎样写？解：解方程的格式不对.
正确写法： x–4=7
x=7+4
x=11（2）解下列方程:（1）（四）基础训练，90页练习1题解：（1）移项，得合并同类项，得系数化为1，得（2）移项，得合并同类项，得系数化为1，得约公元825年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这本书的拉丁译本为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢？数学小资料回顾：“对消”和“还原”就是我们所学的“合并同类项”和 “移项”.例4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100 t. 新旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？ 思考：
（1）你准备设哪个未知数？
（2）你能在问题中把表示等量关系的语句
找出来，并用等式进行表示吗？
活动2 合作探究 等号两边代表哪个数量？解：设新、旧工艺的废水排量分别为2x t和5x t.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5x－200＝2x＋100移项，得
5x－2x＝100＋200
合并同类项，得
3x＝300
所以 2x＝200，
5x＝500. 系数化为1，得
x＝100 答：新旧工艺产生的废水数量分别为200 t和500 t.
动一动脑筋若方程1.2x=6和2x+a=ax的解相同，你能求出a的值吗？想一想：你会解一元一次方程了吗？我们可以用一
元一次方程求几个未知数的值呢？
解方程的步骤： 移项 （等式性质1）
合并同类项系数化为1 （等式性质2）
2. 列方程解应用题的步骤:一.设未知数：二.分析题意找出等量关系：三.根据等量关系列方程：⑴本节课学会了哪些主要内容？
⑵移项的依据是什么？起到什么作用？
移项时应该注意什么问题？
⑶解一元一次方程的步骤是什么？
⑷用方程来解决实际问题的关键是什么？（五）课堂小结，布置作业课堂.教科书第91页习题3.2第3、6题.（3）（4）（2）家庭.练习册：做到87页（1）作业风再大也会停，路再长也要行.当你到达胜利，才能真切感受到：坚持是如此重要. 下节课我们继续学习！再见课件22张PPT。3.2解一元一次方程(一) ——合并同类项与移项学习目标：
1.怎样合并同类项？(ax=b的形式)
2.什么叫做移项，需要注意
什么？
3.掌握解方程的一般步骤
4.用方程解决实际问题思路是什么？问题1：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍．前年这个学校购买了多少台计算机？设去年购买计算机x台.设今年购买计算机x台.方法1：方法2：提出问题思考：如何将此方程转化为x＝a（a为常数）的形式？合并同类项系数化为1等式性质2分析问题合并同类项，得系数化为1，得解：例把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？提出问题1、设未知数：设这个班有x名学生.2、找相等关系
这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等3、列方程
3x＋20 = 4x－25分析问题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共 本.每人分4本，需要____ 本，减去缺的25本，
这批书共 本. 3x＋204x4x－25提问：怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有何不同？3x＋20 = 4x－25方程的两边都有含x的项（3x与4x）和不含字母的常数项（20与－25）.3x+20=4x-253x+20-4x=4x-25－4x3x+20-4x= -253x+20-4x－20=-25－203x-4x=-25－20（合并同类项）（利用等式性质1） （利用等式性质1） （合并同类项）提问：如何才能使这个方程向x=a的形式转化？你发现了什么？3x ＋20 ＝ 4x －253x－4x＝－25 －20把等式一边的某一项改变符号后移到另一边，叫做移项.(教材P88）3x+20=4x-253x-4x=-25-20-x=-45X=45移项合并同类项系数化为1下面的框图表示了解这个方程的具体过程：通过移项，使等号左边仅含未知数的项，等号右边仅含常数的项，使方程更接近x=a的形式. 提问： “移项”起了什么作用？提问：以上解方程“移项”的依据是什么？移项的依据是等式的性质1例4某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100t.新、旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？
解：设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5x-200=2x+100.
移项，得5x-2x=100+200.
合并同类项，得3x=300.
系数化为1，得x=100.
所以2x=200，5x=500.
等号两边代表哪些数量？例：解下列方程 解：移项，得
即
系数化为1，得 x = - 2
（2）解：移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（1） 移项时应注意改变项的符号运用新知“移项”应注意什么？巩固练习解下列方程：（1）10x－3＝9（2）6x－7＝4x － 5一起来找茬下面方程的解法对吗？如果不对，应怎样改正？解方程：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果减少一条船 ，正好每条船坐9人，问：这个班共多少同学？ 综合应用解法一：设船有x条.则
6(x+1)=9(x-1)
得出 x=5
6× (5+1)=36（人）
答：这个班共有36人.有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果减少一条船 ，正每条船坐9人，问：这个班共多少同学？ 解法二：设这个班共有同学x人.则
得出 x=36
答：这个班共有36人.1、已知2x＋１与－12ｘ＋５的值是相反数，求ｘ的值.拓展思维2、已知：y1 = 2x+1， y2 = 3 －x.当x取何值时， y1 = y2 ？ 阿尔-花拉子米（约780——约850）中世纪阿拉伯数学家.出生波斯北部城市花拉子模（现属俄罗斯），曾长期生活于巴格达，对天文、地理、历法等方面均有所贡献.它的著作通过后来的拉丁文译本，对欧洲近代科学的诞生产生过积极影响. 《对消与还原》 现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗？“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”1、今天你又学会了解方程的哪些方法？有哪些步聚？每一步的依据是什么？
2、今天讨论的问题中的相等关系又有何共同特点？
七嘴八舌说一说移项（等式的性质1）
合并（分配律）
系数化为1（等式的性质2）注意变号哦！表示同一量的两个不同式子相等. 再见课件2张PPT。1.解下列方程：
(1) x+7=0；
(2) x-10 =-3；
(3) 3x=-2x-6；
(4)0.2x+1.8=3-1.8x.2.解下列方程：
(1)3(x-1)=9；
(2)8(y-3)=5y+3；
(3)-7(x+4)-5=2(x-3)；
(4)3(x-1)+2=2(x+3)+7.课件8张PPT。解下列方程，并检验：移项，得合并同类项，得检验：把x=5分别带入原方程的两边，得
左边=2×5=10，
右边=5+5=10，
即 左边=右边.所以x=5是原方程的解.移项，得合并同类项，得两边都除以 ，得 .检验：把x=1分别带入原方程的两边，得
左边= ，
右边= ，
即 左边=右边.所以x=1是原方程的解.移项，得合并同类项，得两边都除以7，得 .检验：把x=-2分别带入原方程的两边，得
左边=5×(-2)+21=11，
右边=7+2×(-2)=11，
即 左边=右边.所以x=-2是原方程的解.移项，得合并同类项，得检验：把x=4分别带入原方程的两边，得
左边=11×4+1=45，
右边=5×(2×4+1)=45，
即 左边=右边.所以x=-2是原方程的解.
