(共39张PPT)
11.3.1 平行直线与异面直线
探究点一 证明空间中两直线平行
探究点二 等角定理的应用
探究点三 空间异面直线的判定
【学习目标】
1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质，通过空间平行线的传
递性论证两条直线的平行关系，培养逻辑推理素养;
2.理解并掌握等角定理,并会应用；
3.理解异面直线的定义,借助实物理解异面直线的概念，培养直
观想象素养;
4.了解空间四边形的定义.
知识点一 平行线的传递性
1.过直线外一点__________________与已知直线平行.
有且只有一条直线
2.空间平行线的传递性
（1）文字语言：平行于同一条直线的两条直线__________.
（2）符号语言：设,,是三条直线,如果， ，则______.
互相平行
（3）图形语言：如图所示.
（4）作用：判断空间两条直线__________.
是否平行
知识点二 空间中的等角定理
定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别__________,并且方
向______,那么这两个角______.
对应平行
相同
相等
【诊断分析】
1.当一个角的两条边与另一个角的两条边分别对应平行时,试问这两
个角在什么情况下相等,在什么情况下互补
解：当两个角的两组平行的边的方向都相同或都相反时,这两个角相等;
当两个角的一组平行的边的方向相同,而另一组平行的边的方向相
反时,这两个角互补.
2.如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗
解：不一定.这两条直线可能相交、平行，也可能不在同一平面内.
知识点三 异面直线及其判定方法
1.定义
异面直线指的是空间中________________________.两条直线异面,也
就是这两条直线__________________________.
既不平行也不相交的直线
不能同时在任何一个平面内
2.判定方法
与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面,
如图.
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若直线与平面 相交,则与平面 内的任意直线都是异面直线.
( )
×
[解析] 直线与平面 内不过交点的直线是异面直线,而与过交点的
直线相交.
（2）若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与
该平面相交.( )
×
[解析] 另一条直线可能在平面内、与平面相交或与平面平行.
知识点四 空间四边形
空间四边形可以看成由一个四面体的_______构成的图形.
不共面
相邻顶点
不相邻
4条棱
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）平行四边形是空间四边形的一种.( )
×
[解析] 空间四边形的4个顶点不共面,而平行四边形的4个顶点一定共面.
（2）空间四边形与四面体是一回事.( )
×
[解析] 空间四边形可以看成由一个四面体的4条棱构成的图形，空间
四边形不是四面体．
2.空间四边形的对角线之间有何关系
解：两条对角线是异面直线.
理由：假设两条对角线是共面的,则四个顶点共面,
与空间四边形的定义矛盾，故两条对角线是异面直线.
探究点一 证明空间中两直线平行
［探索］ 在平面中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,那么该
结论在空间中还成立吗
解：成立,这就是空间平行线的传递性：“平行于同一条直线的两条
直线互相平行”.
例1 如图所示,已知,分别是正方体的棱,
的中点,求证:四边形 是平行四边形.
证明：取的中点,连接,
是 的中点,是的中点, .
由正方体的性质知,,
四边形 是平行四边形,.
又,分别是 ,的中点,,且,
为平行四边形,, ,
四边形 是平行四边形.
变式 如图所示,在三棱锥中,,,,分别是棱,,,
的中点,且,求证：四边形 是菱形.
证明：在中,,分别是, 的中点,
所以是的中位线,即 ,且 .
同理在中,,且 .
由空间平行线的传递性可知, ,
是平行四边形.
在中,,分别为，的中点，所以是 的中位线，
即,且 .
又,所以,所以四边形 是菱形.
［素养小结］
证明两条直线平行的方法：
（1）平行线定义;
（2）三角形中位线、平行四边形性质等;
（3）空间平行线的传递性.
拓展 如图,是平面外的一点,,分别是 ,
的重心.求证： .
证明：连接,并延长,分别交,于点, ,
连接,,分别是, 的重心,
,分别是,的中点， .
又,， .
探究点二 等角定理的应用
例2 如图,已知棱长为 的正方体
中,,分别是棱,
的中点.
（1）求证:四边形 是梯形;
证明：如图,连接,在 中,
因为,分别是, 的中点,
所以是 的中位线,
所以, .
由正方体的性质得, ，
,且 ,
所以四边形 是梯形.
（2）求证: .
解：由（1）可知 ,
又因为 ,
所以与 相等或互补，
而与 均是直角三角形的内角,
且均不为直角，所以 .
变式 如图,在四面体中,,,分别为棱,, 上的点.若
,,则和 有什么关系 为什么
解： .理由如下:
因为,所以 .
因为,所以 .
所以,所以 .
由等角定理,可得 , ,,
所以 .
［素养小结］
等角定理,在证出两个角的对应两边分别平行后,要借助于图形判断两
个角是相等,还是互补.在证相等时,不要忽略“对应两边方向”的判断.
探究点三 空间异面直线的判定
例3 如图，在三棱柱 中，底面三
角形是正三角形，是 的中点，则下
列叙述正确的是( )
A.直线与直线 是异面直线
B.直线与直线 是共面直线
C.直线与直线 是异面直线
D.直线与直线 是共面直线
√
[解析] 与均在平面 内，不是异面
直线，故A错误；
平面， 平面，
点C不在直线上，所以与 是异面直线，故B错误；
平面 ， 平面，点不在直线 上，
所 以与是异面直线，故C正确；
平面， 平面，点不在直线上，
所以与 是异面直线，故D错误. 故选C.
变式 在下列图中,,,, 分别是正三棱柱的顶点
或所在棱的中点,则直线, 是异面直线的图形
有______.（填上所有正确答案的序号）
②④
[解析] 题图①中,,所以与 共面;
题图②中,,,三点共面,但 平面 ,
，所以与异面;
题图③中,连接,易得,所以 与共面;
题图④中,,,三点共面,但 平面,又 ，
所以与 异面.故填②④.
［素养小结］
判定或证明异面直线的方法：
（1）定义法：由定义法判定两直线不可能在同一平面内,常用反证法.
（2）判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内不经过
该点的直线是异面直线.
1.若,,且 ,则 ( )
A. B. C. 或 D.不能确定
[解析] 根据等角定理,与相等或互补,
即 或 .
√
2.若和是异面直线，和是异面直线，则和 的位置关系是
( )
A.异面或平行 B.异面或相交
C.异面 D.相交、平行或异面
[解析] 若和是异面直线，和是异面直线，则和 的位置关系可
能是相交、平行或异面．
√
3.若直线和是异面直线，在平面 内，在平面 内， 是平面
与平面 的交线，则下列说法正确的是( )
A.至少与，中的一条相交 B.与， 都相交
C.至多与，中的一条相交 D.与， 都不相交
[解析] 依题意，和是异面直线，在平面 内，
在平面 内，是平面 与平面 的交线，
则 与，都是共面直线，故至少与， 中的一条相交，
否则,，此时 ，与已知矛盾.故选A.
√
4.在三棱柱中，，分别为棱， 的中点，则直
线与 的位置关系为( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.无法判断
[解析] 如图所示，连接，则且 ，
又且，且，
四边形是梯形，且与是梯形的两条腰，
直线与 相交.故选B.
√
5.（多选题）如图是一个正方体的侧面展开
图，在原正方体中，以下关系判断正确的是
( )
A. B.与 相交
C. D.与 异面
√
√
√
[解析] 画出原正方体如图所示，, 不平
行，所以A错误；
与 相交，所以B正确；
由正方体的性质知 ，所以C正确；
与即不平行也不相交，所以 与是
异面直线，所以D正确.故选 .
（1）空间平行线的传递性的作用
空间平行线的传递性可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出
空间两直线平行的一种证明方法.也是研究空间两直线的位置关系、
直线与平面位置关系的基础.
（2）剖析“等角定理”
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，
那么这两个角相等.
②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方
向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补.
③如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，
那么这两个角相等.
（3）对空间四边形的理解
①空间四边形是一个特殊的概念，不能理解为空间中的四边形．
②平面四边形不是空间四边形的特殊情况．
③空间四边形的对角线异面．
④空间四边形与平面四边形的根本区别是空间四边形的四个顶点不
在同一平面内，平面四边形的四个顶点是共面的．
空间平行线的传递性常用来证明空间中两条直线平行.
例 [2023·辽宁大连高一期中] 如图所示，，，， 为四面体
棱上的点，且满足 ， .
（1）当 ， 满足什么条件时，四边形 为梯形？
解：由题意知，， .
，， ，
，， ，
.当 时，，此时四边形 为梯形.
故当 且，时，四边形 为梯形．
（2）若，则四边形 能否为菱形？
解：设.若四边形 为平行四边形，
则， ，
， ，
又， ，
， .
若四边形为菱形，则 ，
，
故当，，， 分别为其所在棱中点时，四边形 为菱形．
（3）若四边形为平行四边形且，求四边形
的周长．
解：由（2）知，
.11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
【课前预习】
知识点一
1.有且只有一条直线
2.(1)互相平行 (2)b∥c (4)是否平行
知识点二
对应平行 相同 相等
1.解:当两个角的两组平行的边的方向都相同或都相反时,这两个角相等;当两个角的一组平行的边的方向相同,而另一组平行的边的方向相反时,这两个角互补.
2.解:不一定.这两条直线可能相交、平行,也可能不在同一平面内.
知识点三
1.既不平行也不相交的直线 不能同时在任何一个平面内
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)直线l与平面α内不过交点的直线是异面直线,而与过交点的直线相交.
(2)另一条直线可能在平面内、与平面相交或与平面平行.
知识点四
不共面 相邻顶点 不相邻 4条棱
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)空间四边形的4个顶点不共面,而平行四边形的4个顶点一定共面.
(2)空间四边形可以看成由一个四面体的4条棱构成的图形,空间四边形不是四面体.
2.解:两条对角线是异面直线.理由:假设两条对角线是共面的,则四个顶点共面,与空间四边形的定义矛盾,故两条对角线是异面直线.
【课中探究】
探究点一
探索 解:成立,这就是空间平行线的传递性:“平行于同一条直线的两条直线互相平行”.
例1 证明:取D1D的中点G,连接EG,GC.∵E是A1A的中点,G是D1D的中点,∴EG AD.由正方体的性质知AD BC,∴EG BC,∴四边形EGCB是平行四边形,∴EB GC.又∵G,F分别是D1D,C1C的中点,∴D1G∥FC,且D1G=FC,∴四边形D1GCF为平行四边形,∴D1F GC,∴EB D1F,∴四边形BED1F是平行四边形.
变式 证明:在△ABC中,E,H分别是AC,AB的中点,
所以EH是△ABC的中位线,即EH∥BC,且EH=BC.
同理在△DBC中,FG∥BC,且FG=BC.由空间平行线的传递性可知,EH FG,所以四边形EFGH是平行四边形.
在△ADB中,H,G分别为AB,BD的中点,所以HG是△ADB的中位线,即HG∥AD,且HG=AD.
又AD=BC,所以HG=EH,所以四边形EFGH是菱形.
拓展 证明:连接AG,AH并延长,分别交BC,CD于点M,N,连接MN,∵G,H分别是△ABC,△ACD的重心,
∴M,N分别是BC,CD的中点,∴MN∥BD.
又∵==,∴GH∥MN,∴GH∥BD.
探究点二
例2 证明:(1)如图,连接AC,在△ACD中,
因为M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△DAC的中位线,所以MN∥AC,MN=AC.
由正方体的性质得AC∥A1C1,AC=A1C1,所以MN∥A1C1,且MN=A1C1,
所以四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,
所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补,
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的内角,且均不为直角,所以∠DNM=∠D1A1C1.
变式 解:△EFG∽△BCD.理由如下:
因为EF∥BC,所以==.
因为FG∥CD,所以==.
所以=,所以EG∥BD.
由等角定理,可得∠EFG=∠BCD,∠FGE=∠CDB,∠GEF=∠DBC,所以△EFG∽△BCD.
探究点三
例3 C [解析] CC1与B1E均在平面BCC1B1内,不是异面直线,故A错误;CC1∩平面ABC=C,AE 平面ABC,点C不在直线AE上,所以CC1与AE是异面直线,故B错误;AE∩平面BCC1B1=E,B1C1 平面BCC1B1,点E不在直线B1C1上,所以AE与B1C1是异面直线,故C正确;AE∩平面BCC1B1=E,B1B 平面BCC1B1,点E不在直线B1B上,所以AE与B1B是异面直线,故D错误.故选C.
变式 ②④ [解析] 题图①中,GH∥MN,所以GH与MN共面;题图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,又N GH,所以GH与MN异面;题图③中,连接GM,易得GM∥HN,所以GH与MN共面;题图④中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN,又G MN,所以GH与MN异面.故填②④.
【课堂评价】
1.C [解析] 根据等角定理,∠A'O'B'与∠AOB相等或互补,即∠A'O'B'=130°或∠A'O'B'=50°.
2.D [解析] 若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
3.A [解析] 依题意,l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则l与l1,l2都是共面直线,故l至少与l1,l2中的一条相交,否则l∥l1,l∥l2,此时l1∥l2,与已知矛盾.故选A.
4.B [解析] 如图所示,连接MN,则MN∥BC且MN=BC,又∵BC∥B1C1且BC=B1C1,∴MN∥B1C1且MN≠B1C1,∴四边形B1C1NM是梯形,且B1M与C1N是梯形的两条腰,∴直线B1M与C1N相交.故选B.
5.BCD [解析] 画出原正方体如图所示,AB,CD不平行,所以A错误;GH与CD相交,所以B正确;由正方体的性质知EF∥CD,所以C正确;AB与GH即不平行也不相交,所以AB与GH是异面直线,所以D正确.故选BCD.11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
【学习目标】
1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质,通过空间平行线的传递性论证两条直线的平行关系,培养逻辑推理素养;
2.理解并掌握等角定理,并会应用;
3.理解异面直线的定义,借助实物理解异面直线的概念,培养直观想象素养;
4.了解空间四边形的定义.
◆ 知识点一 平行线的传递性
1.过直线外一点 与已知直线平行.
2.空间平行线的传递性
(1)文字语言:平行于同一条直线的两条直线 .
(2)符号语言:设a,b,c是三条直线,如果a∥b,a∥c,则 .
(3)图形语言:如图所示.
(4)作用:判断空间两条直线 .
◆ 知识点二 空间中的等角定理
定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别 ,并且方向 ,那么这两个角 .
【诊断分析】 1.当一个角的两条边与另一个角的两条边分别对应平行时,试问这两个角在什么情况下相等,在什么情况下互补
2.如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗
◆ 知识点三 异面直线及其判定方法
1.定义
异面直线指的是空间中 .两条直线异面,也就是这两条直线 .
2.判定方法
与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面,如图.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线. ( )
(2)若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交. ( )
◆ 知识点四 空间四边形
空间四边形可以看成由一个四面体的 构成的图形.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平行四边形是空间四边形的一种. ( )
(2)空间四边形与四面体是一回事. ( )
2.空间四边形的对角线之间有何关系
◆ 探究点一 证明空间中两直线平行
[探索] 在平面中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,那么该结论在空间中还成立吗
例1 如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:四边形BED1F是平行四边形.
变式 如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AC,CD,BD,AB的中点,且AD=BC,求证:四边形EFGH是菱形.
[素养小结]
证明两条直线平行的方法:
(1)平行线定义;
(2)三角形中位线、平行四边形性质等;
(3)空间平行线的传递性.
拓展 如图,A是平面BCD外的一点,G,H分别是△ABC,△ACD的重心.求证:GH∥BD.
◆ 探究点二 等角定理的应用
例2 如图,已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.
(1)求证:四边形MNA1C1是梯形;
(2)求证:∠DNM=∠D1A1C1.
变式 如图,在四面体A-BCD中,E,F,G分别为棱AB,AC,AD上的点.若EF∥BC,FG∥CD,则△EFG和△BCD有什么关系 为什么
[素养小结]
等角定理,在证出两个角的对应两边分别平行后,要借助于图形判断两个角是相等,还是互补.在证相等时,不要忽略“对应两边方向”的判断.
◆ 探究点三 空间异面直线的判定
例3 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是 ( )
A.直线CC1与直线B1E是异面直线
B.直线CC1与直线AE是共面直线
C.直线AE与直线B1C1是异面直线
D.直线AE与直线BB1是共面直线
变式 在下列图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号)
[素养小结]
判定或证明异面直线的方法:
(1)定义法:由定义法判定两直线不可能在同一平面内,常用反证法.
(2)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线.
1.若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,则∠A'O'B'= ( )
A.130°
B.50°
C.130°或50°
D.不能确定
2.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是 ( )
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、平行或异面
3.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是 ( )
A.l至少与l1,l2中的一条相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l与l1,l2都不相交
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AB,AC的中点,则直线B1M与C1N的位置关系为 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.无法判断
5.(多选题)如图是一个正方体的侧面展开图,在原正方体中,以下关系判断正确的是( )
A.AB∥CD
B.GH与CD相交
C.EF∥CD
D.AB与GH异面11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
1.D [解析] 如图,当∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同时,OB与O1B1不一定平行.故选D.
2.C [解析] 如图所示,因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC,由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.故选C.
3.D [解析] 空间中三条直线l,m,n.若l与m异面,且l与n异面,则m与n可能平行(如图①),也可能相交(如图②),也可能异面(如图③),故选D.
4.B [解析] ①错误,两条直线还可以异面;②正确,平行的传递性;③错误,和另一条直线可以相交也可以异面;④正确,平行的传递性.故选B.
5.C [解析] 如图,连接BC1,C1D,BD,EF,则E,F分别为BC1,C1D的中点,由图可知,EF∩DE=E,且EF,DE 平面BC1D.因为A 平面BC1D,F∈平面BC1D,F DE,所以直线AF与DE异面.故选C.
6.A [解析] 连接BC1,AD1,因为A,M,C1三点共面,且A,M,C1∈平面ABC1D1,C 平面ABC1D1,C1 AM,所以直线AM与C1C是异面直线,故①错误;因为AM 平面ABC1D1,AB 平面ABC1D1,N 平面ABC1D1,B AM,所以直线AM与BN是异面直线,故②错误;因为BB1 平面B1BCC1,BN 平面B1BCC1,M 平面B1BCC1,B1 BN,所以直线BN与MB1是异面直线,故③正确;因为A∈平面A1ADD1,DD1 平面A1ADD1,M 平面A1ADD1,A DD1,所以直线AM与DD1是异面直线,故④正确.故选A.
7.B [解析] 对于A,如图①,连接B1D1,BD,当P为A1C1的中点时,P∈B1D1,因为BB1∥DD1,所以B,D,D1,B1四点共面,则BP,DD1在平面BDD1B1上,故A不符合题意;对于B,如图②,连接AC,因为AC∥A1C1,所以A,C,A1,C1四点共面,又P∈平面ACC1A1,B 平面ACC1A1,P AC,所以AC与BP始终是异面直线,故B符合题意;对于C,如图③,当P与C1重合时,因为AD1∥BC1,所以AD1∥BP,故C不符合题意;对于D,如图④,当P与C1重合时,连接B1C,BC1,设B1C∩BC1=O,则BP∩B1C=O,故D不符合题意.故选B.
① ② ③ ④
8.BC [解析] 如图,取AD的中点H,连接MH,NH,则MH∥BD且MH=BD=3,NH∥AC且NH=AC=2.在△MNH中,由三角形中三边关系,可得MH-NH9.ABC [解析] 由题易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,因为MQ∥BD∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A正确;对于B,根据等角定理得∠QME=∠CBD,故B正确;对于C,由等角定理知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C正确;没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形,故D错误.故选ABC.
10.异面或平行 [解析] 如图所示,a∥α,b α,则a与b没有公共点,所以a与b异面或平行.
11.4 [解析] 如图,不妨在面A1B1C1D1中选定一条面对角线A1C1,由正方体结构特征得剩余五个面内均只有一条面对角线与A1C1异面,当继续选定第二条面对角线AD1时,面ABB1A1与面DCC1D1中与A1C1异面的直线均与面对角线AD1相交,所以最终只剩面对角线B1C,BD与A1C1,AD1两两异面,故k的最大值为4.
12.异面 [解析] 如图是由展开图还原的正方体,显然直线MN与AB是异面直线.
13.解:(1)直线AB与AC相交,直线AC与A'C'平行,直线A'B与AC异面,直线A'B与C'D异面.
(2)∵m∥AC,AC∥A'C',∴m∥A'C'.
14.证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴A1M1∥AM且A1M1=AM,
∴四边形AMM1A1是平行四边形,∴A1A∥M1M且A1A=M1M,
又A1A∥B1B且A1A=B1B,∴M1M∥B1B且M1M=BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)∵四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.
同理可得C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1的两边分别对应平行,且方向相同,
∴∠BMC=∠B1M1C1.
15.A [解析] 由题意,圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,连接EF,AC.因为E是BC的中点,F是AB的中点,所以AC∥EF,所以AC与EF是共面直线,AE==,CF==,所以AE=CF,故选A.
16.证明:在题图①中,∵四边形ABCD为梯形,AB∥CD,
E,F分别为BC,AD的中点,∴EF∥AB且EF=(AB+CD).
在题图②中,易知C'D'∥EF∥AB.
∵G,H分别为AD',BC'的中点,∴GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD),∴GH∥EF,GH=EF,
∴四边形EFGH为平行四边形.11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
一、选择题
1.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的是( )
A.OB∥O1B1且OB,O1B1方向相同
B.OB∥O1B1,OB,O1B1方向可能不同
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
2.在三棱台A1B1C1-ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1 ( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.垂直
3.已知空间中三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则 ( )
A.m与n异面
B.m与n相交
C.m与n平行
D.m与n异面、相交、平行均有可能
4.下列说法中正确的是 ( )
①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;
②平行于同一条直线的两条直线平行;
③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交;
④空间中有四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.
A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是正方形BB1C1C与正方形DD1C1C的中心,则直线AF与DE的位置关系为 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.相交或异面
6.[2024·山东济南高一期中] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与C1C是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为 ( )
A.③④ B.①②
C.①③ D.②④
7.[2024·北京第二外国语学院附中高一期中] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段A1C1上的动点(包含端点),下列与BP始终异面的是 ( )
A.DD1 B.AC
C.AD1 D.B1C
8.(多选题)已知在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则MN的长可能为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.5
9.(多选题)[2023·重庆万州二中高一月考] 如图所示,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是棱AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法正确的是 ( )
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为矩形
二、填空题
10.已知直线a,b和平面α满足a∥α,b α,则b与a的位置关系为 .
11.[2024·北京顺义区牛栏山一中高一期中] 从正方体的12条面对角线中选出k条,使得这k条面对角线所在直线两两异面,则k的最大值为 .
12.一个正方体的展开图如图所示,则在原来的正方体中,直线MN与AB的位置关系为 .(填“平行”“相交”或“异面”)
三、解答题
13.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中.
(1)判断直线AB与AC,直线AC与A'C',直线A'B与AC,直线A'B与C'D的位置关系;
(2)若过点B的直线m与直线AC平行,试判断直线m与直线A'C'的位置关系.
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证:
(1)四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
15.在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是BC的中点,F是AB的中点,则 ( )
A.AE=CF,AC与EF是共面直线
B.AE≠CF,AC与EF是共面直线
C.AE=CF,AC与EF是异面直线
D.AE≠CF,AC与EF是异面直线
16.如图①所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,将四边形CDFE沿EF翻折起来,使CD到达C'D'的位置(如图②),G,H分别为AD',BC'的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.
