(共33张PPT)
11.3.2 直线与平面平行
第2课时 直线与平面平行的性质定理
探究点一 直线与平面平行性质定理的应用
探究点二 线面平行的综合应用
【学习目标】
掌握直线与平面平行的性质定理,并能利用这个定理解决空间中
的平行关系问题，通过应用直线与平面平行的性质定理解决空间中
的平行关系，培养直观想象素养和逻辑推理素养.
知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
如果一条直线与一个平面______,且经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条 直线就与两平面的交线______ ____________________________________
平行
平行
线线平行
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的
所有直线都平行.( )
×
[解析] 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线与这个平面内
直线的位置关系是平行或异面.
（2）平行于同一平面的两条直线平行.( )
×
[解析] 平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面.
2.（1）如图,已知直线平面 ,直线 平面
,则直线与直线 一定平行吗 为什么
解：不一定,因为直线与直线 还可能是异面直线.
（2）如图,直线平面 ,直线 平面 ,平
面 平面,满足以上条件的平面 有多
少个 直线, 有什么位置关系
解：无数个.
探究点一 直线与平面平行性质定理的应用
［探索］ 空间中证明直线与直线平行的思路有哪些
解：（1）利用直线与平面平行的性质定理;
（2）利用空间平行线的传递性.
例1 如图，在三棱锥中，，，，
分别是，，，的中点，平面
平面.求证： .
证明:因为，，，分别是，， ， 的中点，
所以，，所以 ，
又 平面， 平面，所以平面 .
因为 平面，平面 平面 ，
所以，又，所以 .
变式 如图，用平行于四面体 的一组对棱
，的平面截此四面体，平面与棱,, ,
的交点分别为,,,,求证：四边形 是平
行四边形．
证明:因为平面，平面 平面
，且 平面，所以 .
同理，所以 .
同理可得 ，
所以四边形 是平行四边形．
［素养小结］
（1）利用线面平行的性质定理解题的步骤：
（2）运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知
直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
探究点二 线面平行的综合应用
例2 如图，正三角形的边长为2，，分别是边, 的中点，
现沿将折起，得到四棱锥，点为 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：取的中点，连接， ，
因为点为 的中点，
所以，且 ，
又，分别是边， 的中点，
所以，且 ，
所以，，所以四边形 是平行四边形，
所以，又 平面， 平面，
所以 平面 .
（2）若，求四棱锥 的表面积；
解：因为， ，
所以 ，
所以 ，所以 .
根据对称性有，所以 ，
又，所以，所以 ，
所以 ，
而 ，
则四棱锥的表面积 .
（3）过的平面分别与棱,
相交于点,，若，求
的值.
解：由（1）知平面 ，
因为平面 平面， 平面 ，
所以，，所以 ，
又，所以，所以 .
变式 已知 ，且 ，，求证： .
证明：如图，过作平面 交 于 .
因为 ，所以 .
过作平面交平面 于 .
因为 ，所以 ，所以 .
又 且 ，所以 .
又平面 过交 于，所以 .
因为，所以 .
［素养小结］
线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推
出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推
下去,我们可称它为平行链,如下：
线线平行线面平行 线线平行.
1.如图,在三棱锥中,,分别是,
上的点,且平面 ,则( )
A.与相交 B.
C.与 异面 D.以上均有可能
[解析] 因为平面, 平面 ,
平面 平面,所以 .
√
2.直线平面 , 内有条直线交于一点,则这条直线中与直线
平行的直线有( )
A.0条 B.1条 C.0条或1条 D.无数条
[解析] 设条直线交于点A，过直线与点A作平面 ,
设平面 与 交于直线,则.
若所给的条直线中有1条是与重合的,则与直线 平行的直线有1条,
若没有与重合的,则与直线 平行的直线有0条.
√
3.（多选题）如图，在四面体中，, 分别为
,的中点，,分别在, 上，且
，则下列说法正确的是
( )
A.平面 B.平面
C.平面 D.直线,, 交于一点
√
√
[解析] 因为，所以 且，
又,分别为, 的中点，所以且，
所以 ，且.
因为 平面， 平面 ，
所以平面，故A正确.
因为为的中点，为 的一个三等分点，所以与为相交直线，
故与平面 不平行，与平面不平行，故B,C错误.
因为四边形 为梯形，所以直线与直线相交，
，
所以是平面与平面 的一个交点，
又平面 平面 ，所以，
所以直线,,交于一点 ,故D正确.故选 .
4.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为 的中
点，在棱上，且，若平面，则 的值为___.
3
[解析] 连接，设交于点 ，连接,如图.
因为为 的中点，所以，
因为底面 是平行四边形，所以 ,
所以,所以 ，
所以，又因为平面，
平面，平面 平面,
所以,所以,即 .
5.如图所示,是圆的直径,点是圆上异于,
的点,为平面外一点,,分别是, 的中点.
记平面与平面的交线为,试判断直线 与平
面 的位置关系,并加以证明.
解：直线平面 .证明如下：
因为,分别是,的中点,所以 ，
又 平面, 平面,所以平面 .
因为 平面,平面 平面,所以，
又 平面, 平面,所以平面 .
1.线面平行性质定理的解读
（1）线面平行性质定理可简记为“若线面平行,则线线平行”.
（2）线面平行性质定理包含三个条件：一内一交一平行.关键条件是
过直线作平面得到与平行平面的交线.
2.线面平行性质定理的作用：
①线面平行 线线平行;
②画一条直线与已知直线平行.
线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用,也就是通过线线平行
得到线面平行,再通过线面平行得到线线平行.利用线面平行的性质定
理解题的具体步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面;
（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平行平面相交的平面;（3）
确定交线;（4）由性质定理得出线线平行的结论.
例1 [2024·北京顺义一中高一期中] 如图，四棱锥 的底面
为平行四边形.设平面与平面的交线为，,分别为,
的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：取的中点，连接, ，
因为,分别为,的中点，底面 为
平行四边形，
所以，且 ，
所以四边形 为平行四边形，即 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）求证： .
解：易知， 平面， 平面 ，
所以平面 ，
又 平面，平面 平面 ，
所以 .
例2 [2024·福建福州三中高一期中] 如图，在三棱柱
中，在 上．
（1）若是的中点，求证：平面 ；
证明：连接交于点，连接 ，如图.
几何体为三棱柱，
四边形 为平行四边形，
为 的中点，
又为的中点， ，
平面， 平面，
平面 .
（2）若为的中点，直线平面，求 ．
解：设交于点，连接 ,如图.
平面， 平面，
平面 平面 ，
， ，
又 四边形为平行四边形，为 的中点，
， .第2课时 直线与平面平行的性质定理
【课前预习】
知识点
平行 平行 线线平行
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线与这个平面内直线的位置关系是平行或异面.
(2)平行于同一平面的两条直线可能相交,可能平行,也可能异面.
2.解:(1)不一定,因为直线l与直线a还可能是异面直线.
(2)无数个.a∥b
【课中探究】
探究点一
探索 解:(1)利用直线与平面平行的性质定理;(2)利用空间平行线的传递性.
例1 证明:因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,
所以EF∥AB,DC∥AB,所以EF∥DC,
又EF 平面PCD,DC 平面PCD,所以EF∥平面PCD.
因为EF 平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,
所以EF∥GH,又EF∥AB,所以AB∥GH.
变式 证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,所以AB∥MN.
同理AB∥PQ,所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP,
所以四边形MNPQ是平行四边形.
探究点二
例2 解:(1)证明:取A'B的中点N,连接DN,MN,
因为点M为A'C的中点,
所以MN∥BC,且MN=BC,
又D,E分别是边AB,AC的中点,
所以DE∥BC,且DE=BC,
所以MN∥DE,MN=DE,所以四边形MNDE是平行四边形,所以ME∥ND,又ND 平面A'BD,ME 平面A'BD,所以ME∥平面A'BD.
(2)因为A'B=,A'D=DB=1,所以A'D2+DB2=A'B2,
所以∠A'DB=90°,所以S△A'DB=.
根据对称性有A'C=A'B=,所以S△A'EC=S△A'DB=,
又BC=2,所以A'C2+A'B2=BC2,所以∠CA'B=90°,
所以S△A'BC=A'B·A'C=1,
而S△A'DE+S四边形BCED=S△ABC=×22=,
则四棱锥A'-BCED的表面积S=++1+=2+.
(3)由(1)知ME∥平面A'BD,
因为平面A'BD∩平面MEHT=HT,ME 平面MEHT,
所以ME∥HT,==,所以=,
又HT∥DN,所以==,所以=.
变式 证明:如图,过a作平面γ交α于 b.
因为a∥α,所以a∥b.
过a作平面ε交平面β于c.
因为a∥β,所以a∥c,
所以b∥c.
又b β且c β,所以b∥β.
又平面α过b交β于l,所以b∥l.
因为a∥b,所以a∥l.
【课堂评价】
1.B [解析] 因为EF∥平面ABC,EF 平面SBC,平面ABC∩平面SBC=BC,所以EF∥BC.
2.C [解析] 设n条直线交于点A,过直线a与点A作平面β,设平面β与α交于直线b,则a∥b.若所给的n条直线中有1条是与b重合的,则与直线a平行的直线有1条,若没有与b重合的,则与直线a平行的直线有0条.
3.AD [解析] 因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD且HG=BD,又E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD且EF=BD,所以EF∥GH,且EF≠GH.因为BD 平面EGHF,GH 平面EGHF,所以BD∥平面EGHF,故A正确.因为F为AD的中点,H为CD的一个三等分点,所以FH与AC为相交直线,故FH与平面ABC不平行,AC与平面EGHF不平行,故B,C错误.因为四边形EFHG为梯形,所以直线EG与直线FH相交,设交点为M,又EG 平面ABC,FH 平面ACD,所以M是平面ABC与平面ACD的一个交点,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以M∈AC,所以直线GE,HF,AC交于一点M,故D正确.故选AD.
4.3 [解析] 连接AC,设AC交BE于点G,连接FG,如图.因为E为AD的中点,所以AE=AD=BC,因为底面ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以△AEG∽△CBG,所以==,所以=,又因为PC∥平面BEF,PC 平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,所以PC∥FG,所以==3,即λ=3.
5.解:直线l∥平面PAC.证明如下:
因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC,
又EF 平面ABC,AC 平面ABC,所以EF∥平面ABC.
因为EF 平面BEF,平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,又l 平面PAC,EF 平面PAC,所以l∥平面PAC.第2课时 直线与平面平行的性质定理
【学习目标】
掌握直线与平面平行的性质定理,并能利用这个定理解决空间中的平行关系问题,通过应用直线与平面平行的性质定理解决空间中的平行关系,培养直观想象素养和逻辑推理素养.
◆ 知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
如果一条直线与一个平面 ,且经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与两平面的交线 l∥α,l β,α∩β=m l∥m 线面平行
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线与这个平面内的所有直线都平行.( )
(2)平行于同一平面的两条直线平行. ( )
2.(1)如图,已知直线l∥平面α,直线a 平面α,则直线l与直线a一定平行吗 为什么
(2)如图,直线a∥平面α,直线a 平面β,平面α∩平面β=b,满足以上条件的平面β有多少个 直线a,b有什么位置关系
◆ 探究点一 直线与平面平行性质定理的应用
[探索] 空间中证明直线与直线平行的思路有哪些
例1 如图,在三棱锥P-ABQ中,E,F,C,D分别是AP,BP,BQ,AQ的中点,平面PCD∩平面EFQ=GH.求证:AB∥GH.
变式 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体,平面与棱AC,BC,BD,AD的交点分别为M,N,P,Q,求证:四边形MNPQ是平行四边形.
[素养小结]
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤:
(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
◆ 探究点二 线面平行的综合应用
例2 如图,正三角形ABC的边长为2,D,E分别是边AB,AC的中点,现沿DE将△ADE折起,得到四棱锥A'-BCED,点M为A'C的中点.
(1)求证:ME∥平面A'BD;
(2)若A'B=,求四棱锥A'-BCED的表面积;
(3)过ME的平面分别与棱A'D,A'B相交于点H,T,若=,求的值.
变式 已知a∥α,且a∥β,α∩β=l,求证:a∥l.
[素养小结]
线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,如下:
线线平行线面平行线线平行.
1.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则 ( )
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
2.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A.0条 B.1条
C.0条或1条 D.无数条
3.(多选题)如图,在四面体ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,则下列说法正确的是 ( )
A.BD∥平面EGHF
B.FH∥平面ABC
C.AC∥平面EGHF
D.直线GE,HF,AC交于一点
4.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E为AD的中点,F在棱PA上,且AP=λAF,若PC∥平面BEF,则λ的值为 .
5.如图所示,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.第2课时 直线与平面平行的性质定理
1.C [解析] 由线面平行的性质定理知,过点P且平行于a的直线只有一条,且在平面α内,故选C.
2.D [解析] 当l∥α时,由线面平行的性质定理得这些交线相互平行;当l与α相交时,这些交线都交于同一点.故选D.
3.D [解析] 对于①,如果一条直线和一个平面平行,那么这个平面内有无数条直线与已知直线平行,故①不正确;对于②,平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故②不正确;对于③,过平面外一点有无数条直线与已知平面平行,故③不正确.故选D.
4.C [解析] 因为几何体A1B1C1-ABC是三棱台,所以AB∥A1B1,又AB 平面A1B1C1,A1B1 平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1,当AB 平面α时,由直线与平面平行的性质定理可知m∥AB,选项C符合要求.故选C.
5.A [解析] 如图,连接AD1,AB1,因为PQ∥平面AA1B1B,平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,PQ 平面AB1D1,所以PQ∥AB1,又P是平面AA1D1D的中心,即P是AD1的中点,所以PQ=AB1=×=.
6.C [解析] 连接MB交AC于点D,连接ND,NA,NC,MC,则平面NAC即为平面α,因为SB∥α,平面SMB∩α=DN,SB 平面SMB,所以SB∥DN.因为AB为底面圆的直径,点M,C将弧AB三等分,所以MC∥AB且MC=AB,所以==,又SB∥DN,所以==,所以=.故选C.
[点睛] 根据线面平行的性质及平行线分线段成比例定理得到=是解决本题的关键.
7.B [解析] 对于A,因为BC与AM在平面ABCD内且BC与AM不平行,所以BC与AM相交,故BC与平面PAM相交,若平面PAM内有一条直线与BC平行,则BC∥平面PAM,两者矛盾,故A中说法正确;对于B,由AB∥CM,AB 平面PCM,CM 平面PCM,得AB∥平面PCM,如图①,设平面PAB和平面PCM的交线为l,由线面平行的性质可得AB∥l,又l 平面ABCD,AB 平面ABCD,所以l∥平面ABCD,故B中说法错误;对于C,如图②,延长AM,BC交于E,连接PE,如图,由题意知平面PAM∩平面PBC=PE,当平面PBC内的直线与PE平行时,直线也与平面PAM平行,故C中说法正确;对于D,交线PE与平面ABCD交于E,故D中说法正确.故选B.
②
9.CD [解析] 因为BD∥平面EFGH,平面BCD∩平面EFGH=FG,BD 平面BCD,所以BD∥FG,同理得BD∥EH,则AE∶EB=AH∶HD,BF∶FC=DG∶GC.由BD∥FG,BD∥EH得EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形或梯形,不能得到E,F,G,H在各边上的位置.故选CD.
10.2 [解析] 连接AC交BD于点O,连接PO.因为EF∥平面PBD,EF 平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO,所以EF∥PO.在PA1上截取PQ=AP=2,连接QC,则QC∥PO,所以EF∥QC.易知四边形EFCQ为平行四边形,所以CF=EQ,又AE+CF=8,AE+A1E=8,所以A1E=CF=EQ=A1Q=2,故CF=2.
11.平行四边形 [解析] ∵AB∥α,平面ABC∩α=EG,∴EG∥AB.同理可得FH∥AB,∴EG∥FH.又CD∥α,平面BCD∩α=GH,∴GH∥CD.同理可得EF∥CD,∴GH∥EF,∴四边形EFHG是平行四边形.
12. [解析] 连接BC1交B1D于点F,连接EF.因为平面A1BC1∩平面B1DE=EF,A1B∥平面B1DE,所以A1B∥EF,所以=.因为BC∥B1C1,所以△BDF∽△C1B1F,所以=,又D是BC的中点,所以=,所以=.
[易错点] 本题易出现作辅助线构造辅助平面不当,无法由线面平行推出线线平行,从而出现猜想答案为1的错误.
13.证明:连接BD,设AC,BD相交于点E,连接ME.
因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,
所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形,
所以E为BD的中点,所以M为PB的中点.
14.解:(1)证明:令AC∩BD=O,连接OE,因为四边形ABCD是正方形,所以O是AC的中点,
又M是矩形ACEF的边EF的中点,
所以AO=AC=FE=ME,且AO∥ME,所以四边形AOEM为平行四边形,所以AM∥OE,
又OE 平面BDE,AM 平面BDE,
所以AM∥平面BDE.
(2)l∥m,证明如下:由(1)知,AM∥平面BDE,
又AM 平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,
所以l∥AM,
因为AM∥平面BDE,AM 平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,
所以m∥AM,所以l∥m.
15. [解析] 因为BB1∥平面DEC1A1,且平面BB1C1C∩平面DEC1A1=C1E,所以BB1∥C1E,又因为B1C1∥BE,所以四边形BB1C1E为平行四边形,所以B1C1=BE, 又E是BC的中点,所以B1C1=BC.同理A1B1=AB,所以=S△ABC.设棱台的高为h,则=
=.
16.解:(1)证明:如图,连接AC交BD于O,连接OF,
因为F为PA的中点,O为AC的中点,所以PC∥FO.
又PC 平面BFD,FO 平面BFD,
所以PC∥平面BFD.
(2)如图,延长FM交AD的延长线于G,连接BG交CD于N,
连接EF,FN,PG,EN.
因为EF∥AB,AB∥CN,所以EF∥CN.
又EC∥平面BFM,平面BFM∩平面EFNC=FN,
所以EC∥FN,所以四边形EFNC为平行四边形,则CN=EF=CD ,即N为CD的中点.
易知△BCN≌△GDN,所以N为BG的中点,
所以EN为△PBG的中位线,则EN∥PG,EN=PG.
又EF=DN,EF∥DN,
所以四边形EFDN为平行四边形,
则EN∥FD,EN=FD,
可得FD∥PG,FD=PG,
所以△FMD∽△GMP,则==2.第2课时 直线与平面平行的性质定理
一、选择题
1.已知直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于a的直线 ( )
A.只有一条,不在平面α内
B.有无数条,不一定在平面α内
C.只有一条,且在平面α内
D.有无数条,一定在平面α内
2.过平面α外的直线l作一组平面与α相交,若所得的交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为 ( )
A.都平行
B.都相交但不一定交于同一点
C.都相交且一定交于同一点
D.都平行或都交于同一点
3.下列说法中正确的有 ( )
①如果一条直线和一个平面平行,那么这个平面内只有一条直线与已知直线平行;
②平行于同一个平面的两条直线平行;
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行.
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
4.[2024·山东烟台莱州一中高一月考] 如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,从A,B,C,A1,B1,C1中取3个点确定平面α,若平面α∩平面A1B1C1=m,且m∥AB,则所取的这3个点可以是 ( )
A.A1,B,C B.A1,B,C1
C.A,B,C1 D.A,B1,C1
5.[2024·南昌十中高一月考] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为 ( )
A. B. C.1 D.
★6.[2024·河南洛阳高一期末] 如图,已知圆锥的顶点为S,AB为底面圆的直径,点M,C为底面圆周上的点,并将弧AB三等分,过AC作平面α,使SB∥α,设α与SM交于点N,则的值为 ( )
A. B. C. D.
第6题图 第7题图
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面A1B1C1D1内的一动点,M为棱DC的中点,则下列说法错误的是 ( )
A.平面PAM内任意一条直线都不与BC平行
B.平面PAB和平面PCM的交线不与平面ABCD平行
C.平面PBC内存在无数条直线与平面PAM平行
D.平面PAM和平面PBC的交线不与平面ABCD平行
8.(多选题)[2023·浙江嘉兴五中高一月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面,交平面BDM于GH,点H在BD上,则 ( )
A.PA∥平面BDM
B.PA与平面BDM相交
C.PA∥GH
D.PA与GH相交
9.(多选题) 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是 ( )
A.E,F,G,H一定是各边的中点
B.G,H一定是CD,DA的中点
C.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
D.四边形EFGH是平行四边形或梯形
二、填空题
10.[2023·安徽芜湖一中高一月考] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1=8,E,F分别是棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=8.点P在棱AA1上,且AP=2,若EF∥平面PBD,则CF= .
11.如图,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,
BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是 .
★12.[2023·河南洛阳高一期末] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,E是A1C1上一点,且A1B∥平面B1DE,则的值为 .
三、解答题
13.[2023·安徽安庆一中高一月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,点M在棱PB上,PD∥平面MAC,求证:M为PB的中点.
14.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,M是EF的中点.
(1)求证:AM∥平面BDE;
(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.
15.如图所示,过三棱台上底面的一边A1C1作一个平行于棱BB1的截面,与下底面的交线为DE.若D,E分别是AB,BC的中点,则= .
16.[2024·浙江A9协作体高一期末] 如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,F为PA的中点,E为PB的中点.
(1)求证:PC∥平面BFD;
(2)已知M在PD上且EC∥平面BFM,求的值.
