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11.4.2 平面与平面垂直
第1课时 二面角、平面与平面垂直的判定定理
探究点一 求二面角的大小
探究点二 证明面面垂直
【学习目标】
1.了解二面角、面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理；
2.灵活运用线面、面面垂直的判定定理解决空间中的位置关系问题；
3.通过平面与平面垂直的判定、二面角求解等问题，提升数学运算素
养、逻辑推理素养和直观想象素养．
知识点一 二面角
1.定义：从一条直线出发的两个________所组成的图形称为二面角，
这条直线称为二面角的____，这两个半平面称为二面角的____.
半平面
棱
面
2.图形表示：如图所示.
3.记法：以为棱， 和 为半平面的二面角，通常记作二面角
___________.如果和分别是半平面 和 内的点，那么这个二面
角也可记作____________.
4.二面角的平面角：在二面角 的棱上任
取一点，以为垂足，分别在半平面 和 内
作垂直于棱的射线和，则射线和 所
5.二面角的平面角 的取值范围：______________.平面角是直角的
二面角称为直二面角.
6.平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大
小，指的是它们所形成的4个二面角中，__________的角的大小.
不大于
成的角称为二面角的平面角.如图，， ， ，
，,二面角 的平面角是_______.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）二面角是从一条直线出发的两个半平面所夹的角度.( )
×
（2）二面角是两个平面相交时，两个平面所夹的锐角.( )
×
（3）二面角的平面角是过棱上一点和棱垂直的两射线所成的角.( )
×
（4）二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关.( )
×
（5）在二面角 的棱上任取一点,且, ，
，则是二面角 的平面角.( )
×
[解析] “”不符合二面角 的平面角的定义,
应该为“, ”.
2.在两个半平面内分别向棱作垂线,两条直线所成的角是否为二面角
的平面角 与二面角的平面角的大小有什么关系
解：这两条直线所成的角不一定为二面角的平面角,它与二面角的平
面角的大小相等或互补.
知识点二 平面与平面垂直
1.定义：一般地，如果两个平面 与 所成角的大小为 ，则称
这两个平面互相垂直，记作 .
2.画法：如图所示.
3.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条______,则
这两个平面互相垂直
图形语言 ________________________________________________
符号语言
垂线
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线，那么
.( )
×
（2）如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条直线，那么
.( )
×
（3）如果平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，
那么 .( )
√
2.过平面 的一条垂线可作多少个平面与平面 垂直？过平面 的
一条斜线，可作多少个平面与平面 垂直？过平面 的一条平行线
可作多少个平面与平面 垂直？
解：根据平面与平面垂直的定义与判定定理易知过平面 的一条垂线
可作无数个平面与平面 垂直；
过平面 的一条斜线可作一个平面与平面 垂直；
过平面 的一条平行线可作一个平面与平面 垂直.
探究点一 求二面角的大小
例1 如图，四棱锥的底面是正方形， 平面 .
（1）求二面角 的大小；
解： 平面，， ,
即为二面角 的平面角.
由题意知， ， 二面角的大小为 .
（2）求二面角 的大小.
解： 平面，， ，
即为二面角 的平面角.
四边形为正方形， ，
二面角的大小为 .
变式 如图，是的直径，垂直于所在的平面， 是圆周
上的一点，且，求二面角 的大小．
解： 平面， 平面 ，
，
是的直径，且点 在圆周上，
，
，， 平面 ，
平面 ，
又 平面， ，
即为二面角 的平面角．
， 是等腰直角三角形，
， 二面角 的大小为 .
［素养小结］
求二面角的平面角的大小的步骤：
简称为“一作二证三求”.
拓展 如图，已知， 分别是正三棱柱
的侧棱和 上的点，且
.设平面与平面 相
交于直线，求二面角 的大小．
解：如图所示，延长交的延长线于点 ，
连接，则是平面与平面 的公共点，
故直线为这两个平面的交线 ，
则二面角即为二面角 .
，且 ，
，分别为， 的中点，
， .
平面， 平面 ，
，
又，， 平面 ，
平面 .
平面， ，
即为二面角 的平面角．
由知，则 .
故二面角的大小为 .
探究点二 证明面面垂直
［探索］ 两条直线垂直可以利用两直线所成的角是直角来判断,且
两直线可能相交,也可能不相交,对于两个平面垂直，可怎么来判断
垂直的两个平面是否一定相交呢
解：两个平面垂直可利用相交平面所成的角是直角来判断,并且垂直
的两个平面一定相交.
例2 如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面, ,
,是棱的中点.证明:平面 平面 .
证明：因为,, ,
所以 平面 ，
又 平面,所以 .
由题易知 ,
所以 ,即 ，
又,所以 平面 ，
又 平面,所以平面 平面 .
变式 如图所示，直三棱柱 的底面是边
长为2的正三角形，，分别是， 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
证明：在直三棱柱 中，
平面，又 平面， .
为等边三角形，为的中点， ，
， 平面， 平面 ，
平面 .
平面， 平面 平面 .
（2）若 ，求点到平面 的距离.
解：在中， ， ，
，.在中， ，
， .
设点到平面的距离为 ，
由（1）知 平面，则 ，
即，解得 ，
故点到平面的距离为 .
［素养小结］
利用面面垂直的判定定理证面面垂直,只要证线面垂直,即在其中一个
平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，这是证明面面垂直的常用
方法,其基本步骤是：
拓展 [2024·湖南师大附中高一月考] 如图,在长方体
中,, .
（1）求证:平面 平面 .
证明:在长方体中,
平面 ，
平面, ,
, 四边形为正方形, ，
又,, 平面 ,
平面 ，
又 平面, 平面 平面 .
（2）在棱上是否存在一点,使 平面 若存在,请确定
点 的位置;若不存在,请说明理由.
解：假设在棱上存在点,使 平面 .
连接， 平面, .
在长方体中, 平面 ，
平面, ，
又, 平面 ，
平面, .
四边形为矩形, ,
,设,则 ,
解得，
在棱上存在点,使 平面,
此时点是上靠近点 的四等分点.
1.[2023·湖南临澧一中高一月考]给出下列说法：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线， 分别和一
个二面角的两个半平面垂直，则， 所成的角与这个二面角的平面
角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个
半平面内作射线所成的角．
其中说法正确的序号是( )
A.①③ B.② C.③ D.①②
√
[解析] 由二面角的定义知，①错误；
， 分别垂直于一个二面角的两个半平面，则， 所成的角与这个
二面角的平面角相等或互补，故②正确；
③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误．故选B.
2.在三棱锥中,侧面和侧面都是边长为 的正三角
形,且,则二面角 的大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 取的中点,连接,,则,,
即为二面角的平面角.
易得,又 ,
为正三角形, .
√
3.[2024·河北邯郸高一期末]已知,是两条不同的直线, , 是两个
不同的平面,则下列说法中正确的是( )
A.若, , ,则
B.若, ,则
C.若 ,, ,则
D.若 , , , ,则
√
[解析] 对于A,由, ,不能得出 ,故不能得到 ,
故A错误;
对于B,若, ,则 或 ,故B错误;
对于C,由 ,,得 ,又 ,所以 ,故C正确;
对于D,若 , , , ,则当时, , 可能相交,
故D错误.故选C.
4.如图， 平面，四边形 为菱
形，是上的一个动点，当点 满足条件
________________________时，平面 平
面 .（注：只要填写一个你认为正确的条件
即可）
（答案不唯一）
[解析] 根据面面垂直的判定定理可得，
当 平面时，平面 平面 ，
故可以考虑 平面，此时.
当 时，可得，
又，, 平面，
此时 平面 ，满足题意.
故答案可以为 （答案不唯一）.
5.如图所示，在三棱锥中，点, 分别
在棱,上，且 .
（1）求证：平面 ；
证明：，且 平面，
平面，平面 .
（2）若，，求证：平面 平面 .
解：，， ，
又，， 平面 ，
又 平面， 平面 平面 .
1.二面角的理解
（1）二面角的大小与垂直平面的位置无关,一个二面角的平面角有无
数个,它们的大小是相等的.
（2）二面角的平面角必须具备三个条件：①二面角的平面角的顶点
在二面角的棱上;②二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个半
平面内;③二面角的平面角的两条边都与棱垂直.
（3）二面角的平面角 的范围为 .当两个半平面重合
时, ;当两个半平面合成一个平面时, .
2.作二面角的平面角的方法
方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内
分别作垂直于棱的射线.
如图所示,为二面角 的平面角.
方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点 作另一个平面的垂线
,过垂足作棱的垂线,连接点与垂足 ,利用线面垂直可找到二
面角的平面角或其补角.
如图所示,为二面角 的平面角.
方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的
两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
如图所示,为二面角 的平面角.
提醒：二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据
需要选择特殊点作为平面角的顶点.
3.证明平面与平面垂直的两个常用方法
（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角;
②证明这个平面角是直角;
③根据定义,这两个相交平面互相垂直.
（2）面面垂直的判定定理.
1.二面角的求法
一作：作出二面角的平面角；二证：证明所作角是二面角的平面角；
三求：利用二面角的平面角所在的三角形求出角的三角函数值.
例1（1） [2024·湖南岳阳高一期末]十二水硫酸
铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结
晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正
方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，
即为一个正八面体 （如图）.假设
该正八面体的所有棱长均为2，则二面角
的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接，交于点，连接 ，
易知过点，取的中点，连接， ，
根据正八面体的几何特征知 ，，
又 平面， 平面 ，
平面 平面，
所以 为二面角的平面角.
， 平面，所以，
所以 是直角三角形，
又，，所以，所以.
，
同理，
在 中，由余弦定理得
.
故选C.
（2）[2024·安徽江淮高一期末] 在平行四边形中, ,
,是的中点, ,现将该平行四边形沿对角线
折成直二面角 ,如图所示.
（i）求证: ;
证明：在中,,, ,
由余弦定理可得 ,
所以,所以 ,所以 .
因为二面角是直二面角,平面 平面 ,
平面,所以 平面 ，
又 平面,所以 .
（ii）求二面角 的余弦值.
解：在中,是 的中点,
由（1）易知 , .
过点作,交的延长线于点,连接 .
因为 平面, 平面 ,
所以 ,
在中, , ,
所以 ,
所以 ,
所以 ，
所以二面角的余弦值是 .
又,,所以 平面 ,
又 平面,所以 ,
所以为二面角 的平面角.
2.面面垂直的判定方法
（1）定义法.
（2）面面垂直的判定定理.
（3）两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,则另一个平面也
垂直于第三个平面.
例2 [2024·沈阳高一期末] 如图所示,为正三角形, 平面
,,且,,分别是, 的中点,求证:
（1） ;
证明：取的中点,连接,易知 ,
因为 平面, 平面 ,
所以,所以 ，
又,所以 平面 ,
又 平面，所以 .
在和 中,
因为, ,
所以 ,
所以 .
（2）平面 平面 ;
解：因为 平面, 平面 ,
所以 ,
因为为正三角形,所以 ，
又,, 平面 ,
所以 平面 .
又 平面 ,
所以平面 平面 .
（3）平面 平面 .
解：因为,分别是, 的中点,
所以且 ,
又且 ,
所以且 ,
所以四边形 是平行四边形,
所以 ,
由（2）知 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面 ,
所以平面 平面 .11.4.2 平面与平面垂直
第1课时 二面角、平面与平面垂直的判定定理
【课前预习】
知识点一
1.半平面 棱 面 3.α-AB-β C-AB-D
4.∠AOB 5.0°≤θ≤180° 6.不大于90°
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× [解析] (5)“AO⊥BO”不符合二面角α-l-β的平面角的定义,应该为“AO⊥l,BO⊥l”.
2.解:这两条直线所成的角不一定为二面角的平面角,它与二面角的平面角的大小相等或互补.
知识点二
3.垂线 l β
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√
2.解:根据平面与平面垂直的定义与判定定理易知过平面α的一条垂线可作无数个平面与平面α垂直;过平面α的一条斜线可作一个平面与平面α垂直;过平面α的一条平行线可作一个平面与平面α垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA,
∴∠BAD即为二面角B-PA-D的平面角.
由题意知,∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D的大小为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA,
∴∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.
∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°,
∴二面角B-PA-C的大小为45°.
变式 解:∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC,
∵AB是☉O的直径,且点C在圆周上,∴AC⊥BC,
∵PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
∴BC⊥平面PAC,
又PC 平面PAC,∴PC⊥BC,
∴∠PCA即为二面角P-BC-A的平面角.
∵PA=AC,∴△PAC是等腰直角三角形,
∴∠PCA=45°,∴二面角P-BC-A的大小为45°.
拓展 解:如图所示,延长DE交A1B1的延长线于点F,连接C1F,则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点,故直线C1F为这两个平面的交线l,
则二面角A1-l-D即为二面角A1-C1F-D.
∵A1D∥B1E,且A1D=2B1E,
∴E,B1分别为DF,A1F的中点,
∵A1B1=B1C1=B1F,∴C1F⊥A1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1,C1F 平面A1B1C1,∴CC1⊥C1F,
又A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1 平面AA1C1C,
∴C1F⊥平面AA1C1C.
∵DC1 平面AA1C1C,∴C1F⊥DC1,
∴∠DC1A1即为二面角A1-C1F-D的平面角.
由A1D=B1C1知A1D=A1C1,则∠DC1A1=45°.
故二面角A1-l-D的大小为45°.
探究点二
探索 解:两个平面垂直可利用相交平面所成的角是直角来判断,并且垂直的两个平面一定相交.
例2 证明:因为BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1,
又DC1 平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.
由题易知∠A1DC1=∠ADC=45°,
所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC,
又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC,
又DC1 平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.
变式 解:(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
BB1⊥平面ABC,又AE 平面ABC,∴AE⊥BB1.
∵△ABC为等边三角形,E为BC的中点,∴AE⊥BC,
∵BB1∩BC=B,BB1 平面B1BCC1, BC 平面B1BCC1,∴AE⊥平面B1BCC1.
∵AE 平面AEF,∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
(2)在Rt△EFC中,∠EFC=30°,EC=1,∴EF=2,FC=.在Rt△AEC中,EC=1,∠AEC=90°,AE=.
设点C到平面AEF的距离为d,
由(1)知AE⊥平面B1BCC1,则VA-EFC=VC-AEF ,即·AE··EC·FC=·d··AE·EF,解得d=,
故点C到平面AEF的距离为.
拓展 解:(1)证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,D1C1⊥平面BCC1B1,
∵B1C 平面BCC1B1,∴D1C1⊥B1C,
∵BC=CC1=1,∴四边形BCC1B1为正方形,∴B1C⊥BC1,
又BC1∩D1C1=C1,BC1,D1C1 平面BD1C1,
∴B1C⊥平面BD1C1,
又B1C 平面A1B1CD,∴平面BD1C1⊥平面A1B1CD.
(2)假设在棱AB上存在点M,使D1B⊥平面MB1C.
连接BD,∵CM 平面MB1C,∴D1B⊥CM.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,
∵CM 平面ABCD,∴D1D⊥CM,
又D1D∩D1B=D1,∴CM⊥平面BDD1,
∵BD 平面BDD1,∴CM⊥BD.
∵四边形ABCD为矩形,∴△ABD∽△BCM,
∴=,设AM=m(0【课堂评价】
1.B [解析] 由二面角的定义知,①错误;a,b分别垂直于一个二面角的两个半平面,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③错误.故选B.
2.D [解析] 取PB的中点M,连接AM,CM,则AM⊥PB,CM⊥PB,∴∠AMC即为二面角A-PB-C的平面角.易得AM=CM=a,又AC=a,∴△AMC为正三角形,∴∠AMC=60°.
3.C [解析] 对于A,由m⊥n,n β,不能得出m⊥β,故不能得到α⊥β,故A错误;对于B,若m∥n,n β,则m β或m∥β,故B错误;对于C,由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又n∥β,所以α⊥β,故C正确;对于D,若m α,n α,m∥β,n∥β,则当m∥n时,α,β可能相交,故D错误.故选C.
4.BM⊥PC(答案不唯一) [解析] 根据面面垂直的判定定理可得,当PC⊥平面MBD时,平面MBD⊥平面PCD,故可以考虑PC⊥平面MBD,此时BM⊥PC.当BM⊥PC时,可得DM⊥PC,又BM∩DM=M,BM,DM 平面MBD,此时PC⊥平面MBD,满足题意.故答案可以为BM⊥PC(答案不唯一).
5.证明:(1)∵MN∥AB,且MN 平面ABD,AB 平面ABD,∴MN∥平面ABD.
(2)∵MN⊥CD,MN∥AB,∴AB⊥CD,
又BD⊥CD,AB∩BD=B,∴CD⊥平面ABD,
又CD 平面BCD,∴平面ABD⊥平面BCD.11.4.2 平面与平面垂直
第1课时 二面角、平面与平面垂直的判定定理
【学习目标】
1.了解二面角、面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理;
2.灵活运用线面、面面垂直的判定定理解决空间中的位置关系问题;
3.通过平面与平面垂直的判定、二面角求解等问题,提升数学运算素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
◆ 知识点一 二面角
1.定义:从一条直线出发的两个 所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的 ,这两个半平面称为二面角的 .
2.图形表示:如图所示.
3.记法:以AB为棱,α和β为半平面的二面角,通常记作二面角 .如果C和D分别是半平面α和β内的点,那么这个二面角也可记作 .
4.二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.如图,O∈l,OA α,OB β,OA⊥l,OB⊥l,二面角α-l-β的平面角是 .
5.二面角的平面角θ的取值范围: .平面角是直角的二面角称为直二面角.
6.平面与平面所成的角:一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4个二面角中, 的角的大小.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)二面角是从一条直线出发的两个半平面所夹的角度. ( )
(2)二面角是两个平面相交时,两个平面所夹的锐角. ( )
(3)二面角的平面角是过棱上一点和棱垂直的两射线所成的角. ( )
(4)二面角的平面角的大小与角的顶点在棱上的位置有关. ( )
(5)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,且AO⊥BO,AO α,BO β,则∠AOB是二面角α-l-β的平面角. ( )
2.在两个半平面内分别向棱作垂线,两条直线所成的角是否为二面角的平面角 与二面角的平面角的大小有什么关系
◆ 知识点二 平面与平面垂直
1.定义:一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面互相垂直,记作α⊥β.
2.画法:如图所示.
3.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条 ,则这两个平面互相垂直
图形语言
符号语言 l⊥α, α⊥β
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,那么α⊥β. ( )
(2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,那么α⊥β. ( )
(3)如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,那么α⊥β. ( )
2.过平面α的一条垂线可作多少个平面与平面α垂直 过平面α的一条斜线,可作多少个平面与平面α垂直 过平面α的一条平行线可作多少个平面与平面α垂直
◆ 探究点一 求二面角的大小
例1 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD.
(1)求二面角B-PA-D的大小;
(2)求二面角B-PA-C的大小.
变式 如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.
[素养小结]
求二面角的平面角的大小的步骤:
简称为“一作二证三求”.
拓展 如图,已知D,E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点,且A1D=2B1E=B1C1.设平面DEC1与平面A1B1C1相交于直线l,求二面角A1-l-D的大小.
◆ 探究点二 证明面面垂直
[探索] 两条直线垂直可以利用两直线所成的角是直角来判断,且两直线可能相交,也可能不相交,对于两个平面垂直,可怎么来判断 垂直的两个平面是否一定相交呢
例2 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=AA1,D是棱AA1的中点.证明:平面BDC1⊥平面BDC.
变式 如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.
(1)求证:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若∠EFC=30°,求点C到平面AEF的距离.
[素养小结]
利用面面垂直的判定定理证面面垂直,只要证线面垂直,即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:
拓展 [2024·湖南师大附中高一月考] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1.
(1)求证:平面BD1C1⊥平面A1B1CD.
(2)在棱AB上是否存在一点M,使D1B⊥平面MB1C 若存在,请确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
1.[2023·湖南临澧一中高一月考] 给出下列说法:
①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成的角.
其中说法正确的序号是 ( )
A.①③ B.② C.③ D.①②
2.在三棱锥P-ABC中,侧面PAB和侧面PBC都是边长为2a的正三角形,且AC=a,则二面角A-PB-C的大小为 ( )
A.90° B.30°
C.45° D.60°
3.[2024·河北邯郸高一期末] 已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法中正确的是 ( )
A.若m⊥n,m α,n β,则α⊥β
B.若m∥n,n β,则m∥β
C.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
D.若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
4.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,M是PC上的一个动点,当点M满足条件 时,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填写一个你认为正确的条件即可)
5.如图所示,在三棱锥A-BCD中,点M,N分别在棱BC,AC上,且MN∥AB.
(1)求证:MN∥平面ABD;
(2)若MN⊥CD,BD⊥CD,求证:平面BCD⊥平面ABD.11.4.2 平面与平面垂直
第1课时 二面角、平面与平面垂直的判定定理
1.A [解析] 当l∥m时,m⊥α,则α⊥β;当α⊥β时,l与m不一定平行.故选A.
2.C [解析] 由题得∠EPF与二面角α-l-β的平面角相等或互补,因为∠EPF=60°,所以二面角α-l-β的平面角的大小是60°或120°.故选C.
3.C [解析] 由m∥α,m∥n,得n∥α或n α,又n⊥β,所以α⊥β.故选C.
4.C [解析] 由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥AD,PA⊥CD,又底面ABCD为矩形,∴AD⊥AB,CD⊥AD,而AB∩PA=A,AD∩PA=A,∴AD⊥平面PAB,CD⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD,又BC∥AD,∴BC⊥平面PAB,∴平面PBC⊥平面PAB,故A,B,D中结论正确.故选C.
5.B [解析] 如图所示,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF.由题意可得AF=CF=a,∠AFC=90°.在Rt△AFC中,可得AC=a,∴△ACD为正三角形.∵E是CD的中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.故选B.
6.A [解析] 由题意可知CE⊥BC,CE⊥CD,则∠DCB就是二面角D-CE-F的平面角,则α=60°,tan α=.故选A.
7.D [解析] 如图所示,在翻折后的图形中,由题可知AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角,所以∠BDC=60°,又BD∩CD=D,BD,CD 平面BDC,所以AD⊥平面BDC.过点D作DE⊥BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,且AE⊥BC,所以AE即为点A到BC的距离.易知AD=a,△BCD是边长为的等边三角形,所以DE=a,因为DE 平面BDC,AD⊥平面BDC,所以AD⊥DE,所以AE==a,所以点A到BC的距离是a.故选D.
8.ACD [解析] 因为PA⊥平面ABC,PA 平面PAC,所以平面ABC⊥平面PAC,故D正确;因为B为圆周上不与A,C重合的点,AC为直径,所以BC⊥AB,因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以BC⊥PA,又AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,又BC 平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC,故C正确;因为BC⊥平面PAB,AN 平面PAB,所以BC⊥AN,又因为AN⊥PB,PB∩BC=B,所以AN⊥平面PBC,又AN 平面ANS,所以平面ANS⊥平面PBC,故A正确;显然B错误.故选ACD.
[结论] 证明面面垂直的方法:
(1)定义法:说明两个半平面所成的二面角是直二面角.
(2)面面垂直的判定定理:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题.
(3)利用结论:两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,则另一个平面也垂直于第三个平面.
9.ACD [解析] 对于A,PD=AD===,在△PDC中,PD2+CD2=PC2,所以PD⊥CD,易知CD⊥DE,PD∩DE=D,所以CD⊥平面PED,又CD 平面EBCD,所以平面PED⊥平面EBCD,故A正确;对于B,若PC⊥ED,则由ED⊥CD,PC∩CD=C,可得ED⊥平面PDC,则ED⊥PD,而∠EDP=∠EDA<90°,显然矛盾,故B错误;对于C,二面角P-DC-B的平面角为∠PDE,∠PDE=∠ADE=45°,故C正确;对于D,由上面分析可知,∠CPD为直线PC与平面PED所成的角,在直角三角形PCD中,tan∠CPD==,故D正确.故选ACD.
10.60° [解析] 正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则底面边长为2,底面积为12,所以正四棱锥的高为3,所以侧面与底面所成的二面角的正切值为,故所求二面角的大小为60°.
11.①④ [解析] ∵在四面体PABC中,PA=PB=PC,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB的中点,∴CO⊥AB,PO⊥AB,又CO∩PO=O,∴AB⊥平面POC.∵AB 平面ABC,∴平面POC⊥平面ABC,∴相互垂直的两个平面是①④.
12.5 [解析] 如图,过B作BH垂直于水平面,垂足为H,过H作HC垂直于坡脚线,垂足为C.连接BC,则∠BAC=30°.由BH⊥AC,HC⊥AC,BH∩HC=H,知AC⊥平面BHC,又BC 平面BHC,所以BC⊥AC,所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角,所以∠BCH=30°.在Rt△ABC和Rt△BCH中,因为AB=20 m,所以BC=ABsin 30°=10(m),所以BH=BCsin 30°=5(m).
13.解:(1)证明:如图,连接B1C,交BC1于点O,连接OD,
在△B1AC中,∵D为AC的中点,O为B1C的中点,∴OD∥AB1.
又OD 平面BC1D,AB1 平面BC1D,∴直线AB1∥平面BC1D.
(2)证明:∵A1A⊥平面ABC,BD 平面ABC,∴AA1⊥BD.
∵AB=BC,D为AC的中点,∴AC⊥BD,又AA1∩AC=A,AA1 平面ACC1A1,AC 平面ACC1A1,
∴BD⊥平面ACC1A1.又BD 平面BC1D,∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.
(3)∵△ABC为等边三角形,D为AC的中点,AB=6,
∴CD=3,BD=3,∴S△BCD=·CD·BD=.
∵A1A⊥平面ABC,AA1∥CC1,且A1A=AB=6,
∴CC1⊥平面ABC,且CC1=6,
∴==·C1C·S△BCD=9.
14.解:(1)∵AB⊥AD,CD∥AB,∴CD⊥AD,
又PA⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,∴PA⊥CD,
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,∴CD⊥平面PAD,
又PD 平面PAD,∴CD⊥PD,∴∠PDA即为二面角P-CD-B的平面角.
∵直线PB与CD所成角的大小为45°,∴∠PBA=45°,∴PA=AB,
又∵AB=AD,∴PA=AD,又PA⊥AD,∴∠PDA=45°,
故二面角P-CD-B的大小为45°.
(2)当点E在PC上,且满足PE∶EC=1∶2时,平面EBD⊥平面ABCD.
理由如下:
连接AC交BD于点O,连接EO.
由△AOB∽△COD,且CD=2AB,得CO=2AO,
∴PE∶EC=AO∶CO=1∶2,∴PA∥EO,
∵PA⊥底面ABCD,∴EO⊥底面ABCD,
又EO 平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.
15.C [解析] 分别过A,C作平面ABCD的垂线AP,CQ,使得AP=CQ=1,连接PM,PN,QM,QN,将几何体补成棱长为1的正方体,如图所示.由题可知NB⊥BC,AB⊥BC,∵NB∩AB=B,∴BC⊥平面ABN,又BC 平面BCE,∴平面BCE⊥平面ABN,故A中结论正确;连接PB,则PB∥MC,显然PB⊥AN,∴MC⊥AN,故B中结论正确;取MN的中点F,连接AF,CF,AC,∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形,∴AF⊥MN,CF⊥MN,∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角,∵AF=CF=,AC=,∴AF2+CF2≠AC2,∴∠AFC≠,∴平面CMN与平面AMN不垂直,故C中结论不正确;∵DE∥AN,MN∥BD,DE∩DB=D,AN∩MN=N,∴平面BDE∥平面AMN,故D中结论正确.故选C.
16.解:(1)证明:如图,取CD的中点E,连接PE,BE,
因为△PCD是等腰直角三角形,且∠DPC=90°,所以PE⊥CD,
又四边形ABCD是边长为2的菱形,所以CE=1,PC=,PE=1,
又PB⊥CD,PB∩PE=P,PB,PE 平面PBE,所以CD⊥平面PBE,
又BE 平面PBE,所以CD⊥BE,所以BE===,
又PB=2,所以PB2=PE2+BE2,所以PE⊥BE.
因为BE∩CD=E,BE,CD 平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD,
又PE 平面PCD,所以平面PCD⊥平面ABCD.
(2)由(1)可得BD===2,
所以△BCD为边长是2的等边三角形,在△PBD中,BD=PB=2,PD=,
则S△PBD=××=,S△BCD=×2×2×sin 60°=.
设点C到平面PBD的距离为h,
由V三棱锥C-PBD=V三棱锥P-BCD,得SPBD·h=SBCD·PE,
所以×·h=××1,解得h=,
所以点C到平面PBD的距离为.11.4.2 平面与平面垂直
第1课时 二面角、平面与平面垂直的判定定理
一、选择题
1.已知直线m,l,平面α,β满足l⊥α,m β,则“l∥m”是“α⊥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2023·辽宁锦州高一期末] 从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β所在平面分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是 ( )
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
3.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法中正确的是 ( )
A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
B.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β
C.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β
D.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是 ( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
5.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED= ( )
A.45° B.90°
C.60° D.30°
6.如图所示,四边形ABCD为菱形,四边形CEFB为正方形,平面ABCD⊥平面CEFB,∠BCD=60°,若二面角D-CE-F的大小为α,则tan α= ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·湖南娄底高一期末] 把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角,这时点A到BC的距离是 ( )
A.a B.a
C.a D.a
★8.(多选题)[2023·宁夏六盘山高级中学高一月考] 如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于S,AN⊥PB于N, 则下列结论正确的是 ( )
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面ABC
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
9.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=,AB=1,E为AB中点,以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点P的位置,得到四棱锥P-EBCD,且PC=,则 ( )
A.平面PED⊥平面EBCD
B.PC⊥ED
C.二面角P-DC-B的大小为45°
D.PC与平面PED所成角的正切值为
二、填空题
10.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角的大小为 .
11.如图,在四面体PABC中,PA=PB=PC,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB的中点,则以下平面中,相互垂直的两个平面是 .(填序号)
①平面ABC;②平面PAC;③平面PBC;④平面POC.
12.[2023·成都高一期末] 如图所示,一山坡的坡面与水平面成30°的二面角,坡面上有一直道AB=20 m,它和坡脚的水平线成30°的角,则沿这条山路从A走到B后升高了 m.
三、解答题
13.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为等边三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.
(1)求证:直线AB1∥平面BC1D;
(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A1;
(3)求三棱锥C-BC1D的体积.
14.[2024·山东青岛高一期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,且CD=2AB.
(1)若AB=AD,直线PB与CD所成角的大小为45°,求二面角P-CD-B的大小;
(2)若E为PC上一点,试确定点E的位置,使得平面EBD⊥平面ABCD,并说明理由.
15.如图,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为MC的中点,则下列结论中不正确的是 ( )
A.平面BCE⊥平面ABN
B.MC⊥AN
C.平面CMN⊥平面AMN
D.平面BDE∥平面AMN
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的菱形,△PCD是等腰直角三角形,且∠DPC=90°,PB⊥CD,PB=2.
(1)求证:平面PCD⊥平面ABCD;
(2)求点C到平面PBD的距离.
