(共32张PPT)
第27课时 相似三角形
第五章 图形的变换与作图
知识点1 比例线段和黄金分割
定义 防错提醒
比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果
，那么这四条线段叫做成比例线
段，简称比例线段 求两条线段的比
时，对这两条线
段要用同一长度
单位
＝
黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条
线段AC和BC（AC＞BC），如果 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比
为 一条线段的黄金
分割点有
个
＝
两
知识点2 比例的性质
基本 性质 如果 ＝ ，那么ad＝
合比 性质 如果 ＝ ，那么 ＝
bc
等
比 性
质 如果 ＝ ＝…＝ （b＋d＋…＋n≠0），那么
＝
知识点3 平行线分线段成比例的基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 .
成比例
知识点4 相似三角形（多边形）的性质
相似 三角
形 （1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相
似比
相似 多边
形 （1）相似多边形周长的比等于相似比；
（2）相似多边形面积的比等于相似比的平方
知识点5 相似三角形的判定
判定1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形
判定2 如果两个三角形三组对应边的 相等，那么这两个三角
形相似
判定3 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且 相
等，那么这两个三角形相似
判定4 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应
，那么这两个三角形相似
相似
比
夹角
相
等
已知 图示 结论（性质）
DE∥BC ①△ADE∽△ABC；
② ＝ ＝
∠1＝∠2 或∠3＝∠4 或 ＝ [反A字模型] ①△ADE∽△ABC；
② ＝ ＝
知识点6 相似的基本图形及结论
【A字模型】
已知 图示 结论（性质）
∠1＝∠2 [共边反A字模型] ①△ADC∽△ACB；
②AC2＝AB·AD
[补充]该模型也被称为子母模型，即
子母模型可以看作有一组公共边的反
A字模型
∠1＝∠2 ＝∠3 [双反A字模型] ①△AEB∽△DEA∽△DAC；
②AB·AC＝BE·CD；
③ ＝
【8字模型】
已知 图示 结论（性质）
AB∥CD ①△AOB∽△COD；
② ＝ ＝
∠1＝∠2 或∠3＝∠4 或 ＝ [反8字模型] ①△AOB∽△DOC；
② ＝ ＝
【射影定理】
已知 图示 结论（性质）
∠ABC＝∠AD
B＝90°
①△ABC∽△ADB∽△BDC；
②AB2＝AC·AD，
BD2＝AD·CD，
BC2＝AC·CD；
③AB·BC＝BD·AC（面积法）
【一线三等角】
已知 图示 结论（性质）
∠B＝∠D＝∠ACE＝90°
图1
图2 ①△ABC∽△CDE；
② ＝ ＝ 或BC·CD＝AB·DE
（可看作底·底＝腰·腰）；
③特别地，如图2，当点C为BD的中点时，△ABC∽△CDE∽△ACE
已知 图示 结论（性质）
∠B＝∠D＝ ∠ACE＝α
图1
图2 ①△ABC∽△CDE；
② ＝ ＝ ；
③特别地，如图2，当点C为BD的中点
时，△ABC∽△CDE∽△ACE
【线束模型】
已知 图示 结论（性质）
DE∥BC
图1
图2 ① ＝ （图1）；
②DF∶FG∶EG＝BH∶HI∶CI（图2）
AB∥CD
图1
图2 ① ＝ （图1）；
②AE∶EF∶BF＝DH∶HG∶CG（图2）
【三平行线模型】
已知 图示 结论（性质）
AB∥EF ∥CD
① ＋ ＝ ；
② ＋ ＝
已知 图示 结论（性质）
四边形 DEFG
为 矩形， AN⊥B
C
①△ABC∽△ADG；
② ＝ ＝ ＝ ；
③若四边形DEFG为正方形，假设DG＝x，则
＝ ，若已知BC，AN的长，即可求出x的值
【三角形内接矩形模型】
知识点7 位似图形的概念及性质
概 念 对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形是位似图形，这个点
叫位似中心
性 质 （1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似
比；
（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于一点；
（3）位似图形对应线段平行或共线且成比例；
（4）位似图形的对应角相等
考点一 比例线段及相关性质
（1）下列四组线段中，是成比例线段的是（ C ）
A. 4cm，5cm，6cm，7cm
B. 3cm，4cm，5cm，8cm
C. 3cm，5cm，9cm，15cm
D. 1cm，3cm，4cm，8cm
C
（2）已知 x＝ y，且x，y均不为0，则 ＝ － ；
（3）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD. 若 ＝ ，则
＝ .
－
考点二 相似三角形的性质和判定
（1）如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分
别交直线DE于点M，N. 若添加下列一个条件后，仍无法判定
△MAE∽△DCN，则这个条件是（ D ）
图1
D
A. ∠B＋∠4＝180°
B. CD∥AB
C. ∠1＝∠4
D. ∠2＝∠3
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，
BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝9∶49，则DE∶DC＝
（ C ）
图2
A. 2∶5 B. 2∶3 C. 3∶7 D. 3∶4
C
（2025·江西）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，
AC⊥BC，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线
于点G，且EF⊥AB. 若AB＝10，AD＝8，求GF的长.
[答案] 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝8，AB∥CD，OA＝OC.
∵AB＝10，AC⊥BC，
∴AC＝ ＝6，∴OC＝3.
∵EF⊥AB，∴S ABCD＝BC·AC＝AB·EF，
即8×6＝10EF，∴EF＝ .
∵AB∥CD，∴∠OEA＝∠OFC，∠OAE＝∠OCF，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴EO＝FO＝ ，AE＝CF，
∴AE＝CF＝ ＝ .
∵CF∥BE，∴△CFG∽△BEG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得GF＝ .
考点三 相似三角形的应用
“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现
青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下
照片（如图）.回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，
笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为（ C ）
A. 2 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
C
在一个阳光明媚的下午，小华和小红相约去测量一座古塔MN的
高.如图，他们在塔周围的平地上找到塔尖点M的影子点B，并在点B
处竖立一根3m长的标杆AB，测得其影长BC为2m.随后后退到点D处放
置了一面小平面镜，小华站在点F处正好看到镜子中的塔尖M，且点
F，D，C，B，N在同一条直线上.已知小华的身高EF为1.62m，FD
为1.8m，BD为4.4m，求古塔MN的高.（平面镜的厚度忽略不计）
[答案] 解：设古塔MN的高为xm.由题意，得
△DEF∽△DMN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴DN＝ xm.
∵BD＝4.4m，∴BN＝DN－BD＝（ x－4.4）m.
由题意，得△ABC∽△MNB，∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得x＝9.9.（经检验，符合题意）
答：古塔MN的高为9.9m.
考点四 位似及位似变换
（1）（2025·眉山）如图1，在4×3的方形网格中，每个小正方形
的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则
△OAB与△OCD的周长之比是（ B ）
A. 2∶1 B. 1∶2
C. 4∶1 D. 1∶4
B
图1
图2
（2）（2025·浙江）如图2，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O
为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，
0）.若DE的长为3，则D'E'的长为（ C ）
A. B. 4 C. D. 5
C
1. （2025·绥化）两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它
们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是（ B ）
A. 14 cm B. 18 cm C. 30 cm D. 34 cm
B
2. （2025·兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位
似，位似中
心是原点O，已知BC∶B'C'＝1∶2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是
（ B ）
A. （3，0） B. （4，0）
C. （6，0） D. （8，0）
（第2题）
B
3. （1）（2025·八中）如图，已知△ABC∽△ADB，点D是AC的中
点，CD＝2，则AB的长为 ；
[第3（1）题] [第3（2）题]
（2）（2025·育才）如图所示，已知AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝
2∶3，则AE∶EC＝ .
2
8∶5 (共16张PPT)
第31课时 视图、投影
第五章 图形的变换与作图
知识点1 常见几何体展开图
常见的 几何体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱（三棱柱、
四棱柱等）、棱锥（三棱锥、四棱锥等）
圆柱的 展开图 圆柱的平面展开图是由两个相同的
圆形和一个长方形组成的
圆锥的 展开图 圆锥的展开图是由一个圆形和一
个扇形组成的
正方体 的展开 图
知识点2 三视图
三 视 图 主视图 正投影情况下，由 向 观察物体得到的视
图，叫做主视图，主视图反映物体的长和高
左视图 正投影情况下，由 向 观察物体得到的视
图，叫做左视图，左视图反映物体的宽和高
俯视图 正投影情况下，由 向 观察物体得到的视
图，叫做俯视图，俯视图反映物体的长和宽
前
后
左
右
上
下
画 物 体 的 三 视 图 原则
主视图和俯视图要长对正，
主视图和左视图要高平齐，
左视图和俯视图要宽相等
注意 看得见部分的轮廓线通常画成 ，因被其
他部分遮挡而看不见部分的轮廓线通常画成
实线
虚
线
知识点3 投影
投影 定义 一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫
做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面
叫做投影面
平行 投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影
中心 投影 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投
影
考点一 图形的展开与折叠
图1
（1）（2025·遂宁）如图1，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂
蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在
侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ B ）
A B
C D
B
（2）（2025·德阳）下列图形中可以作为正方体的展开图的是
（ A ）
A B
C D
A
（3）（2025·内江）如图2是正方体的表面展开图，与“共”字相对的
字是（ B ）
A. “安” B. “全”
C. “校” D. “园”
B
图2
（4）如图3，下列图形中，①能折叠成 ，②能折叠成
，③能折叠成 .
圆柱
五棱
柱
圆锥
图3
考点二 三视图
（1）（2025·烟台）如图1是社团小组运用3D打印技术制作的模
型，它的左视图是（ C ）
A B C D
C
图1
图2
（2）（2025·黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何
体，它的主视图和俯视图如图2所示，那么组成该几何体所需小正方体
的个数最少是（ A ）
A. 7 B. 8 C. 6 D. 5
A
考点三 投影
（1）矩形的正投影不可能是（ B ）
A. 矩形 B. 梯形 C. 正方形 D. 线段
B
（2）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为
16m.若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为 .
8m
如图，信号塔PQ坐落在坡度i＝1∶2的山坡上，其正前方直立着
一块警示牌.当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡
上的影子QN的长为2 m，落在警示牌上的影子MN的长为3m，求信
号塔PQ的高.（结果不取近似值）
[答案] 解：如答案图，过点M作MF⊥PQ于点F，过点Q作
QE⊥MN于点E，则四边形FQEM为矩形，
∴FQ＝ME，FM＝QE.
∵i＝1∶2，∴设EN＝k，则QE＝2k.
在Rt△QEN中，由勾股定理，得
QN＝ ＝ k＝2 ，解得k＝2.
∴EN＝2m，FM＝QE＝4m.
∴FQ＝ME＝MN－EN＝3－2＝1（m）.
在Rt△PFM中，∠FPM＝180°－90°－60°＝30°，
∴PF＝ ＝4 m.
∴PQ＝PF＋FQ＝（1＋4 ）m.
答：信号塔PQ的高为（1＋4 ）m.
（答案图）
1. （2025·宜宾）下列立体图形是圆柱的是（ D ）
A B C D
D
2. （2025·山东）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个
正六棱柱，其示意图的主视图是（ C ）
（第2题）
A B
C
C D
3. 如图，圆柱的侧面展开得到一个长方形，该长方形的长为12π，宽为
8，则这个圆柱的体积为 .
（第3题）
288π (共20张PPT)
第30课时 平移与旋转
第五章 图形的变换与作图
知识点1 平移与旋转的定义与性质
（1）平移
定义 在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这
种变换，叫做平移变换，简称平移.确定一个平移变换的条件
是方向和距离
性质 （1）平移不改变图形的 与 ，即平移前后的
两个图形是 ；
（2）连接各组对应点的线段 ；
（3）对应线段 ；
（4）对应角
形状
大小
全等图形
平行（或共线）且相等
平行（或共线）且相等
相等
（2）旋转
定义 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定的角
度，图形的这种变换，叫做旋转变换.这个定点叫做旋转中
心，这个角度叫做旋转角.图形的旋转由 、
和 所决定
旋转中心
旋
转方向
旋转角
（续表）
性质 （1）图形上的每一点都绕着 沿着相同的方向旋
转了 大小的角度；
（2）旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变
化，即它们是 的；
（3）旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离
；
（4）对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，并且等于旋转
角
旋转中心
相同
全等
相
等
知识点2 平面直角坐标系中点的平移规律
平面内点A的坐标为（x，y），则：
（1）将点A向右平移a（a＞0）个单位长度得到的点的坐标为
；
（2）将点A向左平移a（a＞0）个单位长度得到的点的坐标为
；
（3）将点A向上平移a（a＞0）个单位长度得到的点的坐标
为 ；
（4）将点A向下平移a（a＞0）个单位长度得到的点的坐标
为 .
简称：上加下减，左减右加.
＋a，y）
（x
－a，y）
（x，y＋a）
（x，y－a）
（x
考点一 图形的平移
（1）传统建筑中的窗格设计精巧，样式繁多，体现了我国建筑独
特的艺术表现力和文化内涵，下列窗格图案中可以看作由一个“基本图
案”经过平移得到的是（ A ）
A B C D
A
（2）（2025·眉山）在平面直角坐标系中，将点A（－1，3）向右平移2
个单位长度得到点B，则点B的坐标为（ C ）
A. （－3，3） B. （－1，1）
C. （1，3） D. （－1，5）
C
（3）（2025·广元）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将
△ABO沿着射线AD的方向平移得到△DCE，则四边形OCED的周长为
（ A ）
A. 26 B. 24 C. 22 D. 20
A
图1
（4）如图2，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移3 cm得到
Rt△DEF，且DE交AC于点H. 已知AB＝6 cm，BC＝9 cm，DH＝2
cm，那么图中阴影部分的面积为（ C ）
A. 9 cm2 B. 10 cm2 C. 15 cm2 D. 30 cm2
C
图2
考点二 图形的旋转
（1）（2025·遂宁）如图1，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得
到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线
上，连接BD，则下列结论错误的是（ C ）
图1
C
A. AB＝AD
B. △ACE是等腰三角形
C. ∠ACE＝∠ADE
D. ∠BAD＝∠EAC
（2）（2025·山西）如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，
0），将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标
为 ；
（3 ，3 ）
图2
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将
△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C. 若点B的对应点B'恰
好在线段AB上，则BB'的长是 ；
图4
（4）如图4，在△ABC中，∠ABC＝60°，P是△ABC内一点，连接
PA，PB，PC. 若AB＝4，BC＝6，则PA＋PB＋PC的最小值
是 .
2
图3
[解析] 如答案图，将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BFE，过点
E作EH⊥CB交CB的延长线于点H，则∠PBF＝∠ABE＝60°，BP
＝BF，AB＝BE＝4，AP＝EF，∴△BPF为等边三角形，∴BP＝
PF，∴PA＋PB＋PC＝EF＋PF＋PC. 根据两点之间线段最短可
知，当点E，F，P，C共线时，PA＋PB＋PC的值最小，最小值即
为EC的长.在Rt△EBH中，∠EBH＝180°－∠ABC－∠ABE＝
60°，EB＝4，∴BH＝BE· cos 60°＝2，EH＝EB· sin 60°＝
2 ，∴CH＝BH＋BC＝8，∴EC＝ ＝2 .故答案为
2 .
（答案图）
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜
45°）.将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作
DE⊥BC，垂足为E.
图1
图2
图3
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED；
[答案] （1）证明：由题意，得CA＝CD，∠ACD＝90°，
∴∠ACB＋∠BCD＝90°.
∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，
∴∠BCD＋∠D＝90°，∴∠ACB＝∠D.
∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠CED，
∴△ABC≌△CED（AAS）.
图1
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，
DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并
加以证明；
[答案] （2）解：猜想：PC＝PD. 证明如下：
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝α，
∴∠A＝90°－α.
∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF.
又∵CA＝CD，CF＝CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠A＝90°－α.
∵∠ACD＝90°，∠ACB＝α，
∴∠BCD＝90°－α，
∴∠BCD＝∠CDF，∴PC＝PD.
图2
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化的过程
中，当点P落在点E的位置时，连接EF.
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积.
[答案] （3）①证明：由题意，得FP＝FE，
∴∠P＝∠FEP.
∵∠DEC＝90°，∴∠PED＝90°，
∴∠P＋∠FDE＝90°，∠FEP＋∠FED＝90°，
∴∠FED＝∠FDE，∴FE＝FD，
∴FP＝FD，即点F是PD的中点.
图3
②解：∵△ABC≌△CED，∴DE＝CB.
设CE＝m，DE＝CB＝n，
则BE＝CB－CE＝n－m.
由翻折，得PB＝BE＝n－m，∴PE＝2n－2m，
∴PC＝PE＋CE＝2n－m＝PD.
在Rt△PDE中，由勾股定理，得
（2n－m）2＝（2n－2m）2＋n2，
整理，得3m2－4mn＋n2＝0，
解得n＝3m或n＝m（舍去，此时α＝45°）.
在Rt△CDE中，由勾股定理，得
m2＋（3m）2＝202，解得m2＝40.
∵BE＝BP，PF＝DF，∴BF＝ DE＝ m，
∴S△CEF＝ CE·BF＝ m· m＝30.
1. 在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（0，3），（2，0），将线段MN平移得到线段M'N'，若点M'的坐标为（2，1），则点N'的坐标为（ A ）
A. （4，－2） B. （4，2）
C. （0，－2） D. （1，2）
A
2. （2025·宜宾）如图，在△OAB中，∠B＝30°，将△OAB绕着点O
逆时针旋转80°后得到△OA'B'.若A'B'∥OA，则∠A'OB'的度数为
（ A ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
（第2题）
A
3. （2025·凉山州）如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位
长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为 .
（第3题）
24 (共20张PPT)
第28课时 锐角三角函数与解直角三角形
第五章 图形的变换与作图
知识点1 锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b ∠A的正弦 sin A＝ ＝
∠A的余弦 cos A＝ ＝
∠A的正切 tanA＝ ＝
它们统称为∠A的锐角三角函数
知识点2 特殊角的三角函数值
锐角α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tanα 1
知识点3 解直角三角形
解直角 三角形 在Rt△ABC中，除了∠C＝90°外，还有∠A，∠B和a，
b，c这五个元素.
由Rt△ABC中的已知元素求出其余未知元素的过程叫解直角三
角形
解直角 三角形 的常用 关系 （1）三边关系：a2＋b2＝ ；
（2）两锐角之间的关系：
∠A＋∠B＝ ；
（3）边与角之间的关系：
sin A＝ cos B＝ ， cos A＝ sin B＝ ，tanA
＝ ；
（4） sin 2A＋ cos 2A＝1
c2
90°
解直角 三角形 的题目 类型 （1）已知斜边和一个锐角；
（2）已知一直角边和一个锐角；
（3）已知斜边和一直角边；
（4）已知两条直角边
（续表）
知识点4 解直角三角形的实际应用
方位
角 在航海、航空测绘中常用的一种表示方位的角，通常以正北、正南方向为基准，用比如“北偏东40度，南偏西60度，西南方向（南偏西45度）”等来描述物体的运动方向
仰角与 俯角
坡度 与 坡角 坡度 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡
度（或坡比），记作i＝
坡角 坡面与水平面的夹角α叫做坡角，i＝tanα，坡度越
大，α角越大，坡面
越陡
考点一 锐角三角函数的概念
（1）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下
列各式中，正确的是（ C ）
A. sin B＝ B. cos B＝
C. tanB＝ D. tanB＝
C
（2）如图1，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝
FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG. 若AB＝4，BC
＝6，则 sin ∠GBF的值为（ A ）
A. B. C. D.
（3）如图2，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，顶
点为格点.若△ABC的顶点均是格点，则 cos ∠BAC的值是 .
A
图1
图2
考点二 特殊角的三角函数值
（1）计算：2 cos 60°－ sin 30°＋tan245°＝ ；
（2）已知在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（ －2 sin A）2＋｜
tanB－ ｜＝0，则∠C＝ °.
75
A. 米 B. （5tanα＋5）米
C. 米 D. 米
图1
考点三 解直角三角形
（1）（2025·东营）如图1为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，
∠BAC＝α，AC＝5米.现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则
地毯的长度需要（ B ）
B
图2
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接
CD，过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E. 若AC＝30， cos A
＝ ，则 cos ∠DBE＝ .
考点四 解直角三角形的应用
（1）（2025·内蒙古）如图1，因地形原因，湖泊两端A，B的距
离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并
飞行至距湖面90 m的点C处.从点C测得点A的俯角为60°，测得点B的
俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B
的距离为 m；（结果保留根号）
120
图1
（2）（2025·上海）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置
了人脸扫描仪（如图2），已知扫描仪（线段AB）的竖直高度为2.7
米，某人（线段CD）身高为1.8米，扫描仪测得∠A＝53°，那么此人
与扫描仪的水平距离为 米.（参考数据： sin 53°≈0.8， cos
53°≈0.6，tan53°≈1.33，结果精确到0.1米）
1.2
图2
为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻
炼线路，如图，线路a.A－D－C－B；线路b.A－E－B. 经勘测，点
B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西
方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点
E在点B的南偏西60°方向.（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
（1）求AD的长度；（结果精确到1千米）
[答案] 解：（1）如答案图，过点D作DF⊥EA交EA延长线于点F.
由题意知，四边形ABCF是矩形，
∴AF＝BC＝10千米.
在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，
∴AD＝ ＝10 ≈14（千米）.
答：AD的长度约为14千米.
（答案图）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说
明他应该选择线路a还是线路b？
[答案] 解：（2）在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，
∴DF＝AF＝10千米.
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，
AB＝DF＋CD＝24千米，
∴AE＝AB·tan30°＝24× ＝8 （千米），
∴EB＝2AE＝16 千米.
按线路a.A－D－C－B走的路程为
AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38（千米）.
按线路b.A－E－B走的路程为
AE＋EB＝8 ＋16 ＝24 ≈42（千米）.
∵38＜42，
∴小明应该选择线路a.
答：小明应该选择线路a
.
1. （2025·广西）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则 sin
B＝（ B ）
A. B. C. D.
2. 计算：（1）tan60°· cos 30°－ sin 245°＝ ；
（2） ＋2 sin 60°－tan45°＝ .
B
1
3. （2025·扬州）如图1，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在
桌面上，其中水面高度BM＝7 cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上，
此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ .
（第3题）
(共14张PPT)
第29课时 轴对称与中心对称
第五章 图形的变换与作图
知识点1 轴对称与中心对称的定义及性质
定义 性质
轴
对
称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折
叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图
形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对
称轴
（1）对应点所连的
线段被
垂直平分；
（2）
相等，
相等；
（3）成轴对称的两
个图形是全等图形
对称轴
对应线段
对应角
轴
对
称 成轴对称：对于两个图形，如果沿某一条直
线折叠后，它们能完全重合，那么这两个图
形关于这条直线（成轴）对称 （1）对应点所连的
线段被
垂直平分；
（2）
相等，
相等；
（3）成轴对称的两
个图形是全等图形
对称轴
对应线段
对应角
中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 后能与另一个图
形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做
.关于某点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称
中心，并且被对称中心 .
中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转 后，能与原
来位置的图形重合，这个图形就叫做中心对称图形，这个点就是它的对
称中心.
180°
对
称中心
平分
180°
知识点2 平面直角坐标系中点的对称规律
平面内点A的坐标为（x，y），则：
（1）点A关于x轴对称的点的坐标为 ；
（2）点A关于y轴对称的点的坐标为 ；
（3）点A关于原点对称的点的坐标为 .
（x，－y）
（－x，y）
（－x，－y）
考点一 轴对称和中心对称图形的定义及性质
（1）（2025·绥化）下列数学符号是轴对称图形的是（ D ）
A. ≠ B. ≌ C. ≥ D. ±
D
（2）（2025·烟台）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，
以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心
对称图形的是（ D ）
A B
C D
D
（3）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如
图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点
E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF. 下列推断错误的是
（ B ）
A. OB⊥OD B. ∠BOC＝∠AOB
C. OE＝OF D. ∠BOC＋∠AOD＝180°
B
考点二 平面直角坐标系中点的对称与最短路径
（1）已知点A（－3，m）与点B（n，2）关于原点对称，则m
＋n的值为（ D ）
A. －5 B. 5 C. －1 D. 1
D
（2）如图，一次函数y＝2x－3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y
轴的对称点是 .
（－ ，0）
（1）如图1，在 ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，
点M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为 ；
（2）如图2，点P是∠AOB内部任意一点，OP＝5cm，点M和点N分
别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最
小值为 cm；
5
图1
图2
（3）（2025·内江）如图3，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在
边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE＋DF
的最小值为 .
图3
4
考点三 图形的折叠
（1）（2025·广元）如图1，菱形纸片ABCD中，∠C＝45°，将
纸片沿着直线MN折叠，使点A与点B重合，若DM＝1，那么菱形
ABCD的面积为（ A ）
A. 4＋3 B. 8 －2
C. 6 D. 8
A
图1
（2）如图2，在△ABC中，∠A＝22°，D为AB边的中点，E为AC边
上一点，将△ADE沿着DE翻折，得到△A'DE，连接A'B. 当A'B＝
A'D时，∠A'EC的度数为 .
16°
图2
1. （2025·黑龙江）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很
多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ B ）
A B
B
C D
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将△ABC沿AC折叠，点
B落在点B'处，AD与B'C交于点E，则CE的长为（ C ）
A. B. C. D.
（第2题）
C
3. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝140°，∠B＝∠D＝90°，在
直线BC，DC上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小，则此时
∠MAN的度数为 .
（第3题）
100° (共21张PPT)
第32课时 几何（网格、尺规）作图
第五章 图形的变换与作图
知识点1 网格作图
利用平移、旋转、对称（轴对称和中心对称）、位似等在正方形网
格中作图称为网格作图.
知识点2 尺规作图
在几何里用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图.最基
本、最常用的尺规作图，称为基本作图.
知识点3 五种基本尺规作图
基本 作图 图示 作法
作一条 线段等 于已知 线段 ①画射线AB；
②用圆规在射线AB上截取AC＝MN，
线段AC就是所求作的线段
基本 作图 图示 作法
作一个 角等于 已知角 ①作射线O'A'；
②以点O为圆心，任意长为半径作弧，
交OA于点C，交OB于点D；
③以点O'为圆心，OC长为半径作弧，
交O'A'于点C'；
④以点C'为圆心，CD长为半径作弧，
交前弧于点D'；
⑤过点D'作射线O'B'，∠A'O'B'就是所
求作的角
基本 作图 图示 作法
作已知 角的 平分线 ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，
分别交OA，OB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于 DE的
长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于
点C；
③作射线OC，OC就是所求作的角平
分线
（续表）
基本 作图 图示 作法
作已知 线段的 垂直平 分线 ①分别以点A，B为圆心，大于 AB
的长为半径作弧，两弧相交于点
C，D；
②作直线CD，直线CD就是线段AB
的垂直平分线
基本 作图 图示 作法
经过一 点作已 知直线 的垂线 过直线上一点 作已知直线的 垂线 ①以点C为圆心，适当长为半径向
点C两侧作弧，分别交直线AB于点
D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于
DE的长为半径作弧，两弧相交于点
F；
③作直线CF，直线CF就是所求作
的垂线
基本 作图 图示 作法
过直线外一点 作已知直线的 垂线 ①任意取一点K，使点K和点C在
AB的两侧；
②以点C为圆心，CK长为半径作
弧，交AB于点D，E；
③分别以点D，E为圆心，大于
DE的长为半径作弧，两弧相交于点
F；
④作直线CF，直线CF就是所求作
的垂线
经过一
点作已
知直线
的垂线
考点一 网格作图
如图，在7×7的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请
仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.
（答案图）
（1）过点E作BC的平行线，交AC于点F；
[答案] 解：（1）如答案图，平行线EG与点F即为所求作.
（2）在（1）的条件下，作点A关于EF的对称点A'.
[答案] （2）如答案图，点A'即为所求作.
如图，△ABC的顶点坐标为A（－2，3），B（－3，1），C
（－1，2）.
（1）画出△ABC向右平移3个单位后的△A1B1C1；
[答案] 解：（1）如答案图，△A1B1C1即为所求作.
（2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2；
[答案] 解：（2）如答案图，△A2B2C2即为所求作.
（答案图）
（3）在网格上找一点D，使得以A1，B1，C1，D为顶点的四边形为平
行四边形，直接写出点D的坐标.
（答案图）
[答案] 解：（3）如答案图，分别以A1B1，A1C1，B1C1为对角线作出
平行四边形，可知点D的坐标为（3，4）或（1，0）或（－1，2）.
考点二 尺规作图
（1）（2025·资阳）如图，在射线BA，BC上分别截取BM，
BN，使BM＝BN；再分别以点M，N为圆心、大于线段MN一半的长
为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作
DE∥BC交BA于点E. 若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是
（ C ）
C
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
（2）已知△ABC（AC＞AB），用尺规作图的方法在BC边上确定一点
P，连接AP，使得S△ABP＝S△ACP，则符合要求的作图痕迹是（ A ）
A B
C D
A
（3）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝8，AC＝6，分
别以A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，
作直线MN与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形
AECF的周长为 .
20
考点三 尺规作图的综合运用
（2025·八中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB.
（1）尺规作图：在AD上截取AE，使得AE＝AB. 作∠ADC的平分线
交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
[答案] 解：（1）作图如答案图.
（答案图）
证明：∵DF平分∠ADC，
∴① .
∵在平行四边形ABCD中，BC∥AD，
∴② ，
∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF.
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD.
又∵AE＝AB，∴AE＝CF.
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，∴AD－AE＝BC－CF，
即③ .
∠CDF＝∠ADF
∠ADF＝∠CFD
DE＝BF
又∵④ ，
∴四边形BEDF是平行四边形.
DE∥BF
（2）在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边
形.（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
1. （2025·西附）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所
示，可得△ODC≌△O'D'C'，进一步得到∠O'＝∠O. 上述作图中判
定全等三角形的依据是（ A ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
（第1题）
A
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB. 以点A为圆心，适当
长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E；再分别以点D，E为圆
心，大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点
G. 若CG＝ ，则BG＝ .
2
（第2题）
3. 如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，CE＝BC. （答案图）
（1）尺规作图：过点B作CE的垂线BF，垂足为F（只保留作图痕迹）；
（答案图）
（第3题）
解：（1）如答案图所示，BF即为所求作.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠D＝90°，
∴∠BCE＝① .
∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°.
又∵∠D＝90°，∴② .
∵BC＝CE，∴△DCE≌△FBC（AAS），
∴BF＝③ ，∴BF＝BA.
∠DEC
∠BFC＝∠D
CD
（2）在（1）的条件下，为了证明BF＝BA，小马同学有如下想法：先
证明△DCE≌△FBC，再利用矩形的性质得到结论，请根据小马同学的
想法完成下面的填空：
