2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（湘教版）提升卷（含解析）

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2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（湘教版）提升卷含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①，②，③，④中的（ ）
A．② B．①③ C．②④ D．①②③④
2．计算后的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式：①，②，③，④分解因式正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若分式方程无解，则整数m的值为（ ）
A． B．1 C． D．或1
6．已知，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C．且 D．
8．如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（ ）
A． B． C． D．
9．已知a，b为实数，且，则的值为（ ）
A． B．7 C．或7 D．9
10．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A．0 B． C． D．
11．若，则的值是（ ）
A．2 B． C．2或 D．2a
12．若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ．
14．某工人原计划在规定时间内加工300个零件，因改进了工具和操作方法，现在每小时比原来多加工10个零件，结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同．原计划每小时加工 个零件．
15．已知，那么的值是 ．
16．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ．
三、解答题
17．如图，点D，E分别在上，，相交于点．
求证：．
小明同学的证明过程如下：
证明：，
． 第一步
在和中，
，
． 第二步
． 第三步
(1)小明同学的证明过程中，第____________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
18．计算、化简求值：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
19．解分式方程：
(1)；
(2)．
20．计算：
21．计算：
(1)；
(2)．
22．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
23．阅读下列材料，完成文后任务：
我们知道，或都称为完全平方式，通常把一个二项式加上某一项后使之成为完全平方式的方法称为配方法，利用配方法不仅可以解一元二次方程，还有其他方面的应用．
例如：若，求和的值．
解：由已知得，，
，
，，
，．
又如：求代数式的最小值．
解，
，
，
代数式的最小值为．
任务：
(1)已知，求和的值．
(2)求代数式的最小值．
《2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（湘教版）提升卷含解析》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B D A C A B A
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
本题根据完全平方公式，分析原式与完全平方公式结构的差异，得出结论，即可解决确定多项式成为完全平方式所需添加项的问题．
【详解】解：①加上后，多项式为，是平方差不是完全平方，不符合题意；
②加上后，多项式为，是完全平方，符合题意；
③加上后，多项式为，不是完全平方，不符合题意；
④加上后，多项式为，是完全平方，符合题意；
综上，加上②或④能成为完全平方．
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握熟练掌握因式分解的方法．
根据乘方的意义进行拆解，然后利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了因式分解，乘法公式．
根据平方差公式和完全平方公式逐一计算各式左、右两边的式子，比较即可．
【详解】解：①：右边展开为：，与左边不符，故①错误；
②：左边展开为：，
右边展开为：，与左边相等，故②正确；
③：右边展开为：，与左边不符，故③错误；
④：右边展开为：，与左边相等，故④正确；
综上，正确的有②和④，共2个，
故选B．
4．B
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键．
【详解】解：A、不是因式分解，故选项不符合题意；
B、是因式分解，故选项符合题意；
C、不是因式分解，故选项不符合题意；
D、不是因式分解，故选项不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况．
对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可．
【详解】解：
当时，方程无解，此时，；
当时，即时，方程无解，此时；
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想．由可得，再将分式化简后整体代入求解即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
∵原方程的解是正数，且分母不为0，即,
∴，且
∴且，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和．
设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果．
【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时，
空置部分的体积，
则瓶子的总体积，
所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：．
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件即被开方数非负．
根据二次根式的被开方数非负得到不等式组，然后求出，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的化简，由数轴得到，，则，再根据二次根式的性质与绝对值进行化简即可．
【详解】解：由实数在数轴上对应的点的位置可得，，，
∴，
∴．
故选：A．
11．C
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的非负性，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，整理得，再化简，然后进行分类讨论，化简绝对值，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴
∴，
则
当时，则；
当时，则；
故选：C
12．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确求解是解题的关键．
根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选：C．
13．
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键．
【详解】解：
可分解因式为，，
则，
故．
故答案为：．
14．40
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设原计划每小时加工个零件，则现在每小时加工个零件，由题意：现在加工个零件的时间和原来加工个零件的时间相同．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设原计划每小时加工个零件，则现在每小时加工个零件，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
即原计划每小时加工个零件，
故答案为：．
15．
【分析】本题利用分式的基本性质，巧妙运用已知条件是解题的关键．先将分式的分子分母变成含有的形式，再进行转换即可解答．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
16．
【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可．
【详解】解：，
∴的面积
，
故答案为：．
17．(1)二
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形的性质与判定．
（1）根据全等三角形判定定理进行分析求解，即可解题；
（2）从第二步开始，先根据“”证明，得到，再利用“”证明，最后利用全等三角形性质即可证明．
【详解】（1）解：第二步中：
，
“”不能证明，
第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：，
，
．
在和中，
，
，
，
在和中，
，
．
．
18．(1)
(2)，当时，
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，一元一次不等式组的解法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）先根据乘方的意义、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值的意义逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可；
（2）把括号内通分，并把分子、分母分解因式约分化简，然后求出不等式组的解集，从解集中取一个使分式有意义的数代入计算即可．
【详解】（1）解：
=
=
=；
（2）
=
=
=
解不等式组的解集为
∴不等式组的整数解为，，，，
∵的值从不等式组的整数解中选取，且分式有意义，
∴，，，
∴当时，原式=．
19．(1)；
(2)无解．
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，特别是注意验根是解题的关键．
（1）两边同时乘以，去分母转化为整式方程，求解即可；
（2）两边同时乘以，去分母转化为整式方程，求解即可．
【详解】（1）
解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为；
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
即，
解得：，
检验：当时，，
∴是增根，故分式方程无解．
20．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、立方根、算术平方根等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
先运用算术平方根、立方根化简，然后再运算二次根式混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，绝对值性质化简各项，再去括号，最后进行加减运算；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，绝对值性质，二次根式的混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的含义，
（1）先根据完全平方公式求出，再进一步即可得到答案．
（2）先根据完全平方公式求出，再进一步即可得到答案．
（3）根据条件可得，再代入计算可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴
．
23．(1)，
(2)
【分析】本题考查用完全平方公式分解因式、分组分解因式、完全平方式的非负性，解决本题的关键是把代数式合理分组、分解因式，再利用完全平方式的非负性求解．
把左边的分组后再分解因式，可得：，根据完全平方式的非负性可得：，，所以可得：，，解方程即可求出和的值；
把分解因式可得：原式，利用完全平方的非负性即可得到的最小值．
【详解】（1）解：，
分组得：，
分解因式得：，
可得：，，
，，
解得：，；
（2）解：
，
，
，
的最小值是．
【点睛】本题考查完全平方式、配方法、完全平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键．
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