中小学教育资源及组卷应用平台
因式分解 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把多项式 分解因式， 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．你爱数学 B．你爱学 C．爱中国 D．中国爱你
4．已知可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．41，47
5．已知，，那么代数式的值为（ ）
A．6 B．7 C．13 D．42
6． 下列因式分解正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+ab﹣3＝a（a+b）﹣3
C．2ab2﹣8a＝2a（b2﹣4） D．a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4）
8．下列因式分解的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列变形：① ，② ，③ ，④ ，其中是因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．对于等式 有下列两种说法： ① 从左向右是因式分解； ②从右向左是整式乘法．关于这两种说法正确的是（ ）
A．①、②均正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①、②均错误
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解： =
12．分解因式：
（1） .
（2） .
13．分解因式am+a＝ ．
14．若 ，则代数式 的值为 .
15．已知，则 ．
16．多项式的最小值为 ．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？
（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答： ；
（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分解，即：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
此类多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
猜想并填空：x2+8x+15=x2+[( )+( )]x+( )×( )=(x+ )(x+ )
（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：
①x2+8x+12 ②x2-x-12
18．解答下列问题：
（1）一正方形的面积是 ，则表示该正方形的边长的代数式是 ．
（2）求证：当n为正整数时， 能被 整除．
19．因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
20．分解因式：
（1） ；
（2） .
21．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
22．
（1）分解因式：3x3﹣12x.
（2）解不等式组： ，并写出它的整数解.
23．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值.
解法一：设另一个因式为 ，得
则 ，
∴ 解得 ， .
∴另一个因式为 ， 的值为－21.
解法二：设另一个因式为 ，得
∴当 时，
即 ，解得
∴
∴另一个因式为 ， 的值为－21.
问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式 分解因式的结果中有因式 ，则实数 .
（2）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值.
24．分解因式：
（1）x3 4x2y+4xy2
（2）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
因式分解 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．把多项式 分解因式， 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式因式分解即可.
2．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：多项式分解因式后有一个因式是，
当时，多项式的值为，
即，
解得：，
故答案为：．
【分析】令时，多项式的值为，求出m值即可.
3．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．你爱数学 B．你爱学 C．爱中国 D．中国爱你
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
，
对应的字为：中、爱、国、你，
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，然后找到对应的字得到密码信息.
4．已知可被40至50之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．41，47
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴可被40至50之间的两个整数整除的数是48，43．
故答案为：C．
【分析】利用平方差公式，将已知的多项式进行多次因式分解即可得出结论.
5．已知，，那么代数式的值为（ ）
A．6 B．7 C．13 D．42
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ab=6，a+b=7，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=6×7=42.
故答案为：D.
【分析】将代数式分解因式可得到ab（a+b），然后整体代入求值.
6． 下列因式分解正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、无法因式分解，A错误；
B、，B错误；
C、， C正确；
D、， D错误.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
7．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+ab﹣3＝a（a+b）﹣3
C．2ab2﹣8a＝2a（b2﹣4） D．a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4）
【答案】D
【解析】【解答】解： A、a（a+b）＝a2+ab，这里是整式乘法，故A不符合题意；
B、 a2+ab﹣3＝a（a+b）﹣3 ，不是因式分解，故B不符合题意；
C、 2ab2﹣8a＝2a（b2﹣4）=2a（b+2）（b-2） ，故C不符合题意；
D、a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用因式分解的定义，可排除A、B；分解因式要分解到不能再分解为止，可对D，C作出判断.
8．下列因式分解的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a2+b2这个二项式即没有公因式也不是两个数的平方差得形式，故不能进行因式分解，∴原式因式分解错误，不符合题意；
B、，原式分解正确，符合题意；
C、，原式分解错误，不符合题意；
D、，原式分解错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】将一个多项式化为几个整式积的形式的恒等变形，就是因式分解；对于一个多项式分解因式，首选的方法是提取公因式法，其次根据多项式的项数确定使用哪一个公式进行分解，如果是二项式，一般使用平方差公式，如果是三项式一般使用完全平方公式或十字相乘法，因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，据此逐一判断得出答案.
9．下列变形：① ，② ，③ ，④ ，其中是因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①是整式的乘法，故①不是因式分解；
②没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②不是因式分解；
③一个多项式转化成几个整式积的形式，故③是因式分解；
④原式不是多项式，故④不是因式分解；
所以本题是因式分解的有：1个，
故答案为：A．
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可。
10．对于等式 有下列两种说法： ① 从左向右是因式分解； ②从右向左是整式乘法．关于这两种说法正确的是（ ）
A．①、②均正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①、②均错误
【答案】A
【解析】【解答】解：因式分解是将一个多项式化为若干个多项式的乘积的形式，而整式乘法则是将若干个多项式相乘得到一个新多项式的过程，观察等式，左边是多项式形式，右边是乘积形式，因此从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，即①与②说法均正确.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解与整式乘法的定义判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解： =
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】【解答】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即 =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）.
【分析】分解因式能提公因式先提公因式然后运用其他因式分解彻底即可。
12．分解因式：
（1） .
（2） .
【答案】（1）(x+3)(x+2)(x-2)
（2）(x+4)(x-1)(x+1)(x+2)
【解析】【解答】解：（1）x2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x2-4)=(x+3)(x+2)(x-2)；
故答案为：(x+3)(x+2)(x-2) ；
(2)、（x2+3x-4)(x2+3x+2)=(x+4)(x-1)(x+1)(x+2).
故答案为： (x+4)(x-1)(x+1)(x+2)。
【分析】（1）首先分组提公因式，然后再用公式法，即可得出最后结果；
（2）首先用十字交叉发进行因式分解得出（x2+3x-4)(x2+3x+2)，然后再进一步运用十字交叉相乘法得出最后结果。
13．分解因式am+a＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用“提公因式法”进行因式分解.
14．若 ，则代数式 的值为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：
=
=
=
=4.
故答案为：4.
【分析】先分解因式将原式化为，然后代值计算，即可得出结果.
15．已知，则 ．
【答案】48
【解析】【解答】解：∵，
∵，
∴原式=
故答案为：48
【分析】将原式因式分解可得，然后整体代入计算即可.
16．多项式的最小值为 ．
【答案】-6
【解析】【解答】解：原式=
=
∵
∴原式的最小值为：-6，
故答案为：-6.
【分析】利用分组法和配方法对原式化简，最后根据平方的非负性即可求解.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？
（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答： ；
（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分解，即：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
此类多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
猜想并填空：x2+8x+15=x2+[( )+( )]x+( )×( )=(x+ )(x+ )
（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．
（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：
①x2+8x+12 ②x2-x-12
【答案】（1）不能
（2）3；5；3；5；3；5
（3）解：（x+3）(x+5)
=x2+3x+5x+15
= x2+8x+15;
（4）解：① x2+8x+12
= x2+（6+2）x+（6×2）
=（x+6）(x+2);
② x2-x-12
= x2+(3-4)x+[3×(-4)]
=(x-3)(x+4)
【解析】【解答】解：（1）∵x2+8x+15不是完全平方式，
∴x2+8x+15不能用完全平方公式进行因式分解.
故答案为：不能；（2）∵8=5+3，15=5×3
∴x2+8x+15= x2+[( 3) +( 5 )]x + ( 3)×( 5)=(x+ 3 )(x+5)，
故答案为：3，5，3，5，3，5，
【分析】（1）根据是否符合完全平方式的结构特征进行判断即可；（2）根据“把一次项系数分解成两个数的和，并且这两个数的积等于常数项”进行填空即可；（3）运用多项式乘以多项式进行验证即可；（4）根据前面总结得出的分解因式方法，得出结果即可．
18．解答下列问题：
（1）一正方形的面积是 ，则表示该正方形的边长的代数式是 ．
（2）求证：当n为正整数时， 能被 整除．
【答案】（1）
（2）证明：∵
=
=
∴原式能被8整除．
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
该正方形的边长的代数式是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，分解因式即可；（2）原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
19．因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
（3）解：
=
=
=
（4）解：
=
=
=
【解析】【分析】（1）直接运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）直接运用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式xy，再运用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）先提取公因式（x+y），再运用平方差公式进行因式分解即可．
20．分解因式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解： .
【解析】【分析】（1）先提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可；
（2）先提取公因式x-y，然后利用平方差公式分解即可；
21．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）完全平方公式
（2）否；
（3）解：设，
则原式
【解析】【分析】(1)从第三步的结果可得出结论；
(2)观察最后结果中的x2-4x+4是否还能因式分解，得出结论；
(3)设x2 2x=y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解。
22．
（1）分解因式：3x3﹣12x.
（2）解不等式组： ，并写出它的整数解.
【答案】（1）解：3x3﹣12x
=3x(x2-4)
=3x(x+2)(x-2)
（2）解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式组的解集为 .
因此整数解为0，1，2
【解析】【分析】（1）首先提取公因式3x，然后利用平方差公式分解即可；
（2）求出两个不等式的解集，找出其公共部分即为不等式组的解集，据此可得整数解.
23．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值.
解法一：设另一个因式为 ，得
则 ，
∴ 解得 ， .
∴另一个因式为 ， 的值为－21.
解法二：设另一个因式为 ，得
∴当 时，
即 ，解得
∴
∴另一个因式为 ， 的值为－21.
问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式 分解因式的结果中有因式 ，则实数 .
（2）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值.
【答案】（1）1
（2）解：设另一个因式为 ，得
则
∴
解方程组，得
∴另一个因式为 ， 的值为5
【解析】【解答】（1）解：设另一个因式为（x+m），则
∴
∴-3m=-6，
解得，m=2，
∵m-3=-p，
∴p=1
【分析】（1）根据题中的方法，设另一个因式为（x+m），则 ，把等式右边展开合并得 ，则-3m=-6，从而可求出m的值，再根据m-3=-p，求出； （2）根据题中的方法，设另一个因式为（x+n），则2x2+3x-k=（2x+5）（x+n），把等式右边展开合并得 ，则 ，然后解方程即可得到n和k的值，即得到另一个因式.
24．分解因式：
（1）x3 4x2y+4xy2
（2）
【答案】（1）解：原式= x（x2-4 xy+4 y2）
= x（x-2y）2
（2）原式=（b2- a2）+（b -a）
=（b +a）（b -a）+（b -a）
=（b -a）（b +a+1）
【解析】【分析】（1）先提取公因式x，然后利用完全平方公式进行分解即可．（2）利用平方差公式分解即可求得答案．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
