中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．在一块宽为20 m，长为32 m的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，余下的部分修建花坛，使花坛的面积为540 m2，求小路的宽.设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是 （ ）
A．（20-x）(32-x)=540 B．（20-x）(32-x)=100
C．（20－2x）(32－2x )=540 D．（20-2x）(32-2x)=100
3．2018年底，安徽省高铁里程约1400公里，2019年底，安徽省高铁里程约1900公里，若高铁里程的年增长率保持不变，则估计2021年底安徽高铁里程约 （ ）
A．2584公里 B．3000公里 C．3500公里 D．3800公里
4．若方程的两个实数根为α，β，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．7 D．4
5．下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是（ ）.
A． B． C． D．
6．为执行“均衡教育”政策，某县2019年投入教育经费2650万元，预计到2021年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在一块宽为，长为的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余阴影部分的面积为，问小路的宽应是多少？设小路的宽为，根据题意得（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
8．若关于x的方程4x2﹣（2k2+k﹣6）x+4k﹣1=0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
A． B．﹣2 C．﹣2或 D．2或
9．某医疗物资制造厂原来每件产品的生产成本是100元，为提高生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本后，成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为 （ ）
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%
10．某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝662
B．200（1+2x）2＝662
C．200（1﹣x）2＝662
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么 ．
12．关于的一元二次方程有一根为，则 ．
13．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是 ．
14．若关于x的一元二次方程的一个根是m，则的值为 ．
15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 ．
16．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则 + 的值为 ．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米，
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54米，那么小路的宽度是多少米？
18．直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．
（1）若每件售价为28元，则日销量是 件
（2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
19．张大爷一家承接的手工产品成本每件 元，销售单价为 元时，每月销量为 件，销售单价每降低 元，每月销量增加 件.政府根据每月销量补贴每件 元补助金.
（1）当销售单价定为 元，那么政府本月补助张大爷一家多少元？
（2）产品每月的销售利润加每月政府补助金是张大爷一家的手工产品收入，当某月销售单价为多少元时，张大爷一家能获得 元的手工产品收入？
20．
（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．
①分解因式：；
②若都是正整数且满足，求的值；
（2）若为实数且满足，，求的最小值．
21．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值.
22．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店月份的营业额为375万元，，月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年，月份营业额的月增长率．
23．
（1）解方程： ；
（2）如图，将矩形 绕点 顺时针旋转得到矩形 ，点 的对应点 恰好落在 的延长线上，边 与 相交于点 ．
求证： ．
24．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件200元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低1元，月销售件数就增加2件。
（1）已知该农产品的成本是每件100元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元；
（2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件200元，买五送一，在(1)的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．在一块宽为20 m，长为32 m的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，余下的部分修建花坛，使花坛的面积为540 m2，求小路的宽.设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是 （ ）
A．（20-x）(32-x)=540 B．（20-x）(32-x)=100
C．（20－2x）(32－2x )=540 D．（20-2x）(32-2x)=100
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，设小路宽为x米，因为花坛的面积为540 m2
根据题意得：（20﹣2x）（32﹣2x）＝540.
故答案为：C.
【分析】设小路宽为x米，结合已知条件可将花坛的长与宽用含x的代数式表示，然后由花坛的面积=花坛的长×宽=540可得关于x的方程.
3．2018年底，安徽省高铁里程约1400公里，2019年底，安徽省高铁里程约1900公里，若高铁里程的年增长率保持不变，则估计2021年底安徽高铁里程约 （ ）
A．2584公里 B．3000公里 C．3500公里 D．3800公里
【答案】C
【解析】【解答】解：设平均年增长率为x，则
，
解得： ，
∴估计2021年底安徽高铁里程约为
；
故答案为：C．
【分析】先求出增长率，然后根据增长率不变，即可求出答案．
4．若方程的两个实数根为α，β，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．7 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：因为方程的两个实数根为α，β，
由一元二次方程的韦达定理，可得，，
又由.
故选：C.
【分析】根据题意，利用一元二次方程的韦达定理，得到，，结合，代入计算，即可求解；
5．下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 可借助平方差公式化为 ，适合用因式分解法，故A不符合题意；
左边无法化为两个因式乘积的形式，故B符合题意；
可借助完全平方公式化为 ，故C不符合题意；
移项后，再提取公因式可化为 ，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】观察各选项中方程的特点，A，B，C选项中的方程右边为0，A，B选项中方程的左边可以分解因式，B选项中的方程左边不能分解因式，由此可得答案.
6．为执行“均衡教育”政策，某县2019年投入教育经费2650万元，预计到2021年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x） =12000．
故答案为：D．
【分析】根据 某县2019年投入教育经费2650万元，预计到2021年底三年累计投入1.2亿元 ，求解即可。
7．如图，在一块宽为，长为的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余阴影部分的面积为，问小路的宽应是多少？设小路的宽为，根据题意得（ ）
A． B．
C． D．以上都不正确
【答案】C
【解析】【解答】 设小路的宽为 ，则阴影部分的长为（32-x）cm，宽为（20-x）cm，
根据题意得：（32-x）（20-x）=560
故答案为C
【分析】本题考查一元二次方程的应用---面积问题。根据图形平移，得出阴影部分的长和宽，列出关于面积的方程即可。
8．若关于x的方程4x2﹣（2k2+k﹣6）x+4k﹣1=0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
A． B．﹣2 C．﹣2或 D．2或
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得2k2+k 6=0，
解得k= 2或 ，
当k= 时，原方程变形为4x2+5=0，△=0 4×4×5<0，此方程没有实数解，
所以k的值为 2.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系结合相反数的性质求解即可。
9．某医疗物资制造厂原来每件产品的生产成本是100元，为提高生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本后，成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为 （ ）
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%
【答案】D
【解析】【解答】解：设平均每次降低成本的百分率为x，
由题意得100(1-x)2=81，
解得x1=0.1，x2=1.9（舍），
∴ 平均每次降低成本的百分率为10％.
故答案为：D.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可.
10．某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝662
B．200（1+2x）2＝662
C．200（1﹣x）2＝662
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662
【答案】D
【解析】【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，由题意可得：第三天揽件200(1+x)2，
∴200+200(1+x)+200(1+x)2=662.
故答案为：D.
【分析】根据第一天的揽件数×(1+x)表示出第二天的揽件数，根据第一天的揽件数×(1+x)2表示出第三天的揽件数，然后根据三天共揽件662件就可列出方程.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么 ．
【答案】-1
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ；
故答案是-1．
【分析】根据根的判别式计算即可；
12．关于的一元二次方程有一根为，则 ．
【答案】
【解析】【解答】根据题意，把x=0代入方程，得
解得
当m=-3时，m-3=0，故舍去
故填：3
【分析】根据题意等x=0时，，求得m有2个根，当m=-3时一元二次方程不存在，故要舍去。
13．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两个根，当x1为1时则x1x2的值是 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：把代入，得：
解得：，
∴方程为，
∴x1x2==-2．
故答案为：-2
【分析】先将x=1代入方程可得m的值，再利用根与系数的关系可得x1x2==-2．
14．若关于x的一元二次方程的一个根是m，则的值为 ．
【答案】-2011
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是m，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-2011．
【分析】将x=m代入方程中可得，将原式变形，整体代入计算即可.
15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：由题意得：
令则原方程可化简为
∴
解之得： ，（不合题意，舍去）
∴
．
故答案为：20.
【分析】先求出，再求出，最后作答即可。
16．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则 + 的值为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣6，x1x2＝3，
所以 + ＝ ＝ ＝ ＝10．
故答案为：10．
【分析】根据一元二次方程的根的关系式，可通分式子，将其代入求解。
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米，
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54米，那么小路的宽度是多少米？
【答案】（1）解：设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米
根据题意得：
整理得：
解得或，
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去
当x＝10时，28﹣5x＝8＜12，符合题意
∴长为10米，宽为8米．
（2）解：设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，
a2﹣14a+13＝0，
解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，
答：小路的宽为1米．
【解析】【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米 ，根据题意列出方程求解即可；
（2）设宽为a米，根据题意列出方程（8﹣2a）（10﹣a）＝54，再求解即可。
18．直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．
（1）若每件售价为28元，则日销量是 件
（2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
【答案】（1）28
（2）解：设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定25元，这样日销量大.
答：每件售价应定为元．
【解析】【解答】（1）解：因为小商品成本价为元，如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件，
所以
件，
所以若每件售价为元，则日销量是件．
故填：；
【分析】（1）利用日销售量每件售价降低的钱数，即可求出结论；
（2）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
（1）解：根据题意得：
件，
若每件售价为元，则日销量是件．
故答案为：；
（2）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定25元，这样日销量大.
答：每件售价应定为元．
19．张大爷一家承接的手工产品成本每件 元，销售单价为 元时，每月销量为 件，销售单价每降低 元，每月销量增加 件.政府根据每月销量补贴每件 元补助金.
（1）当销售单价定为 元，那么政府本月补助张大爷一家多少元？
（2）产品每月的销售利润加每月政府补助金是张大爷一家的手工产品收入，当某月销售单价为多少元时，张大爷一家能获得 元的手工产品收入？
【答案】（1）解：定价为15元时，降价5元，
由题意可得： （元），
答：政府本月补助张大爷一家 元.
（2）解：设销售单价为x元，由题意可得：
，
解得： ， （不合题意舍去），
答：当某月销售单价为 元时，张大爷一家能获得 元的手工产品收入.
【解析】【分析】(1)根据销售单价每降低1元，每月销量增加10件，可知定价为15元时求出销售量为300+ 5×10，结合每件2元补助金，利用“补助款=销量×单价”计算，即可得到答案；
(2)设销售单价为x元，根据“收入= (售价-成本) ×销量”，列方程求解即可.
20．
（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．
①分解因式：；
②若都是正整数且满足，求的值；
（2）若为实数且满足，，求的最小值．
【答案】（1）解：①
②由题即
∵为正整数且
∴
即
∴
（2）解：由题
∴
∵
∴，当且仅当时取等号
经验证当时满足
综上，的最小值为．
【解析】【分析】（1）利用分组分解法分解因式即可；
（2）先求出 ，再计算求解即可；
（3）先求出，再代入计算求解即可。
21．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
∴ ，
解得
（2）解：根据根与系数的关系可知 ，
，
，
解得 ，
经检验 均为方程的解，
又∵ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）先计算b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式求解；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2==-(2k+3)，x1x2==k2，将已知的等式=1通分，并整体代换可得关于k的方程，解这个方程可求解.
22．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店月份的营业额为375万元，，月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等．求该商店去年，月份营业额的月增长率．
【答案】（1）解：根据题意，则
（万元），
∴该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为540万元；
（2）解：设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：
，
解得：或（舍去）；
∴该商店去年，月份营业额的月增长率为．
【解析】【分析】（1）利用已知条件：前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的20％，可求出这七天的总营业额.
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，利用7月份的营业额×（1+增长率）2=9月份的营业额，据此列方程，然后求出符合题意的方程的解即可.
23．
（1）解方程： ；
（2）如图，将矩形 绕点 顺时针旋转得到矩形 ，点 的对应点 恰好落在 的延长线上，边 与 相交于点 ．
求证： ．
【答案】（1）解： ，
这里， ， ，
∴
∴ ，
∴ ， ．
（2）证明：如图，连接AC，AC'，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB'C'D'，
∴AC=AC'，
又∵AB=AB，∠ABC=∠ABC'=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△ABC'（HL），
∴BC=BC'．
【解析】【分析】（1）运用公式法求解即可；
（2）由旋转的性质可得AC=AC'，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ABC'，可得结论．
24．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件200元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低1元，月销售件数就增加2件。
（1）已知该农产品的成本是每件100元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元；
（2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件200元，买五送一，在(1)的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？
【答案】（1）解：当售价为200元时，月利润为（200-100）×100=10000元，
设售价定为x元，则每件的利润为（x-100）元，月销售量为100+2（200-x）=（500-2x）件，
根据题意，得（x-100）（500-2x）=10000，
解得x1=150，x2=200，
∵ 在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，
∴ 售价应定为150元；
（2）解：线上购买所需费用为150×38=5700元，
∵线下购买，买五送一，
∴线下购买只需付32件的费用，
∴线下超市购买所需费用为200×32=6400元，
∵5700＜6400，
∴选择线上购买更优惠.
【解析】【分析】（1）先求出售价200元时的利润，设售价定为x元，则每件的利润为（x-100）元，月销售量为100+2（200-x）=（500-2x）件，根据题意列出方程，求出方程的解，取其较小值即可；
（2）根据题意，分别求出线上和线下购买所需的费用，比较后即可得出答案.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
