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第二十四章 相似三角形 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，则a﹕b的值是（ ）.
A．1﹕4 B．1﹕7 C．4﹕7 D．7﹕4
3．某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且，已知，那么该正五边形的周长为（ ）
A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm
4．如图，矩形的对角线和交于点O，下列选项中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A． ＝2， ＝4， ＝3， ＝6
B． ＝ ， ＝ ， ＝1， ＝
C． ＝6， ＝4， ＝10， ＝5
D． ＝ ， ＝2 ， ＝ ， ＝2
6．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30 D．20m
7．在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点， 这里的“■■”指的是线段（ ）
A．AF B．DF C．AE D．DE
8．如图所示，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线 y=相交于点C，且BC∶OC=1∶2，则k的值为（ ）
A．-3 B．- C．3 D．
9．如图，在正方形 中，点E在 边上， 于点G，交 于点F.若 ， ，则 的面积与四边形 的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，利用标杆DE测量楼高，点A、D、B在同一条直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E、C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，则楼高BC为 m．
12．若 ，则 ＝ ．
13．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，DE=3．连结BE，与对角线AC相交于点M，则= .
14．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝3，CD＝4，则BD的长为 ．
15．人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．，，记，，则 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴.若反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 .
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BE BC，求GH的长.
18．如图，在 中， ，以点 为圆心， 为半径的圆与 交于点 ，直线 与 相切，并且交 于点 ，与 的延长线交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
19．如图，在 的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形， 是一个格点三角形．
（1）在图 中，请判断 与 是否相似，并说明理由；
（2）在图 中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与 的位似比为2：1
（3）在图 中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与 相似，且有一条公共边和一个公共角．
20．如图，在矩形 中， ， ，点 是 的中点.
（1）尺规作图：在 上求作一点 ，使 ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求 的长.
21．如图，在 中， ， ，点 从 点出发，沿着 以每秒 的速度向 点运动；同时点 从 点出发，沿 以每秒 的速度向 点运动，设运动时间为 秒.
（1）当 为何值时， ；
（2）是否存在某一时刻，使 ？若存在，求出此时 的长；若不存在，请说理由；
（3）当 时，求 的值.
22．如图，在平面直角坐标系中，点 、点 的坐标分别为 ， ．
（1）画出 绕点 顺时针旋转90°后的 ；
（2）以点 为位似中心，相似比为 ，在 轴的上方画出 放大后的△O″A″B；
（3）点 是 的中点，在（1）和（2）的条件下， 的对应点 的坐标为 ．
23．如图，在 ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE.
（1）若AD AB＝AE AC.求证： ADE∽ ACB；
（2）若AB=8，AC=6，AD=3，直接写出：当AE= 时， ADE与 ACB相似.
24．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与的位似比为2的位似图形；
（2）直接写出顶点的坐标为 ， ．
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第二十四章 相似三角形 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴3a=5b，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据比例性质即求解．比例的基本性质：如果，那么ad=bc。
2．已知线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，则a﹕b的值是（ ）.
A．1﹕4 B．1﹕7 C．4﹕7 D．7﹕4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，
∴a﹕b=4cm：7cm=4：7.
故答案为：C.
【分析】直接代入a、b的值求比即可.
3．某校开展“展青春风采，树强国信念”科普大阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接AB，AC，的角平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，且，已知，那么该正五边形的周长为（ ）
A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点，
∴，
∵AB=AC=10cm，
∴AD=6.18（cm），
∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，
∴BC=CD=AD=6.18（cm），
∴五边形的周长为6.18×5=30.90（cm），
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出∴BC=CD=AD=6.18（cm），最后求解即可。
4．如图，矩形的对角线和交于点O，下列选项中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB= CD，BO= OD，CO=OA，
∴，，，，
∴选项C错误，选项A、B、D正确，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质求出AD//BC，AB= CD，BO= OD，CO=OA，再根据平面向量求解即可。
5．下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A． ＝2， ＝4， ＝3， ＝6
B． ＝ ， ＝ ， ＝1， ＝
C． ＝6， ＝4， ＝10， ＝5
D． ＝ ， ＝2 ， ＝ ， ＝2
【答案】C
【解析】【解答】解：A、2×6=3×4，能成比例；
B、 ，能成比例；
C、4×10≠5×6，不能成比例；
D、 ，能成比例．
故答案为：C．
【分析】将各项数据从小到大进行排列，分别计算最小与最大的数积是否等于另两个数的积即可.
6．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30 D．20m
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
∵∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∴，
∴AB=40（m）.
故答案为：B.
【分析】根据t题意证出△ABE∽△DCE，得出，代入数值进行计算，即可求出AB的长.
7．在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点， 这里的“■■”指的是线段（ ）
A．AF B．DF C．AE D．DE
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得这里的“■■”指的是线段AF，
故答案为：A
【分析】根据黄金分割点的作图方法结合题意即可求解。
8．如图所示，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线 y=相交于点C，且BC∶OC=1∶2，则k的值为（ ）
A．-3 B．- C．3 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵AB⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OBA，
∵△AOB的面积为，且BC∶OC=1∶2，
∴，
∴，
∴k=-×2=-3.
故答案为：A.
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，可得CD∥AB，△OCD∽△OBA，根据相似三角形的性质得，代入△AOB的面积为求得，从而得解.
9．如图，在正方形 中，点E在 边上， 于点G，交 于点F.若 ， ，则 的面积与四边形 的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠B=90 ，AB=DA；
∵ ，
∴
∴
∴∠EAG=∠EDA，
∴△AED≌△BFA（ASA）；
∴ ；
∴ ，即 ；
∵∠EAG=∠EDA，∠AGE=∠DGA=90 ，
∴△AEG∽△DAG；
∴
∴ 的面积与四边形 的面积之比是 ，
故答案为：D.
【分析】首先证明△AED≌△BFA，得到，两者都减去△AEG的面积后得到，那么只要求出△AEC和△AGD的面积关系即可；再Rt△AED中，AG⊥ED，证明出△AEG∽△DAG，根据相似比求出面积之比即可。
10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠PED=90°， ，
∴当 时，△ABC∽△EPD时.
∵DE=4，
∴EP=6.
∴点P落在P3处.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得比例式，于是结合已知可求得EP的值，结合图形即可判断求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，利用标杆DE测量楼高，点A、D、B在同一条直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E、C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，则楼高BC为 m．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵AE=1m，CE=5m，
∴AC=AE+CE=1+5=6m，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∴，
解之：BC=9.
故答案为：9
【分析】由AC=AE+CE，可求出AC的长，利用在同一平面内，同垂直于一条直线的两直线平行，可知DE∥BC，可推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BC的长.
12．若 ，则 ＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：设x=2k.y=3k，（k≠0）
∴原式= .
故答案是：
【分析】利用设k法直接求解即可。
13．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，DE=3．连结BE，与对角线AC相交于点M，则= .
【答案】或
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当点E在线段AD上时，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=8，AD∥BC，
∴△CMB∽△AME，
∴，
∵DE=3，∴AE=8-3=5，
∴；
②当点E在线段AD的延长线上时，如图，
同理可得：△CMB∽△AME，
∴，
∵DE=3，∴AE=8+3=11，
∴.
故答案为：或.
【分析】由题意分两种情况：①当点E在线段AD上时，由菱形的对边平行且相等可得△CMB∽△AME，然后由相似三角形的性质可得比例式求解； ②当点E在线段AD的延长线上时，同理可求解.
14．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝3，CD＝4，则BD的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴CD：BD=AD：CD，即4：BD=3：4，解得： ．
故答案为： ．
【分析】根据射影定理代入计算即可。
15．人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“法”就应用了黄金比．，，记，，则 ．
【答案】5050
【解析】【解答】解： ∵，，
∴，
∴，
，
...
∴。
故答案为：5050.
【分析】先根据a、b的值，求出ab的积，再通过计算S1、S2的值，即可发现规律，每一项S的值为S下标的值，由此即可推出。
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴.若反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 .
【答案】5
【解析】【解答】解：作CE⊥x轴于E，
∵AC∥x轴，OA=2，OB=1，
∴OA=CE=2，
∵∠ABO+∠CBE=90°=∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AOB=∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴ ，即 ，
∴BE=4，
∴OE=5，
∵点D是AC的中点，
∴D（ ，2）.
∵反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k= ×2=5.
故答案为：5.
【分析】作CE⊥x轴于E，证明△AOB∽△BEC，再利用相似三角形的性质求出BE的长，则知OE的长，从而得出D点坐标，最后利用待定系数法求出k．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BE BC，求GH的长.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BPE=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF
（2）解：由题意，在正方形ABCD中，
∵AB＝6，BE BC，
∴ ， ，
∴ ，
∵G为AD的中点，
∴ ，
∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP，
∴△ABE∽△BPE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠APB=90°，
∴ ，
∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°，
∴∠APG =∠HPB，
∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠GAP=∠ABP，
∴△APG∽△BPH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形AGH中，由勾股定理，则
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，利用垂直的定义及余角的性质可推出∠BAP=∠FBC；再利用ASA证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）利用正方形的性质，结合已知可求出AB，BE的长；利用勾股定理求出AE的长，同时可求出AG的长；再证明△ABE∽△BPE，利用相似三角形的性质可求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；然后证明△APG∽△BPH，利用相似三角形的性质可求出BH的长；从而可求出AH的长，然后利用勾股定理求出GH的长.
18．如图，在 中， ，以点 为圆心， 为半径的圆与 交于点 ，直线 与 相切，并且交 于点 ，与 的延长线交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：连接 ．
∵ 与 相切，
∴ ，即 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，根据勾股定理，
得 ．
∵ ，
，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
解得 ．
∴ ．
【解析】【分析】(1)连接CD，根据互余原理，等腰三角形性质可证∠A=∠BDF，利用∠ADE=∠BDF等量传递即可得证；
(2)利用勾股定理求EF，利用 计算即可.
19．如图，在 的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形， 是一个格点三角形．
（1）在图 中，请判断 与 是否相似，并说明理由；
（2）在图 中，以O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与 的位似比为2：1
（3）在图 中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与 相似，且有一条公共边和一个公共角．
【答案】（1）解：如图 所示： 与 相似，
理由： ； ，
，
与 相似；
（2）解：如图 所示： 即为所求；
（3）解：如图 所示： 和 即为所求．
【解析】【分析】（1）利用网格结合勾股定理得出三角形各边长，进而得出对应边的比相等，进而得出答案；（2）利用位似图形的性质结合位似比得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合有一条公共边和一个公共角进而得出答案．
20．如图，在矩形 中， ， ，点 是 的中点.
（1）尺规作图：在 上求作一点 ，使 ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求 的长.
【答案】（1）解：由题意可得需作AF⊥AE，如图所示，
∴点 就是所求作的点，即
（2）解：∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出∠ADF=∠BAE即可；
（2） 根据线段的中点可得， 在中，利用勾股定理求出AE的长，由矩形的性质得出 ，由（1）得： ，可得，据此计算即可.
21．如图，在 中， ， ，点 从 点出发，沿着 以每秒 的速度向 点运动；同时点 从 点出发，沿 以每秒 的速度向 点运动，设运动时间为 秒.
（1）当 为何值时， ；
（2）是否存在某一时刻，使 ？若存在，求出此时 的长；若不存在，请说理由；
（3）当 时，求 的值.
【答案】（1）解：由题可得AP＝4x，CQ＝3x.
∵BA＝BC＝20，AC＝30，
∴BP＝20﹣4x，AQ＝30﹣3x.
若PQ∥BC，
则有△APQ∽△ABC，
∴
∴
解得：x＝ .
∴当x＝ 时，PQ∥BC；
（2）解：存在.
∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.
要使△APQ∽△CQB，
只需
此时
解得：x＝ ，
∴AP＝4x＝ ；
（3）解：当CQ＝10时，3x＝10，
∴x＝ ，
∴AP＝4x＝ ，
∴
【解析】【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边，所构成的三角形与原三角形相似可知， 若PQ∥BC， 则有△APQ∽△ABC， 根据相似三角形的对应边成比例可得 ，分别用含x的代数式表示出AP 、AQ、 代入，得到关于x的方程，解方程即可求出x的值；（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知，当 ， △APQ∽△CQB ，分别用含x的代数式表示出AP 、AQ、CQ，代入，得到关于x的方程，解方程即可求出x的值；（3）当两个三角形的高相等时，这两个三角形的面积之比等于底边之比，根据已知条件求出AP，即可求出答案.
22．如图，在平面直角坐标系中，点 、点 的坐标分别为 ， ．
（1）画出 绕点 顺时针旋转90°后的 ；
（2）以点 为位似中心，相似比为 ，在 轴的上方画出 放大后的△O″A″B；
（3）点 是 的中点，在（1）和（2）的条件下， 的对应点 的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图，△O′A′B即为所求；
（2）解：如图，△O″A″B即为所求；
（3）（2，7）
【解析】【解答】解：（3）如图，∵点M是OA的中点，
∴M的对应点M′的坐标为（2，7）．
故答案为：（2，7）
【分析】（1）根据旋转的性质及网格特点，分别确定点A、O绕点 顺时针旋转90°后的对应点O′、A′的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别连接BO'、BA'并延长使BO''=2BO'，BA'=BA''，然后连接即得△O″A″B ；
（3）根据旋转的性质得出点M′为A''O''的中点，根据位置写出坐标即可.
23．如图，在 ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE.
（1）若AD AB＝AE AC.求证： ADE∽ ACB；
（2）若AB=8，AC=6，AD=3，直接写出：当AE= 时， ADE与 ACB相似.
【答案】（1）证明：∵AD AB＝AE AC，
∴
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB
（2） 或4
【解析】【解答】解：（2）
△ADE与△ACB中，
是公共的，则存在两种情形，
①当
时，
，又AB=8，AC=6，AD=3，
即
解得
②当
时，
，又AB=8，AC=6，AD=3，
即
解得
综上所述，
或
故答案为：
或
.
【分析】（1） 根据已知条件可得 ，然后利用有两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似进行证明；
（2）分△ADE∽△ACB，△ADE∽△ABC，结合相似三角形的性质即可求出AE的值.
24．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与的位似比为2的位似图形；
（2）直接写出顶点的坐标为 ， ．
【答案】（1）解：为所作，如图所示：
（2）（4，6）；1：4
【解析】【解答】（2）解：顶点B'的坐标为：；．
故答案为：（4，6）；．
【分析】（1）根据题意要求作图即可；
（2）结合（1）所作的图形，求解即可。
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