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第二十六章 二次函数 单元强化提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝2（x＋3）2＋4的顶点是（ ）
A．（3，4） B．（3，－4） C．（－3，4） D．（4，－3）
2．在下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=x+3 B．y=ax2+bx+c C．y=t2－2t+2 D．y=x2+
3．已知 和 是二次函数 （其中 是常数）上不同的两点，则判断m和n的大小关系正确的是（ ）
A． 时， B． 时，
C． 时， D． 时，
4．如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；⑤当1x4时，有y2y1正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线 的对称轴为（ ）
A． 轴 B． 轴 C． D．
7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8． 关于抛物线y＝-x2+6x-7，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝-3
C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2）
9．若抛物线y=a（x-h）2的对称轴是直线x=-1，且它与函数y=3x2的形状相同，开口方向相同，则a和h的值分别为（ ）
A．3和 -1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3
10．已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．下列四个二次函数：① ，② ，③ ，④ ．其中抛物线开口从大到小的排列顺序是 （填序号即可）．
12．抛物线的对称轴为直线 ．
13．若是关于自变量x的二次函数，则n＝ ．
14．抛物线 的顶点坐标为 ．
15．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为 ．
16．某抛物线与x轴的交点坐标分别为 和 ，则该抛物线的对称轴为直线 ．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知二次函数 的图象与 轴， 轴分别交于A 三点，A在B的左侧，请求出以下几个问题：
（1）求点A 的坐标；
（2）求函数图象的对称轴；
（3）直接写出函数值 时，自变量x的取值范围．
18．已知二次函数 .
（1）若函数图象经过点 ， ，求 的值；
（2）当 ， 时，求证：函数图象与x轴有两个交点.
19．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
20．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴正半轴交于 点，已知 .
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标.
（2）若 为第一象限抛物线上的一个动点， 为 轴上的一点，过点 作 轴，若 与以点 、 、 为顶点的三角形相似，求动点 的坐标.
21．在平面直角坐标系 中， 与x轴的交点为 ，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的对称轴和点C坐标.
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.抛物线在点 之间的部分与线段 所围成的区域为图形W（不含边界）.
①当 时，求图形W内的整点个数；
②若图形W内有2个整点，求m的取值范围.
22．如图，已知抛物线与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．
（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；
（2）已知点，若的面积为6，求点P的坐标．
23．已知函数和函数，其中，为常数，且，记函数的顶点为．
（1）当时，点恰好在函数的图像上，求的值；
（2）随着的变化，点是否都在某一条抛物线上？如果是，求出该抛物线的解析式，如果不是，请说明理由；
（3）当时，总有，求的取值范围．
24．已知函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
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第二十六章 二次函数 单元强化提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝2（x＋3）2＋4的顶点是（ ）
A．（3，4） B．（3，－4） C．（－3，4） D．（4，－3）
【答案】C
【解析】【解答】解：∵y＝2（x＋3）2＋4，
∴抛物线顶点坐标为（ 3， 4）.
故答案为：C.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k），据此解答.
2．在下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=x+3 B．y=ax2+bx+c C．y=t2－2t+2 D．y=x2+
【答案】C
【解析】【解答】解：A、y=x+3此函数是一次函数，故A不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当a=0，b≠0时，此函数是一次函数，当a≠0时，此函数是二次函数，故B不符合题意
C、y=t2－2t+2，此函数是二次函数，故C符合题意；
D、，此函数不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）则y是x的二次函数，再对各选项逐一判断。
3．已知 和 是二次函数 （其中 是常数）上不同的两点，则判断m和n的大小关系正确的是（ ）
A． 时， B． 时，
C． 时， D． 时，
【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数 （其中 是常数），
∴该函数的开口向上，对称轴为 ，且距离对称轴越远的点，函数值越大，
当 时，M点距离对称轴远，此时 ，故当 时， ，没有符合条件的选项；
当 时，N点距离对称轴远，此时 ，故当 时， ，C选项符合条件.
故答案为：C.
【分析】根据已知函数的解析式，可确定函数的开口方向，对称轴，根据二次函数的性质知距离对称轴越远的点，函数值越大，由此列出不等式求解，分别判断即可.
4．如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；⑤当1x4时，有y2y1正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＝﹣2a，则2a+b＝0，故①正确；
抛物线开口向下，a＜0，与y轴相交与正半轴， c＞0，而b＝﹣2a＞0，因而abc＜0，故②错误；
方程ax2+bx+c＝3从函数角度可以看做是y＝ax2+bx+c与直线y＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点，所以方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故③正确；
由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；
由图象可知，当1＜x＜4时，二次函数图象在一次函数图象上方，y2＜y1，故⑤正确；
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=1可得b＝-2a，据此判断①；由抛物线开口向下知a＜0，根据与y轴相交与正半轴可得c＞0，由b＝-2a可得b的正负，据此判断②；根据图象可得y＝ax2+bx+c与直线y＝3有且只有一个交点，据此判断③；根据对称性可得与x轴的另一个交点为（﹣2，0），据此判断④；由图象可直接判断⑤.
5．在同一平面直角坐标系内，二次函数 与一次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答．
6．抛物线 的对称轴为（ ）
A． 轴 B． 轴 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线 的对称轴是
即抛物线 的对称轴是 轴，
故答案为：B
【分析】由抛物线 的对称轴是： ，直接利用公式可得答案．
7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，
根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，
由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，
则abc＜0，故①符合题意；
把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，
由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，
即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项符合题意；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，
由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，
即4a+2b+c＜0，故③选项不符合题意；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，
故④D选项符合题意；
故答案为：B．
【分析】观察函数图象，根据开口向上可得a的符号，根据图象与y轴交于正半轴，可得c的符号，再根据对称轴判断b的符号，从而判断abc的符号；根据x=-1时的函数值判断a-b+c的符号，进而判断②；根据x=2时的函数值判断③；④根据抛物线与x轴交点的个数，即可判断判别式的符号.
8． 关于抛物线y＝-x2+6x-7，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝-3
C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2）
【答案】D
9．若抛物线y=a（x-h）2的对称轴是直线x=-1，且它与函数y=3x2的形状相同，开口方向相同，则a和h的值分别为（ ）
A．3和 -1 B．-3和1 C．3和1 D．-1和3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝a（x h）2的对称轴是直线x＝ 1，
∴h＝ 1，
∵它与函数y＝3x2的形状相同，开口方向相同，
∴a＝3．
故答案为：A.
【分析】利用已知条件：抛物线y=a（x-h）2 的对称轴是直线x=-1，且它与函数y=3x 2 的形状相同，开口方向相同，可确定出h，a的值.
10．已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中结论正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解： 抛物线与 轴有两个交点，
，即 ，①正确；
抛物线开口向上， ，
对称轴在 轴的右侧， ，
抛物线与 轴交于负半轴， ，
，②正确；
， ，③错误；
时， ，
，即 ，④错误；
根据抛物线的对称性可知，当 时， ，
，⑤正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，据此判断①；由抛物线开口向上可得a>0，由对称轴在y轴右侧可得b<0，根据抛物线与y轴交于负半轴可得c<0，据此判断②；根据对称轴为直线x=1可判断③；根据x=-2时，y>0可判断④；根据抛物线的对称性可知：当x=3时，y<0，据此判断⑤.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．下列四个二次函数：① ，② ，③ ，④ ．其中抛物线开口从大到小的排列顺序是 （填序号即可）．
【答案】③①②④
【解析】【解答】解：根据题意，则
∵ ，
∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，
故答案为：③①②④．
【分析】 抛物线（a≠0）中，的绝对值越大，则抛物线的开口越小，据此判断即可.
12．抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线表达式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：．
【分析】利用二次函数的对称轴公式列出算式求解即可.
13．若是关于自变量x的二次函数，则n＝ ．
【答案】2
【解析】【解答】由题意得：
解得n=2
【分析】根据 是关于自变量x的二次函数， 得解之得出结论.
14．抛物线 的顶点坐标为 ．
【答案】（-2，-1）
【解析】【解答】抛物线 的顶点坐标为（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．
【分析】根据抛物线的顶点式直接求解即可。
15．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为 ．
【答案】-
【解析】【解答】解：∵OC=2，yD=，
∴ S△ABC ：S△ABD==OC：|yD|=2：=3：5，
解得：m=±，
∵xD=->0，
∴m<0，
∴m=-.
故答案为：-.
【分析】先求出OC长，根据顶点坐标公式把yD表示出来，然后根据 ABC与△ABD的面积比等于 3：5，构建方程求解，结合D点所在的象限求出m的范围，即可确定m的值.
16．某抛物线与x轴的交点坐标分别为 和 ，则该抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为 和 ，
∴ 和 关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线 ．
故答案为：1．
【分析】根据抛物线的对称性，可知 和 关于抛物线的对称轴对称，据此求解即可.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知二次函数 的图象与 轴， 轴分别交于A 三点，A在B的左侧，请求出以下几个问题：
（1）求点A 的坐标；
（2）求函数图象的对称轴；
（3）直接写出函数值 时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：令 则 ，解得
∴A( ) B( )；
（2）解：
∴对称轴为 ；
（3）解：∵ ，
∴图像位于x轴下方，
∴x取值范围为 ．
【解析】【分析】（1）将y=0代入二次函数 算出对应的自变量的值，从而即可得出点A，B的坐标；
（2）根据二次函数的对称轴公式 代入计算即可；
（3）结合函数图象，取函数图象位于x轴下方部分，写出x取值范围即可．
18．已知二次函数 .
（1）若函数图象经过点 ， ，求 的值；
（2）当 ， 时，求证：函数图象与x轴有两个交点.
【答案】（1）解：∵二次函数 y=a（x 1）2+h图象经过点A（0，4）， B（2，m）
将A（0，4）代入y=a（x 1）2+h得，
4=a+h
将 B（2，m） 代入 y=a（x 1）2+h得，
m=a+h
∴m=4
（2）证明：∵
∴图象开口向下
∵当 时，
∴顶点在 轴上方，
∴函数图象与 轴有2个交点.
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数式，得出a+h=4，再把B点坐标代入函数式，整理得出m=a+h，则m的值可求.
（2）根据函数的开口方向和函数的最大值，判断顶点在x轴上方，从而判断函数图象与x轴有两个交点.
19．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【答案】（1）解：根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是一次函数
（2）解：根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．
【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
20．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴正半轴交于 点，已知 .
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标.
（2）若 为第一象限抛物线上的一个动点， 为 轴上的一点，过点 作 轴，若 与以点 、 、 为顶点的三角形相似，求动点 的坐标.
【答案】（1）解：设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 .
∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，∴ ，
∴ 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，
∴ ，抛物线的解析式为 ，顶点的坐标为
（2）解：设动点 的坐标为 ，
①当 ∽ 时， ，则 ，
∴ ， （舍去），
∴点 的坐标为 .
②当 ∽ 时， ，则 ，
∴ ， （舍去），
∴点 的坐标为 .
∴动点 的坐标为 或
【解析】【分析】（1）设A（m，0），C（m-4，0），先求出抛物线的对称轴为直线x=1，根据中点的坐标公式得出，求出m=3，得出点A，C的坐标，从而求出a的值，即可求出抛物线的解析式及顶点坐标；
（2） 设动点Q的坐标为 ， 分两种情况讨论： ①当 ∽ 时， ， ②当 ∽ 时， ， 分别求出n的值，即可求出动点Q的坐标.
21．在平面直角坐标系 中， 与x轴的交点为 ，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的对称轴和点C坐标.
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.抛物线在点 之间的部分与线段 所围成的区域为图形W（不含边界）.
①当 时，求图形W内的整点个数；
②若图形W内有2个整点，求m的取值范围.
【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为 （m<0），
∴抛物线的对称轴为直线 ，
令x=0，则 ，
∴C（0，1）
（2）解：①当m=-1时，抛物线的解析式为 ，
由（1）知，C（0，1），抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线还经过（2，1），
∵抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴图形W内的整点只有（1，1）一个；
②如图，
由①知，抛物线过点（0，1），（2，1），
∵图形W内有2个整数点，
顶点纵坐标为： ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】(1)根据二次函数的对称轴x = 求对称轴，再令x= 0，求出y的值，即可得出点C坐标；
(2)①先得出抛物线的解析式，然后画出图象，结合图象和整点的定义，得到整点坐标；②先根据顶点坐标公式求出其顶点坐标，再结合图象，找出两个临界位置，分别求出m的值即可求解.
22．如图，已知抛物线与x轴交于原点O与点A，顶点为点B．
（1）求抛物线的表达式以及点A的坐标；
（2）已知点，若的面积为6，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O，代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴正半轴交于点A，
∴，
解得（舍去），，
∴点；
（2）解：设与交于点H，
∵抛物线解析式为，
∴顶点，
∵，
∴，
∵，
即，
解得，
∴点．
【解析】【分析】（1）先求出函数解析式，再将y=0代入可得，求出x的值，即可得到点A的坐标；
（2）设与交于点H，根据，可得，求出m的值，即可得到点P的坐标。
23．已知函数和函数，其中，为常数，且，记函数的顶点为．
（1）当时，点恰好在函数的图像上，求的值；
（2）随着的变化，点是否都在某一条抛物线上？如果是，求出该抛物线的解析式，如果不是，请说明理由；
（3）当时，总有，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数得，，
∵函数的顶点为，
∴，
∵点恰好在函数的图像上，，
∴，解得，，
∴的值为-3．
（2）解：函数中，顶点坐标，
设，则，
∴，
∴点在抛物线上，且抛物线解析式为
（3）解：∵，即，
∴，整理得，，
∵，
∴，
∴，即，
∵总有，的最小值是，
∴．
【解析】【分析】（1）当m=0时，y1=-(x-1)2+2，其顶点坐标为P（1，2），然后代入y2中就可求出n的值；
（2）根据函数y1的解析式可得顶点坐标为P（，），设a=，则m=2a-2，然后代入中并化简就可得到y与a的关系式，据此解答；
（3）根据y224．已知函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3.
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
【答案】（1）解： ∵ 函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3是一次函数，
∴，
∴m=1；
（2）解： ∵ 函数y=（|m|-1）x2+（m+1)x+3是二次函数，
∴|m|-1≠0，
∴m≠±1.
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义得出，即可求出m的值；
（2）根据二次函数的定义得出|m|-1≠0，即可求出m的值.
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