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2025-2026学年人教版九年级数学上学期期中模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：共10题，每题4分，共40分。
1．点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C．(-1，-1) D．
【答案】D
【详解】解：（1， 1）关于原点对称的点的坐标是（ 1，1），
故选：D．
【名睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握关于原点对称点的坐标的变化规律．
2．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即，
故选：A．
3．若m为不等于零的实数，则关于x的方程x2+mx﹣m2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个实数根 D．无实数根
【答案】B
【详解】试题分析：求出b2-4ac的值，根据其值判断即可．
x2+mx-m2=0，
△=b2-4ac=m2-4 1 （-m2）=5m2，
∵m≠0，
∴△＞0，
即方程有两个不相等的实数根，
故选B．
考点: 根的判别式.
4．若关于x的一元二次方程的常数项是，则它的一次项是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】解：由题可知，
解得：，
把代入得，
∴它的一次项是，
故选A．
5．已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
解：∵二次函数解析式为,
∴二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数的图像与x轴的一个交点是，
∴二次函数的图像与x轴的另一个交点是，
∴方程的两个实数根为，．
故选：A．
6．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【详解】解：由图象得：对称轴是直线，其中一个点的坐标为，
图象与轴的另一个交点坐标为．
利用图象可知：
的解集即是的解集，
或
故选：D．
7．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度（）得到，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8．若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设方程另外一个根为t，
根据一元二次方程根与系数的关系得，
解得．
故选：C．
9．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点A (，6)，B(7，2)，请你根据图象写出使成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【详解】求使成立的x的取值范围，即求一次函数图象在二次函数图象上方（包括交点）时，x的取值范围．
∵一次函数与二次函数的图象相交于两点A (，6)，B(7，2)，
∴当时，一次函数图象在二次函数图象上方（包括交点），
∴使成立的x的取值范围是．
故选A．
10．如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【详解】解：连接BE，延长AC到N，使得，连接FN，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点
∴，，，
∴，，
∵
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴点N在与AN成的直线上运动，
∴当时，有最小值为：，
即：，
∴，
∴，
故选：D
二、填空题：共4题，每题5分，共20分。
11．二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为 ．
【答案】（﹣7，0）和（1，0）
【详解】令y=0，则x2+6x﹣7=0，
解得：x=1或-7
故答案为（﹣7，0）和（1，0）．
12．抛物线与两坐标轴共有两个公共点，则 ．
【答案】或/=8或=0
【详解】当时，，即抛物线与y轴交于点
分、、三种情况分析
当时，抛物线与坐标轴交于点
根据题意，得：抛物线和x轴有两个交点，且其中一个交点为点
∴
∴
∴，，即抛物线和x轴相交于点、
∴抛物线与两坐标轴共有两个公共点，即符合题意；
当时，抛物线与y轴交于点
根据题意，得：抛物线与x轴有一个交点
∴，且
∴
将代入到，得
∴
∴抛物线与两坐标轴分别相交于点、
∴符合题意；
当时，抛物线与y轴交于点
∵抛物线的开口朝上
∴抛物线与x轴有两个交点，且两个交点均和点不重合
∴抛物线与两坐标轴共有三个公共点，即不符合题意
∴或
故答案为：或．
13．抛物线与直线交于点和点，直线与抛物线的对称轴交于点，则下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
点在对称轴的左侧；
；
点有可能在抛物线上；
．
【答案】
【详解】解：由题可知抛物线对称轴为，
，
，
点在对称轴的左侧，故结论符合题意；
抛物线过点、点，
，
，
，
当的值随的增大而增大，
当时，，
，故结论不符合题意；
假设该点在抛物线上，
将点代入抛物线解析式中，
得，
由可知，，
有，
，
整理得，
，
点没有在抛物线上，故结论不符合题意；
，
设直线解析式为，
直线过、两点，
，
解得：，
直线解析式为，
直线与抛物线的对称轴交于点，
，
，
当时，的值随的增大而减小，
当时，，
当时，，
，故结论符合题意；
综上，结论符合题意，
故答案为：．
14．已知抛物线，经过点．
（1）若时，，则此抛物线的对称轴为 ；
（2）当且时，都有，则的取值范围为 ．
【答案】 直线； ．
【详解】（）∵，时，，
∴此抛物线的对称轴为直线，
故答案为：直线；
（）根据题意可得，抛物线的对称轴为直线，
当时，恒成立；
当时，恒不成立；
当时，使，恒成立，
∴，
∴，
∴，
当时，恒不成立；
故答案为：．
三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。
15．计算：解方程：
（1）； （2）；
【答案】（1）x1=x2=1；（2）x1=-4，x2=1
【详解】解：（1）（x+1）2=4x，
∴x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴x-1=0，
解得：x1=x2=1．
（2）（x+4）2=5（x+4），
∴（x+4）2-5（x+4）=0，
∴（x+4）（x+4-5）=0，
∴x+4=0，x+4-5=0，
解得：x1=-4，x2=1．
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位，得到，在图中画出；
(2)若将绕点逆时针旋转90°，得到，画出，并写出，的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示；．
17．交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．
【答案】设该品牌头盔销售量的月增长率为20%
【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
18．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：
(1)按此规律，图4中小正方形的数量是______个；
(2)我们把图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由所给图形可知，
图1中小正方形的数量为：；
图2中小正方形的数量为：；
图3中小正方形的数量为：；
…，
所以图n中小正方形的数量为：（个）．
当时，
（个）．
即图4中小正方形的数量是个．
故答案为：．
（2）解：由题知，
，，，…，，
又因为，
所以，
又因为；
；
；
…，
所以，
则，
解得：（负值舍去）．
所以n的值为．
19．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点的坐标．
【答案】(1)
(2)抛物线的对称轴为直线，
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，．
20．已知抛物线y=x2+（1-2k）x-2k．
（1）求证：不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；
（2）若抛物线y=x2+（1-2k）x-2k与x轴两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2且AB=3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k1=1，k2=-2．
【详解】（1）令y=0，则x2+（1-2k）x-2k=0，
△=（1-2k）2-4×1×（-2k）=4k2+4k+1=（2k+1）2≥0，
∴不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；
（2）令y=0，则x2+（1-2k）x-2k=0，x1+x2=2k-1，x1 x2=-2k，
∵AB=|x1-x2|=3，
∴（x1-x2）2=9，
∴（x1+x2）2-4x1x2=9，
∴（2k-1）2+8k=9，
解得k1=1，k2=-2．
则当k1=1，k2=-2时，△＞0，符合题意，
∴k1=1，k2=-2．
21．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降2元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城想要获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)每个商品的定价应为元时，有最大利润，且最大利润为元；
【详解】（1）解：设商城每次降价的百分率为，
根据题意得，
解得：（舍去），
∴商城每次降价的百分率为；
（2）解：设降价元，每天的总利润为，则每天可售出个，
则，
∵，
∴当，即每个商品的定价应为元时，有最大利润，且最大利润为元；
22．如图，二次函数的图象交轴于点，点，交轴于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接，在直线上方的抛物线上有一点，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式；
（3）若点在轴上，是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）l=-n2-2n；（3）存在，（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．
【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），
l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；
②如图2，由勾股定理得：BC= ，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，
设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（-，0），
综上，点M的坐标为：（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．
23．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
(1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，则长为_____，的度数为_____．
(2)如图2，为等腰直角三角形，，，F是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），, ，交于点D，连接，．当时，求线段的长；
(3)如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积．
【答案】(1)2，；
(2)；
(3)16或．
【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可；
（2）根据条件易证，再证明，最后利用勾股定理即可求出答案；
（3）如图3中，过点A作于点H．有两种情形：当时，或当时，，是智慧三角形，有勾股定理可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是智慧三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
故答案为：2，
（2）∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴,
∴,
∵
∴
∴
∵,，
∴，
∴,
设，,
∴在中，
∴
即；
（3）如图3中，过点A作于点H．
当时，是智慧三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，是智慧三角形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的的面积为16或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会几何中的边角转化．
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2025-2026学年人教版九年级数学上学期期中模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：共10题，每题4分，共40分。
1．点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C．(-1，-1) D．
2．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若m为不等于零的实数，则关于x的方程x2+mx﹣m2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个实数根 D．无实数根
4．若关于x的一元二次方程的常数项是，则它的一次项是（ ）
A． B． C． D．2
5．已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
7．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度（）得到，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点A (，6)，B(7，2)，请你根据图象写出使成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
10．如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、填空题：共4题，每题5分，共20分。
11．二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为 ．
12．抛物线与两坐标轴共有两个公共点，则 ．
13．抛物线与直线交于点和点，直线与抛物线的对称轴交于点，则下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
点在对称轴的左侧；
；
点有可能在抛物线上；
．
14．已知抛物线，经过点．
（1）若时，，则此抛物线的对称轴为 ；
（2）当且时，都有，则的取值范围为 ．
三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。
15．计算：解方程：
（1）； （2）；
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位，得到，在图中画出；
(2)若将绕点逆时针旋转90°，得到，画出，并写出，的坐标．
交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．
18．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：
(1)按此规律，图4中小正方形的数量是______个；
(2)我们把图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，若，求的值．
19．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点的坐标．
20．已知抛物线y=x2+（1-2k）x-2k．
（1）求证：不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；
（2）若抛物线y=x2+（1-2k）x-2k与x轴两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2且AB=3，求k的值．
21．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个元，标价为每个元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价元时，平均每天能够售出个，当每个售价每降2元时，平均每天就能多售出个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城想要获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
22．如图，二次函数的图象交轴于点，点，交轴于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接，在直线上方的抛物线上有一点，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式；
（3）若点在轴上，是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
23．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
(1)如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，则长为_____，的度数为_____．
(2)如图2，为等腰直角三角形，，，F是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），, ，交于点D，连接，．当时，求线段的长；
(3)如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积．
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