第二十四章 圆--利用垂径定理求线段长和平行弦问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--利用垂径定理求线段长和平行弦问题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
梳理练
一、利用垂径定理求线段长问题
1．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ．
2．如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为
3．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ．
4．如图，将直角三角板角的顶点放在上，斜边与交于点，若恰好是的中点，，则点到的距离是 ．
二、利用垂径定理求平行弦问题
5.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
6.已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离．
7.已知：如图，是的直径，、、是的弦，．

(1)求证：；
(2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长．
综合练
1．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，，
(1)求圆的半径；
(2)求弦的长．
2．如图所示，在中，半径弦，垂足为，，．
(1)求半径的长．
(2)作图：延长交于点并连接，求的长．
3．如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱下面的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）为
(1)求桥拱所在圆的半径．
(2)该地区连降暴雨，河水猛涨， 桥下水面提高了，求此时水面的宽度．
4．如图，，交于点，，是半径，且于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
5．已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：．
6．如图，在中，，连接．
(1)求证：；
(2)过点作交的延长线于点，若，求的长．
7．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；
(2)求证：．
8．如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.
9．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
答案
一、利用垂径定理求线段长问题
1． 解：连接，如图：
∵为直径，且，，
∴，
在中，，根据勾股定理得：
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
解：过O作于D，交于C，连接，设，
由折叠可知：，
中，，，
根据勾股定理，得：，
∴，
解得：（负值已经舍去）
故答案 ：．
解：如图，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴．
故答案为：．
解：连接，如图，
∵点是斜边的中点，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点，
∴点在上，
过点作于点，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴点到的距离是，
故答案为：．
二、利用垂径定理求平行弦问题
5. 解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
6. 解：①当弦和在圆心同侧时，如图1所示，
，，
，，
，
，，
；
②当弦和在圆心异侧时，如图2所示，
，，
，，
，
，，
；
综上所述：和之间的距离为或．
7 （1）解：作于点E，交于点F，连接如图，

∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
∴；
（2）解：设的半径为，则，
又，
∴，
在中，，
即：，
解得，，
∴.
综合练
1．(1)5
(2)8
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
（1）根据即可求解．
（2）根据勾股定理及垂径定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
；
（2）解：∵，，
，
，
，
．
2．(1)5
(2)图见解析，
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理得到，设，在利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答；
（2）延长交于点并连接，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴半径的长为5；
（2）解：如图，
由（1）得，半径的长为5，
∴，
∴在中，，
∴的长为．
3．(1)50米
(2)此时水面的宽度为60米
【分析】题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，结合图形，熟练掌握运用垂径定理是解题关键．
（1）如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接，得出，设圆的半径为r，利用勾股定理求解即可；
（2）根据题意，假设水面上升到，且，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接，
∴，
设圆的半径为r，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴桥拱所在圆的半径为50米；
（2）根据题意，假设水面上升到，且，连接，如图所示：
由（1）得桥拱所在圆的半径为50米，
∴，
∴，
∴，
∴此时水面的宽度为60米．
4．(1)见解析
(2)的半径是
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
（1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，从而证明；
（2）设的半径是，由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，即可求出的半径．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
设的半径是，
，，
，，
，
，
，
，
，
的半径是．
5．见解析
【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键．
先根据垂径定理得出，再证明即可得出．
【详解】证明：∵，于点E，
∴，
同理可证：．
∵
∴．
∵于E点，于点F
∴
在与中
，
∴，
∴．
6．(1)详见解析
(2)16
【分析】本题考查了垂径定理、中位线的判定与性质，勾股定理和垂直平分线的判定，熟练掌握垂径定理，勾股定理和垂直平分线的判定的应用是解题的关键．
（）连接，，根据垂直平分线的判定即可求证；
（）延长交于点，根据，，可得，从而得到，进而得到，可得到是的中位线，设，则，根据，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵，
∴所在的直线是的垂直平分线，
延长交于点E，
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）证明，由垂径定理可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
过点，为的中点，
．
（2）证明：延长交于．
，，
．
过点，
，
垂直平分，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键．
8．(1)8 (2)
【分析】(1)连接，根据垂径定理求出的长，因为，进而在中根据勾股定理求出长，所以求出的长即可;
(2) 连接,过点D作于点M，根据勾股定理和垂径定理求出，可以证明,进而求出的长，根据所做的辅助线，可得为等腰直角三角形，所以可以求出的长，然后根据，进而求出的长；
【详解】解：(1) 连接，根据垂径定理求出的长，
即：,
,
设，则，
由勾股定理得：
,
即：，
解得：,
;
(2)连接,过点D作于点M，如图所示：
，
在中根据勾股定理可得：
,
,
，
而,
,
又 在和中，
,
,
,
,
,
,
,
为等腰直角三角形，
,
把代入到中，
解得：.
【点睛】本题考查圆的知识点，要善于利用勾股定理和垂径定理去解题，善于构造辅助线去根据面积相等去解题，最后代入求值.
9．（1）见解析；（2）①8；②
【分析】（1）根据垂径定理知BC＝BD，再利用圆周角定理知∠A＝∠DCB，而∠AFO＝∠CEB，故可证明△AFO≌△CEB；（2）①利用垂径定理得出CE=4，设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，根据勾股定理可得r2＝（r﹣4）2+（4）2，即可求出r；②根据阴影部分等于扇形OABD的面积减去△CDO的面积即可求出.
【详解】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴BC＝BD，
∴∠A＝∠DCB，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠CEB，
∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS）．
（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝4
设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，
∴r2＝（r﹣4）2+（4）2
∴r＝8．
②连结 OD．
∵OE＝4＝OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△BCE，
∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝﹣
＝﹣16.
【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理、扇形面积求法及圆内的勾股定理的使用.
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