期中综合试题（1-4章） 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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期中综合试题（1-4章） 2025-2026学年数学
高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则（ ）
A． B． C．4 D．
3．已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ）
A．{2，4} B．{3，5} C．{5} D．{2，3，4，5}
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若x＞0，y＞0，且，则x＋y的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④，其中被称为“理想函数”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数且的图象恒过点
B．函数与是同一函数
C．若的定义域为，则的定义域为
D．若函数，则
11．已知定义在上的函数，满足，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．的图象关于点对称
三、填空题
12．函数的定义域是 ．
13．已知集合，，若，则实数的值为 .
14．已知函数对任意的，有.设函数，且在区间上单调递增．若，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知集合，，若，求的值.
16．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明.
17．，，，为四个互不相等的实数.若A B C D中C最大，求实数a的取值范围，并求出A B C D中最小的数.
18．已知函数，.
(1)求的值域；
(2)讨论在上的单调性；
(3)设，，证明：.
19．设函数，.
(1)设，用表示，并指出的取值范围；
(2)求的最值，并指出取得最值时对应的的值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B A C B D BCD AC
题号 11
答案 ACD
1．B
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】命题“”为全称量词命题，其否定为：.
故选：B.
2．A
【分析】先求出，再求
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A
3．C
【分析】图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，然后可选出答案.
【详解】因为集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，
所以图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，即
故选：C
4．B
【分析】利用对数的运算性质即可求解.
【详解】.
故选：B
5．A
【分析】解出不等式，通过充分条件与必要条件的概念即可判断出关系.
【详解】由得，则且，解得：，
而集合是的真子集，
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
6．C
【分析】将x＋y乘以展开，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为x＞0，y＞0，且，
所以（当且仅当，即时取等号）。
故选：C
7．B
【解析】首先确定“理想函数”满足的条件为①奇函数；②函数在定义域内为单调递增函数；进一步对①②③④这四个函数进行判断即可．
【详解】由（1）知：为定义域上的奇函数；
由（2）知：，可知单调递增.
即“理想函数”满足①奇函数；②函数在定义域内为单调递增函数；
对于①，是偶函数，在定义域内不单调递增，①不是“理想函数”；
对于②，；满足函数是奇函数，在定义域内单调递增，②为“理想函数”；
对于③，，函数不是奇函数，③不是“理想函数”；
对于④，，当时，，则，又，可知为定义域上的奇函数；又当时，单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增，则在定义域内单调递增，④为“理想函数”.
故选：．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够明确新定义函数的具体要求，即函数需为奇函数且在定义域内单调递增，进而利用函数奇偶性和单调性的判断方法依次判断各个选项.
8．D
【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
且满足，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项，
又由当时，，可得在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以D选项符合题意.
故选：D
9．BCD
【分析】采用作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，
，，，，，
，即，，A错误；
对于B，，
，，，即，，B正确；
对于C，，
，，，，，
即，，C正确；
对于D，，
，，，，
即，，D正确.
故选：BCD.
10．AC
【分析】对每个选项涉及的函数概念进行分析，包括函数图象恒过定点，同一个函数的判断，函数的定义域求解，以及函数表达式的转化.即可得到结果.
【详解】对于A，令，则，所以，所以的图象恒过点，故A正确；
对于B，的定义域为的定义域为，两个函数定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误；
对于C，若的定义域为，则在中，即，所以的定义域为，故C正确；
对于D，由，令，则，故D错误，
故选：AC.
11．ACD
【分析】取可知A正确；取，结合A中式子可知B错误；令可求得为偶函数，分别令、可证得D正确；取，，结合D的结论可证得C正确.
【详解】对于A，取，则，A正确；
对于B，若恒成立，则，恒成立，显然不合题意，
不恒等于，
令，则，，
将代入A中式子可得：，即，
，B错误；
对于D，令，则，即，
为定义在上的偶函数，；
令，则，
令，则，即，
，的图象关于点对称，D正确；
对于C，取，，则，
由D知：，，
为奇函数，C正确.
故选：ACD.
12．
【分析】由被开方式大于等于且分母不等于联立不等式组，求解不等式组即可得答案.
【详解】解：要使函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13．2
【分析】根据集合相等的定义分析即可.
【详解】集合，，
若，则，
则或，所以或或，
当时，集合，，则，满足题意；
当时，集合，，不符合；
当时，集合，，不符合；
综上，实数的值为2.
故答案为：2
14．
【分析】由，得，两式相加，可得，从而证明函数是奇函数，再说明的单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式．
【详解】由函数①，则②，又因为，由①+②可得，即， 所以为奇函数，又因为函数在区间上单调递增，
所以函数在R上为单调递增函数， 由，即，
则，解得.
故答案为：．
15．a=2或a=3
【详解】试题分析：
首先求得，然后分类讨论集合B为集合A的子集的四种情况即可求得a=2或a=3.
试题解析：
A={1,2} ∵∴BA
当B= 时，无解
B={1} 时a=2 ,
B={2} 时无解，
B={1,2}时,a=3
所以a=2或a=3
16．(1)
(2)偶函数
(3)单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据函数有意义求解即可；
（2）利用函数奇偶性的定义判断即可；
（3）根据题设易得，进而根据函数单调性的定义求证即可.
【详解】（1）由题意得，，解得，
所以函数的定义域为.
（2）由，
则，故函数为偶函数.
（3）由，则，
函数在上单调递减，证明如下：
任取，
则，即，
所以函数在上单调递减.
17．，A B C D中最小的数为D
【分析】先由A B C D中C最大可得，，，从而解出a的范围，再检验四个数互不相等并得出最小值．
【详解】由题意得，，解得，，
，解得，且，
，解得，或，
综上所述，，
当时，
最大，，，，
经检验，，故四个数互不相等，
故实数a的取值范围为，
A B C D中最小的数为D.
18．(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式的性质即可求；
（2）求得解析式，令，可得，（），对a分类讨论，利用二次函数的性质及复合函数的单调性即可判断判断在上的单调性；
（3）由（2）可知，时，的最小值为，则，同理当时，的最小值可能是或，代入即可得到.
【详解】（1）由基本不等式，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的值域为；
（2），令，，设，
i. 当，即，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
ii. 当时，即时，令，解得，，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递减，单调递减，所以单调递增；
当时，，关于单调递增，单调递减，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
综上可知，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在和单调递减，在和单调递增.
（3）证明：i. 根据（2）的结论，时，的最小值为，
此时，，得，，所以，
ii. 时，的最小值可能是或，而，所以，
此时，，，且，所以，
综上可知，当时，.
19．(1)，其中.
(2)时，取得最大值；时，取得最小值.
【分析】先利用对数运算性质将函数转化为关于的表达式，再根据的范围确定的取值范围.
将关于的函数化为顶点式，再结合二次函数单调性求最值即对应的值.
【详解】（1）设，因为，所以.
此时，，
即，其中
（2）由第(1)问可得，.
因为，函数在单调递增，
在单调递减，所以当，即，
即时，取得最大值；
当，即，
即时，取得最小值.
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