期中综合试题（13-15章） 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级上册

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期中综合试题（13-15章） 2025-2026学年
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图中，作边上的高，正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．2，5，8
4．已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ）
A． B． C． D．
5．按图中所给的条件，的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点和关于x轴对称，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．无法确定
7．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
9．如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，连接，延长交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ．
12．如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ．
13．如图，阴影部分是一个喷水池，现要修建两条通向水池的小道和，要求和所在的直线互相垂直．为了检验和是否垂直，小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C，然后测得，，．请问：这样做和的位置关系是否垂直 （填是或否）．
14．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °．
15．如图所示，，点P为内的一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则 ．
16．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示）
三、解答题
17．如图，四边形中，，平分，．求证：是等边三角形．
18．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标；
（2）求的面积．
19．如图，在中，，为的角平分线．，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．如图，中，垂直平分， 交于点F， 交于点E，且， 连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为20cm，， 求长．
21．在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点．
(1)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________；
(2)点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值；
(3)若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围．
22．如图，在△ABC中，，点D在的延长线上，连接，平分交于点E，过点E作，垂足为点F，与相交于点G．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
23．如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积．

24．如图，中，，延长到点，过点作于点，与交于点，若．
(1)求证： ；
(2)若， 求的长度．
25．以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且．
(1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：；
(2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：；
(3)如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B C B B C C B
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形，即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
根据轴对称图形的定义判断选择即可．
【详解】解：A、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、此图案是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了三角形高的定义，理解定义：过三角形的一个顶点作对边的垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高；根据三角形高的定义逐项进行判断即可求出答案．
【详解】解：A.不是边上的高，故不符合题意；
B.是边上的高，故不符合题意；
C.不是边上的高，故不符合题意；
D.是边上的高，故符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边，判断各组线段是否满足条件．
【详解】解：A．，2，5，7不能构成三角形；
B．，4，4，8不能构成三角形；
C．，4，5，6能构成三角形；
D．，2，5，8不能构成三角形；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质即可得线段、、都被直线垂直平分，进而可得答案．
【详解】解：∵点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，
∴线段、、都被直线垂直平分．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理及其外角的性质．
根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和得到，进而计算即可．
【详解】如图，
可知，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可．
【详解】解：∵点和关于x轴对称，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．根据已知条件，，得出，然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（、、）来判断能否判定．
【详解】解：∵
∴ ，即
又∵
选项A：∵ ，，
∴ ，故A项不符合题意．
选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意．
选项C：∵ ，，
∴ ，故C项不符合题意．
选项D：∵ ，，
∴ ，故D项不符合题意．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，三角形三边关系，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到，，得出，得到，得出，根据三角形三边关系得到，由，即可得到答案．
【详解】解： 平分，于点，于点，
，，，故B正确；
，
，
∴垂直平分，无法证明垂直平分，故C错误；
，
，故A正确；
∵，
∴，故D正确；
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10．B
【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明再证明即可，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定④正确；；延长交于点N，得到，得到，可以判断③错误，解答即可．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线， 平分，
∴，
∴，
故①正确；
∵是的高，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，是的角平分线，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
延长交于点N，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，是钝角，
∴，
∴，
故不成立，
故③错误，
故选：B
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键．
11．（或）
【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答．
本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或．
故答案为：或．
12．/122度
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵、分别平分、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．是
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，延长，交于点，的延长线与交于点，根据三角形外角的性质结合已知条件得出，即可求解．
【详解】解：延长，交于点，的延长线与交于点，如图所示：
则．
．
．
故答案为：是．
14．55
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图：
由的三角尺可知，
∴．
由平行线的性质可知．
故答案为：55．
15．
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．
根据轴对称的性质得到，进而得到，可得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解．
【详解】∵P点关于的对称是点，P点关于的对称点，
∴，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．
【详解】解：如图，连接．
垂直平分，
，，
，
当、、在同一直线上时，最小，最小值为．
周长最小值．
，点是边的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
17．见详解
【分析】由平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
18．（1）画出图形见解析，、、的坐标为、、；（2）的面积为
【分析】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可；
（2）利用割补法求面积即可求解．
【详解】解：（1）画出图形如下：
,
、、的坐标为、、；
（2）的面积为．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义，再根据即可证明结论；
（2）根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后根据等腰三角形“三线合一”可得，然后运用角的和差即可求解．
【详解】（1）证明：是的角平分线，
，
在和中，
，
．
（2）解：，为的角平分线，
，
∵．
，
，
为的角平分线，
．
．
20．(1)见解析
(2)6cm
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到，根据计算，得到答案；
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴
∵
∴垂直平分
∴
∴
（2）解：∵的周长为20cm，
∴cm，
∵cm，
∴cm
∵，
∴
＝6cm
21．(1)
(2)m的值为2，的值为7
(3)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化、方程组与不等式组的应用等知识点，理解新定义“西雅对称点”的定义是解题的关键．
（1）依照新定义计算即可；
（2）依照新定义计算出，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可；
（3）依照新定义计算出，根据在第二象限求出x的取值范围，再由满足条件的x的整数解有且只有一个，列不等式组得出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：如图，
∴将点关于轴的对称点，点关于直线的对称点记作点．
故答案为：．
（2）解：∵关于轴的对称点，点关于的对称点，
点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是。
的坐标是，
，解得，，
值为2，的值为7．
（3）解：点关于轴的对称点为，点关于直线对称点为，
点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，
点在第二象限，
，解得：，
关于的取值范围内的所有整数解之和为6，
，即：．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查角平分线的计算，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
（1）根据等边对等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角对等边即可证明；
（2）根据三角形内角和定理得出， ，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴为等腰三角形．
（2）证明：在中，
，
在中，
，
∴．
23．（1）见解析（2）3
【分析】⑴根据等边三角形的性质得AB=AD,AE=AC, ∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC,根据SAS证得 △ABE≌△ADC,得到DC=BE.
⑵过点A作AH⊥BC于H ，BD⊥BC，得到∠ACB=90°-∠ABD=90°-60°=30°
2AH=AB,得出AH,BC已知，根据三角形面积即可求出.
【详解】（1）证明： ∵等边△ABD和等边△ACE
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°
∴∠DAC＝∠EAB
∴△DAC ≌△BAE
∴DC＝BE
（2） 过点A作AH⊥BC于H
∵BD⊥BC
∴∠DBC＝90°
∵等边△ABD
∴∠DBA=60° ，AB=BD=3
∴∠ABC＝30°
∵AH⊥BC
∴AH＝ ＝
∴△ABC的面积＝
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质全等三角形的判定定理及性质的应用，直角三角形中，30°角对应的边是斜边的一半.
24．(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，
（1）根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）根据（1）的证明可得，再证，可得，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∴．
25．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论；
（2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解．
【详解】（1）证明：在中，，
，
，
，
同理可得：，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
在和中，
，
，
，
又，
，
由（1）知，，
设，，
，
，，
由（1）知，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）解：取的中点F，连接，由（2）知，
∴，
∵，
∴，即点E在的垂直平分线上，
∵，，
∴是等边三角形，
∴平分，则，
作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半），
，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h，
，
∴，解得．
∴的最小值为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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