期中综合试题 2025-2026学年数学高二年级人教A版（2019）

中小学教育资源及组卷应用平台
期中综合试题 2025-2026学年
数学高二年级人教A版（2019）
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．点到直线的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆与圆有三条公切线，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ）
A． B．4 C．8 D．
7．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知空间向量，则（ ）
A．是的必要不充分条件
B．若不共面，则也不共面
C．若，且，则
D．若，则
10．已知点是圆上的一个动点，过原点的动直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为2 D．的最大值为6
11．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，
C．当时，长度的最小值为
D．当时，存在点，使得与平面所成的角为
三、填空题
12．若，则 ．
13．已知直线和圆相交于两点；弦长，则 ．
14．阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为6的正方体中，点是BC的中点，点是正方体表面上一动点（包括边界），且满足，则三棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题
15．已知，求：
(1)过点且与垂直的直线方程；
(2)过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程．
16．如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.

(1)求的长；
(2)证明：.
17．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程．
18．如图，在三棱锥中，，且.

(1)若，证明：平面平面；
(2)若与平面所成角为，求二面角的正弦值.
19．设，，，圆Q过A，B，D三个点.
(1)求圆Q的方程；
(2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围；
(3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D B A A B AB ABD
题号 11
答案 AB
1．B
【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案.
【详解】直线的倾斜角为.
故选：B.
2．A
【分析】直接利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】由题意可得：点到直线的距离.
故选：A.
3．D
【解析】由条件可得，又由可得答案.
【详解】由可得，即
故选：D
4．D
【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解.
【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径，
由圆方程得，半径，则，解得.
故选：D
5．B
【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围.
【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点，
由过点定点，如下图，
由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得，
结合图知.
故选：B
6．A
【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案.
【详解】由圆，得圆心，半径，
易得点关于轴的对称点为，
如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离．
故选：A.
7．A
【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有交点，结合图形可得.
【详解】因为圆C上存在点P，使得，
所以，以为直径的圆与圆有交点，
又以为直径的圆，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2，
所以，即，即.
故选：A

8．B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
9．AB
【分析】借助向量定义及充分条件及必要条件定义可判断A；借助反证法结合空间向量共面定理可得B；举出反例可得C、D.
【详解】对A：的充要条件是的大小相等，方向相同，故由可得，
但当时，方向不一定相同，故A正确；
对B：假设共面，则存在实数，使得，
所以，所以共面，与条件矛盾，故B正确；
对C：在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件，
但任何两个都不相等，故C错误；
对D：若，则不一定共线，故D错误.
故选：AB.
10．ABD
【分析】对于AB，结合两点之间的距离可知，，，算出即可；对于CD，结合直线与圆的位置关系可知，当直线过圆心时，最大，当时，最小．
【详解】对于AB，由题意知，则点在圆内，

所以，故AB正确；
对于CD，

当直线过圆心时，，当时，，故C错误，D正确．
故选：ABD．
11．AB
【分析】对于A，确定点在线段上，得到可判断，对于B，确定平面，可判断，对于C，确定三点共线，线段在中，可得到点为中点时，最小，即可判断，对于D，由，结合，求得范围，即可判断.
【详解】
对于A，当时，，即点在线段上，
则，又平面平面，所以平面；
连接，则，
又在正方体中，平面，平面，
所以，又平面，且相交，
所以平面，又平面，所以，故均正确；
对于C，当时，，即，所以三点共线，线段在中，因为，所以当点为中点时，最小，此时
.
点在平面上的射影为，
所以与平面所成的角为，
又，所以，
所以，
又，
所以，故C，D均错误.
故选：AB.
12．
【分析】利用两角和的余弦公式展开原式后，再利用平方关系，求得的值.
【详解】，两边平方后得，
，所以.
故答案为：
13．1
【分析】利用垂径定理求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为
则由题意可得，
则.
故答案为：.
14．
【分析】依题意可得，即可得到，在平面中作，求解最值，根据勾股定理得出，，再由二次函数的单调性求的最大值，代入棱锥体积公式得答案．
【详解】解：在棱长为的正方体中，是的中点，
点是面所在的平面内的动点，且满足，
，，即，
在平面中作，设，，
，化简得，，
所以当时，取得最大值为，所以，
在正方体中平面，又，
三棱锥的体积最大值．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据与垂直可求得直线的斜率，设点斜式代入A点坐标即可求解；
（2）根据倾斜角为直线倾斜角的，可求得直线的斜率，设点斜式代入B点坐标即可求解．
【详解】（1）设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率，
由，得，所以，即所求直线的方程为．
（2）直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，
又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即．
16．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由，根据已知及向量数量积的运算律求向量的模长；
（2）由（1）及，应用向量数量积的运算律求，即可证.
【详解】（1）以为一个基底，
由题意知，
又，
所以
，
所以；
（2）由（1）知，
在菱形中，，
所以
，
所以，即.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程；
（2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案.
【详解】（1）设点、，
因为点是线段的中点，则，所以，
因为点在圆上，则，即，
化简得，
故点的轨迹方程为.
（2）由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆，
由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.
若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，可得，，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）可得平面，从而以为原点，为轴正方向，为轴正方向，在平面内，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：如图，取中点，连接.
因为，
所以，且，
又，
则,
所以，
所以，即，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.

（2）由（1）知，
易得平面，
因为平面，
所以平面平面，
所以点平面内的投影在上，
所以，
所以为等边三角形，
故.

如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，
在平面内，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以,,
设平面的一个法向量，
则，即，
取，解得，所以，
设平面的一个法向量，
则，即，
取，解得，，所以，
所以，
设二面角的大小为，则.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程；
（2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可；
（3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解.
【详解】（1）由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，
，直线的中点为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即
又线段的垂直平分线的方程为，
联立方程组，解得，所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
（2）设，因为，
所以，
化简得，所以．
则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交.
又，
则，解得.

（3）设直线的方程为，
由得，，
所以，
所以，
所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点．

21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)