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第二十一章 一元二次方程 单元质量检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023八下·金寨期中）某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨．若蔬菜产量的年平均增长率相同，则年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·金平模拟）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八下·瑞安期中）把方程 化成 的形式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·孝感月考）关于一元二次方程 根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．（2022九上·仁寿期中）用配方法解方程 ，配方后所得方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019八下·石台期末）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A．16（1+2x）=25 B．25（1-2x）=16
C．16（1+x）2=2 D．25（1-x）2=16
7．（2021九上·银川月考）若关于x的一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2021九下·金牛月考）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2500（1+）2＝9100
B．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
C．500（1+x）＝9100
D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100
9．（2022九上·南开期中）若是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
10．（2023八下·肃宁期中）将两张宽为2，长为8的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形，则下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：四边形是菱形；
结论Ⅱ：四边形的周长的最大值与最小值的差为9
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2021九上·东坡期末）已知m，n是方程 的两实数根，则 .
12．（2023九上·邵阳月考）如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与矩形的一条平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为 ．
13．（2021八下·瑶海期中）随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为 ，则可列方程为 ．
14．（2024九上·船营月考）某公司举行年会晚宴，出席者两两碰杯一次，总共碰杯19900次，设晚宴共有x人参加，根据题意，可列方程 ．
15．（2019·广西模拟）关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是
16．（2020七下·玄武期末）对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°.其中，真命题的是 .（填所有真命题的序号）
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2020七下·上思期中）求x的值：(x﹣1)2﹣25=0
18．（2020八上·长宁期末）某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过 人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过 人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人 元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：
旅游团队名称 团队人数（人） 入园费用（元）
旅游团队1 80 350
旅游团队2 45 200
根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的 人是多少？
19．某公司今年销售一种产品，1月获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月的利润比2月的利润增加4.8万元，假设该产品每月利润的增长率相同，求这个增长率.
20．（2023八上·肇源开学考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为150平方米；
（2）能否围成矩形花园面积为220平方米，为什么？
21．（2024九下·汨罗竞赛）如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1、x2，那么x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q．
请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知方程x2+（k﹣2）x﹣2k＝0的两根x1、x2之和x1+x2＝1，求x1、x2；
（2）如果a、b满足a2+2a﹣2＝0、b2+2b﹣2＝0，求的值．
22．（2024八下·宁明期末）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
23．（2022·新昌自主招生）关于x，y的方程组有两个实数解和.若，求非零常数.
24．（2025八下·浙江期中）已知关于x的一元二次方程x2-2x=-m
（1）若方程有两个实数根，求 m的范围；
（2）设方程的两个实数根是a，b，若y=a2-2a-2b(b-2)-3，试求y的取值范围.
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第二十一章 一元二次方程 单元质量检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨．若蔬菜产量的年平均增长率相同，则年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，
由题意可得：100（1+x）2=121，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去），
即年平均增长率为10%.
故答案为：D.
【分析】根据某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨，预计2023年蔬菜产量将达到121吨，列方程100（1+x）2=121，再求解即可。
2．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x-4k=0有实数根，
∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(-4k)=4+16k≥0，
解得.
故答案为：C.
【分析】根据根的判别式得到关于k的不等式，解不等式求出k的解集即可求出实数k的取值范围.
3．把方程 化成 的形式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：x2-4x-7=0
x2-4x=7
x2-4x+4=7+4
∴（x-2）2=11.
故答案为：B.
【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边化成完全平方公式即可.
4．关于一元二次方程 根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-3，c=-2，
∴ =b2﹣4ac＝9+8=17>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
5．用配方法解方程 ，配方后所得方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： +x=1
+x+ =1+
.
故答案为：C
【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
6．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A．16（1+2x）=25 B．25（1-2x）=16
C．16（1+x）2=2 D．25（1-x）2=16
【答案】D
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为：25×（1-x）；
第二次降价后的价格为：25×（1-x）2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25（1-x）2=16．
故答案为：D．
【分析】等量关系为：原价×（1-降价的百分率）2=现价，把相关数值代入即可．
7．若关于x的一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根，
∴m≠0且△=（-2）2-4m（-1）＜0，
∴m＜-1且m≠0，
∴一次函数y=mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】由题意可得m≠0且△<0，据此可得m的范围，接下来根据一次函数的性质与系数的关系进行判断.
8．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2500（1+）2＝9100
B．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
C．500（1+x）＝9100
D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100
【答案】D
【解析】【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为
2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100.
.故答案为：D
【分析】根据11月份的营业额=10月的营业额×（1+增长率）；12月份的营业额=10月的营业额×（1+增长率）2；再根据第四季度的总营业额要达到9100万元，列方程即可.
9．若是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
∴；
故答案为：B．
【分析】将代入方程，再求出c的值即可。
10．将两张宽为2，长为8的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形，则下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：四边形是菱形；
结论Ⅱ：四边形的周长的最大值与最小值的差为9
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
【答案】A
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，则AE=AF=2，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵平行四边形ABCD的面积=BC·AE=CD·AF，
∴2BC=2CD，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，故结论Ⅰ正确；
由叠放可知：当纸片互相垂直时，菱形ABCD的边长最小，周长就最小，最小值为4×2=8；
当矩形纸片有两个相对顶点重合时，菱形ABCD的边长最大，周长就最大，
设边长为x，由勾股定理可得：22+（8-x）2=x2，
解得：x=，
∴菱形ABCD的周长最大值为×4=17，
∴ 四边形的周长的最大值与最小值的差为17-8=9；故结论Ⅱ正确；
故答案为：A.
【分析】过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，则AE=AF=2，易证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形ABCD的面积=BC·AE=CD·AF，可得BC=CD，即证四边形ABCD是菱形，故结论Ⅰ正确；由叠放可知：当纸片互相垂直时，菱形ABCD的边长最小，周长就最小，求出此时最小值，当矩形纸片有两个相对顶点重合时，菱形ABCD的边长最大，周长就最大，求出此时最大值，再求出周长的最大值与最小值的差即可判断结论Ⅱ.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知m，n是方程 的两实数根，则 .
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2 2x 1＝0的两实数根，
∴m＋n＝2，mn＝ 1，
∴ ＝ ＝ 2.
故答案为：-2.
【分析】由根与系数的关系可得出m＋n＝2、mn＝ 1，将其代入 中，即可求出结论.
12．如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与矩形的一条平行，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】设道路的宽为，
根据题意可得：，
故答案为：.
【分析】根据“ 栽种花草的面积为 ”列出方程即可.
13．随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为 ，则可列方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】依题意可得： ；
故答案是： ．
【分析】根据4月份口罩出厂量×（1-下降率）2=6月份口罩出厂量，列出方程即可.
14．某公司举行年会晚宴，出席者两两碰杯一次，总共碰杯19900次，设晚宴共有x人参加，根据题意，可列方程 ．
【答案】 x（x-1）=19900
【解析】【解答】 x（x-1）=19900
【分析】设晚宴共有x人参加，根据共碰杯19900，即可得到关于x的方程。
15．关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是
【答案】0
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数根，
∴
解得：a≤且a≠1，
∴ 整数a的最大值是0.
故答案为：0.
【分析】根据关于x的一元二次方程有实数根，可知其根的判别式的值不小于0，且二次项的系数不等于0，从而列出不等式组，求解即可得出a的取值范围，再在其取值范围内找出其最大整数即可。
16．对于下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；③无论x取什么值，代数式x2－2x＋2的值都不小于1；④在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°.其中，真命题的是 .（填所有真命题的序号）
【答案】②③④
【解析】【解答】解：①当a=-1，b=-2时，满足a＞b，但a2＜b2；原命题是假命题；
②在锐角三角形中，若任意两个内角和小于第三个内角，则这三个角的和小于180°，是真命题；
③无论x取什么值，代数式x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，所以其值都不小于1，是真命题；
④如图1，当三条直线如图1相交时，若每个角都不小于61°，
则∠1+∠2+∠3>180°，这与平角定义相矛盾，
∴至少有一个角小于61°；
当三条直线如图2相交时，若每个角都不小于61°，则∠1+∠2+∠3>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
∴至少有一个角小于61°；
综上可知，在同一平面内，有两两相交的3条直线，这些相交直线构成的所有角中，至少有一个角小于61°，是真命题.
故答案为：②③④.
【分析】 ① 举一个反例即可否定； ② 用反证法证明，推出假设和三角形内角和定理相矛盾；③ 配方，可用完全平方式的非负性来验证；④用反证法证明，推出假设和平角的定义或三角形内角和定理相矛盾.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求x的值：(x﹣1)2﹣25=0
【答案】解： (x﹣1)2﹣25=0，
(x﹣1)2=25，
x-1=±5，
所以x=6或 x=﹣4.
【解析】【分析】将（x-1）作为一个整体，常数项移到方程的右边，然后利用平方根的定义，两边直接开方即可求解.
18．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过 人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过 人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人 元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：
旅游团队名称 团队人数（人） 入园费用（元）
旅游团队1 80 350
旅游团队2 45 200
根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的 人是多少？
【答案】解：由题意可得：
，
解得 ， ，
由旅游团队2的数据可知a≥45，
∴a=50，
答：某旅游园区对团队入园购票规定的a人是50人．
【解析】【分析】根据题意列方程即可得到结论。
19．某公司今年销售一种产品，1月获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月的利润比2月的利润增加4.8万元，假设该产品每月利润的增长率相同，求这个增长率.
【答案】解：设这个增长率为x，
依题意得：20（1+x）2-20（1+x）=4.8，
解得： x1=0.2=20%，x2=-1.2（不合题意，舍去）；
故这个增长率是20%.
【解析】【分析】设每月获得的利润的增长率是x，然后用x分别表示出2月份和3月份，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列出一元二次方程，解方程取较小值即可.
20．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为150平方米；
（2）能否围成矩形花园面积为220平方米，为什么？
【答案】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【解析】【分析】（1）设AB=xm，则BC=（40-2x）m，根据矩形花园的面积为150平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）假设能围成，设AB=ym，则BC=（40-2y）m，根据矩形花园的面积为220平方米，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-40＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出假设不成立，即可求解.
21．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1、x2，那么x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q．
请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知方程x2+（k﹣2）x﹣2k＝0的两根x1、x2之和x1+x2＝1，求x1、x2；
（2）如果a、b满足a2+2a﹣2＝0、b2+2b﹣2＝0，求的值．
【答案】（1）根据题意得x1+x2＝﹣（k﹣2）＝1，
解得k＝1，
∴原方程为x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2；
（2）当a＝b，原式＝1+1＝2；
当a≠b，则a、b可看作一元二次方程x2+2x﹣2＝0的根，且ab≠0，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2，
∴原式＝，
即的值为2或﹣4
【解析】【分析】(1)由一元二次方程根与系数的关系得到k的值，即可求出方程及方程的根；
(2)若a=b，则直接求解；若a≠b，则构造关于a，b的一元二次方程，利用根与系数的关系即可求解.
22．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：为等腰三角形，理由如下，
是一元二次方程的根，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：为直角三角形，理由如下，
方程有两个相等的实数根，
，
，
、、分别为三边的长，
为直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据方程的解意义，把x=1代入原方程，即可得出，整理得a=b，再根据一元二次方程的定义，可知a≠c，故而得出的形状；
（2）为直角三角形。根据方程有两个相等的实数根，可得出，整理为，根据勾股定理的逆定理，即可得出的形状 。
23．关于x，y的方程组有两个实数解和.若，求非零常数.
【答案】解：由已知得，
所以
即（）
把代入得
则有代入（）
得
即又
所以
【解析】【分析】本题将方程组 分开进行变形讨论，因为该方程组有两个实数解，所以，然后利用根与系数的关系将y1y2和y1+y2用n和a表示出来，最后变形为方程求解即可。
24．已知关于x的一元二次方程x2-2x=-m
（1）若方程有两个实数根，求 m的范围；
（2）设方程的两个实数根是a，b，若y=a2-2a-2b(b-2)-3，试求y的取值范围.
【答案】（1）解：方程整理得：
∵方程有两个实数根
∴，
∴m≤2
（2）解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴a2-2a=-m，b2-2b=-m，
∵ y=a2-2a-2b(b-2)-3 = y=a2-2a-2(b2-2b)-3，
∴.
∵方程有两个实数根a，b，
由（1）可得：m≤2
∴y≤﹣2.
【解析】【分析】（1）整理方程为一般式，再根据根与系数的关系可得，求解即可得到答案；
（2）把方程两个根代入方程，再代入y，可得.由（1）得m的取值范围，代入即可得y的取值范围.
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