第9节 直线与圆锥曲线中的定点与定值问题
考点一 定值问题
[例1] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OA⊥OB.证明:原点O到直线AB的距离为定值,并求出该定值.
(1)【解】 由题意知,e==,=2,
又a2=b2+c2,
所以a=2,c=,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)【证明】 ①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=±,此时,原点O到直线AB的距离为.
②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
则Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(1+)>0,x1+x2=-,x1x2=,
则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=,
由OA⊥OB得kOA·kOB=-1,
即·=-1.
所以x1x2+y1y2==0,
即m2=(1+k2),
所以原点O到直线AB的距离为=.
综上,原点O到直线AB的距离为定值.
圆锥曲线中定值问题的求解方法
(1)直接消参法:一般步骤如下.
(2)由特殊到一般法.
[针对训练]
(2025·贵州贵阳模拟)已知点A(0,),B(0,-),点P在以AB为直径的圆上运动,PD⊥y轴,垂足为D,点M满足=,点M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)过点N(0,1)的直线l交C于点E,F,设直线AE,BF的斜率分别为k1,k2,证明:为定值,
并求出该定值.
(1)【解】 依题意,点P在圆x2+y2=3上运动,设M(x,y),P(x0,y0),D(0,y0),由=,
得(x0,0)=(x,y-y0),则又+=3,即+y2=3,所以C的方程为+=1.
(2)【证明】 如图,依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,E(x1,y1),F(x2,y2),
由
得(3+4k2)x2+8kx-8=0,则x1+x2=-,x1x2=-,又k1=,k2=,x1+x2=kx1x2,
则======2+,
所以为定值2+.
考点二 定点问题
[例2] 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(a,4)在抛物线C上,△POF(其中O为坐标原点)的面积为4.
(1)求a的值;
(2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A,B两点,且直线PA,PB的斜率之和为,证明:
直线l过定点,并求出此定点坐标.
[溯源探本] 本例源于人教B版选择性必修第一册P178复习题B组 T12.
(1)【解】 因为点P(a,4)在抛物线C上,
所以16=2pa,即8=pa,
因为△POF的面积为4,所以××4=4,
解得p=4,所以a=2.
(2)【证明】 由(1)得C:y2=8x,P(2,4).
当直线l斜率为0时,不符合题意;
当直线l斜率不为0时,设直线l:x=my+t,
A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-8my-8t=0,
则Δ>0 2m2+t>0,y1+y2=8m,y1y2=-8t,
因为直线PA,PB的斜率之和为,
所以+=,
即+=,
所以+=,
所以=+===,
整理得m=-t-2,
所以直线l:x=my+t=(-t-2)y+t=t(-y+1)-2y,
令解得
所以直线l过定点(-4,2).
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
[针对训练]
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),A,B分别是椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C的上顶点,△PAB的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同的两点M,N,点Q(2,0),若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数,求证:直线l过定点.
(1)【解】 由题意知c=1,A(-a,0),B(a,0),P(0,b),
由△PAB的面积为,得ab=,
又a2=b2+c2,代入可得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)【证明】联立得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),可得x1+x2=-,x1x2=,
由题意知kMQ+kNQ=0,
即+=+==0,
即2kx1x2+(m-2k)(x1+x2)-4m=0,解得k=-m,所以直线l的方程为y=k(x-1),故直线l恒过定点(1,0).
考点三 定直线问题
[例3] (2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
(1)【解】 设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由左焦点为(-2,0),离心率为,
可得解得
故双曲线C的方程为-=1.
(2)【证明】 过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,
则可设直线MN的方程为x=my-4,且-因为C的左、右顶点分别为A1,A2,则A1(-2,0),A2(2,0),联立
化简整理,得(4m2-1)y2-32my+48=0,
故Δ=(-32m)2-4×(4m2-1)×48=256m2+192>0且4m2-1≠0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,
直线MA1的方程为y=(x+2),
直线NA2的方程为y=(x-2),
联立直线MA1与直线NA2的方程可得,==
=
=
==-,
故=-,解得x=-1,
所以xP=-1,故点P在定直线x=-1上.
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹,主要方法如下:
(1)设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程.
(2)待定系数法:设出含参数的直线方程,通过待定系数法求解出系数.
(3)验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.
[针对训练]
动点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比为.记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)已知直线l′:y=x+m,当直线l′与C相交时,证明:直线l′被C截得的线段的中点在同一条直线上.
(1)【解】 根据题意可得=,化简得+=1,
即C的方程为+=1.
(2)【证明】 法一 设直线l′与C交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得14x2+18mx+9m2-45=0.
由14x2+18mx+9m2-45=0,得x1+x2=-.
设直线l′被C截得的线段的中点坐标为(x0,y0),
则x0==-,y0=x0+m=.
由消去m可得5x0+9y0=0,
所以直线l′被C截得的线段的中点在直线5x+9y=0上.
法二 设直线l′与C交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点坐标为(x0,y0),
则直线l′的斜率为=1,x0=,y0=.
因为点A,B在C上,所以
两式相减得+=0,化简得
5·+9··=0,
即5x0+9y0=0,
所以直线l′被C截得的线段的中点在直线5x+9y=0上.第9节 直线与圆锥曲线中的定点与定值问题
考点一 定值问题
[例1] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OA⊥OB.证明:原点O到直线AB的距离为定值,并求出该定值.
圆锥曲线中定值问题的求解方法
(1)直接消参法:一般步骤如下.
(2)由特殊到一般法.
[针对训练]
(2025·贵州贵阳模拟)已知点A(0,),B(0,-),点P在以AB为直径的圆上运动,PD⊥y轴,垂足为D,点M满足=,点M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)过点N(0,1)的直线l交C于点E,F,设直线AE,BF的斜率分别为k1,k2,证明:为定值,
并求出该定值.
考点二 定点问题
[例2] 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(a,4)在抛物线C上,△POF(其中O为坐标原点)的面积为4.
(1)求a的值;
(2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A,B两点,且直线PA,PB的斜率之和为,证明:
直线l过定点,并求出此定点坐标.
[溯源探本] 本例源于人教B版选择性必修第一册P178复习题B组 T12.
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
[针对训练]
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),A,B分别是椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C的上顶点,△PAB的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同的两点M,N,点Q(2,0),若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数,求证:直线l过定点.
考点三 定直线问题
[例3] (2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹,主要方法如下:
(1)设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程.
(2)待定系数法:设出含参数的直线方程,通过待定系数法求解出系数.
(3)验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.
[针对训练]
动点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比为.记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)已知直线l′:y=x+m,当直线l′与C相交时,证明:直线l′被C截得的线段的中点在同一条直线上.
