人教A版高一（上）数学必修第一册1.4.2充要条件 教学设计（表格式）

人教A版高一（上）数学必修第一册1.4.2充要条件教学设计
课题 1.4充分条件与必要条件
课型 新授课 课时 2课时
学习目标 (1)理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；
(2)理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；
(3)理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；
(4)初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养.
学习重点 理解充要条件的概念
学习难点 会证明充要条件的关系，能够利用命题之间的关系判定充要关系．
学情分析 本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，看条件能否推出结论，从而判断命题的真假；然后从命题出发结合实例引出充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证.
核心知识 充要条件与充要条件的判定
1.4.2充要条件 教师个人复备
复习回顾 一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可以推出,记作并且说,是的充分条件,是的必要条件.
如果“若,则”为假命题,那么由条件不能推出结论,记作.此时,我们就说不是的充分条件,不是的必要条件.
思考探究
问题1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集．
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题．
问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
提示　首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题．
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件．
新知探索:充要条件
如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,
即既有,又有,就记作
此时,既是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称为充要条件(sufficientandnecessarycondition).显然,如果是的充要条件,那么也是的充要条件.
概括地说,如果,那么与互为充要条件.上述命题(1)(4)中的与互为充要条件.
将命题“若,则”中的条件和结论互换,就得到一个新的命题“若,则”,称这个命题为原命题的逆命题.
典例讲解:
例 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：，q：，；
（4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）.
【解析】 （1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.
（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件.
（3）因为时，，不一定成立（为什么），所以，所以p不是q的充要条件.
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件.
探究
通过上面的学习,你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗?
可以发现,“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件,又是必要条件,所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件.
另外,我们再看平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,
它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件.
上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念,据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如:
两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形;
对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.
类似地,利用“两个三角形全等”的充要条件,可以给出“三角形全等”的其他定义形式,而且这些定义是相互等价的;同样,利用“两个三角形相似”的充要条件,可以给出“相似三角形”其他定义形式,这些定义也是相互等价的;等等.
追问：（1）如何证明充要条件？
（2）证明充分性时，条件和结论分别是什么？证明必要性时，条件和结论分别是什么？
设计意图：在推理之前，明确证明思路，分清条件和结论很重要；这个题目的推理过程略有难度，需要教师的引导和书写规范的证明过程.
充要条件的证明:
【例】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，
∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，∴ac<0.
充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根．
综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
反思感悟　充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p?q是证明充分性，推证q?p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
变式2：求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．
(2)必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
课堂小结:
1. 条件关系判定的常用结论：
条件p与结论q的关系
结论(p是q的)
p?q，且q?p
充分不必要条件
q?p，且p?q
必要不充分条件
p?q，且q?p
充要条件
p?q，且q?p
既不充分也不必要条件
2.判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p?q与q?p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要条件也有传递性．
设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法.
课堂练习
1. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
（2）内两条弦相等，内两条弦所对的圆周角相等；
（3）为空集，与B之一为空集.
【解析】在（1）中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以，所以p是q的充要条件；
在（2）中，内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，
因此，，所以p不是q的充要条件；
在（3）中，取，，
显然，，但与均不为空集，
因此，，所以p不是q的充要条件.
【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题.
2. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
【解析】“两个三角形全等”的充要条件如下：
①三边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两角及其夹边对应相等；④两角及一角的对边对应相等.
“两个三角形相似”的充要条件如下：
①三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；②三边对应成比例；③两边对应成比例且夹角相等.
【点睛】本题考查写命题的充要条件，属于简单题.
3. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是.
【解析】证明：（1）必要性.
在等腰梯形中，，，
又∵，∴，∴ .
（2）充分性.
如图，过点作，交的延长线于点E.
∵，，∴四边形是平行四边形.∴ .
∵，∴，∴.
又∵，∴，∴ .
在和中，
∴.∴.
∴梯形为等腰梯形.
由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是.

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