人教A版高一（上）数学必修第一册2.2基本不等式 教学设计（表格式）

人教A版高一（上）数学必修第一册2.2基本不等式教学设计
课题 2.2基本不等式
课型 新授课 课时 2
学习目标 1.通过代数变换，从重要不等式推导到重要不等式，发展数学抽象素养. 2.利用分析法、综合法证明基本不等式，提升逻辑推理素养. 3.能借助几何图形说明基本不等式的几何解释，促进直观想象素养的发展.
学习重点 从不同角度探索证明基本不等式的过程，会用基本不等式解决简单的最值问题.
学习难点 以数学模型的观点理解基本不等式，用其解决两类最值问题.
学情分析 学生学习了等式性质与不等式性质，为逐步归纳、复合构造得到基本不等式提供理论支撑；学生在初中已经学习了乘法公式，通过对乘法公式的理解和应用，学生已经初步具备模型意识；对乘法公式的几何解释也让学生初步具备数形结合的能力. 尽管由代数变换得到基本不等式的过程并不复杂，但是为什么这样代换的原因很难理解，这是由于学生代数变换的经验比较少，代数的基本思想领悟不够深，需要老师适当设问，引导学生思考得到；对于基本不等式的证明，学生之前已有“做差法”的经验以及不等式的性质为基础，可以完成基本不等式的证明，也有学生会尝试“分析法”，但由于没有系统学习“分析法”，需要教师给予完善；对于“几何平均数”的几何意义，需要教师引导学生思考消除“ ”这一点是本节课的难点；由于“最值”的含义学生尚未学习，因此需要通过赋值，让学生感知相等和不等，感知变化中的规律性，在通过对结构的分析完成求解.
核心知识 基本不等式的证明方法 基本不等式的应用
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
情境引入 问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.你还记得我们得出什么样的结论吗？ 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想.将代数与几何紧密的结合在了一起. 重要不等式：对 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
二、探索新知 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题． 前面利用完全平方公式得到一类重要不等式： 有 ① 当且仅当时等号成立. 问题2:分别代替①式中的，可以得到什么式子？ 提示　用，分别替换上式中的，可得到，当且仅当时，等号成立．我们习惯表示成. 由不等式性质，可以的得到 ② 当且仅当时等号成立. 通常称不等式②为基本不等式（basicinequality）．其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 文字语言：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数. 活动一：同学们小组合作讨论，尝试运用已有知识推导基本不等式. 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的，都能成立？请给出证明． 提示　方法一(作差法) 即，当且仅当时，等号成立． 方法二　(性质法) 思考（1） 回顾“充分条件与必要条件”中的相关知识，谈一谈你对“要证……，只要证……”的理解. 师生活动预设 在学生回答的基础上，教师明确指出：“只要证的内容”是“要证内容”成立的充分条件. 学生展示证明方法，对不同与方法进行梳理. 引导分析： 要证 ， ① 只要证 ， ② 要证②，只要证 ，　　 　③ 要证③，只要证 ， ④ 要证④，只要证 ， ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立． 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.（是否展示证明过程 ） 思考（2） 在获得显然成立的⑤式≥0后，为什么就可以断定最前面的基本不等式成立？ 师生活动预设 有了思考（1），以学生自我表达做铺垫，学生思考交流后可以发现：从“显然成立”出发，一步步倒推，且每一步都是正确的，即⑤④，④③，③②，②①. 教师总结 把教材的过程倒过来就是同学刚才展示的方法.我们把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法，将从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法.注意：在书写表达时每一步都要加以文字说明“要证……，只要证……”，直到“显然×××成立”.分析法这种由未知探需知、逐步推向已知的方法在今后的数学研究中还会经常用到. 综合法：把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法； 分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法 【设计意图】用“分析法探路，用综合方法表达”是在数学学习过程中常用的解决问题一般思路，贯穿整个高中数学学习例如在立体几何证明部分就常常用到这种思路.通过“执果索因”和“由因导果”双向的梳理，有利于发展学生逻辑推理的核心素养.在此引入“分析法”的思路还可以凸显不等式性质的应用价值. 活动二：小组合作，实践探索 问题4：初中对乘法公式中的字母赋予几何意义，对乘法公式进行几何解释，从图形角度理解乘法公式.能否类比以上过程，尝试对基本不等式中的字母赋予几何意义，对基本不等式进行几何解释？ 用线段表示，不妨设 则的几何意义为线段，表示段长的一半，即. 的几何意义是什么？关键在于如何“构造”？ 不妨令，则由不等式性质得， 则，由三角形相似有类似的比例关系，可以过点作的垂线段，连接，构造相似的直角三角形，设，则，即的几何意义为线段长.连接,在中，有,即.容易得到是直角，则点落在以为直径的圆周上，当且仅当时，点与点重合，，即半弦长不大于半径长. 因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦” 【设计意图】基本不等式的几何解释是本节课的一个难点.学生有一定经验，例如已经对初中乘法公式和高中的重要不等式进行了几何解释，可以联想到用线段长度表示，的几何意义也容易想到，但是不容易想到的几何意义，通过教师提问引导学生构造“”对等式进行代数运算，联想初中“比例中项”的几何意义，就不难往后推理.
三、总结新知 1．基本不等式：如果，，则，当且仅当时，等号成立． 2．其中，叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
四、应用新知 例1 已知，求的最小值. 分析：求最小值，就是要求一个，使，都有.观察，发现.联系基本不等式，可以利用正数和的算术平均数与几何平均数的关系得到. 解：因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2. 变式：当 时，求 的最小值. 【解析】因为,故有, 所以, 当且仅当,即时等号成立； 因此所求的最小值为 5. 总结：基本不等式的使用特点“一正，二定，三相等”. 例2 已知，都是正数，求证： （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明：因为，都是正数，所以. （1）当积等于定值时，， 所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值. （2）当和等于定值时，， 所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值. 总结：积定和最小；和定积最大 练习1 若,则有 A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 【答案】 【解析】, . 当且仅当,即时取“=”. 五、课堂总结
板书设计 基本不等式 基本不等式的证明 基本不等式的使用特点
作业设计 教材习题：习题2.2 第1、2、3、4题 教辅书：《课后训练》2.2基本不等式 补充习题：复印的课时作业 其他任务：预习下一节
教学反思 时间有限，拓展的例题不足； 2、学生小组活动较少，主体性体现不够.