3.3 分式的加法与减法 达标训练（学生版+答案版）2025-2026学年青岛版八年级数学上册

3.3分式的加法与减法
知识点一　同分母分式的加减法
1．计算的结果为(　　)
A．1 B．3
C． D．
2．已知x≠y，y＝－x＋8，求代数式＋的值．
知识点二　异分母分式的加减法
3．计算：＝____．
4．(2024·济南检测)化简：.
言言同学的解答如下：＝4x－2(x＋2)＝2x－4.
言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．
知识点三　分式的加减混合运算
5．计算：(1)；
(2).
知识点四　分式的混合运算
6．先化简，再求值：÷，其中x＝3，y＝2.
7．(2023·四川成华区模拟)先化简÷，再从1，2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
8．(2023·河北迁安市期中)小明在纸上写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为(　　)
A． B．
C． D．－
9．由“”值的正负可以比较A＝与的大小，下列说法正确的是(　　)
A．当c＝－2时，A＝
B．当c＝0时，A≠
C．当c＜－2时，A＞
D．当c＜0时，A＜
10．若a2－2a－15＝0，则代数式(a－)·的值是____．
11．若＝2，则分式＝___.
12．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题．
÷
＝÷……第一步
＝÷……第二步
＝÷……第三步
＝……第四步
＝.……第五步
(1)填空：
①以上化简步骤中，第____步是进行分式的通分，通分的依据是____；
②第____步开始出现错误，这一步错误的原因是____．
(2)请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简．
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项提一条建议．
13．先化简÷，然后从－1≤x≤3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【创新运用】
14．[生活观察]
甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次：
菜价3元/千克
质量 金额
甲 1 kg 3元
乙 1 kg 3元
第二次：
菜价2元/千克
质量 金额
甲 1 kg __2__元
乙 __1.5__kg 3元(1)完成上表；
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．(均价＝总金额÷总质量)
[数学思考]
(3)设甲每次买质量为m kg的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含m，n，a，b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价，，比较，的大小，并说明理由．
[知识迁移]
(4)某船在距离为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在静水中，船的速度为v，所需时间为t1；当水流速度为p时(p＜v)，船顺水航行速度为(v＋p)，逆水航行速度为(v－p)，所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1，t2的大小，并说明理由．
3.3分式的加法与减法
知识点一　同分母分式的加减法
1．计算的结果为(　C　)
A．1 B．3
C． D．
2．已知x≠y，y＝－x＋8，求代数式＋的值．
解：原式＝＝＝x＋y.
当x≠y，y＝－x＋8时，
原式＝x＋(－x＋8)＝8.
知识点二　异分母分式的加减法
3．计算：＝____．
4．(2024·济南检测)化简：.
言言同学的解答如下：＝4x－2(x＋2)＝2x－4.
言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．
解：不正确．正确解答：
通分，得
＝＝＝.
知识点三　分式的加减混合运算
5．计算：(1)；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝＝－1.
(2)原式＝＝
＝
＝＝.
知识点四　分式的混合运算
6．先化简，再求值：÷，其中x＝3，y＝2.
解：原式＝
＝
＝.
当x＝3，y＝2时，原式＝＝5.
7．(2023·四川成华区模拟)先化简÷，再从1，2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
解：原式＝＝ ＝ ＝.
因为当a＝1，2时分式无意义，所以a＝3.
当a＝3时，原式＝.
8．(2023·河北迁安市期中)小明在纸上写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为(　A　)
A． B．
C． D．－
解析：撕坏的一角中“■”为
×(5－a)＋1＝＝.
故选A．
9．由“”值的正负可以比较A＝与的大小，下列说法正确的是(　C　)
A．当c＝－2时，A＝
B．当c＝0时，A≠
C．当c＜－2时，A＞
D．当c＜0时，A＜
10．若a2－2a－15＝0，则代数式(a－)·的值是__15__．
11．若＝2，则分式＝____.
12．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题．
÷
＝÷……第一步
＝÷……第二步
＝÷……第三步
＝……第四步
＝.……第五步
(1)填空：
①以上化简步骤中，第__一__步是进行分式的通分，通分的依据是__分式的基本性质__；
②第__二__步开始出现错误，这一步错误的原因是__－1没有变号__．
(2)请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简．
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项提一条建议．
解：(2)原式＝÷＝＝.
(3)在进行分式化简时，分子或分母是多项式，一般先进行分解因式，然后再进行计算．(答案不唯一)
13．先化简÷，然后从－1≤x≤3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
解：÷
＝
＝ ＝.
因为(x＋1)(x－1)≠0，x－3≠0，
所以x≠±1，3.
因为－1≤x≤3，
所以x可以取整数0或2.
当x＝0时，原式＝＝－.
(答案不唯一)
【创新运用】
14．[生活观察]
甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次：
菜价3元/千克
质量 金额
甲 1 kg 3元
乙 1 kg 3元
第二次：
菜价2元/千克
质量 金额
甲 1 kg __2__元
乙 __1.5__kg 3元(1)完成上表；
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．(均价＝总金额÷总质量)
[数学思考]
(3)设甲每次买质量为m kg的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含m，n，a，b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价，，比较，的大小，并说明理由．
[知识迁移]
(4)某船在距离为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在静水中，船的速度为v，所需时间为t1；当水流速度为p时(p＜v)，船顺水航行速度为(v＋p)，逆水航行速度为(v－p)，所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1，t2的大小，并说明理由．
解：(2)甲两次买菜的均价：
(3＋2)÷2＝2.5(元/千克)，
乙两次买菜的均价：
(3＋3)÷(1＋1.5)＝2.4(元/千克)．
(3).理由如下：
＝＝，＝＝，
所以－＝＝≥0.
所以.
(4)t1t1＝，t2＝＝，
所以t1－t2＝＝.
因为0＜p＜v，所以v2－p2>0.
所以t1－t2＜0.
所以t1＜t2.