2025-2026学年北师大版数学八年上册期中练习（原卷+答案）

2025-2026北师大版数学八年上册期中练习
满分120分 时间120分钟
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，，那么的长是 ( )
A. B. C. D.
2.下列各数中，不是有理数的是( )
A.
B.
C. 相邻两个之间有个
D.
3.下列各组数据是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.如图，长方体的底面边长为和，高为如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ( )
A. B. C. D.
5.若函数是关于的一次函数，则的值为 ( )
A. B. C. D. 或
6.直线：和：在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A. B. C. D.
7.如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，出现，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，下列对于，，，四个点的表示正确的是 ．
A. B. C. D.
8.甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑米，则甲跑秒就可以追上乙；如果乙先跑秒，甲跑秒就可以追上乙．设甲的速度为米秒，乙的速度为米秒．根据题意，下列选项中所列方程组正确的是 ( )
A. B. C. D.
9.若是下列某个二元一次方程组的解，则这个方程组是 ( )
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从、点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第次跳跃时最左边点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若函数是以为自变量的一次函数，则 ．
12.已知点和点关于轴对称，那么 ．
13.已知点在一次函数的图象上，则 ．
14.我们规定运算符号“”的意义是：当时，；当时，，其它运算符号的意义不变，计算： ．
15.如图，长方体的底面边长分别为和，高为如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，满足方程组
求的值；
若，求的值．
17.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点与点．
若点与点关于轴对称，求的值；
若轴，且，求点的坐标．
如图，在每个小正方形的边长都为的网格中，有，在建立适当的平面直角坐标系后，若点，．
请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标；
若将进行平移得到，某一边上的一点的对应点为，则点的对应点的坐标为________________．
19.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，求的度数．
20.本小题分
某单位今年“十一”期间要组团去北京旅游，与旅行社联系时，甲旅行社提出每人次收元车费和住宿费，不优惠；乙旅行社提出每人次收元车费和住宿费，但有人可享受免费待遇．
分别写出甲、乙两旅行社的收费与旅行人数之间的函数关系式；
如果组织人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？当旅行团为多少人时，选甲或乙旅行社所需费用一样多？
由于全球汽车芯片短缺，汽车生产成本增加，某汽车生产厂商计划提高汽车出厂价格，据市场反馈，某型号汽车出厂价格为万元辆时，其月销量为辆，且出厂价格每提高万元辆，月销量将减少辆，设该型号汽车每辆出厂价格为万元时，其月销量为辆．
求与之间的函数关系式；
若汽车生产商计划该型号汽车的月销量不少于辆，在的基础上，请根据函数中的值随值的变化而变化的特点，求该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆多少万元．
21.本小题分
请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
曼哈顿距离
图是具有正南正北，正东正西方向规则布局的城市，灰色区域是城市的道路，黑色区域是城市的建筑物从地到地，有很多种路线根据我们学过的“两点之间线段最短”可知线段是从地到地的最短距离，但很多时候，这种距离是理想化的大部分情况下从地到地，所走的路程是，两点在南北方向上的距离加上东西方向上的距离，这种距离称为曼哈顿距离，例如图中的实线折线就是，两点之间的曼哈顿距离．
查阅资料发现，曼哈顿距离与平面直角坐标系有密切关系如图，在平面直角坐标系中，设点，，则，两点之间的曼哈顿距离可用表示，且
曼哈顿距离的几何意义：在图所示的平面直角坐标系中，已知，，轴，轴，点是线段上的一点，则．
证明：当点与点重合时，．
当点与点重合时，．
当点在线段上，且不与点，重合时，如图，过点作于点，
综上所述，．
任务：
根据上述信息，若点，，则的值为______．
请你补全材料中的证明过程．
如图，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上的一点若，则的面积为______．
22.本小题分
阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面直角坐标系内有，两点，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可化简为或
已知点，，则，两点间的距离为 ．
已知点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则，两点间的距离为 ．
已知一个三角形各顶点的坐标分别为，，，你能判断出此三角形的形状吗？说明理由．
在的条件下，在平面直角坐标系的轴上找一点，使的长度最短，求出的最短长度．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线：交直线于点．
求直线的解析式及点的坐标；
如图，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值；
如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时，在第一象限内是否存在点，使得以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14. 15.
16.【小题】
【解】 ，得， 整理，得．
【小题】
，得，解得， 则，，．
17.解：原式 当，时，原式．
18.【小题】
【解】点与点关于轴对称，，，，，．
当点在点的右边时，轴，且，点的横坐标是，，， 当点在点的左边时，轴，且，点的横坐标是，纵坐标还是，则 综上所述，或．
【小题】
【解】平面直角坐标系如图，点的坐标为．

19.解：设，则 在中，，，，，，，．
20.【小题】
【解】甲旅行社： 乙旅行社：时，； 时， 当时，甲旅行社：元， 乙旅行社：元 ，故选乙旅行社合算． ， 解得 故当旅行团为人时，选甲或乙旅行社所需费用一样多．
【小题】
【解】依题意，得， 即 方法一依题意，得， 解得 答：该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆万元．
方法二，随的增大而减小． 又，当取得最小值时，取得最大值．当时，，解得，该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆万元．

21.，，
，
已知，轴，轴，，点是线段上的一点，则．
证明：当点与点重合时，．
当点与点重合时，．
当点在线段上，且不与点，重合时，如图，过点作于点，
轴，轴，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
综上所述，．
设，则，
点是线段上的一点，
，，
，
，
，
即直线与轴、轴分别交于点，，
的面积为．
22.【小题】
【小题】
【小题】
为等腰三角形．理由如下：，，，，为等腰三角形．
【小题】
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则此时的长度最短．，，的最短长度．
23.解：，
点的坐标是，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把点 和点的坐标代入可得，
解得，
直线的解析式为，
联立直线：和直线的解析式得，
解得，
点的坐标是；
，，
，
，
，，
直线：交直线于点．
，
，
，
点在点的上方，
为直线上一动点且在第一象限内，
设点的坐标为，其中，
点到轴的距离为，
，
，
解得，
，
点的坐标是，
如图，过点向左作轴，且，则的坐标为，再作点关于轴的对称点，则的坐标为，则连接交轴于点，在轴上截取，连接，
由作图过程知四边形是平行四边形，则，
的最小值为，
作于点，则的坐标为，则，，
的最小值为
．
即最小值为；
存在，点的坐标是或或
理由如下：
第一种情况，是直角边，由勾股定理得，
由点的坐标是，点沿移动到点，由于平移规律相同，可得点平移到点，点平移到点，
如图，以为边作正方形，过点作轴于点，
，
，
在和中，
≌，
，，
，
点的坐标为，
同理可得点的坐标为，
点的坐标是，点沿移动到点，
由于平移规律相同，可知点，点，平移后的坐标即点的坐标分别为，；
为对角线时，如图，
由题意可得，
在中，，
，
，
由点，，可知点的坐标为，
设的表达式为，
，，
，
，
把点的坐标代入得，
，
解得，
的表达式为，
设点的坐标为，
由两点间距离公式得，，
，
解得舍去，，
，
，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标是或或